11.1.4 棱锥与棱台
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征．(重点)
2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的性质．(难点)
1.通过棱锥、棱台的定义及结构特征的学习，培养数学抽象的核心素养.
2.借助棱锥、棱台中的有关计算问题，提升数学运算的核心素养.
1．棱锥
(1)关于棱锥的定义、分类、图形及表示，请填写下表：
棱锥
图形及表示
定义
如果一个多面体有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，则称这个多面体为棱锥
如图棱锥可记作：棱锥S-ABCD或棱锥S-AC.
相关概念
底面(底)：是多边形的那个面；侧面：有公共顶点的各个三角形；侧棱：相邻两侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点；
高：过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得到的线段(或它的长度)，侧面积：所有侧面的面积之和
分类
①依据：底面多边形的边数；
②举例：三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……
(2)正棱锥的有关概念及其特征
如果棱锥的底面是正多边形，且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则称这个棱锥为正棱锥，可以看出，正棱锥的侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的斜高．
2．棱台
(1)关于棱台的定义、分类、图形及表示，请填写下表：
棱台
图形及表示
定义
一般地，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱台
如图棱台可记作：棱台
ABCD-A′B′C′D′
相关概念
上底面：原棱锥的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻两侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点；
高：过棱台一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)；
侧面积：所有侧面的面积之和
分类
①依据：由几棱锥截得；
②举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
(2)正棱台的有关概念及其特征
由正棱锥截得的棱台称为正棱台，不难看出，正棱台上、下底面都是正多边形，两者中心的连线是棱台的高；而且，正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形，这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的斜高．
1．棱锥的侧面和底面可以都是( )
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
A [棱锥的侧面都是三角形，所以底面和侧面相同只能是三角形．]
2．下面四个几何体中，是棱台的是( )
A B C D
C [棱台的侧棱延长后相交于同一点，故C正确．]
3．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为( )
A．三棱锥的四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱相交于一点
B [根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．]
4．如图，下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号)．
①③④ ⑥ ⑤ [结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．]
棱锥的结构特征
【例1】 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？
[解] 不一定．如图①所示，将正方体ABCD-A1B1C1D1截去两个三棱锥A-A1B1D1和C-B1C1D1，得如图②所示的几何体，其中有一个面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，但很明显这个几何体不是棱锥，因此有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥．
棱锥的三个本质特征
1．有一个面是多边形．
2．其余各面是三角形．
3．这些三角形有一个公共顶点．
1．观察如图的四个几何体，其中判断不正确的是( )
A．①是棱柱 B．②不是棱锥
C．③不是棱锥 D．④是棱台
B [②显然是棱锥．]
棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱台的说法中，正确说法的序号是________．
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．
(2)(3) [(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点；
(4)错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥．]
棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法．
结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法．
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．判断图中的几何体是不是台体？并说明为什么？
(1)(3)(4)不是棱台；(2)是棱台 [对于(1)(3)，几何体的“侧棱”不相交于一点，不是棱台；对于(4)，几何体不是由平行于棱锥底面的平面截得的几何体，从而(4)不是棱台；对于(2)，符合棱台的定义．]
几何体的计算问题
[探究问题]
1．计算正三棱锥中底面边长，斜高，高时，通常是将所求线段转化到直角三角形中，常用到的直角三角形有哪些？
[提示] 常用到的直角三角形有：①由斜高、高、底面中心到边的距离构成的三角形；②由高、侧棱和底面中心与底面顶点的连线构成的三角形．
2．其他正棱锥的计算是否与正三棱锥计算用同样的方法？
[提示] 是．
3．正棱台中的计算呢？
[提示] 根据正棱锥与正棱台的关系，转化到直角梯形中求解．
【例3】 正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2，求正三棱锥的高．
[思路探究] 正三棱锥?侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三角形?勾股定理求解．
[解] 作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．
在Rt△ADO中，AD＝，
∠OAD＝30°，
故AO＝＝.
在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，
故SO＝＝3，其高为3.
1．将本例中“侧棱长为2”，改为“斜高为2”，则结论如何？
[解] 连接SD(图略)在Rt△SDO中，SD＝2，DO＝AO＝，故SO＝＝＝.
2．将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”，如何解答？
[解] 如图正四棱锥S-ABCD中，SO为高，连接OC.则△SOC是直角三角形，由题意BC＝3，则OC＝，又因为SC＝2，则SO＝＝＝＝.
故其高为.
正棱锥、正棱台中的计算技巧
1．正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例)，其高PO，底面为正方形，作PE⊥CD于E，则PE为斜高．
(1)斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE.
(3)侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.
2．正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图(以正四棱台为例)，O1，O分别为上、下底面中心，作O1E1⊥B1C1于E1，OE⊥BC于E，则E1E为斜高，
(1)斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1.
(2)斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO.
(3)高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.
1．在理解的基础上，要牢记棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．棱柱、棱台、棱锥关系图
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥． ( )
(2)棱台的侧棱长都相等． ( )
(3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的． ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．在三棱锥A-BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D [在三棱锥A-BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．]
3．如图，在三棱台A′B′C′-ABC中，截去三棱锥A′-ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
B [剩余几何体为四棱锥A′-BCC′B′.]
4．已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为________．
48 [正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.]
5．画一个三棱台，再把它分成：
(1)一个三棱柱和另一个多面体；
(2)三个三棱锥，并用字母表示．
[解] 画三棱台一定要利用三棱锥．
① ②
(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′-AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.
(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′-ABC，B′-A′BC，C′-A′B′C.
课件49张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.4 棱锥与棱台有一个公共顶点多边形线段是多边形的那个公共顶点公共边三棱锥
正多边形顶点底面中心全等斜高四棱台 棱台的斜高正棱锥棱台的高棱锥的结构特征 棱台的结构特征 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 棱锥与棱台
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )
A．①是棱台 B．②是棱锥
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
C [①中互相平行的两个平面四边形不相似，所以侧棱不会相交于一点，不是棱台．②侧面三角形无公共顶点，不是棱锥．③是棱锥，正确．④是底面为六边形的棱柱．故选C.]
2．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
C [可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．]
3．下面说法中，正确的是( )
A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台
B．棱台的所有侧面都是梯形
C．棱台的侧棱长必相等
D．棱台的上下底面可能不是相似图形
B [由棱台的结构特点可知，A、C、D不正确．]
4．下列三种叙述，其中正确的有( )
①两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台；
②如图所示，截正方体所得的几何体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A [①不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点．②不正确，因为侧棱延长后不交于一点．③不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台．]
5．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积等于( )
A．a2 B.a2
C.a2 D．a2
A [如图，在三棱锥S-ABC中，AB＝a，SO＝a，于是OD＝·AB·sin 60°＝a，从而SD＝＝，故三棱锥的侧面积为S＝3××a×＝a2.]
二、填空题
6．如图，已知四边形ABCD是一个正方形，E，F分别是边AB和BC的中点，沿折痕DE，EF，FD折起得到一个空间几何体，则这个空间几何体是________(只填几何体的名称)．
三棱锥 [折起后是一个三棱锥(如图所示)．
]
7．若一个棱台共有21条棱，则这个棱台是________棱台．
七 [由棱台的概念可知，棱台的上下底面为相似多边形，边数相同；侧面为梯形，侧面个数与底面多边形边数相同，可知该棱台为七棱台．]
8．侧面是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，该三棱锥的表面积为________．
a2 [底面边长为a，则斜高为，
故S侧＝3××a×a＝a2.
而S底＝a2，
故S表＝a2.]
三、解答题
9．试从正方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥．
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥．
(3)三棱柱．
[解] (1)如图所示，三棱锥A1-AB1D1(答案不唯一)．
(2)如图所示，三棱锥B1-ACD1(答案不唯一)．
(3)如图所示，三棱柱A1B1D1-ABD(答案不唯一)．
10．如图，正四棱台AC′的高是 17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高．
[解] 设棱台两底面的中心分别是O′和O，B′C′，BC的中点分别是E′，E.连接O′O，E′E，O′B′，OB，O′E′，OE，则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形．
在正方形ABCD中，BC＝16 cm，
则OB＝8 cm，OE＝8 cm；
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，
则O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm.
在直角梯形O′OBB′中，BB′＝＝＝19(cm)．
在直角梯形O′OEE′中，EE′＝＝＝5(cm)．
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
[等级过关练]
1．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
D [因为正六边形的边长与它的外接圆半径相等，所以满足上述条件的棱锥一定不是六棱锥．]
2．对有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体，以下说法正确的是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．一定不是棱柱、棱锥
D [有两个面互相平行，故此多面体一定不是棱锥，其余各面都是梯形，所以也不是棱柱，棱柱的侧面都是平行四边形，选D.]
3．已知正方体的8个顶点中，其中有4个顶点为各侧面均为等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
B [三棱锥B′-ACD′为适合条件的三棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝，S△B′AC＝.三棱锥的表面积S锥＝4×＝2，
又正方体的表面积S正＝6.
因此S锥∶S正＝2∶6＝1∶.
]
4．已知正三棱锥的高是10 cm，底面积是12 cm2，则它的侧棱长是________．
2 cm [如图，已知三棱锥高SO＝10 cm，S正△ABC＝12.∴底面正三角形边长BC＝4.又O为△ABC中心，∴OC＝CD＝··4＝4.在Rt△SOC中，SC＝＝＝2.]
5.如图在以O为顶点的三棱锥中，过O的三条棱两两夹角都是30°，在一条棱上取A、B两点，OA＝4 cm，OB＝3 cm，以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦)，求此绳在A、B两点间的最短绳长．
[解] 作出三棱锥的侧面展开图，如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．
在△AOB中，∠AOB＝30°×3＝90°，
OA＝4 cm，OB＝3 cm，
所以AB＝＝5 cm.
所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.
