11.1.3 多面体与棱柱
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解多面体的定义及其分类．(重点)
2.理解棱柱的定义和结构特征．(重点)
3.在棱柱中构造恰当的特征图形，研究其中的线段数量关系和位置关系．(难点)
1.通过多面体的定义与分类学习，培养学生的数学抽象核心素养.
2.借助棱柱结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.
1．多面体
(1)定义
由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体．
(2)相关概念(如图所示)
①多面体的面、棱与顶点
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．
②多面体的面对角线与体对角线
一个多面体中，连接同一面上两个顶点的线段，如果不是多面体的棱，就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线．如上图所示的多面体中，AC是一条面对角线，而BD′是一条体对角线．
③多面体的截面与表面积
一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，称为这个几何体的一个截面，如上图中多面体的一个截面ACE.
多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)．
(3)凸多面体
把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为凸多面体．
思考1：长方体、正方体是多面体吗？
[提示] 是．长方体是由6个矩形围成的，正方体是由6个正方形围成的，均满足多面体的定义．
思考2：最简单的多面体由几个面所围成？
[提示] 四个．
2．棱柱
(1)定义
有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形，这样的多面体称为棱柱．
(2)图示及相关概念
棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时，分别称为上底面、下底面)，其他各面称为棱柱的侧面，两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．
(3)棱柱的表示方法
棱柱可以用底面上的顶点来表示，也可用表示它的体对角线来表示，如上图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′，此棱柱也可表示为棱柱AC′.
(4)棱柱的高与侧面
过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高，棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积．
(5)棱柱的分类
特别地，底面是正多边形的棱柱称为正棱柱．
(6)平行六面体与直平行六面体
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体．
1．一个多面体的面至少为( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
B [由多面体的特征知，一个多面体至少有4个面，它是三棱锥．]
2．下列几何体中是棱柱的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
D [由棱柱的定义知①③是棱柱，选D.]
3．下面没有体对角线的一种几何体是( )
A．三棱柱 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
A [三棱柱只有面对角线，没有体对角线．]
4．一个棱柱至少有__________个面；面数最少的棱柱有________个顶点，有________条棱．
5 6 9 [面数最少的棱柱是三棱柱，有5个面，6个顶点，9条棱．]
棱柱的有关概念
【例1】 下列关于棱柱的说法正确的个数是( )
①四棱柱是平行六面体；
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；
④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．
A．1 B．2 C．3 D．4
A [四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，故④不正确．]
棱柱结构特征的辨析技巧
(1)扣定义：判定一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义．
①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．
(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．
提醒：判断一个说法错误时，才用举反例的方法．
1．一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是( )
A．底面是正方形，有两个侧面是矩形
B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面
C．底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直
D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形
D [对于A，满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形；对于B，垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面；对于C，底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直；对于D，侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征．故选D.]
多面体的表面展开图
【例2】 某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )
A B C D
A [两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判定．]
多面体展开图问题的解题策略
1．绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．
2．由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．
2．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是( )
A B C D
C [将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．]
多面体或棱柱的计算问题
【例3】 如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记作M.求：
(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；
(2)从B经M到C1的最短路线长及此时的值．
[解] 将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)．
(1)∵矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，
∴三棱柱侧面展开图的对角线长为＝2.
(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，∴最短路线长为BC1＝＝2，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，
∴A1M＝AM，即＝1.
求简单几何体表面上两点间最短距离的步骤
此类问题一般将立体图形(或其一部分)展开为平面，使立体几何问题平面化．其基本步骤是：(1)将立体图形展开为平面图形；(2)在平面图形上找出表示最短距离的线段；(3)计算此线段的长．
3．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
72 [棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．]
1．在理解的基础上，牢记多面体与棱柱的有关概念，能根据定义判断几何体的形状．
2．能够绘制展开图和由展开图还原几何体的方法．
3．几种常见四棱柱的关系
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形． ( )
(2)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形． ( )
(3)多面体的表面积等于各个面的面积之和． ( )
(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等． ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．下列说法中正确的是( )
A．直四棱柱是直平行六面体
B．直平行六面体是长方体
C．六个面都是矩形的四棱柱是长方体
D．底面是正方形的四棱柱是直四棱柱
C [直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错．]
3．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( )
A．2 B．4
C．6 D．8
D [由已知得底面边长为1，侧棱长为＝2.
∴S侧＝1×2×4＝8.]
4．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．
O [由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E、S、P、D，故H的反面的字母为O.]
5．如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
[解] 截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
课件41张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱平面多边形 不在同一各个多边形公共边公共点同一面面积之和平面图形内部都在这个平面的同一侧平行四边形互相平行
底面上底面下底面侧面侧棱垂线 垂直正棱柱平行四边形棱柱的有关概念 多面体的表面展开图 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 多面体与棱柱
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [这4个多面体均为棱柱．]
2．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，这些集合间的关系是( )
A．QNMP B．QMNP
C．PMNQ D．PNMQ
D [正方体是侧棱长等于底面边长的正四棱柱，正四棱柱的上、下两个底面都是正方形，其余各面都是矩形，因此正四棱柱一定是长方体，长方体的侧棱和上、下两底面垂直，因此长方体一定是直四棱柱，故PNMQ.]
3．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20
C．10 D．11
A [所求长方体的表面积
S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.]
4．四棱柱有几条侧棱，几个顶点( )
A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点
C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点
C [由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．]
5．正三棱柱ABC?A′B′C′的底面边长是4 cm，过BC的一个平面交侧棱AA′于D，若AD的长是2 cm，则截面BCD的面积为( )
A．6 cm2 B．2 cm2
C．8 cm2 D．2 cm2
C [如图，取BC的中点E，连接AE，DE，
则AE⊥BC，DE⊥BC.
因为AE＝×4＝2，
所以DE＝＝4，
所以S△BCD＝BC·ED
＝×4×4＝8(cm2)．
所以截面BCD的面积为8 cm2.]
二、填空题
6．下列四个平面图形都是正方体的展开图，还原成正方体后，数字排列规律完全一样的两个是________．
(1) (2) (3) (4)
(2)(3) [(2)(3)中，①④为相对的面，②⑤为相对的面，③⑥为相对的面，故它们的排列规律完全一样．]
7．如图，在正方体的8个顶点中任意选择4个顶点，它们可能构成的平面图形或几何体是________．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③每个面都是等边三角形的四面体；④每个面都是直角三角形的四面体．
①③④ [①正确，如四边形A1D1CB为矩形；②不正确，任选四个顶点若组成平面图形，则一定为矩形；③正确，如四面体A1-C1BD；④正确，如四面体B1-ABD.]
8．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________．
6 [因为用平面去截正方体时，最多与六个面相交得六边形，即截面的边数最多为6.]
三、解答题
9．画出如图所示的几何体的表面展开图．
[解] 表面展开图如图所示．
10．如图所示，在长方体A′B′C′D′-ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm，把长方体侧面展开．求BD′的最短距离．
[解] 如下图①得BD′＝＝，由下图②得BD′＝＝3，由下图③得BD′＝＝2，
∴(BD′)min＝3.
[等级过关练]
1．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
A．20 B．15
C．12 D．10
D [如图，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．]
2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
D [只有D选项能折叠成一个正四棱柱，在选项A、B、C中底面边数与侧面个数不一致，故不能围成棱柱．]
3．一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，全面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.
112或72 [设底面边长，侧棱长分别为a cm，l cm，
则∴或
∴S侧＝4×4×7＝112(cm2)，
或S侧＝4×6×3＝72(cm2)．]
4．如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
[将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝.]
5．给出一块正三角形纸片(如图所示)，要求将其中一块剪拼成一个底面为正三角形的三棱柱模型，请设计一种剪接方案，并用虚线标示在图中，并作简要说明．
[解] 如图所示，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线三角形的边折成，可成为一个缺上底的底面为正三角形的三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个底面为正三角形的棱柱的上底．
