7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的定义域和值域、最小正周期、奇偶性、单调区间及函数的零点．(重点)
2.能正确使用“ 五点法” 作出正弦函数的图像．(难点)
1.借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养．
2.通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养.
1.正弦函数的性质
(1)函数的周期性
①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
(2)正弦函数的性质
函数
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
在(k∈Z)上递增；
在(k∈Z)上递减
最值
x＝2kπ＋ ，(k∈Z)时，y最大值＝1；
x＝2kπ－(k∈Z)时，y最小值＝－1
2.正弦函数的图像
(1)利用正弦线可以作出y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，要想得到y＝sin x(x∈R)的图像，只需将y＝sin x，x∈[0,2π]的图像沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图像叫做正弦曲线．
(2)“ 五点法” 作y＝sin x，x∈[0,2π]的图像时，所取的五点分别是(0,0)，，(π，0)，和和(2π，0)．
思考：观察正弦函数的图像是否具有对称性，它的对称性是怎样的？
[提示] 由图(图略)可以看出，正弦函数的图像关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图像，点(π，0)，点(2π，0)… ，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图像有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图像与x轴的交点，正弦函数的图像还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋ ，(k∈Z)，是过图像的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．
1.函数y＝xsin x是( )
A．奇函数，不是偶函数 B．偶函数，不是奇函数
C．奇函数，也是偶函数 D．非奇非偶函数
B [f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sin x)＝xsin x＝f(x)，∴y＝xsin x为偶函数，不是奇函数．]
2.下列图像中，符合y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )
D [把y＝sin x，x∈[0,2π]上的图像关于x轴对称，即可得到y＝－sin x，x∈[0,2π]上的图像，故选D．]
3.点M在函数y＝sin x的图像上，则m等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
C [由题意－m＝sin ，∴－m＝1，
∴m＝－1.]
三角函数奇偶性的判定
【例1】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin；
(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)．
[解](1)显然x∈R，f(x)＝cos x，
∵f(－x)＝cos＝cos x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由得－1
解得定义域为.
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵ f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴ f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f?x?与f?－x?的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
1.判断函数f(x)＝cos＋x2sin x的奇偶性．
[解] 原式＝sin 2x＋x2sin x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
正弦函数的单调性及应用
【例2】 比较下列各组数的大小．
(1)sin 194°和cos 160°；
(2)sin 和cos .
[思路探究] 先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．
[解](1)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°.
cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin 14°从而－sin 14°>－sin 70°，即sin 194°>cos 160°.
(2)∵cos ＝sin，
又<<π<＋<π，
y＝sin x在上是减函数，
∴sin >sin＝cos ，
即sin >cos .
比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.
2.比较大小：
(1)sin 250°与sin 260°；
(2)sin与sin.
[解](1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，
因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sin x，x∈是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，
所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.
(2)sin＝－sin ＝－sin
＝－sin＝－sin .
sin＝－sin ＝－sin .
因为0＜＜＜，且函数y＝sin x，x∈是增函数，
所以sin ＜sin ，－sin>－sin，
即sin＜sin.
正弦函数的值域与最值问题
【例3】 求下列函数的值域．
(1)y＝3＋2sin；
(2)y＝1－2sin2x＋sin x.
[思路探究](1)用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．
(2)用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．
[解](1)∵－1≤sin≤1，
∴－2≤2sin≤2，
∴1≤2sin＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin的值域为[1,5]．
(2)y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2＋.
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为.
1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．
2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x就得出－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定．
3.设|x|≤，求函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值．
[解] f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋.
∵|x|≤，
∴－≤sin x≤，
∴当sin x＝－时取最小值为.
正弦函数的图像
【例4】 用“五点法”作出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间．
①y>1；②y<1.
(2)若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
(3)求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值．
[解] 按五个关键点列表：
x
－π
－
0
π
sin x
0
－1
0
1
0
y＝1－2sin x
1
3
1
－1
1
描点连线得：
(1)由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈(－π，0)时，y>1，当x∈(0，π)时，y<1.
(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1(3)由图像可知y最大值为3，此时x＝－；y最小值为－1，此时x＝.
1.解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取－π，－，0，，π，然后相应求出y值，作出图像．
2.“五点法”作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
3.仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．
4．用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]上的图像．
[解] 取值列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝＋sin x
－
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)
1.正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
2.正弦函数的奇偶性
(1)正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称．
(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
3.正弦函数单调性的说明
(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
4．正弦函数最值的释疑
(1)明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1.
(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．
5．“ 五点法” 画正弦函数图像
“ 五点法” 是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．
1.以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是( )
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
B [观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．]
2.函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
D [可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝时，y＝－sin ＝1，排除B．]
3.若sin x＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是________．
[－1,0] [因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图．
[解] 列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝－2sin x
0
－2
0
2
0
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：
课件48张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.1 正弦函数的性质与图像非零常数T每一个周期所有周期中最小的正数最小的正数三角函数奇偶性的判定 正弦函数的单调性及应用点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(八) 正弦函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.三角函数y＝sin是( )
A．周期为4π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
A [三角函数y＝sin是奇函数，它的周期为＝4π，故选A．]
2.下列图像中，是y＝－sin x在[0,2π]上的图像的是( )
A B C D
D [由y＝sin x在[0,2π]上的图像作关于x轴的对称图形，应为D项．]
3.函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于( )
A．x轴对称 B．原点对称
C．y轴对称 D．直线x＝ 对称
B [y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图像关于原点对称．]
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
A [易知y＝sin x在R上为奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝0.]
5．不等式sin x＞0，x∈[0,2π]的解集为( )
A．[0，π] B．(0，π)
C． D．
B [由y＝sin x在[0,2π]的图像可得．]
6．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [作出y＝1＋sin x在[0,2π]上的图像，可知只有一个交点．]
二、填空题
7．函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝－的交点有________个．
两 [作y＝cos x，x∈[0,2π]的图像及直线y＝－(图略)，知两函数图像有两个交点．]
8．函数y＝的定义域为________．
，k∈Z [由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]的图像，
可知≤x≤π，又有y＝sin x的周期性，
可得y＝的定义域为，k∈Z.]
9．设函数f(x)＝sin x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)＝________.
0 [∵f(x)＝sin x的周期T＝＝6.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 015)
＝335[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)]＋f(2 011)＋f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)
＝335
＋f(335×6＋1)＋f(335×6＋2)＋f(335×6＋3)＋f(335×6＋4)＋f(335×6＋5)
＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)
＝sin ＋sin π＋sin π＋sin π＋sin π＝0.]
三、解答题
10．函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
[解] f(x)＝sin x＋2|sin x|＝
图像如图所示，
若使f(x)的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3)．
[等级过关练]
1.函数y＝cos x·|tan x|0≤x＜π且x≠的图像是( )
A B
C D
C [当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；当当π2.方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8
C．9 D．10
A [在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示：
根据图像可知方程有7个根．]
3.函数f(x)＝则不等式f(x)＞的解集是________．
[在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y＝图像(图略)，由图易得：－＜x＜0或＋2kπ＜x＜π＋2kπ，k∈N.]
4．函数f(x)＝＋的定义域为________．
(－4，－π]∪ [0，π] [?
?－4＜x≤－π或0≤x≤π.]
5．若函数y＝2sin x的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，求这个封闭图形的面积．
[解] 数形结合，如图所示 ，y＝2sin x，x∈的图像与直线y＝2围成的封闭平面图形的面积相当于x＝，x＝，y＝0，y＝2围成的矩形面积，即S＝×2＝4π.
