11.2 平面的基本事实与推论
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握平面的画法及表示方法．(一般)
2.掌握平面的基本事实及推论．(重点)
3.能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．(难点)
1.通过平面画法的学习，培养直观想象的数学核心素养.
2.借助平面基本事实及推论，培养逻辑推理的数学核心素养.
1．平面的基本事实
公理
内容
图形
符号
作用
基本事实1
经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
①确定平面的依据；②判定点、线共面
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈α，B∈α?直线ABα
判定直线是否在平面内
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，有P∈β?α∩β＝l，且P∈l
①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
2．平面基本事实的推论
推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
1．如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A．平面MN B．平面NQ
C．平面α D．平面MNPQ
A [MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.]
2．能确定一个平面的条件是( )
A．空间三个点 B．一个点和一条直线
C．无数个点 D．两条相交直线
D [不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．]
3．如图，填入相应的符号：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.
[答案] ∈ AC
线共点问题
【例1】 如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)．
[证明] 因为在梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰．
所以AB，CD必定相交于一点．
设AB∩CD＝M.
因为ABα，CDβ，所以M∈α，M∈β.
所以M∈α∩β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
即AB，CD，l共点(相交于一点)．
证明线共点问题的方法
1．方法1：可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．
2．方法2：先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
1．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，求证：
(1)E，F，H，G四点共面．
(2)EG与HF的交点在直线AC上．
[证明] (1)因为BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，所以GH∥BD.
因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，所以EF∥GH.
所以E，F，H，G四点共面．
(2)因为G，H不是BC，CD的中点，
所以EF∥GH，且EF≠GH，
所以EG与FH必相交，设交点为M，
因为EG平面ABC，HF平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，因为平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以M∈AC，
所以EG与HF的交点在直线AC上.
点、线共面问题
【例2】 已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内．
[思路探究] 四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．
[解] 已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面．
证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵Od，
∴经过d与点O有且只有一个平面α.
∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，
∴A、B、C三点在平面α内．
由基本事实1知a、b、c都在平面α内，
故a、b、c、d共面．
(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，
∵a∩b＝A，
∴经过a、b有且仅有一个平面α，
∴B、C∈α.由基本事实1知cα.
同理，dα，从而有a、b、c、d共面．
综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．
证明点、线共面问题的常用方法
1．先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．
2．先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．
3．假设不共面，结合题设推出矛盾，用“反证法”．
2．一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面．
[解] 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：直线a，b，c，l共面．
证明：法一：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故lα.
又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.
同理可证lβ，∴α∩β＝a且α∩β＝l.
∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，
故α与β重合，即直线a，b，c，l共面．
法二：由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内．
同理可证c在a、l确定的平面α内．
∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.
点共线问题
[探究问题]
1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
[提示] 如图，连接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？
[提示] 由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据基本事实3可知B，E，D1三点共线．
【例3】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．
[解] 因为MN∩EF＝Q，
所以Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又因为M∈直线CD，N∈直线AB，
CD平面ABCD，AB平面ABCD.
所以M，N∈平面ABCD，
所以MN平面ABCD.所以Q∈平面ABCD.
同理，可得EF平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1.
又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
所以Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．
点共线的证明方法
方法1：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上．
方法2：选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在此直线上．
3．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．
[证明] 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，因为AB∩α＝E，所以E∈平面AC，E∈α，由基本事实3可知，E必在平面AC与平面α的交线上．同理F，G，H都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
1．三个基本事实的作用
基本事实1——判定点共面、线共面的依据；
基本事实2——判定直线在平面内的依据；
基本事实3——判定点共线、线共点的依据．
2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三点可以确定一个平面． ( )
(2)一条直线和一个点可以确定一个平面． ( )
(3)四边形是平面图形． ( )
(4)两条相交直线可以确定一个平面． ( )
[解析] (1)错误．不共线的三点可以确定一个平面．
(2)错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．
(3)错误．四边形不一定是平面图形．
(4)正确．两条相交直线可以确定一个平面．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是( )
A．黑板面 B．乒乓球桌面
C．篮球的表面 D．平静的水面
C [篮球的表面是曲面，不能认为是平面的一部分．]
3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
C [∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.]
4．如图，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a，b，c三条直线必过同一点．
[证明] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴aγ，bγ.
由于直线a和b不平行，
∴a、b必相交．
设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.
∵aβ，bα，∴P∈β，P∈α.
又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.
∴a，b，c三条直线相交于同一点．
课件42张PPT。第十一章 立体几何初步11.2 平面的基本事实与推论3个点 两个点 一条 线共点问题 点、线共面问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 平面的基本事实与推论
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．给出下列说法：
①梯形的四个顶点共面；
②三条平行直线共面；
③有三个公共点的两个平面重合；
④三条直线两两相交，可以确定3个平面．
其中正确的序号是( )
A．① B．①④ C．②③ D．③④
A [因为梯形有两边平行，所以梯形确定一个平面，所以①是正确的；三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以②不正确；有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上，所以③不正确；三条直线两两相交，可以确定的平面个数是1或3，所以④不正确．]
2．空间中四点可确定的平面有( )
A．1个 B．3个
C．4个 D．1个或4个或无数个
D [当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D.]
3．若一直线a在平面α内，则正确的作图是( )
A [aα用图示表示应为A，B选项画法错误，C选项a∥α，D选项a与α相交．]
4．如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面( )
A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点
C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点
D [由基本事实3可知，两个不重合平面有一个公共点，它们有且只有一条过该公共点的公共直线，则有无数个公共点．]
5.如图，平面α∩平面β＝l，A、B∈α，C∈β，Cl，直线AB∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
D [根据基本事实3判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在β与γ的交线上．故选D.]
二、填空题
6．设平面α与平面β相交于l，直线aα，直线bβ，a∩b＝M，则M________l.
∈ [因为a∩b＝M，aα，bβ，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.]
7．(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面．
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面．
(1)4 (2)7 [(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面；
(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面．]
8.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________；
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________；
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________．
[答案] (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
三、解答题
9．求证：三棱台A1B1C1-ABC三条侧棱延长后相交于一点．
[证明] 延长AA1，BB1，
设AA1∩BB1＝P，
又BB1平面BC1，
∴P∈平面BC1，
AA1平面AC1，
∴P∈平面AC1，
∴P为平面BC1和平面AC1的公共点，
又∵平面BC1∩平面AC1＝CC1，
∴P∈CC1，
即AA1，BB1，CC1延长后交于一点P.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是CC1和AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线并说明理由．
[解] 如图，在平面AA1D1D内，延长D1F，∵D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则P∈FD1，P∈AD.又∵D1F平面BED1F，
DA平面ABCD，
∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.
∴P∈(平面BED1F∩平面ABCD)，
即P为平面BED1F与平面ABCD的公共点．又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，
∴连接PB，PB即为平面ABCD与平面BED1F的交线．
[等级过关练]
1．已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?aβ
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线?α，β重合
C [选项C中，α与β有公共点A，则它们有过点A的一条交线，而不是点A，故C错．]
2．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中( )
A．必有三点共线 B．必有三点不共线
C．至少有三点共线 D．不可能有三点共线
B [如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图①中A、B、D不共线．
]
① ②
3.如图所示，A，B，C，D为不共面的四点，E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上．
(1)如果EH∩FG＝P，那么点P在直线________上．
(2)如果EF∩GH＝Q，那么点Q在直线________上．
(1)BD (2)AC [(1)若EH∩FG＝P，
那么点P∈平面ABD，P∈平面BCD，
而平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以P∈BD.
(2)若EF∩GH＝Q，则点Q∈平面ABC，Q∈平面ACD，而平面ABC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.]
4．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________．
1或2或3 [如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．
②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，
直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
③三条直线AB，AD，AA1交于一点A，它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．]
5．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：D1，E，F，B共面．
[证明] 因为D1，E，F三点不共线，所以D1，E，F三点确定一个平面α.
由题意得，D1E与DA共面于平面A1D且不平行，如图．
分别延长D1E与DA相交于点G，
所以G∈直线D1E，所以G∈平面α.
同理设直线D1F与DC的延长线交于点H，则H∈平面α.
又点G，B，H均在平面AC内，
且点E是AA1的中点，AA1∥DD1，
所以AG＝AD＝AB，所以△AGB为等腰三角形，
所以∠ABG＝45°，同理∠CBH＝45°.
所以∠GBH＝180°.
所以G，B，H三点共线，且GH平面α.
从而B∈α.
所以点D1，E，F，B四点共面．
