7.3.3 余弦函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．(重点)
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点)
1.通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．
2.借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养.
1.余弦函数的图像
把正弦函数y＝sin x的图像向左平移个单位长度就得到余弦函数y＝cos x的图像，该图像称为余弦曲线．
2.余弦函数的性质
函数
y＝cos x
定义域
R
值域
[－1,1]
奇偶性
偶函数
周期性
以2kπ为周期(k∈Z，k≠0)，2π为最小正周期
单调性
当x∈[2kπ－π，2kπ](k∈Z)时，递增；
当x∈[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)时，递减
最大值与
最小值
当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1；
当x＝2kπ＋π(k∈Z)时，最小值为－1
3.余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)(x∈R)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T＝.
思考：在[0,2π]上画余弦函数图像的五个关键点是什么？
[提示] 画余弦曲线的五个关键点分别是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
1.用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，，π，，2π B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
B [令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B．]
2.使cos x＝1－m有意义的m的值为( )
A．m≥0 B．0≤m≤2
C．－1
1
B [∵－1≤cos x≤1，∴－1≤1－m≤1，
解得0≤m≤2.故选B．]
3.比较大小：(1)cos 15°________cos 35°；
(2)cos________cos.
(1)>(2)< [(1)∵y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°，
所以cos 15°>cos 35°.
(2)∵cos＝cos ，cos＝cos ，
并且y＝cos x在x∈[0，π]上为减函数，
又∵0<<<π，
∴cos >cos ，即cos用“五点法”作余弦型函数的图像
【例1】 用“五点法”作函数y＝2＋cos x，x∈[0,2π]的简图．
[思路探究] 在[0,2π]上找出五个关键点，用平滑的曲线连接即可．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝2＋cos x
3
2
1
2
3
描点连线，如图
1.“五点法”是作三角函数图像的常用方法，“五点”即函数图像最高点、最低点、与x轴的交点．
2.列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用平滑的曲线连接五个关键点．
1.用“五点法”作函数y＝3－2cos x，x∈[0,2π]的简图．
[解] 按五个关键点列表、描点画出图像(如图)．
x
0
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝3－2cos x
1
3
5
3
1
求余弦型函数的单调区间
【例2】 求函数y＝cos的单调递减区间．
[思路探究] 本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式，将y＝cos化为y＝cos形式，故只需求y＝cos的单调递减区间即可．
[解] y＝cos＝cos，
令z＝x－，则y＝cos z，即2kπ≤z≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
故函数y＝cos的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z.
1.求形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(其中A≠0，ω>0，b为常数)的函数的单调区间，可以借助于余弦函数的单调区间，通过解不等式求得．
2.具体求解时注意两点：①要把ωx＋φ看作一个整体，若ω<0，先用诱导公式将式子变形，将x的系数化为正；②在A>0，ω>0时，将“ωx＋φ”代入余弦函数的单调区间，可以解得与之单调性一致的单调区间；当A<0，ω>0时同样方法可以求得与余弦函数单调性相反的单调区间．
2.求函数y＝2的单调递增区间．
[解] y＝2＝2.结合y＝|cos x|的图像．由kπ－≤x－≤kπ(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．所以函数y＝2的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
有关三角函数的最值问题
【例3】 已知函数y1＝a－bcos x的最大值是，最小值是－，求函数y＝－4asin 3bx的最大值．
[思路探究] 欲求函数y的最大值，须先求出a，b，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．
[解] ∵函数y1的最大值是，最小值是－，
当b>0时，由题意得
∴
当b<0时，由题意得
∴
因此y＝－2sin 3x或y＝2sin 3x.
函数的最大值均为2.
1.对于求形如y＝acos x＋b的函数值域问题，一般情况下只要注意到余弦函数的性质“有界性”即可解决．注意当x有具体范围限制时，需考虑cos x的范围．
2.求解此类问题时，要先求三角函数值的范围，然后再根据其系数的正负性质求解．
3.函数y＝sin2x＋cos x的值域为________．
[设cos x＝t，因为－≤x≤，则t∈，
所以y＝1－cos2x＋cos x＝－2＋，t∈，
故当t＝，即x＝±时，y的最大值为；
当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.
所以函数的值域为.]
正、余弦函数的对称性
[探究问题]
1.观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有何发现？
[提示] 正弦曲线关于原点对称、余弦曲线关于y轴对称，是轴对称图形，也是中心对称图形．
2.正弦曲线、余弦曲线的对称中心、对称轴分别是什么？
[提示] 正弦曲线的对称中心坐标为(kπ，0)，(k∈Z)，其对称轴方程为x＝＋kπ，(k∈Z)．
余弦曲线的对称中心坐标为，(k∈Z)，对称轴方程为x＝kπ，(k∈Z)．
3.如何求y＝Acos(ωx＋φ)的对称中心及对称轴方程？
[提示] 只需令ωx＋φ＝kπ＋即可求得其对称中心的横坐标．
令ωx＋φ＝kπ，可求得其对称轴方程．
【例4】 已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
[解](1)令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z.
令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f(x)，
则f(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称，
∴f(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z.
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论：
?1?f?x?＝Asin?ωx＋φ??或Acos?ωx＋φ??的图像关于x＝x0对称?f?x0?＝A或－A.
?2?f?x?＝Asin?ωx＋φ??或Acos?ωx＋φ??的图像关于点?x0，0?中心对称?f?x0?＝0.
4．把函数y＝cos的图像向右平移φ个单位，正好关于y轴对称，求φ的最小正值．
[解] 由题意平移后的函数为y＝cos，它是偶函数，因此，当x＝0时，cos取得最大值为1或最小值为－1，故－φ＝2nπ或(2n＋1)π(n∈Z)，即－φ＝kπ(k∈Z)．
∴φ＝－kπ(k∈Z)，当k＝1时，φ取最小正值.
1.余弦曲线和正弦曲线的关系
2.余弦函数周期性的释疑
余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.
3.余弦函数的奇偶性
(1)余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称．
(2)余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
4．余弦函数单调性的说明
(1)余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
(2)求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
(3)确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
5．余弦函数最值的释疑
(1)明确余弦函数的有界性，即|cos x|≤1.
(2)对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．
(3)形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acos z的形式最值.
1.下列函数中，周期为的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝cos D．y＝cos 4x
D [∵T＝＝，∴ω＝4.]
2.函数y＝sin是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
B [∵y＝sin＝sin
＝－sin＝－cos x，∴函数y＝sin是偶函数．]
3.函数y＝cos(－x)，x∈[0,2π]的单调递减区间是___________．
[0，π] [y＝cos(－x)＝cos x，其单调递减区间为[0，π]．]
4．用五点法作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
[解] 列表：
x
0
π
π
2π
cos x
1
0
－1
0
1
y＝1－cos x
0
1
2
1
0
描点连线，如图．
课件51张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.3 余弦函数的性质与图像1－1用“五点法”作余弦型函数的图像求余弦型函数的单调区间 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十) 余弦函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.函数y＝－cos x的图像与余弦函数图像( )
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于原点和坐标轴对称
C [由y＝－cos x的图像知关于原点和x轴对称．]
2.设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
B [∵sin＝－sin＝－cos 2x，
∴f(x)＝－cos 2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]
3.下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
A [因为函数的周期为π，所以排除C、D．又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符．只有函数y＝sin的周期为π，且在上为减函数．]
4．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A． B．∪
C． D．
A [∵sin x>|cos x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，观察图像易得x∈.]
5．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π)的图像和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4 B．8
C．2π D．4π
D [作出函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像，函数y＝2cos x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．利用图像的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.]
6．函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是( )
A．10 B．11
C．12 D．13
D [∵T＝＝≤2，∴|k|≥4π，又k∈Z，∴正整数k的最小值为13.]
二、填空题
7．函数y＝2cos的最小正周期为4π，则ω＝________.
± [∵4π＝ ，∴ω＝±.]
8．函数y＝cos x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．
(－π，0] [∵y＝cos x在[－π，0]上为增函数，
又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]?[－π，0]，∴a≤0.
又∵a>－π，∴－π9．方程x2＝cos x的实根的个数是________．
2 [在同一坐标系中，作出y＝x2和y＝cos x的图像如图，由图可知，有两个交点，也就是实根的个数为2.
]
三、解答题
10．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，求|φ|的最小值．
[解] 由题意得3cos＝3cos＋φ＋2π＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，∴φ＝kπ－ ，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
[等级过关练]
1.函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是( )
A．－1 B．1
C．－ D．－5
C [由题意，得y＝2sin2x＋2cos x－3＝2(1－cos2x)＋2cos x－3＝－2－.∵－1≤cos x≤1，
∴当cos x＝时，函数有最大值－.]
2.方程cos x＝lg x的实根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
C [如图所示，
作出函数y＝cos x和y＝lg x的图像．两曲线有3个交点，故方程有3个实根．]
3.函数y＝ 的定义域是________．
，k∈Z [2cos x＋1≥0，
cos x≥－ ，
结合图像知x∈，k∈Z.]
4．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为 ，且满足f(x)＝ 则f＝________.
[∵T＝ ，∴f＝f
＝f＝sin＝.]
5．已知函数y＝5cos(其中k∈N)，对任意实数a，在区间[a，a＋3]上要使函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，求k的值．
[解] 由5cos＝ ，
得cos＝.
∵函数y＝cos x在每个周期内出现函数值为 有两次，而区间[a，a＋3]长度为3，所以为了使长度为3的区间内出现函数值 不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度．
即2×≤3，且4×≥3.
∴≤k≤.又k∈N，故k＝2,3.
