11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解柱体、锥体、台体和球的体积计算公式．(重点)
2.能够运用柱体、锥体、台体、球的体积公式求简单几何体的体积．(重点)
3.台体的体积及简单几何体的体积计算．(难点)
1.通过学习柱体、锥体、台体和球的体积公式，培养学生的数学运算核心素养.
2.借助组合体的体积，提升直观想象的核心素养.
1．祖暅原理
(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．
(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．
2．柱体、锥体、台体和球的体积公式
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．
名称
体积(V)
柱体
棱柱
Sh
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
Sh
圆锥
πr2h
台体
棱台
h(S＋＋S′)
圆台
πh(r2＋rr′＋r′2)
球
πR3
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4cm、5cm，则长方体的体积为 ( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
B [长方体的体积为3×4×5＝60(cm3)．]
2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为( )
A．15π B．30
C．12π D．36π
C [圆锥的高h＝＝4，故V＝π×32×4＝12π.]
3．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
B [设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，所以正方体的体积为a3＝64.]
4．若一个球的直径是12 cm，则它的体积为________cm3.
288π [由题意，知球的半径R＝6 cm，故其体积V＝πR3＝×π×63＝288π(cm3)．]
求柱体的体积
【例1】 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积．
[解] V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，
V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，
V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积：
V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
计算柱体体积的关键及常用技巧
1．计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高．
2．常用技巧：
(1)充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高．
(2)由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积．
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
[解] 设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，
则有
由①得r＝a，
由②得πrh＝2a2，∴V圆柱＝πr2h＝a3，
∴V正方体∶V圆柱＝a3∶＝∶1＝∶2.
求锥体的体积
【例2】 如图，三棱台ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1-ABC，三棱锥B-A1B1C，三棱锥C-A1B1C1的体积之比．
[思路探究]
―→―→―→
―→
[解] 设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1-ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC-A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
割补法与等积法求锥体体积
三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．另外等积法也是常用的求锥体体积的一种方法．
2．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是( )
A． B．
C． D．1
A [三棱锥D-ACD1的体积VD-ACD1＝VD1-ACD＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]
求台体的体积
【例3】 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．
[思路探究] 可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．
[解] 如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．
由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，
在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，
OE＝AB＝10，
∴O1O＝＝12，
V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)
＝2 800 (cm3)．
故正四棱台的体积为2 800 cm3.
求台体体积的技巧
求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．
3．本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积．”
[解] 如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，
则O1B1＝ cm，
OB＝2 cm，
过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，
BB1＝2 cm，MB＝(2－)＝ (cm)．
根据勾股定理
MB1＝
＝＝(cm)．
S上＝22＝4 (cm2)，
S下＝42＝16(cm2)，
∴V正四棱台＝××(4＋＋16)
＝××28＝ (cm3).
求球的体积
【例4】 过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积和表面积．
[思路探究] 解决本题要充分利用已知条件，尤其是球半径，截面圆半径和球心距构成的直角三角形．
[解] 如图，设过A，B，C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.
∵AB＝BC＝CA＝3(cm)，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝AB＝ (cm)．
设OA＝R，则OO′＝R，
∵OO′⊥截面ABC，
∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝R＝ (cm)，∴R＝2(cm)，
∴V球＝πR3＝π(cm3)，S球＝4πR2＝16π(cm2)．
即球的体积为π cm3，表面积为16π cm2.
与球有关的计算问题解题技巧
球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．
4．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
4 [设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r.
则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，
即2r＝8，
所以r＝4 cm.]
1．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明
(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．
2．球的截面问题的解题技巧
(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．
(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，则这两个几何体的体积相等． ( )
(2)锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无关． ( )
(3)由V锥体＝S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为底面． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( )
A．2 B．
C. D．
C [设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.]
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π C．4π D．8π
B [设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴a＝2.
∴V圆柱＝π×2＝2π.]
4．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
[由已知得4π＝πr2×4，解得r＝.]
5．一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为，求这个三棱锥体积．
[解] 如图所示，正三棱锥S-ABC.
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝×6＝3.∴AH＝AE＝2.
在△ABC中，
S△ABC＝BC·AE＝×6×3＝9.
在Rt△SHA中，SA＝，AH＝2，
∴SH＝＝＝.
∴V正三棱锥＝S△ABC·SH＝×9×＝9.
课件47张PPT。第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积相等总相等相等求柱体的体积 求锥体的体积 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十三) 祖暅原理与几何体的体积
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1-ABC的体积为( )
A． B．
C. D．
D [V＝Sh＝××3＝.]
2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )
A． B.
C. D．
D [如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，
剩余几何体的体积是1－8×＝.]
3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A．1倍 B．2倍
C．3倍 D．4倍
C [半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径为3x，其体积为π×(3x)3，其余两个球的体积之和为πx3＋π×(2x)3，
∴π×(3x)3÷＝3.]
4．如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是( )
A． B.
C. D．
C [VC-AA′B′B＝VABC-A′B′C′－VC-A′B′C′
＝S△ABC·AA′－S△ABC·AA′
＝S△ABC·AA′
＝.]
5．分别以一个锐角为30°的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是( )
A．1∶∶ B．6∶2∶
C．6∶2∶3 D．3∶2∶6
C [设Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，则AB＝2，AC＝，求得斜边上的高CD＝，旋转所得几何体的体积分别为V1＝π()2×1＝π，V2＝π×12×＝π，V3＝π×2＝π.V1∶V2∶V3＝1∶∶＝6∶2∶3.]
二、填空题
6．一个长方体的三个面的面积分别是 ， ， ，则这个长方体的体积为________．
[设长方体的棱长分别为a，b，c，则三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝.]
7．已知三棱锥S-ABC的棱长均为4，则该三棱锥的体积是________．
[如图，在三棱锥S-ABC中，作高SO，连接AO并延长AO交BC于点D，则AO＝×4×＝.在Rt△SAO中，SO＝＝，所以V＝×××42＝.]
8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________．
[设大、小两球半径分别为R、r，则
所以
所以体积和为πR3＋πr3＝.]
三、解答题
9．如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
[解] 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，
V圆锥＝πr2h＝π×42×10
＝π(cm3)，
因为V半球所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
[解] 设圆台上、下底面半径分别为r，R.
∵A1D＝3，∠A1AB＝60°，∴AD＝＝，
∴R－r＝，BD＝A1D·tan 60°＝3，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，h＝3，
∴V圆台＝π(R2＋Rr＋r2)h＝π×[(2)2＋2×＋()2]×3＝21π.
[等级过关练]
1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )
A． B．
C. D.
A [由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是×π×13＝.]
2．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是( )
A．54 B．54π
C．58 D．58π
A [设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得＝，
∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.]
3．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A-DED1的体积为________．
[V三棱锥A-DED1＝V三棱锥E-DD1A
＝××1×1×1＝.]
4．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.
a [设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，
圆柱形容器内的液体体积为πh.
根据题意，有πR2h＝πh，解得R＝a.
再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，
所以h＝a.]
5．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少立方厘米(结果精确到0.1)?
(2)要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？
[解] (1)因为半球的直径是6 cm，可得半径R＝3 cm，
所以两个半球的体积之和为
V球＝πR3＝π·27＝36π(cm3)．
又圆柱筒的体积为
V圆柱＝πR2·h＝π×9×2＝18π(cm3)．
所以这种“浮球”的体积是：
V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π
≈169.6(cm3)．
(2)根据题意，上下两个半球的表面积是
S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)．
又“浮球”的圆柱筒的侧面积为：S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)，
所以1个“浮球”的表面积为S＝＝π(m2)．
因此，2 500个这样的“浮球”表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12π(m2)．
因为每平方米需要涂胶100克，
所以共需要胶的质量为：
100×12π＝1 200π(克)．
