11.1.5 旋转体
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点)
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)
3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点)
4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)
1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养.
1．圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
定义
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆台的轴
高：在轴上的边(或它的长度)
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.轴截面
在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．
5．旋转体的侧面积与全面积
(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长
圆锥
S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长
圆台
S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长
6.球的结构特征
球面及球的定义
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合
图示及相关概念
球心：形成球面的半圆的圆心
半径：连接球面上一点和球心的线段
直径：连接球面上两点且通过球心的线段
大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆
7.球的表面积S＝4πR2.
思考：等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？
[提示] 圆锥．
1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶4
C．1∶6 D．1∶8
B [＝＝＝＝.]
2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于( )
A．6 B．8
C．10 D．不确定
B [由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为＝8.]
3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为( )
A．1∶2 B．1∶1
C．1∶4 D．1∶3
B [以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，
故S1∶S2＝1∶1，选B.]
4．有下列说法：
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的连线；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
① [利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．]
旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．
[解] (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．
(3)正确．
(4)错．应为球面．
旋转体的判断问题的解题策略
1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．
2．判断简单旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成．
(2)明确旋转轴是哪条直线．
1．下列命题中正确的是( )
A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
C [A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.]
简单组合体的结构特征
【例2】 一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．
[思路探究] 平面图形旋转?旋转体的概念及结构特征．
[解] 以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．
旋转体的形状判断技巧
1．判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．
2．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
2．描述下列几何体的结构特征．
[解] 图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
旋转体中的计算
[探究问题]
1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？
[提示] 圆面．
2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？
[提示] 分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．
3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？
[提示] 因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．
4．球的截面是什么？
[提示] 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．
【例3】 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．
[思路探究] 作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．
[解] 圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．
由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知，腰长为12 cm，
所以高AM＝
＝3(cm)．
1．将圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．
[解] 如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，
设截得此圆台的圆锥的母线长为l，
则由△SAO1∽△SBO，可得＝，解得l＝20 cm.
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
2．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的底面半径．
[解] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，
得＝，
即1－＝，解得r＝1.
即圆柱的底面半径为1.
与圆锥有关的截面问题的解决策略
求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．
1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．
2．球面、球体的区别和联系
区别
联系
球面
球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面
球面是球体的表面
球体
球体是几何体，包括球面及所围的空间部分
3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．
4．处理组合体问题常采用分割思想．
5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．
( )
(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台． ( )
(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． ( )
[解析] (1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．圆台 D．两个圆锥
D [连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．]
3．关于圆台，下列说法正确的是________．
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高．
②③④ [圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．]
4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
10 [如图是圆锥的轴截面，
则SA＝20 cm，∠ASO＝30°，
∴AO＝10 cm，SO＝10 cm.]
5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．
[解] 设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得
解得r＝.
所以此圆柱的底面半径为.
课件48张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体不垂直于轴的边矩形的一边旋转轴轴垂直于轴不垂直于轴不垂直于轴直角三角形一直角边旋转轴垂直于轴不垂直于轴的边旋转轴垂直于轴等腰梯形等腰三角形底面积 侧面母线长底面半径侧面母线长底面半径下底面半径上底面半径侧面母线长
球面圆心球心通过球心经过球心不经过球心旋转体的结构特征 简单组合体的结构特征 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 旋转体
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列几何体中是旋转体的是 ( )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤ B．①
C．③和④ D．①和④
D [根据旋转体的概念可知，①和④是旋转体．]
2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
C [圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，只有球的轴截面是圆面．]
3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积之比为( )
A． B. C. D.
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，则有h＝2πr，所以表面积与侧面积的比为2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.]
4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π C．4π D．16π
A [S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.]
5．长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )
A．20π B．25π
C．50π D．200π
C [∵对角线长为5，∴2R＝5，
S＝4πR2＝4π×＝50π.]
二、填空题
6．若一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2π的正方体，则这个圆柱的表面积是________．
2π＋4π2 [由题意可知，2πr＝h＝2π，则r＝1，所以圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh＝2π＋4π2.]
7．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________．
2∶1 [S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.]
8．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的侧面积为________．
100π [设圆台的上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
由母线长为10可知10＝＝5r，
∴r＝2.
故圆台的上、下底面半径和高分别为2,8,8.
所以圆台的侧面积为π(2＋8)×10＝100π.]
三、解答题
9.如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD[解] 如图所示，旋转所得的几何体是由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分而成的几何体．
10．已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积．
[解] 如图所示为过正方体对角面的截面图．设正方体的棱长为a，半球的半径为R，
由6a2＝120，得a2＝20，
在Rt△AOB中，AB＝a，OB＝a，
由勾股定理，得R2＝a2＋＝＝30.
所以半球的表面积为S＝2πR2＋πR2＝3πR2＝3×30π＝90π(cm2)．
[等级过关练]
1．下列命题中，命题正确的个数是( )
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个；②圆柱的所有平行于底面的截面都是圆面；③圆台的两个底面可以不平行．
A．0 B．1
C．2 D．3
B [①中当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，其面积不是最大的；③圆台的两个底面一定平行，故①③错误．]
2．若与球相切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为( )
A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2
C．4πrR D．π(R＋r)2
C [法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.
法二：如上图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高．由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.]
3．若棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．
3π [因为棱长为1的正方体的八个顶点都在同一个球面上，
所以球的直径是正方体的对角线，所以球的半径是r＝，所以球的表面积是4×π×＝3π.]
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为________．
7 [设上底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.]
5．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，“截去的圆锥的底面半径为3 cm，圆锥的高为24 cm.”
(1)试求母线长l；
(2)若该圆锥中有一内接正方体，试求正方体的棱长．
[解] (1)设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.
过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，O′A′＝3，
∴＝，
∴OA＝12 cm.
又SO＝24 cm，
∴SA＝＝12cm.
即圆台的母线长为12cm.
(2)如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，则
OC＝x，
∴＝，
解得x＝24(－1)，
∴正方体的棱长为24(－1)cm.
