8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)
3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
1.通过两角和与差的余弦公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．
2.借助两角和与差的余弦公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.
两角和与差的余弦公式
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.
Cα－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
思考：用向量法推导两角差的余弦公式时，角α、β终边与单位圆交点P1、P2的坐标是怎样得到的？
[提示] 依据任意角三角函数的定义得到的．以点P为例，若设P(x，y)，则sin α＝，cos α＝，所以x＝cos α，y＝sin α，即点P坐标为(cos α，sin α).
1.cos 22°cos 38°－sin 22°sin 38°的值为( )
A． B． C． D．
A [原式＝cos(22°＋38°)＝cos 60°＝.]
2.化简cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β为( )
A．sin(2α＋β) B．cos(2α－β)
C．cos α D．cos β
C [原式＝cos[(α＋β)－β]＝cos α.]
3.cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)＝_________.
[cos(－40°)cos(－20°)－sin(－40°)sin(－20°)
＝cos[(－40°)＋(－20°)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝.]
利用两角和与差的余弦公式化简求值
【例1】(1)cos 345°的值等于( )
A． B．
C． D．－
(2)化简下列各式：
①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
②－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°.
[思路探究] 利用诱导公式，两角差的余弦公式求解．
(1)C [cos 345°＝cos(360°－15°)
＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝.]
(2)[解] ①原式＝cos[(θ＋21°)－(θ－24°)]
＝cos 45°＝，所以原式＝.
②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47°
＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43°
＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝.
1.在两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2.两角和与差的余弦公式在求值应用中的一般思路：
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
1.求下列各式的值：
(1)cos ；
(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．
[解](1)cos ＝cos＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝－.
(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 80°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)
＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]
＝cos 60°＝.
给值(式)求值
【例2】(1)已知cos α＝，α∈，则cosα－＝________.
(2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝，cos(2α＋β)＝，求cos α的值．
[思路探究](1)可先求得sin α，再用两角差的余弦公式求cos.
(2)可考虑拆角即α＝(2α＋β)－(α＋β)来求cos α.
(1) [因为cos α＝，α∈，
所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.]
(2)[解] 因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.
又因为cos(α＋β)＝，所以0<α＋β<，
所以0<2α＋β<π.
又因为cos(2α＋β)＝，
所以0<2α＋β<，
所以sin(α＋β)＝，sin(2α＋β)＝，
所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)
＝×＋×＝.
给值求值的解题步骤：
?1?找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.
?2?拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：
α＝?α＋β?－β，α＝β－?β－α?，α＝?2α－β?－?α－β?，
α＝[?α＋β?＋?α－β?]，α＝[?β＋α?－?β－α?]等.
?3?求解.结合公式Cα±β求解便可.
2.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值．
[解] ∵α，β∈，
∴α＋β∈(0，π)．
又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×
＝.
已知三角函数值求角
【例3】 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
[思路探究] 本题可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，再求出α－β的值．
[解] ∵α，β均为锐角，cos α＝，cos β＝，
∴sin α＝，sin β＝，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×
＝.
又sin α
∴0<α<β<，
∴－<α－β<0.
故α－β＝－.
1.这类问题的求解，关键环节有两点：
(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图像，角可求解．
2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．
3.设α，β是锐角，sin α＝，cos(α＋β)＝－，求证：β＝.
[证明] 由0<α<，0<β<，知0<α＋β<π，
又cos(α＋β)＝－，
故sin(α＋β)＝
＝＝.
由sin α＝，可知
cos α＝＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝，
∴β＝.
利用角的变换求三角函数值
[探究问题]
1.若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？
[提示] cos α＝cos[(α＋β)－β]
＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β.
2.利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？
[提示] cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α·sin(α－β)．
3.若cos α－cos β＝a，sin α－sin β＝b，则cos(α－β)等于什么？
[提示] cos(α－β)＝.
【例4】 若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos的值为( )
A． B．－
C． D．－
[思路探究] 利用角的交换求解，α＋＝－.
C [∵0<α<，－<β<0，
∴<α＋<，<－<，
又∵cos＝，cos＝，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.故选C．]
巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求?或证明?另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：①单角变为和?差?角，如α＝?α－β?＋β，β＝－等；②倍角化为和?差?角，如2α＝?α＋β?＋?α－β?等.
4．设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos 的值．
[解] ∵α∈，β∈，
∴α－∈，－β∈，
∴sin＝＝＝，cos＝＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝－×＋×＝.
对公式C(α－β)和C(α＋β)的三点说明
(1)公式的结构特点：公式的左边是差(和)角的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和(差)式，可用口诀两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．
(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos中的“”相当于公式中的角α，“”相当于公式中的角β.
(3)公式的“活”用：公式的运算要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：
①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos α cos β＝sinα sin β.
②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]等.
1.下列式子中，正确的个数为( )
①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos ＝sin α；
③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
A [由cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β知①③错误，cos ＝－sin α，故②错误，故选A．]
2.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β等于( )
A． B．－
C． D．－
A [因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.故选A．]
3.sin 75°＝________.
[sin 75°＝cos 15°
＝cos(45°－30°)
＝cos 45°·cos 30°＋sin 45°·sin 30°
＝×＋×
＝.]
4．设α，β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，求cos β的值．
[解] ∵α，β都是锐角且cos α＝<，
∴<α<，
又sin(α＋β)＝>，
∴<α＋β<π，
∴cos(α＋β)＝－＝－，
sin α＝＝，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝.
课件51张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.1 两角和与差的余弦利用两角和与差的余弦公式化简求值给值(式)求值 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十六) 两角和与差的余弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算cos 8°cos 38°＋sin8°sin38°等于( )
A． B． C． D．－
C [逆用两角差的余弦公式，得cos 8°cos 38°＋sin8°sin38°＝cos(8°－38°)＝cos(－30°)＝cos 30°＝.]
2.已知sin α＝，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( )
A． B．
C． D．
B [因为sin α＝，α是第二象限角，所以cos α＝－，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝×＋×＝.]
3.满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是( )
A．α＝π，β＝π B．α＝，β＝
C．α＝，β＝ D．α＝，β＝
B [由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos(α－β)＝， α＝，β＝满足题意．]
4．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A． B．
C． D．
A [因为θ∈，
所以θ＋∈，所以sin＝.
故cos θ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.]
5．若sin x＋sin y＝，cos x＋cos y＝，则sin(x＋y)等于( )
A． B．
C． D．1
A [由sin x＋sin y＝，得sin2x＋sin2y＋2sin xsin y＝，①
由cos x＋cos y＝，得cos2x＋cos2y＋2cos xcos y＝，②
两式相加得：cos(x－y)＝0.
②－①得：cos 2x＋2cos(x＋y)＋cos 2y＝2cos(x＋y)＋2cos(x＋y)cos(x－y)＝2cos(x＋y)＝1，
∴cos(x＋y)＝，则x＋y＝2kπ±，
验证x＋y＝2kπ－不成立，∴x＋y＝2kπ＋，
则sin(x＋y)＝sin＝sin＝.故选A．]
6．下列关于函数f(x)＝cos cos(－x)－sin x＋sinx的性质叙述错误的是( )
A．最小正周期为π
B．函数图像关于直线x＝对称
C．函数图像关于直线x＝－对称
D．函数图像关于点对称
D [函数f(x)＝coscos(－x)－sinx＋·sinx＝coscos(－x)＋sinsin(－x)＝cos ＝cos，所以函数的最小正周期是π，由2x＋＝kπ， k∈Z，得x＝－， k∈Z，所以函数图像关于直线x＝－， k∈Z，对称，故选项B、C都正确．由2x＋＝kπ＋， k∈Z，得x＝＋， k∈Z，所以函数图像关于点对称，其中，k∈Z，故选项D不正确．所以选D．]
二、填空题
7．计算cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝________.
－ [法一：cos(α＋120°)cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°)cos(－α)－sin(α＋120°)sin(－α)
＝cos [(α＋120°)＋(－α)]＝cos 120°＝－.
法二：cos(α＋120°) cos α－sin(α＋120°)sin(－α)＝cos(α＋120°) cos α＋sin(α＋120°)sin α
＝cos [(α＋120°)－α]＝cos 120°＝－.]
8．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，若a与b的夹角为，则cos(α－β)＝________.
[因为a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，
所以|a|＝|b|＝1，
又因为a与b的夹角为，
所以a·b＝|a||b|cos＝1×1×＝.
又a·b＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)
＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，
所以cos(α－β)＝.]
9．如图，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A，B两点，如果点A的纵坐标为，点B的横坐标为，则cos(α－β)＝________.
[由三角函数的定义可得，sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.]
三、解答题
10．已知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝－，<α－β<π，<α＋β<2π，求β的值．
[解] ∵ <α－β<π，cos(α－β)＝－，
∴sin(α－β)＝.
∵π<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－，∴cos(α＋β)＝.
∴cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－1.
∵<α－β<π，<α＋β<2π，∴<2β<，2β＝π，∴β＝.
[等级过关练]
1.若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )
A．0 B．1
C．±1 D．－1
B [因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以 或
解得 于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]
2.已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么β＝( )
A． B． C． D．
C [cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)，由已知cos α＝，
cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，可知sin α＝，sin(α－β)＝，代入上式得cos β＝×＋×＝＝，所以β＝.]
3.已知sin α＝－，α∈，cos β＝－，β∈，则cos(α－β)＝________.
[因为sin α＝－，α∈，
所以cos α＝－＝－，
又cos β＝－，β∈，
所以sin β＝＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝－×＋×＝.]
4．已知△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos(A－B)＝________.
－ [因为cos B＝－，且0所以sin B＝＝＝，
且0所以cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝×＋×＝－.]
5．(1)把向量＝(x，y)绕原点顺时针方向旋转角α，得到向量＝(x′，y′)，用x，y及角α的三角函数表示x′.
(2)利用(1)的结论解答下面的问题：
如图点B(2,0)，半圆上动点A，求等边三角形ABC(逆时针方向排列)的顶点C的横坐标的取值范围．
[解](1)设的模为r，在角θ的终边上，则x＝rcos θ，y＝rsin θ，由题意可得在角θ－α的终边上，且的模也是r，
由三角函数的定义可得x′＝rcos(θ－α)＝rcos θcos α＋rsin θsin α＝xcos α＋ysin α.
即x′＝xcos α＋ysin α.
(2)设点C(x1，y1)，因为动点A在半圆上，
所以设点A(cos θ，sin θ)，0°≤θ≤180°，
则向量的坐标为(cos θ－2，sin θ)，
向量的坐标为(x1－2，y1)，
由已知可得向量绕点B顺时针方向旋转60°得到向量.
所以由(1)的结论得x1－2＝(cos θ－2)cos 60°＋sin θsin 60°
＝cos θ＋sin θ－1＝cos(θ－60°)－1，
所以x1＝1＋cos(θ－60°)，
因为0°≤θ≤180°，
所以－60°≤θ－60°≤120°，
所以－≤cos(θ－60°)≤1，
所以x1∈.
