7.3.5 已知三角函数值求角
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握利用三角函数线求角的方法，会由已知的三角函数值求角，并会用符号arcsin x，arccos x，arctan x表示角．(重点、难点)
2.熟记一些比较常见的三角函数值及其在区间[－2π，2π]上对应的角．(重点)
通过已知三角函数值求角的学习，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1.已知正弦值，求角
对于正弦函数y＝sin x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记为x＝arcsin_y.
2.已知余弦值，求角
对于余弦函数y＝cos x，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在[0，π]上有唯一的x值和它对应，记为x＝arccos_y(其中－1≤y≤1,0≤x≤π)．
3.已知正切值，求角
一般地，如果y＝tan x(y∈R)且x∈，那么对每一个正切值y，在开区间内，有且只有一个角x，使tan x＝y，记为x＝arctan_y.
思考：符号arcsin a(a∈[－1,1])arccos a(a∈[－1,1])，arctan a(a∈R)分别表示什么？
[提示] arcsin a表示在区间上，正弦值为a的角；arccos a表示在区间上，余弦值为a的角；arctan a表示在区间上，正切值为a的角．
1.下列说法中错误的是( )
A．arcsin＝－ B．arcsin 0＝0
C．arcsin(－1)＝π D．arcsin 1＝
C [根据已知正弦值求角的定义知arcsin(－1)＝－，故C项错误．]
2.已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝( )
A． B． C．或 D．或
D [因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，当sin α＝时，α＝或，故选D．]
3.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________.
或 [∵x∈[0，π]，
∴2x∈[0,2π]．
∵tan 2x＝－，
∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.]
已知正弦值求角
【例1】 已知sin x＝.
(1)当x∈时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
[思路探究] 尝试借助正弦曲线及所给角的范围求解．
[解](1)∵y＝sin x在上是增函数，且sin ＝，∴x＝，∴是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限角，且sin ＝sin＝，
∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为.
(3)当x∈R时，x的取值集合为
.
1.给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
2.对于已知正弦值求角有如下规律：
sin x＝a(|a|≤1)
x∈
x∈[0,2π]
x＝arcsin a
0≤a≤1
－1≤a＜0
x1＝arcsin a
x2＝π－arcsin a
x1＝π－arcsin a
x2＝2π＋arcsin a
1.已知sin α＝，根据所给范围求角α.
(1)α为锐角；(2)α∈R.
[解](1)由于sin α＝，且α为锐角，即α∈，
所以α＝arcsin .
(2)由于sin α＝，且α∈R，所以符合条件的所有角为α1＝2kπ＋arcsin (k∈Z)，
α2＝2kπ＋π－arcsin (k∈Z)，
即α＝nπ＋(－1)narcsin (n∈Z).
已知余弦值求角
【例2】 已知cos x＝－.
(1)当x∈[0，π]时，求值x；
(2)当x∈R时，求x的取值集合．
[思路探究] 解答本题可先求出定义arccos a的范围的角x，然后再根据题目要求，利用诱导公式求出相应的角x的集合．
[解](1)∵cos x＝－且x∈[0，π]，
∴x＝arccos.
(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．
∵cos x＝－，故x是第二或第三象限角．
由(1)知x＝arccos是第二象限角，
又cos
＝cos＝－，
且2π－arccos∈，
所以，由余弦函数的周期性知，
当x＝arccos＋2kπ或
x＝2π－arccos＋2kπ(k∈Z)时，
cos x＝－，即所求x值的集合是
.
cos x＝a?－1≤a≤1?，当x∈[0，π]时，则x＝arccos a，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}.
2.已知cos x＝－且x∈[0,2π)，求x的取值集合．
[解] 由于余弦函数值是负值且不为－1，所以x是第二或第三象限角，由cos＝－cos ＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第二象限的角是x＝π－＝.又cos＝－cos ＝－，所以在区间[0,2π)内符合条件的第三象限的角是x＝＋π＝.
故所求角的集合为.
已知正切值求角
【例3】 已知tan α＝－3.
(1)若α∈，求角α；
(2)若α∈R，求角α.
[思路探究] 尝试由arctan α的范围及给值求角的步骤求解．
[解](1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝－3的角只有一个，即α＝arctan(－3)．
(2)α＝kπ＋arctan(－3)(k∈Z)．
1.已知角的正切值求角，可先求出内的角，再由y＝tan x的周期性表示所给范围内的角．
2.tan α＝a，a∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan a，k∈Z}．
3.已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
[解] ∵tan x＝－1＜0，
∴x是第二或第四象限角．
由tan＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
三角方程的求解
[探究问题]
1.已知角x的一个三角函数值，所求得的角一定只有一个吗？为什么？
[提示] 不一定，这是因为角的个数要根据角的取值范围来确定，如果在给定的范围内有已知三角函数值的角不止一个，则所求的角也就不止一个．
2.怎样求解三角方程？
[提示] 明确所求角的范围和个数，结合诱导公式先用arcsin a或arccos a或arctan a表示一个或两个特殊角，然后再根据函数的周期性表示出所有的角．
【例4】 若cos x＝cos，求x的值．
[思路探究] 先求出一个周期内的角，然后利用周期性找出所有的角．
[解] 在同一个周期[－π，π]内，
满足cos x＝cos的角有两个：和－.
又y＝cos x的周期为2π，所以满足cos x＝cos的x为2kπ±(k∈Z)．
已知三角函数值求角的步骤：
?1?由三角函数值的符号确定角的象限；
?2?求出[0，2π?上的角；
?3?根据终边相同的角写出所有的角.
4．已知sin x＝，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．
[∵x∈[0,2π]，且sin x＝＞0，
∴x∈(0，π)，当x∈时，
y＝sin x递增且sin＝，
∴x＝，又sin＝sin＝，
∴x＝也符合题意．
∴x的取值集合为.]
1.反正弦、反余弦、反正切的记法与取值范围
名称
反正弦
反余弦
反正切
记法
arcsin α
arccos α
arctan α
取值范围
[0，π]
2.已知三角函数值求角的步骤
一、定象限；二、找锐角；三、写x∈[0,2π]的角；四、给答案．
3.若求得的角是特殊角，最好用弧度表示．
1.已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝( )
A． B．
C． D．
B [因为x∈(π，2π)且cos x＝－，∴x＝.]
2.函数y＝＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．
[由题意可得，
解得1≤x≤，所以函数的定义域为.]
3.等腰三角形的一个底角为α，且sin α＝，用含符号arcsin x的关系式表示顶角β＝________.
π－2arcsin [由题意，α∈，又sin α＝，
所以<α<，<2α<，<π－2α<，
所以β＝π－2arcsin.]
4．求值：.
[解] arcsin ＝，arccos＝，
arctan(－)＝－，
∴原式＝＝1.
课件46张PPT。第七章 三角函数7.3 三角函数的性质与图像
7.3.5 已知三角函数值求角已知正弦值求角 已知余弦值求角 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十二) 已知三角函数值求角
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知sin x＝，x∈，则x＝( )
A．arcsin B．＋arcsin
C．π－arcsin D．
C [∵arcsin∈，∴π－arcsin∈，
∴sin x＝，x∈，x＝π－arcsin.]
2.若sin(x－π)＝－，且－2πA．π B．－π
C．－π或－π D．π或－π
C [∵sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－，
∴sin x＝，∴x＝2kπ＋(k∈Z)，又因－2π3.已知cos x＝－，x∈[0，π]，则x的值为( )
A．arccos B．π－arccos
C．－arccos D．π＋arccos
B [arccos∈，∴π－arccos∈.
∴cos x＝－，x∈[0，π]，x＝π－arccos.]
4．若cos(π－x)＝，x∈(－π，π)，则x的值为( )
A．， B．±
C．± D．±
C [由cos(π－x)＝－cos x＝得，cos x＝－，又∵x∈(－π，π)，∴x在第二或第三象限，∴x＝±.]
5．已知等腰三角形的顶角为arccos，则底角的正切值为( )
A． B．－
C． D．－
A [arccos＝，故底角为＝，∴tan＝.]
6．已知tan x＝，则x＝( )
A． B．
C． D．
A [由正切函数的性质可知，由tan x＝，得x＝kπ＋，
即方程的根为，k∈Z.]
二、填空题
7．已知cos＝－，x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．
[令θ＝2x＋，∴cos θ＝－.
当0≤θ≤π时，θ＝，当π≤θ≤2π，θ＝.∴当x∈R时，θ＝∈R，∴2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，又x∈[0,2π]，
∴x∈.]
8．若tan x＝，且x∈(－π，π)，则x＝________.
或－ [∵tan x＝＞0，且x∈(－π，π)，
∴x∈∪，
若x∈，则x＝，
若x∈，则x＝－π＝－，
综上x＝或－，
]
9．集合A＝，B＝，则A∩B＝________.
[∵sin x＝，∴x＝2kπ＋或2kπ＋π，k∈Z.又∵tan x＝－，∴x＝kπ－，k∈Z.∴A∩B＝.]
三、解答题
10．利用三角函数线求满足tan α≥ 的角α的范围．
[解] 如图，过点A(1,0)作单位圆O的切线，在切线上沿y轴正方向取一点T，使AT＝，过点O，T作直线，则当角α的终边落在阴影区域内(包含所作直线，不包含y轴)时，tan α≥.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥ ，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥ ，有k·180°＋30°≤α[等级过关练]
1.已知sin θ＝－且θ∈，则θ可以表示成( )
A．－arcsin B．－－arcsin
C．－π＋arcsin D．－π－arcsin
D [由－1＜－＜0，
∴arcsin∈
由此可知：－arcsin∈
－－arcsin∈
－π＋arcsin∈
它们都不能表示θ，所以应选D．]
2.设α＝arcsin，β＝arctan，γ＝arccos，则α、β、γ的大小关系是( )
A．α＜β＜γ B．α＜γ＜β
C．β＜α＜γ D．β＜γ＜α
3.若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则α＝______.
[∵2cos(x＋α)＝1，∴cos(x＋α)＝，
又∵x＝是方程的解．∴cos＝.
又∵α∈(0,2π)，∴＋α∈∴＋α＝，
∴α＝.]
4．已知函数f(x)＝cos ωx，g(x)＝sin(ω>0)，且g(x)的最小正周期为π.若f(α)＝，α∈[－π，π]，则α的取值集合为________．
[因为g(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，
所以＝π，解得ω＝2，所以f(x)＝cos 2x，
由f(α)＝，得cos 2α＝，即cos 2α＝，
所以2α＝2kπ±，k∈Z，
则α＝kπ±，k∈Z.
因为α∈[－π，π]，所以α∈.]
5．已知函数f(α)＝
(1)化简f(α)
(2)若f＝2f(α)，求f(α)·f的值．
[解](1)函数f(α)＝
＝＝－cos α，
(2)若f＝2f(α)，即－cos＝－2cos α，即 sin α＝－2cos α.
再根据 sin2α＋cos2α＝1，可得cos2α＝，
∴f(α)·f＝－cos α·
＝－sin αcos α＝2cos2α＝.
