7.3.2 正弦型函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义及各参数对图像变化的影响，会求其周期、最值、单调区间等．(重点)
2.会用“图像变换法”作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．(难点)
通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养.
1.正弦型函数
(1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，w≠0)的函数，通常叫做正弦型函数．
(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝，频率f＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小．
2.A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响：
(2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响：
(3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响：
(4)用“变换法”作图：
y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像y＝sin(ωx＋φ)的图像y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
思考：由y＝sin x的图像，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？
[提示] 变化途径有两条：
(1)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)．
(2)y＝sin xy＝sin ωxy＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)．
1.函数y＝4sin＋1的最小正周期为( )
A． B．π
C．2π D．4π
B [T＝＝π.]
2.要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像( )
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向上平移个单位 D．向下平移个单位
B [将y＝sin x的图像向左平移个单位可得到y＝sin的图像．]
3.已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______.
10π 3 [由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为.]
正弦型函数的性质与图像
【例1】 用“五点法”作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程．
[思路探究] 先确定一个周期内的五个关键点，画出一个周期的图像，左、右扩展可得图像，然后根据图像求性质．
[解] ①列表：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点连线作出一周期的函数图像．
③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像．
由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]，
周期为T＝＝2π，频率为f＝＝ ，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1.
令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)得原函数的增区间为(k∈Z)．
令2kπ＋≤x－≤2kπ＋，(k∈Z)得原函数的减区间为(k∈Z)．
令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋ π(k∈Z)．
1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0， ，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像．
2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围．
1.作出函数y＝ sin在x∈上的图像．
[解] 令X＝2x－ ，列表如下：
X
0
π
2π
x
y
0
0
－
0
描点连线得图像如图所示．
正弦型函数的图像变换
【例2】 函数y＝2sin－2的图像是由函数y＝sin x的图像通过怎样的变换得到的？
[思路探究] 由周期知“ 横向缩短” ，由振幅知“ 纵向伸长” ，并且需要向左、向下移动．
[解] 法一：y＝sin x
三角函数图像平移变换问题的分类及解题策略
?1?确定函数y＝sin x的图像经过平移变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行；注意平移只对“x”而言.
?2?已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.
2.为了得到函数y＝sin，x∈R的图像，只需把函数y＝sin x，x∈R的图像上所有的点：
①向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)；
②向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)；
③向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
③ [y＝sin xy＝sin
y＝sin.]
求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例3】 如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ) 的图像，确定其一个函数解析式．
[思路探究] 解答本题可由最高点、最低点确定A，再由周期确定ω，然后由图像所过的点确定φ.
[解] 由图像，知A＝3，T＝π，
又图像过点A，
∴所求图像由y＝3sin 2x的图像向左平移 个单位得到，
∴y＝3sin 2，即y＝3sin.
确定函数y＝Asin?ωx＋φ?的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：
?1?代入法：把图像上的一个已知点代入?此时A，ω已知或代入图像与x轴的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上?.
?2?五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”?即图像上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝0；
“第二点”?即图像的“峰点”?为ωx＋φ＝；
“第三点”?即图像下降时与x轴的交点?为ωx＋φ＝π；
“第四点”?即图像的“谷点”?为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
3.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的部分函数图像如图所示，求此函数的解析式．
[解] 由图像可知
A＝2，＝－＝1，∴T＝2，
∴T＝＝2，∴ω＝π，
∴y＝2sin(πx＋φ)．
代入得2sin＝2，
∴sin＝1，∵|φ|＜ ，
∴φ＝ ，∴y＝2sin.
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称性
[探究问题]
1.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴方程？
[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴通过函数图像的最值点且垂直于x轴．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的对称轴方程为x＝(k∈Z)．
2.如何求函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称中心？
[提示] 与正弦曲线一样，函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的对称中心即函数图像与x轴的交点．
函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像关于点(k∈Z)成中心对称．
【例4】 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)．
(1)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)为偶函数，求φ的值；
(2)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝ 对称，求出φ的值及f(x)的所有的对称轴方程及对称中心的坐标．
[思路探究] 利用正弦函数的性质解题．
[解](1)∵f(x)为偶函数，∴φ＝kπ＋ ，
又φ∈(0，π)，∴φ＝.
(2)∵f(x)＝sin(2x＋φ)关于x＝ 对称，
∴f(0)＝f，即sin φ＝sin＝cos φ，
∴tan φ＝1，φ＝kπ＋(k∈Z)．
又φ∈(0，π)，∴φ＝ ，∴f(x)＝sin.
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)，
对称中心(k∈Z)．
1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图像的对称性等考查．
2.有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意整体代换思想的运用．
4．函数f(x)＝3sin的图像为C，则以下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)
①图像C关于直线x＝ 对称；
②图像C关于点对称；
③函数f(x)在区间内是增函数；
④由y＝3sin 2x的图像向右平移 个单位长度可以得到图像C．
②③ [f＝3sin＝3sin＝－.
f＝3sin＝0，
故①错，②正确．
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，故③正确．
函数y＝3sin 2x的图像向右平移 个单位，得到函数y＝3sin 2＝3sin的图像，故④错．
1.φ对函数y＝sin(x＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中φ≠0)的图像，可以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
2.ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω>0，且ω≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 (纵坐标不变)而得到的．
3.A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的影响
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0且A≠1)的图像，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0
4．由y＝sin x变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩
(2)先伸缩后平移
1.(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝ ，x2＝ 是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )
A．2 B． C．1 D．
A [由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－ ，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A．]
2.要得到y＝3sin的图像，只需将y＝3sin 2x的图像( )
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
C [y＝3sin 2x的图像y＝3sin2x＋的图像，即y＝3sin的图像．]
3.函数y＝2sin图像的一条对称轴是________．(填序号)
①x＝－；②x＝0；③x＝；④x＝－.
③ [由正弦函数对称轴可知．
x＋＝kπ＋ ，k∈Z，
x＝kπ＋ ，k∈Z，
k＝0时，x＝.]
4．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图像的一部分，试求该函数的解析式．
[解] 由图像可知A＝2，T＝4×(6－2)＝16，ω＝＝.又x＝6时，×6＋φ＝0，∴φ＝－ ，且|φ|<π.
∴所求函数的解析式为y＝2sin
课件55张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.2 正弦型函数的性质与图像右左A 正弦型函数的性质与图像 正弦型函数的图像变换 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(九) 正弦型函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.函数y＝3sin的图像的一条对称轴方程是( )
A．x＝0 B．x＝
C．x＝－ D．x＝
B [令sin＝±1，得2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋(k∈Z)，取k＝1时，x＝.]
2.已知简谐运动f(x)＝2sin的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝
A [将(0,1)点代入f(x)可得sin φ＝.∵|φ|< ，
∴φ＝ ，T＝＝6.]
3.下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图像关于x＝ 对称的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
D [∵T＝π，∴排除A；又因为图像关于x＝ 对称．
∴当x＝ 时，y取得最大值(最小值)．代入B、C、D三项验证知D正确．]
4．已知函数f(x)＝sin(x∈R，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图像，只需将y＝f(x)的图像( )
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
A [由T＝π＝ 得：ω＝2，g(x)＝cos 2x＝sin，
f(x)＝sin的图像向左平移单位，得到y＝sin＝sin＝g(x)的图像．]
5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图像如图所示，则f等于( )
A． B．0
C．2 D．－2
B [法一：由图可知，T＝－＝π，即T＝，
∴ω＝＝3.
∴y＝2sin(3x＋φ)，
将代入上式得，sin＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.
∴f＝2sin＝0.
法二：由图可知， T＝－＝π，即T＝.又由正弦图像性质可知，若f(x0)＝0，则f＝0.
∴f＝f＝0.]
6．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
A [T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝，∴φ＝－，故选A．]
二、填空题
7．先作函数y＝sin x的图像关于y轴的对称图像，再将所得图像向左平移 个单位，所得图像的函数解析式是________．
y＝sin [作函数y＝sin x的图像关于y轴的对称图像，其函数解析式为y＝sin(－x)，再将函数y＝sin(－x)的图像向左平移 个单位，得到函数图像的函数解析式为：y＝sin＝sin.]
8．先将y＝sin x的图像向右平移 个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为 的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0)的图像，则ω＝________，φ＝________.
3 － [由已知得到函数解析式为y＝sin且＝ ，∴ω＝3，φ＝－.]
9．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
③y＝f(x)图像关于点对称；
④y＝f(x)图像关于直线x＝－ 对称．
其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)
②③ [对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝ π－(k∈Z)，∴x1－x2是 的整数倍，
∴①错误；
对于②，由f(x)＝4sin可得
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②正确；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝ π－(k∈Z)，
∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③正确；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．]
三、解答题
10．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“ 五点法” 画出(1)中函数在[0，π]上的图像．
[解](1)依题意，A＝ ，T＝4×＝π.
∵ T＝＝π，ω>0，∴ ω＝2，∴ y＝sin(2x＋φ)，
又曲线上的最高点为，
∴ sin＝1.
∵－<φ< ，∴ φ＝.
∴ y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x
0
π
π
π
π
2x＋
π
π
2π
y
1
0
－
0
1
作图如下：
[等级过关练]
1.已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( )
A．关于点对称 B．关于直线x＝ 对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝ 对称
A [∵f(x)图像周期为π，∴ω＝2.
∴f(x)＝sin，
∴f(x)图像关于点(k∈Z)对称，关于x＝＋(k∈Z)对称．]
2.已知函数y＝sin(ωx＋φ) 的部分图像如图，则( )
A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－
D [由图像知＝－＝ ，∴T＝π，ω＝2.
且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．
又|φ|< ，∴φ＝－.]
3.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内，当x＝ 时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.
2 [由题意知T＝2×＝π.∴ω＝＝2.]
4．设sin x＋sin y＝ ，则M＝sin x－cos2y的最大值为________，最小值为________．
－ [由题意，得sin x＝－sin y.
由sin x∈[－1,1]，得
解得－≤sin y≤1.
∴M＝－sin y－cos2y＝sin2y－sin y－
＝－ ，
则当sin y＝ 时，M最小值为－；
当sin y＝－ 时，M最大值为.]
5．已知f(x)＝－2asin＋2a＋b，x∈，是否存在常数a，b∈Q，使得f(x)的值域为{y|－3≤y≤－1}？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] ∵≤x≤ ，∴≤2x＋≤ ，
∴－1≤sin≤.
假设存在这样的有理数a，b，则
当a>0时，
解得(不合题意，舍去)；
当a<0时， 解得
故a，b存在，且a＝－1，b＝1.
