8.1.3 向量数量积的坐标运算
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过平面向量基本定理领会向量的坐标表示．(难点)
2.能利用向量的数量积的坐标公式进行计算．(重点)
1.通过平面向量基本定理掌握下列的坐标表示，培养学生数学抽象的数学素养．
2.利用向量数量积的坐标公式进行数量积运算，提升数学运算的数学素养.
1.向量的数量积的坐标公式
设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)数量积公式：a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)向量垂直公式：a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
思考1：平面向量的坐标：在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1，e2，如果对于平面向量a，有a＝xe1＋ye2，则向量a的坐标为______，记作______，
[提示](x，y) a＝(x，y)．
2.三个重要公式
(1)向量的模：a2＝x＋y?|a|＝.
(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
||＝.
思考2：(1)若点A(－3,0), B(3,0)，则||＝______.
(2)若点A(－3,3), B(3，－5)，则||＝______.
[提示](1)6(2)10
(3)向量的夹角公式：
cos 〈a，b〉＝＝.
1.已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )
A．5 B．4
C．－2 D．－1
D [a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1.]
2.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A． B．2
C．5 D．50
A [∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴|a－b|＝＝ .故选A．]
3.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos 〈a，b〉＝________.
－ [∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2 ，|b|＝＝10.
∴cos 〈a，b〉＝＝＝－ .]
4．已知a＝(3，x)，|a|＝5，则x＝________.
±4 [|a|＝＝5，∴x2＝16.即x＝±4.]
利用向量数量积的坐标公式计算
【例1】(1)已知向量a＝(2,3)，b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，则a·(b＋c)＝________.
(2)已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．
[思路探究](1)利用平面向量数量积的坐标运算公式进行计算．
(2)利用平面向量的数量积公式、模的坐标公式计算．
(1)12 [∵b＝(－2,4)，c＝(－1,2)，
∴b＋c＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a＝(2,3)，
∴a·(b＋c)＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6＝－6＋18＝12.]
(2)[解] a·b＝1×2＋3×5＝17.
因为3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，
所以3a－b＝(1,4)，
所以|3a－b|＝＝.
因为a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，
所以2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.
1.数量积坐标运算的技巧
(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
|a|2＝a·a，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
(2)利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程(组)进行求解．
2.求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算．
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算．
若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，
于是有|a|＝.
1.已知O为坐标原点，点A(1,0)，B(0,2)，若OC⊥AB于点C，则·(＋)＝________.
[设点C的坐标为(x，y)，由A(1,0)，B(0,2)，得＝(－1,2)，＝(x－1，y)，
因为OC⊥AB于点C，∴，
即，解得，
∴＝，＋＝(1,2)，所以·(＋)＝.]
2.已知向量a＝(，－1)和b＝(1，)，若a·c＝b·c，试求模为的向量c的坐标．
[解] 法一：设c＝(x，y)，
则a·c＝(，－1)·(x，y)＝x－y，b·c＝(1，)·(x，y)＝x＋y，
由a·c＝b·c及|c|＝，
得
解得或
所以c＝或c＝.
法二：由于a·b＝×1＋(－1)×＝0，且|a|＝|b|＝2，从而以a，b为邻边的平行四边形是正方形，且由于a·c＝b·c，所以c与a，b的夹角相等，从而c与正方形的对角线共线．此外，由于|c|＝，即其长度为正方形对角线长度(|b|＝2)的一半，故c＝(a＋b)
＝或c＝－(a＋b)
＝.
向量数量积的坐标公式与夹角问题
【例2】(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，x)，若a与b垂直，则实数x的值是( )
A．4 B．－4 C．1 D．－1
(2)已知平面向量a＝(1,3)，b＝(2，λ)，设a与b的夹角为θ.
①若θ＝120 °，求λ的值．
②要使θ为锐角，求λ的取值范围．
[思路探究](1)根据向量垂直的坐标关系求解．
(2)①由θ＝120 °求cos θ＝，建立方程求λ的值．
②要使θ为锐角，则cos θ>0，且a与b不能共线，建立不等式求λ的取值范围．
(1)D [因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，a与b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1.故选D．]
(2)[解] ①由于a＝(1,3)，b＝(2，λ)，则
a·b＝2＋3λ，当θ＝120 °时，cos 120 °＝＝－，
得＝－，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0，
解得λ＝，由于a·b＝2＋3λ<0，所以λ<－，得λ＝.
②由θ为锐角，得cos θ>0，且cos θ≠1，∵a·b＝|a||b|·cos θ＞0，
∴a·b>0，即1×2＋3λ>0，解得λ>－.若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6.
但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6.综上所述，λ>－且λ≠6.
利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cos 〈a，b〉＝＝，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．
(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：
(1)若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
(2)若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．
(3)若θ为钝角，则充要条件为a·b<0，且a与b的夹角不能为π(即a与b的方向不能相反)．
3.已知a＝(sin α，cos α)，|b|＝2.
(1)若向量b在a方向上的投影为－1，求a·b及a与b的夹角θ.
(2)若a＋b与b垂直，求|2a－b|.
[解](1)由向量数量积的几何意义知，a·b等于|a|与b在a方向上的投影的乘积，
∴a·b＝1·(－1)＝－1.
设a与b的夹角θ，θ∈[0，π]，
则cos θ＝＝＝－，∴θ＝.
(2)若a＋b与b垂直，∴(a＋b)·b＝a·b＋b2＝0，∴a·b＝－4，
∴|2a－b|＝＝
＝＝2.
向量数量积的坐标公式的综合问题
【例3】 在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动．
(1)求证：·为定值；
(2)求·的最大值．
[思路探究](1)利用向量的投影证明，也可以建立平面直角坐标系，利用向量的坐标计算数量积．
(2)利用向量的投影转化为平面几何性质求最大值，也可以建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标公式，建立函数求最大值．
[解] 法一：(几何法)(1)在边长为1的正方形ABCD中，
·＝·＝||||cos ∠ BCE＝||2＝1(定值)．
(2)如图，作CN⊥EM，垂足为N，则
△EBM∽△CNM，得＝，
所以EM·MN＝CM·MB＝，
所以·＝||||cos ∠ CEN＝||(||cos ∠ CEN)＝||||＝||(||＋||)＝||2＋||||＝||2＋≤ ||2＋＝1＋＋＝，
所以当点E在点A时，·取得最大值.
法二：(坐标法)以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x,0)，x∈[0,1],
(1)·＝(1－x,1)·(0,1)＝1(定值)．
(2)由上述可知，C(1,1)，M，
设E(x,0)，x∈[0,1]，
则·＝(1－x,1)·＝(1－x)2＋，
当x∈[0,1]时，(1－x)2＋单调递减，
当x＝0时，·取得最大值.
解决向量数量积的最值的方法技巧
?1?“图形化”技巧：利用平面向量线性运算以及数量积运算的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的直观特征进行判断.
?2?“代数化”技巧：若已知条件中具有等腰三角形或矩形，常常建立平面直角坐标系，通过坐标运算转化为函数的性质解决最值或取值范围.
4．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )
A．－2 B．－
C．－ D．－1
B [如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，
所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)
＝2x2＋2－，
当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－，选B．]
5．在矩形ABCD中， AB＝3，AD＝1，若M，N分别在边BC，CD上运动(包括端点)，且满足＝，则·的取值范围是________．
[1,9] [分别以AB，AD为x，y轴建立直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，C(3,1)，D(0,1)，
设M(3，b)，N(x,1)，因为＝，
所以b＝，则＝(x,1)，＝，
故·＝x＋1(0≤x≤3)，
所以1≤x＋1≤9，所以·的取值范围是[1,9]．
]
1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤
(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．
(2)求模．利用|a|＝ 计算两向量的模．
(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝求夹角余弦值．
(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．
2.知识导图
1.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [因为a＝(1,2)，b＝(－3,2)，
所以a·b＝1×(－3)＋2×2＝1.]
2.已知a＝(1,2)，b＝(6，－3)，则必有( )
A．a∥b B．b＝3a
C．a⊥b D．b＝－3a
C [由a＝(1,2)，b＝(6，－3)，得1×6＋2×(－3)＝0?a⊥b.]
3.已知向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为( )
A．45° B．60°
C．120° D．135°
D [因为向量a＝(2,2)，b＝(0，－3)，则a·b＝－6，|a|＝2，|b|＝3，则cos 〈a，b〉＝＝－，又0°≤〈a，b〉≤180°，所以a与b的夹角为135°.]
4．(2019·扬州高一检测)已知向量 a＝(1，－1)，向量b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝________.
1 [由向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，
得2a＋b＝(1,0)，所以(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.]
课件55张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积
8.1.3 向量数量积的坐标运算0 利用向量数量积的坐标公式计算 向量数量积的坐标公式与夹角问题 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十五) 向量数量积的坐标运算
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于( )
A．1 B． C．－ D．－1
A [由向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，a·b＝1，得a·b＝(1，－1)·(2，x)＝2－x＝1，所以x＝1.]
2.已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上投影的数量是( )
A．－3 B．－
C．3 D．
A [依题意得，＝(－2，－1)，
＝(5,5)，·＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，
||＝，因此向量在方向上投影的数量是＝＝－3，选A．]
3.设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a·b等于( )
A．－ B．－
C． D．
D [由向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)
得a＋2b＝(－1＋2m,4)，
2a－b＝(－2－m,3)，由题意得
3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，
所以a·b＝－1×＋2×1＝.]
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A． B．(－，－)
C． D．
D [设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，
又(c＋a)∥b，∴ 2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①
又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②
联立①②解得x＝－，y＝－.
所以c＝.]
5．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
A． B．
C．2 D．10
B [∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，
由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴ x＝2.
由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴ y＝－2.
∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)．
∴a＋b＝(3，－1)，
∴|a＋b|＝＝.]
6．已知向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，则下列说法正确的是( )
A．a与b的夹角是直角
B．a与b的夹角是锐角
C．a＋b与a－b的夹角是钝角
D．a在b上投影的数量等于b在a上投影的数量
D [由向量a＝(3,4)，b＝(－4，－3)，得
a·b＝－24<0，所以a与b的夹角是钝角．
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b的夹角是直角．
a在b上投影的数量为|a|cos 〈a，b〉＝＝－，b在a上投影的数量为|b|cos 〈a，b〉＝＝－.故选D．]
二、填空题
7．已知向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，则a与b夹角的大小为____．
[∵ 向量a＝(1，－)，b＝(－，1)，
∴a与b夹角θ满足
cos θ＝＝－＝－，
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.]
8．已知向量a＝( 1, 2)，b＝( x, 4)，且a∥b，则 |a－b|＝________.
[由题意，向量a∥b，则4－2x＝0，解得x＝2，所以b＝(2,4)，
则a－b＝(－1，－2)，所以|a－b|＝＝.]
9．已知矩形ABCD的中心为O，AD＝2，若·＝8，则∠BAC＝__________， 向量与的夹角为________．
[因为矩形ABCD的中心为O，AD＝2，得·＝0，由·＝8，得(＋)·(＋)＝8，所以·＋2－2＋·＝2－4＝8，
即2＝12，||＝2.
如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
则A(－，－1)，B(，－1)，C(，1) ，D(－，1)，
得＝(2，0) ，＝(2，2) ，
＝(－，－1) ， ＝(，－1) , ＝(0,2)，
＝(－，－1)，得·＝12，
||＝2，||＝4 ，
所以cos ∠BAC＝＝＝，
且0<∠BAC<π，所以∠BAC＝.
cos 〈， 〉＝＝＝－，
且0≤〈，〉≤π，所以∠AOB＝.
]
三、解答题
10．已知平面上三点A，B，C，满足＝(2,4)，＝(2－k,3)．
(1)如果A，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；
(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值．
[解](1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥，得4(2－k)＝6，解得k＝.
(2)因为＝(2－k,3)，所以＝(k－2，－3)，所以 ＝＋＝( k,1)．
由于A，B，C三点构成直角三角形，所以
当A是直角时，⊥，所以 ·＝0，得2k＋4＝0，解得 k＝－2；
当B是直角时，⊥，所以 ·＝0，得 k2－2k－3＝0，解得 k＝3或 k＝－1；
当C是直角时，⊥，所以 ·＝0,16－2k＝0，解得 k＝8.
综上所述，实数k的值为－2，－1,3,8.
[等级过关练]
1.角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为( )
A．－ B．
C．或－ D．或
C [∵tan α＝－2，∴可设P(x，－2x)，cos 〈，〉＝＝，
当x＞0时，cos 〈，〉＝，当x＜0时，cos 〈，〉＝－.故选C．]
2.已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于( )
A．13 B．15
C．19 D．21
A [如图，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
则A(0,0)，B，C(0，t)，
所以＝(1,0)，＝(0,1)，所以＝＋＝(1,0)＋4(0,1)＝(1,4)，所以点P的坐标为(1,4)，＝(－1，－4)，＝(－1，t－4)，
所以·＝1－－4t＋16＝17－≤－4＋17＝13.(当且仅当＝4t，即t＝时取等号)，所以·的最大值为13.]
3.(2019·顺德高一检测)已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝________.
1 [因为a＝(2,0)，所以|a|＝2，把|a＋2b|＝2两边平方可得a2＋4a·b＋4b2＝12，
即|a|2＋4|a|·|b|cos 〈a，b〉＋4|b|2＝12，代入数据可得22＋4×2|b|×＋4|b|2＝12，
整理可得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.]
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．
[法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，
＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)，
＝，＝，
＝，＝，
由·＝b2－a2＋c2＝4，
·＝－a2＋＝－1，
解得b2＋c2＝，a2＝，
则·＝(b2＋c2)－a2＝.
法二：设＝a，＝b，则
·＝(a＋3b)·(－a＋3b)＝9|b|2－|a|2＝4，
·＝(a＋b)·(－a＋b)＝|b|2－|a|2＝－1，
解得|a|2＝，|b|2＝，
则·＝(a＋2b)·(－a＋2b)＝4|b|2－|a|2＝.]
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb，λ∈R.
(1)求λ为何值时， |c|最小？此时b与c的位置关系如何？
(2)求λ为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？
[解](1)由a＝(1,2)，b＝(－3,4)，得
c＝a＋λb＝(1－3λ，2＋4λ)，
|c|2＝c2＝(1－3λ)2＋(2＋4λ)2＝5＋10λ＋25λ2
＝25＋4，
当λ＝－时，|c|最小，此时c＝，
b·c＝0，所以b⊥c.
(2)设向量a与c的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＝，
要使向量a与c的夹角最小，则cos θ最大，
由于θ∈[0, π]，所以cos θ的最大值为1，此时θ＝0，＝1，解得λ＝0，c＝(1,2)．
所以当λ＝0时，a与c的夹角最小，此时a＝c.
