8.1.2 向量数量积的运算律
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过向量数量积的定义给出向量数量积的运算律．(难点)
2.能利用运算律进行向量的数量积运算．(重点，难点)
1.通过向量加法与数乘运算律得到数量积的运算律，培养学生的数学抽象的核心素养．
2.利用平面向量的运算律进行数量积运算，提升学生数学运算的核心素养.
1.两个向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
思考1：根据实数乘法的分配律，得到向量数量积的分配律：
(1)实数a，b，c的乘法分配律：(a＋b)·c＝______.
(2)向量a，b的数量积的分配律：(a＋b)·c＝____.
[提示](1)ac＋bc(2)a·c＋b·c
2.重要公式：
平方差公式
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式
(a±b)2＝a2±2a·b＋b2
思考2：根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；
向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________.
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；
向量数量积公式：(a±b)2＝__________.
[提示](1)a2－b2 ；a2－b2
(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2
1.下面给出的关系式中正确的个数是( )
① 0·a＝0；②a·b＝b·a；③a2＝|a|2；
④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.
A．1 B．2
C．3 D．4
C [①②③正确，④错误，⑤错误，(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝a2·b2cos 2 θ≠a2·b2，选C．]
2.已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )
A．0 B．a
C．b D．c
B [b·c＝|b||c|cos 45°＝1.∴a·(b·c)＝a.]
3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量|a－4b|2＝( )
A．2 B．2
C．6 D．12
D [∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12.]
4．设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：
①a·c－b·c＝(a－b)·c；
②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；
③|a|－|b|<|a－b|；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的序号是________．
①③④ [根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，
∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，② 错误；
因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；④正确．故正确命题的序号是①③④.]
利用向量数量积的运算律计算
【例1】(1)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.
(2)(2019·东营高一检测)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，a＝e1－e2，b＝e1＋λe2.
①若a⊥b，求实数λ的值；
②若a与b的夹角为60°，求实数λ的值．
[思路探究](1)利用向量垂直的充要条件转化为向量的数量积计算．
(2)利用平面向量的数量积公式以及运算律，解方程求参数的值．
(1)18 [在平行四边形ABCD中，得＝＋，＝－.
由AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，得·＝·(＋)＝0?·＝－·.
所以·＝·(－)＝·－·＝－2·＝2·
＝2||||cos〈，〉＝2||2＝18.]
(2)[解] ①由a⊥b, 得a·b＝0，则(e1－e2)·(e1＋λe2)＝0，得e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝0，－λ＝0，所以λ＝.
②因为e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，所以cos 〈e1－e2，e1＋λe2〉＝，且·＝e＋λe1·e2－e1·e2－λe＝－λ，
|e1－e2|＝＝＝2，
|e1＋λe2|＝＝＝，∴－λ＝2××cos 60°＝，
解得λ＝.
利用向量数量积的运算律计算的注意事项
?1?计算?λa＋μb?·?λa＋μb?，可以类比多项式乘法运算律，注意实数的乘法、数乘向量和向量的数量积在表示和意义的异同.
?2?三个实数的积满足结合律?ab?c＝a?bc?＝?ac?b，而三个向量的“数量积”不一定满足结合律，即下列等式不一定成立：?a·b?·c＝a·?b·c?＝?a·c?·b，这是因为上式的本质为λc＝μa＝kb，当三个向量不共线时，显然等式不成立.
1.已知△ABC外接圆半径是1，圆心为O，且3＋4＋5＝0，则·＝( )
A． B． C．－ D．
C [由3＋4＋5＝0，得5＝－3－4，两边平方，得252＝92＋162＋24·，
因为△ABC外接圆半径是1，圆心为O，所以25＝9＋16＋24·，即·＝0.
所以·＝(5)·(－)＝(－3－4)·(－)＝(－3·＋32－42＋4·)＝－.]
利用平面向量的数量积证明几何问题
【例2】 如图，已知△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB．求证：AD⊥CE.
[思路探究] 借助平面向量垂直的充要条件解题，即通过计算·＝0完成证明．
[证明] 设此等腰直角三角形的直角边长为a，则
·＝·
＝·＋·＋·＋·
＝－a2＋0＋a·a·＋·a·
＝－a2＋a2＋a2＝0.
所以AD⊥CE.
利用向量法证明几何问题的方法技巧
?1?利用向量表示几何关系，如位置关系、长度关系，角度关系.
?2?进行向量计算，如向量的线性运算、数量积运算.
?3?将向量问题还原成几何问题，如向量共线与三点共线或者直线平行，向量的夹角与直线的夹角等.
2.在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足||＝2||，如图所示，设＝a，＝b.
(1)用a，b表示；
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求||；若不存在，请说明理由．
[解](1)根据题意得：＝＝b，
＝＝＝－＝－a，
∴＝＋＝b－a；
(2)结论：在线段BC上存在使得4||＝||的一点F满足AF⊥BE，此时||＝.
理由如下：
设＝t＝tb，则＝(1－t)b，(0≤t≤1)，
∴＝＋＝a＋tb，
∵在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，
∴|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝，
∵AF⊥BE，
∴·＝(a＋tb)·＝a·b－a2＋tb2
＝×－＋t＝0，
解得t＝，从而＝a＋b，
∴||＝＝
＝＝.
1.向量的数量积与实数乘积运算性质的比较
实数a，b，c
向量a，b，c
a≠0，a·b＝0?b＝0
a≠0，a·b＝0?/ b＝0
a·b＝b·c(b≠0)?a＝c
a·b＝b·c(b≠0)?/ a＝c
|a·b|＝|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
满足乘法结合律
不满足乘法结合律
2.知识导图
——数量积运算律——
∣
1.已知|a|＝3，|b|＝2，则(a＋b)·(a－b)＝( )
A．2 B．3
C．5 D．－5
C [因为|a|＝3，|b|＝2，所以(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝9－4＝5.]
2.已知?ABCD中，||＝4，||＝3，N为DC的中点，＝2，则·＝( )
A．2 B．5
C．6 D．8
C [·＝(＋)·(＋)
＝·＝2－2
＝×42－×32＝6.故选C．]
3.已知向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
A [因为向量|a|＝2|b|＝2，a与b的夹角为120°，则|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4|a||b|cos 120°＋4＝4.所以|a＋2b|＝2.]
4．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.
[因为|2a－b|＝1，所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋|b|2－4|b|cos 30°＝1，
即|b|2－2|b|＋3＝0，所以(|b|－)2＝0，所以|b|＝.]
课件37张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积
8.1.2 向量数量积的运算律b·a 利用向量数量积的运算律计算 利用平面向量的数量积证明几何问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十四) 向量数量积的运算律
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )
A．－ B． C．－3 D．3
C [向量|a|＝2，|b|＝，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b＝|a||b|cos 150°＝2××＝－3.故选C．]
2.在△ABC中，∠ BAC＝，AB＝2，AC＝3，＝2，则·＝( )
A．－ B．－
C． D．
C [因为＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
所以·＝·(－)＝×32－×22＋·＝＋×2×3cos ＝.]
3.已知向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为( )
A． B． C． D．
C [因为向量|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，所以a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3，设a与b的夹角为θ，得cos θ＝＝，因为θ∈[0, π]，所以θ＝.]
4．设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )
A．－ B．－
C． D．
A [因为单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得
e1·e2＝1×1×cos ＝－，|a|＝＝＝，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e－6e＋e1·e2＝－，因此b在a上投影的数量为＝＝－，故选A．]
5．已知平行四边形ABCD中，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝( )
A．20 B．15
C．9 D．6
C [如图所示，由题设知，＝＋＝＋，＝－，
∴·＝·＝||2－|AD|2＋·－·＝×36－×16＝9.]
6．已知非零向量a，b满足|a＋2b|＝|a|，a⊥(a－2b)，则向量a，b的夹角为( )
A． B． C． D．
C [由|a＋2b|＝|a|，得a2＋4a·b＋4b2＝7a2，
即a·b＝a2－b2.
由a⊥(a－2b)，得a·(a－2b)＝0，即a·b＝a2.
所以a2－b2＝a2，所以|a|＝|b|≠0，
所以向量a，b的夹角θ满足cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.故选C．]
二、填空题
7．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||＝________.
2 [因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2a·b＋b2)＝4×(3－2×2××cos ＋4)＝4，则||＝2.]
8．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，则·(－)＝________.
－ [由已知得||＝，||＝，则·(－)＝(＋)·
＝·＋·＝1×cos ＋×＝－.]
9．(2019·南阳高一检测)已知向量||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30 °，设＝m＋n，(m, n∈R)，则＝________.
3 [||＝1，||＝，·＝0，
所以OA⊥OB，
∴||＝2＝2||，
∴∠OBC＝30°，
又因为∠AOC＝30°，所以⊥，
故(m＋n)·(－)＝0，
从而－m2＋n2＝0，
所以3n－m＝0，即m＝3n，
所以＝3.]
三、解答题
10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ ACB＝90°.
[解] 设圆心为O，连接OC，则||＝||，＝(＋)，
所以||2＝||2，2＝(＋)2，得||2＝(＋)2，
即(－)2＝(＋)2，得2＋2－2·＝2＋2＋2·
所以4·＝0，·＝0，所以⊥，
即∠ ACB＝90°.
[等级过关练]
1.已知和是平面内的两个单位向量，它们的夹角为60°，则2－与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
C [设2－与的夹角为θ，则cos θ＝，又和是平面内的两个单位向量，则||＝1，||＝1，则(2－)·＝－(2－)·＝－2·＋2＝－2||·||cos 60°＋||2＝0，所以cos θ＝0，又0°≤θ≤180°，所以θ＝90°，故选C．]
2.(2019·沈阳高一检测)已知向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，＝t，＝(1－t)，t∈R, ||在t＝t0时取得最小值，当0A． B．
C． D．
C [因为向量与的夹角为θ，||＝2，||＝1，所以·＝2cos θ，
＝－＝(1－t)－t，得||2＝2＝(1－t)22－2t(1－t)·＋t22＝(5＋4cos θ)t2－(2＋4cos θ)t＋1，由二次函数知，当上式取最小值时，所以t0＝，由0<<，
解得－3.已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为1，若＋＋2＝0，且||＝||，则·＝________.
－3 [如图，由＋＋2＝0，得＋＝2，所以O是AB的中点，因为△ABC外接圆的圆心为O，所以AB是△ABC外接圆的直径，∠ACB＝90°，且||＝||＝||＝1，所以∠ABC＝30°， ||＝.
所以·＝||||cos 150°＝2××＝－3.
]
4．对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：
①a*b＝b*a；
②λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)；
③(a＋b)*c＝a*c＋b*c；
④若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1.
以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)
①④ [当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④ .]
5．已知△ABC是边长为2的正三角形．
(1)计算|＋|＋|－|；
(2)若－λ与向量的夹角大于90°，求实数λ的取值范围．
[解](1)因为 |＋|2＝(＋)2
＝2＋2＋2·＝4＋4＋2×2×2×＝12，
|－|2＝(－)2
＝2＋2－2·＝4＋4－2×2×2×＝12，
所以|＋|＋|－|＝4.
(2)因为－λ与向量的夹角大于90°，所以(－λ)·<0，即||2－λ||·||cos 60°<0，解得λ>2.所以实数λ的取值范围是(2，＋∞).
