课件45张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积
8.1.1向量数量积的概念∠AOB > ＝ < 投影的数量 平面向量的夹角 与向量数量积有关的概念 点击右图进入…Thank you for watching !
8.1 向量的数量积
8.1.1向量数量积的概念
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(难点)
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系．(重点)
3.会运用数量积表示两个向量的夹角，会运用数量积判断两个平面向量的垂直．(重点，难点)
1.通过物理学中力对物体做功引出向量的数量积概念，培养学生数学抽象的素养．
2.利用向量的投影领会向量的数量积的几何意义，提高学生几何直观的数学素养.
1.两个向量的夹角
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)两个向量夹角的取值范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
(2)当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b.
2.向量数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称为内积)，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．
(1)当〈a，b〉∈时，a·b>0;
当〈a，b〉＝时，a·b＝0；
当〈a，b〉∈时，a· b<0.
(2)两个非零向量a，b的数量积的性质：
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a＝a2＝|a|2，即|a|＝
向量垂直
的充要条件
a⊥b ?a·b＝0
3.向量的投影与向量数量积的几何意义
(1)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则向量a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影．
(2)一般地，如果a，b都是非零向量，则|a|cos 〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量．
(3)两个非零向量a，b的数量积a·b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义．
1.已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为( )
A． B． C． D．
D [向量a在b方向上的投影为|a|cos〈a，b〉＝3×cos ＝.故选D．]
2.在△ABC中，＝a，＝b，且b·a＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
C [在△ABC中，因为b·a＝0，所以b⊥a，故△ABC为直角三角形．]
3.如图，在△ABC中，，的夹角与，的夹角的关系为________．
互补 [根据向量夹角定义可知向量，夹角为∠BAC，而向量，夹角为π－∠BAC，故二者互补．]
4．如图所示，一个大小为5 N，与水平方向夹角37°的拉力F作用在小车上，小车沿水平方向向右运动．运动过程中，小车受到的阻力大小为3 N，方向水平向左．小车向右运动的距离为2 m的过程中，小车受到的各个力都没有发生变化．求在此过程中：拉力F对小车做的功(取cos37°≈0.8)为_____．小车克服阻力做的功为______．
8 J 6 J [拉力F对小车做的功WF＝FScos θ＝5×2×0.8 J＝8 J，
小车克服阻力做的功为W克f＝－Wf＝3×2 J＝6 J．]
平面向量的夹角
【例1】(1)(2019·东营高一检测)已知向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，则〈a，b〉＝( )
A． B． C． D．
(2)已知△ABC中， AB＝4，BC＝2，·＝－4，则向量与的夹角为________， 向量与的夹角为________．
[思路探究](1)由平面向量的夹角公式计算夹角的余弦值再求角．
(2)先由向量的数量积公式计算B，再由平面几何性质计算∠ACB，∠BAC，最后求向量的夹角．
(1)D(2)90° 150° [ (1)因为向量|a|＝2，|b|＝，且a·b＝－3，所以cos 〈a，b〉＝＝－，
又〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝.
(2)在△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，·＝－4，
所以||||cos 〈，〉＝－4，
得4×2cos(π－B)＝－4，所以cos B＝，得B＝60°.
如图，延长BC到D，使CD＝BC，则△ABD为等边三角形，所以AC⊥BC，∠BAC＝30°，所以向量与的夹角为90°，与的夹角为150°.]
求平面向量的夹角的方法技巧
?1?已知平面向量的长度和数量积，利用夹角余弦公式计算cos 〈a，b〉＝，若是特殊角，再求向量的夹角.
?2?在△ABC中，注意三角形的内角与平面向量的夹角的区别和联系，常常利用几何图形确定是“相等”还是“互补”的关系.
1.若两个单位向量的数量积等于－1，则这两个单位向量的夹角为( )
A．0 B． C． D．π
D [设两个单位向量分别为e1，e2，则e1·e2＝cos 〈e1，e2〉＝－1，由于〈e1，e2〉∈[0, π]，
所以〈e1，e2〉＝π.]
2.已知a是单位向量，且3a·b＝|b|，则sin〈a，b〉＝________.
[因为a是单位向量，且3a·b＝|b|，则3|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|，得cos 〈a，b〉＝，
又sin2〈a，b〉＋cos 2〈a，b〉＝1，得sin2〈a，b〉＝.又0≤〈a，b〉≤π，得sin〈a，b〉＝.]
与向量数量积有关的概念
【例2】(1)以下四种说法中正确的是________．(填序号)
①如果a·b＝0，则a＝0或b＝0；
②如果向量a与b满足a·b<0，则a与b所成的角为钝角；
③△ABC中，如果·＝0，那么△ABC为直角三角形；
④如果向量a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
(2)已知等腰△ABC的底边BC长为4，则·＝________.
[思路探究] 根据数量积的定义、性质、运算律及投影的定义解答．
(1)③④(2)8 [(1)由数量积的定义知a·b＝|a||b|·cos θ(θ为向量a，b的夹角)．
①若a·b＝0，则θ＝90°或a＝0或b＝0，故①错；
②若a·b<0，则θ为钝角或θ＝180°，故②错；
③由·＝0知B＝90°，故△ABC为直角三角形，故③正确；
④由a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故④正确．
(2)如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
因为AB＝AC，
所以BD＝BC＝2，
于是||cos∠ABC＝||
＝||＝×4＝2，
所以·＝||||cos∠ABC＝4×2＝8.]
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，更不能省略不写．
2.求平面向量数量积的方法：
(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b.
3.给出下列判断：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b|
0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长．其中正确的是________．(填序号)
①②⑥ [由于a2≥0，b2≥0，所以，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故①正确；
若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，故②正确；
a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③不正确；
对于④应有|a||b|≥a·b，所以④不正确；
对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤不正确；
⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确；
当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错；
|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的正投影的数量，而非投影长，故⑧错．综上可知①②⑥正确．]
平面向量数量积的几何意义
【例3】(1)(2019·永州高一检测)已知向量b的模为1，且b在a方向上的投影的数量为，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)已知平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，则a在b上投影的数量为________，b在a上投影的数量为________．
[思路探究](1)向量b在a方向上的投影的数量为|b|cos 〈a，b〉，再求向量的夹角．
(2)先由平面向量数量积的公式计算cos 〈a，b〉，再计算投影的数量．
(1)A(2)－ －2 [(1)因为向量b的模为1.且b在a方向上的投影的数量为，则|b|cos 〈a，b〉＝，
得cos 〈a，b〉＝，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝＝30°.
(2)因为平面向量|a|＝2，|b|＝6且a·b＝－4，
所以|a||b|cos 〈a，b〉＝－4，得cos 〈a，b〉＝－.
所以a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝－，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝－2.]
关于平面向量数量积的几何意义的两点注意事项
?1?向量a在b所在直线上的投影是一个向量，向量a在b所在直线上的投影的数量是一个实数.
?2?向量a在向量b上的投影的数量是|a|cos 〈a，b〉，向量b在向量a上的投影的数量是|b|cos〈a，b〉，二者不能混为一谈.
4．(2019·青岛高一检测)如图，圆心为C的圆的半径为r，弦AB的长度为2，则 ·的值为( )
A．r B．2r
C．1 D．2
D [如图，作AB的中点H，连接CH，则向量在方向上的投影的数量为AH＝||cos ∠CAB，
所以·＝||||cos ∠CAB＝||||＝2.]
5．已知向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝________.
6 [因为向量a在向量b上的投影的数量是2，|b|＝3，则a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝(|a|cos 〈a，b〉)|b|＝2×3＝6.]
1.对正投影的三点诠释
(1)a·b等于|a|与b在a方向上的正投影的乘积，也等于|b|与a在b方向上的正投影的乘积．其中a在b方向上的正投影与b在a方向上的正投影是不同的．
(2)b在a方向上的正投影为|b|cos θ(θ是a与b的夹角)，也可以写成 .
(3)正投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零．
2.知识导图
——向量数量积——
∣
1.已知平面向量|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝( )
A．2 B．3
C．6 D．0
B [因为|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝，则a·b＝|a||b|cos ＝2×3×＝3.]
2.已知平面向量|a|＝1，|b|＝2，则a2＋b2＝( )
A．2 B．3
C．5 D．－5
C [因为|a|＝1，|b|＝2，
所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝5.]
3.已知向量|a|＝6，|b|＝2，向量a，b的夹角为120°，则向量a在b上的投影的数量为( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
D [根据向量数量积的几何意义，向量a在b上的投影的数量为|a|cos 120°＝6×＝－3.]
4．已知等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD和AC的夹角为________，和的夹角为________．
45° 135° [等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，则CD⊥AB, CD和AC的夹角为45°，和的夹角为135°.]
课时分层作业(十三) 向量数量积的概念
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量|a|＝1，|b|＝2，a，b的夹角为θ，若tan θ＝，则a·b的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．－1
A [因为向量|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝θ，tan θ＝，θ∈[0, π]，则θ＝60°，所以a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1.]
2.已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则下列结论正确的是( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a＋b|＝3 D．|a－b|＝3
B [已知向量|a|＝3|b|＝a·b＝3，则|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝3 cos 〈a，b〉＝3，
所以cos 〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0, π]，所以〈a，b〉＝0，所以a＝3b，a∥b，|a＋b|＝4，|a－b|＝2，故选B．]
3.若e1，e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是( )
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．e1·e2＝±1 D．|e1·e2|<1
C [因为e1，e2是两个互相平行的单位向量，则当e1，e2方向相同时，e1·e2＝|e1||e2|cos 0°＝1；
当e1，e2方向相反时，e1·e2＝|e1||e2|cos 180°＝－1.综上所述，得e1·e2＝±1.]
4．如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是( )
A．·
B．·
C．·
D．·
A [法一：设正六边形的边长为2，则AC＝2，·＝||||cos 30°＝6，
·＝||||cos 60°＝4，
·＝||||cos 90°＝0，
·＝||||cos 120°＝－2.
法二：显然，向量在上投影的数量最大，
所以·最大．]
5．已知单位向量a，b满足|a－b|＝|a＋2b|，则a，b夹角为( )
A． B． C． D．
C [∵a，b是单位向量，且|a－b|＝|a＋2b|，
∴(a－b)2＝(a＋2b)2，
∴a2－2a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2，
∴1－2a·b＋1＝1＋4a·b＋4，∴a·b＝－，
∴cos〈a，b〉＝＝－，
又0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝.故选C．]
6．已知等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，则下列结论错误的是( )
A．·＝0 B．·＝2
C．·＝2 D．||cos B＝||
C [在等腰直角三角形ABC中，C＝90°，面积为1，
则AC2＝1，得AC＝，得AB＝2，
所以·＝0 ，选项A正确；
·＝||||cos 45°＝2，选项B正确；
·＝||||cos 135°＝－2，选项C不正确；
向量在上投影的数量为||，即||cos B＝||，选项D正确，故选C．]
二、填空题
7．已知向量a·b＝15＝3|b|，则向量a在b 上投影的数量为______．
3 [因为a·b＝15＝3|b|，所以|b|＝5，则向量a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝3.]
8．已知点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值是________．
－25 [ ∵||2＝||2＋||2，
∴B＝90°，∴·＝0.
∵cos C＝，cos A＝，
∴·＝||·||cos(180°－C)
＝4×5×＝－16.
·＝||·||cos(180°－A)
＝5× 3×＝－9.
∴·＋·＋·＝－25.]
9．已知正方形ABCD的边长为2，则向量在上的投影的数量为________，在上的投影的数量为________．
0 － [法一：因为正方形ABCD的边长为2，⊥，则向量A在A上的投影的数量为|A|cos 90°＝0，A在上的投影的数量为|A|cos 135°＝2×＝－.
法二：如图，正方形ABCD的边长为2，⊥A，则向量在上的投影的数量为0，在A上的投影的数量为，所以在上的投影的数量为－.
]
三、解答题
10．已知|a|＝2，b2＝3，
若(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为150°，分别求a·b.
[解] 因为|a|＝2，b2＝3，所以|b|＝.
(1)当a∥b时， a·b＝|a||b|cos 0°＝2××1＝2或a·b＝|a||b|cos 180°＝2××(－1)＝－2.
(2)当a⊥b时，a·b＝|a||b|cos 90°＝2××0＝0.
(3)当a与b的夹角为150°时， a·b＝|a||b|cos 150°＝2××＝－3.
[等级过关练]
1.已知a是非零向量，e是单位向量，则下列表示正确的是( )
A．a·e＝|a| B．a·e<|a|
C．a·e≤|a| D．|a·e|<|a|
C [因为a是非零向量，e是单位向量，则a·e＝|a||e|cos 〈a，b〉＝|a|cos 〈a，b〉≤|a|，
|a·e|≤|a|，故选C．]
2.已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝－8，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
B [依题意，得·＝||||cos ∠BAC，即8＝4×4cos ∠BAC，于是cos ∠BAC＝，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．]
3.己知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上的动点．则·的值为________．
－a2 [如图，因为向量在上投影的数量为a，即||cos ∠ ADE＝a，所以在上投影的数量为－a，所以·＝||||cos 〈，〉＝－a||＝－a2.
]
4．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E则·＝________________________.
[建立平面直角坐标系，如图所示．
矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，
则A(0,3)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,3)．
直线BD的方程为y＝x.
由AE⊥BD，则直线AE的方程为y－3＝－x，即y＝－x＋3.
由，解得，E
所以＝，＝，
所以·＝×＋×＝.]
5．已知△ABC的面积为S满足≤2S≤3，且·＝3，与的夹角为θ.求与夹角的取值范围．
[解] 因为△ABC中，·＝3，与夹角θ＝π－B，所以·＝||||cos 〈，〉＝3，即||||cos θ＝3，得||||＝.
又S＝||||sinB＝||||sin(π－θ)
＝||||sin θ＝tan θ，
由≤2S≤3得≤3tan θ≤3，所以≤tan θ≤1，由于θ∈[0, π]，所以≤θ≤.
