7.3.4 正切函数的性质与图像
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间上的性质．(重点)
2.掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．(重点、难点)
1.通过正切函数图像与性质的学习，培养学生直观想象核心素养．
2.借助正切函数图像与性质的应用，提升学生直观想象和数学运算核心素养.
1.正切函数的性质
(1)函数y＝tan x 的图像与性质.
解析式
y＝tan x
图像
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间 k∈Z 内都是增函数
(2)函数y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是.
2.正切函数的图像
(1)正切函数的图像：
y＝tan x 的图像如图．
(2)正切函数的图像叫做正切曲线．
(3)正切函数的图像特征：
正切曲线是由通过点(k∈Z) 且与y轴平行的直线隔开的无穷多支曲线所组成．
思考：正切函数的图像是对称的吗？
[提示] 正切函数是奇函数，其图像关于原点对称，并且有无数个对称中心，对称中心的坐标为(k∈Z)，正切函数的图像不是轴对称图形．
1.函数y＝－3tan x＋7的值域是( )
A．R B．
C．(0，＋∞) D．(k∈Z)
A [因为y＝tan x，x∈R的值域为R，所以y＝－3tan x＋7的值域也为R.]
2.y＝tan定义域为________．
[∵2x－≠kπ＋，k∈Z，
∴x≠＋π，k∈Z.]
3.函数y＝tan的单调增区间为________．
，k∈Z [令kπ－得kπ－π即y＝tan的单调增区间为
，k∈Z.]
正切函数的定义域、值域问题
【例1】(1)函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域是________．
(2)函数y＝tan(sin x)的值域为________．
(3)求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈的值域．
[思路探究](1)列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
(2)利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．
(3)换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
(1)(2)[－tan 1，tan 1] [(1)要使函数y＝＋lg(1－tan x)有意义，则即－1≤tan x<1.
在上满足上述不等式的x的取值范围是.
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为.
(2)因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]?，
所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．]
(3)[解] 令t＝tan x，
∵x∈，∴t＝tan x∈[－，)，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，y取最大值6，
t＝－时，y取最小值2－2，
∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈时的值域为[2－2，6]．
1.求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z；
(2)求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
2.解正切不等式的两种方法：
(1)图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
(2)三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
1.求函数y＝的定义域．
[解] 根据题意，
得解得(k∈Z)．
所以函数的定义域为
∪(k∈Z)．
正切函数的奇偶性、周期性
【例2】(1)函数y＝4tan的周期为________．
(2)判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝；
②f(x)＝tan＋tan.
[思路探究](1)可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
(2)可按定义法的步骤判断．
(1) [由于ω＝3，故函数的周期为T＝＝.]
(2)[解] ①由
得f(x)的定义域为，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为，
关于原点对称，
又f(－x)＝tan＋tan＝－tan－tan
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
1.函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定义法．
(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
2.(1)求f(x)＝tan的周期；
(2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性．
[解](1)∵tan＝tan，
即tan＝tan，
∴f(x)＝tan的周期是.
(2)定义域为，
关于原点对称，
∵f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x
＝－f(x)，
∴函数是奇函数.
正切函数的单调性
【例3】(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路探究](1)可先令y＝－tan，从而把x－整体代入，k∈Z这个区间内解出x便可．
(2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在上的单调性判断大小关系．
[解](1)y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－∴函数y＝tan的单调递减区间是2kπ－，2kπ＋π(k∈Z)，无增区间．
(2)∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan x在内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2求y＝Atan?ωx＋φ?的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－<ωx＋φ3.(1)求函数y＝tan的单调区间；
(2)比较tan与tan的大小．
[解](1)∵y＝tan单调区间为(k∈Z)，
∴kπ－<2x－＋∴函数y＝tan的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)由于tan＝tan＝tan ＝－tan ，
tan＝－tan＝－tan ，又0<<<，
而y＝tan x在上单调递增，
所以tan －tan ，
即tan>tan.
正切函数的图像及应用
【例4】 画出函数y＝|tan x|的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性、周期性．
[解] 由y＝|tan x|得，
y＝
其图像如图所示．
由图像可知，函数y＝|tan x|是偶函数，
单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(k∈Z)，周期为π.
1.作出函数y＝|f(x)|的图像一般利用图像变换方法，具体步骤是：
(1)保留函数y＝f(x)图像在x轴上方的部分；
(2)将函数y＝f(x)图像在x轴下方的部分沿x轴向上翻折．
2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图像，再利用周期性，延拓到定义域上即可．
4．设函数f(x)＝tan，
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
[解](1)∵f(x)＝tan，
∴w＝，周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝.
令－＝，则x＝.
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得函数f(x)＝tan－在一个周期内的简图(如图)．
1.对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
2.“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，，，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋和直线x＝kπ－，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
3.解答正切函数图像与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图像的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.
1.函数y＝tan x的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
B [根据函数的单调性可得．]
2.直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B． C． D．
C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为.]
3.函数f(x)＝tan的定义域是________，f＝________.
[由题意知x＋≠kπ＋(k∈Z)，
即x≠＋kπ(k∈Z)．
故定义域为，
且f＝tan＝.]
4．求下列函数的定义域：
(1)y＝；
(2)y＝lg(－tan x)．
[解](1)要使函数y＝有意义，需使
所以函数的定义域为
.
(2)要使函数有意义，则－tan x>0，所以tan x<.
又因为tan x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像(图略)，
得kπ－课件57张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.4 正切函数的性质与图像R 奇函数 正切曲线 y轴 正切函数的定义域、值域问题 正切函数的奇偶性、周期性 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十一) 正切函数的性质与图像
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.与函数y＝tan的图像不相交的一条直线是( )
A．x＝ B．x＝－
C．x＝ D．x＝
D [当x＝ 时，2x＋＝ ，而 的正切值不存在，所以直线x＝ 与函数的图像不相交．]
2.在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像交点的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
C [在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图像(如图所示)，可以看到在区间内二者有三个交点．]
3.已知函数y＝tan ωx在内是增函数，则( )
A．0＜ω≤2 B．－2≤ω＜0
C．ω≥2 D．ω≤－2
A [根据函数y＝tan ωx在内是增函数，可得ω≤，
求得ω≤2，再结合ω＞0，故选A．]
4．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0 B．1
C．－1 D．
A [由题意，得T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan 4x，f＝tan π＝0.]
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图像关于点成中心对称
D．图像关于直线x＝成轴对称
B [令kπ－6．已知a，b是不等于1的正数，θ∈，若atan θ＞btan θ＞1，则下列关系式成立的是( )
A．a＞b＞1 B．a＜b＜1
C．b＜a＜1 D．b＞a＞1
B [∵θ∈，∴－tan θ＞0.
由atan θ＞btan θ＞1，即＞＞1，
知＞＞1，∴a＜b＜1.]
二、填空题
7．直线y＝a(a为常数)与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相邻两支的交点的距离为________．
[直线y＝a与函数y＝tan ωx的图像相邻两支的交点的距离正好是一个周期．]
8．已知函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则ω的取值范围是________．
[－1,0) [函数y＝tan ωx在内是单调减函数，则有ω<0，且周期T≥－＝π，即≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0.]
9．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
[－4,4] [∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]．
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，y的最小值为－4，
当t＝1，即x＝时，y最大值为4.
故所求函数的值域为[－4,4]．]
三、解答题
10．作出函数y＝tan x＋|tan x|的图像，并求其定义域、值域、单调区间及最小正周期．
[解] y＝tan x＋|tan x|＝
其图像如图所示，
由图像可知，其定义域是(k∈Z)；值域是[0，＋∞)；单调递增区间是(k∈Z)；
最小正周期T＝π.
[等级过关练]
1.函数y＝ 的定义域是( )
A．
B．
C．
D．
C [要使函数有意义，只需logtan x≥0，即02.函数y＝cos x|tan x|，x∈的大致图像是( )
A B C D
C [当－3.函数f(x)＝lg 为________函数(填“ 奇” 或“ 偶”)．
奇 [由>0，
得tan x>1或tan x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg ＋lg
＝lg＝lg 1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．]
4．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan的图像不相交，则k＝________.
或－ [直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图像不相交，由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z，得到k＝n＋ ，n∈Z，而|k|≤1，故n＝0或－1，所以k＝ 或k＝－.]
5．已知－≤x≤ ，f(x)＝tan2x＋2tan x＋2，求f(x)的最值及相应的x值．
[解] ∵－≤x≤ ，
∴－≤tan x≤1，
f(x)＝tan2x＋2tan x＋2＝(tan x＋1)2＋1，
当tan x＝－1即x＝－ 时，f(x)有最小值为1，
当tan x＝1即x＝ 时，f(x)有最大值为5.
