课件46张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦利用公式化简求值 给值(式)求值 点击右图进入…Thank you for watching !课件43张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第2课时 两角和与差的正切利用公式化简求值 条件求值(角)问题 点击右图进入…Thank you for watching !8.2.2 两角和与差的正弦、正切
第1课时 两角和与差的正弦
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)
2.能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)
1.通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
1.两角和与差的正弦公式
(1)Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
(2)Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
2.辅助角公式
f(x)＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
思考：根据公式C(α±β)的识记规律，你能总结出公式S(α±β)的记忆规律吗？
[提示] 对比公式C(α±β)的识记规律“余余正正，加减相反”可得公式S(α±β)的记忆规律：“正余余正，加减相同”．
1.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( )
A． B．
C． D．以上都不对
A [原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝.]
2.函数y＝sin x－cos x的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
C [y＝sin x－cos x＝＝sin，∴函数的最小正周期为T＝2π.]
3.已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－，则sin(α＋β)＝________.
0 [∵α为锐角，且sin α＝，
∴cos α＝.
又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－，
∴cos β＝，sin β＝－.
∴sin(α＋β)＝×＋×＝0.]
利用公式化简求值
【例1】(1)＝( )
A．－ B．－ C． D．
(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值．
(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．
[思路探究](1)化简求值应注意公式的逆用．
(2)(3)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
(1)C [
＝
＝
＝＝sin 30°＝.]
(2)[解] 原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°
＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1.
(3)[解] sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·
cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
1.对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去，求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2.在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
1.化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
[解](1)原式＝sin xcos ＋cos xsin ＋2sin xcos －2cos xsin －cos cos x－sin sin x＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＋cos x－sin x
＝sin x＋cos x＝0.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
给值(式)求值
【例2】 设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究] 应用公式?注意角的范围?求出所给角的正弦值．
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，
因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
1.(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．
[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1.
2.(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝.
因为β为第三象限，所以cos β＝－.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
1.当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3.角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．
提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．
辅助角公式的应用
[探究问题]
1.函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
[提示] 不对．因为sin x＋cos x
＝
＝＝sin，
所以函数的最大值为.
2.函数f(x)＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？
[提示] 因为f(x)＝3sin x＋4cos x
＝5，
令cos φ＝，sin φ＝，
则f(x)＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数的最大值为5.
3.如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式？
[提示] asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则
asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．
【例3】 设函数f(x)＝sin x＋sin.
(1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
(2)不画图，说明函数y＝f(x)的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．
[思路探究] 辅助角公式?转化成“一角一函数”的形式?将所给函数展开与合并．
[解](1)f(x)＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝＝sin ，
当sin ＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的最小值为－，x的集合为
.
(2)将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图像；
然后将y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin的图像.
(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？
[解] 由本例解析知函数可化为f(x)＝sin，
当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为减函数．
所以函数f(x)的单调增区间为
(k∈Z)，
函数f(x)的单调减区间为
(k∈Z)．
1.把所给函数展开，合并化简，然后利用辅助角公式化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求解．
2.函数图像可通过y＝sin x→y＝sin→y＝
sin的顺序得到．
1.两角和与差的正弦公式的结构特点
(1)公式中的α，β均为任意角．
(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．
2.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系
3.使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.
1.若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [∵cos α＝－，α为第三象限角，
∴sin α＝－，由两角和的正弦公式得
sin ＝sin αcos ＋cos α·sin
＝×＋×＝－.]
2.函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
B [f(x)＝sin x－cos＝sin x－cos x＋
sin x＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B．]
3.sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.
[原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝
sin(25°＋35°)＝sin 60°＝.]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α
∴－<α－β<0，
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，
∴α－β＝－.
第2课时 两角和与差的正切
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2.掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．(重点、难点)
1.通过两角和与差的正切公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．
2.借助两角和与差的正切的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
1.两角和的正切公式
Tα＋β：tan(α＋β)＝ .
2.两角差的正切公式
Tα－β：tan(α－β)＝ .
思考：你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？
[提示](1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．
(2)1－tan αtan β＝.
(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)．
(4)tan αtan β＝1－.
1.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
D [tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.故选D．]
2.若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则tan的值等于( )
A． B．－
C．－7 D．7
D [若cos θ＝－，且θ为第三象限角，则sin θ＝－＝－，
∴tan θ＝＝，tan＝＝7，故选D．]
3.设tan α＝，tan β＝，且角α，β为锐角，则α＋β的值是________．
[∵tan α＝，tan β＝，
∴tan(α＋β)＝＝＝1，
又∵α，β均为锐角，即α，β∈，
∴0<α＋β<π，则α＋β＝.]
利用公式化简求值
【例1】 求下列各式的值：
(1)tan 15°；(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[思路探究] 把非特殊角转化为特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))与活用(如(3))，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
[解](1)tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
(2)＝
＝＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
1.公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2.一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
1.求下列各式的值：
(1)；
(2)tan 36°＋tan 84°－tan 36°tan 84°.
[解](1)原式＝
＝
＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－tan 36°tan 84°
＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－tan 36°tan 84°
＝tan 120°＝－.
条件求值(角)问题
【例2】 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．
[思路探究] 先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．
[解] 由条件得
cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
1.通过先求角的某个三角函数值来求角．
2.选取函数时，应遵照以下原则：
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
3.给值求角的一般步骤：
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
2.(1)已知α∈，sin α＝，求tan的值；
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．
[解](1)因为sin α＝，且α∈，所以cos α＝－，
所以tan α＝＝＝－，
故tan＝＝＝.
(2)由题图可知tan α＝，tan β＝，且α，β均为锐角，
所以tan(α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
公式的变形应用
[探究问题]
1.判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示] 根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
2.在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？
[提示] 根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．
【例3】 已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究] →→
→.
[解] 由tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，
∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－tan Btan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)＝
＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形．
公式Tα＋β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα＋β中，如果分子中出现“1”常利用
1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan ；
＝tan .
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
1.公式T(α±β)的适用范围和结构特征
(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．
2.两角和与差的正切公式的变形
变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等.
1.设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝( )
A． B．－
C．5 D．－5
A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝，选A．]
2.tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A． B．1
C． D．
B [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1.]
3.计算＝________.
1 [＝
＝tan 45°＝1.]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值．
[解] ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝＝.
课时分层作业(十七) 两角和与差的正弦
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算sin8°cos 38°－sin82°sin38°等于( )
A． B． C．－ D．－
C [逆用两角差的正弦公式，得sin8°cos 38°－sin82°sin38°＝sin8°cos 38°－cos 8°sin38°＝sin(8°－38°)＝sin(－30°)＝－.]
2.sincos ＋cos sin＝( )
A． B．－
C． D．－
A [逆用两角和的正弦公式，得sincos －θ＋cos sin
＝sin＝sin＝.]
3.已知sin＝，则cos＝( )
A． B．－
C． D．－
D [∵sin＝sin
＝cos＝，
∴cos＝cos＝cos 2
＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选D．]
4．已知sin α＝，cos β＝，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )
A． B． C．－ D．－
A [因为α是第二象限角， 且sin α＝， 所以cos α
＝－＝－.
又因为β是第四象限角， cos β＝， 所以sinβ
＝－＝－.
sin(α－β)＝sinα cos β－cos α sinβ＝×－×＝＝.]
5．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
D [∵A＝180°－(B＋C)，∴sin A＝sin(B＋C)
＝2sin Bcos C．
又sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0.
则B＝C，故△ABC为等腰三角形．]
6．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠ CED等于( )
A． B． C． D．
B [由题意知sin∠BEC＝，cos ∠BEC＝，
又∠CED＝－∠BEC，所以sin∠CED＝sincos ∠BEC－cos sin∠BEC＝×－×＝.]
二、填空题
7．函数f(x)＝sin＋cos 的最小正周期和最大值分别为________．
π，1 [f(x)＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋cos 2xcos －sin 2xsin ＝cos 2x，∴最小正周期T＝＝π，f(x)max＝1.]
8．计算 的值是________．
[因为sin68°＝sin60°cos 8°＋cos 60°sin8°，cos 68°＝cos 60°cos 8°－sin60°sin8°，
所以＝＝tan60 °＝ .]
9．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤ x＜，则f(x)的最大值为________．
2 [f(x)＝cos x＝cos x＋sin x
＝2＝2sin.
∵0≤x＜，∴≤ x＋＜.
∴≤sin≤ 1.
∴1≤ f(x)≤ 2.∴f(x)的最大值为2.]
三、解答题
10．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
[解] ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝.
∴sin β＝－，又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin(β＋)＝sin βcos ＋cos βsin＝×＋×＝－.]
[等级过关练]
1.已知cos ＋sin α＝，则sin的值为( )
A． B． C．－ D．－
C [∵cos ＋sin α＝cos α＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝.
∴sin＝－sin
＝－＝－.]
2.已知α∈，α＋β∈，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则( )
A．β∈ B．β∈
C．β∈ D．β∈
C [∵已知α∈，α＋β∈，且cos α＝∈，∴α∈.
∵sin(α＋β)＝∈，∴α＋β∈，
∴β∈，故选C．]
3.关于函数 f(x)＝sinx＋cos x，有下述三个结论：
① f(x)是偶函数；
②f(x)在上单调递增；
③当x＝θ时，函数f(x)取得最大值，则cos θ＝.
其中，所有正确结论的编号是____________．
②③ [函数 f(x)＝sinx＋cos x
＝2
＝2＝2sin，
显然， f(x)不是偶函数，①不正确；
由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，
所以f(x)在上单调递增，从而f(x)在上单调递增，②正确；
函数f(x)的最大值为2，
此时x＋＝＋2kπ，x＝＋2kπx＝θ，k∈Z，所以cos θ＝， ③正确．]
4．定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于________．
[由题意得，sin αcos β－cos αsin β＝，∴sin(α－β)＝.
∵0＜β＜α＜，∴cos(α－β)＝＝.又cos α＝得sin α＝.
cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.∴β＝.]
5．已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.
[解](1)由f＝Asin
＝Asin ＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
则3sin－3sin＝，
3－3＝，
得，sin θ＝.
因为θ∈，所以cos θ＝，f
＝3sin＝3sin＝3cos θ＝.
课时分层作业(十八) 两角和与差的正切
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan等于( )
A． B． C． D．
C [tan＝tan＝＝.]
2.设向量a＝(cos α，－1)，b＝(2，sin α)，若a⊥b，则tanα－等于( )
A．－ B．
C．－3 D．3
B [a·b＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan＝＝＝.]
3.若tan 28°tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A．m B．(1－m)
C．(m－1) D．(m＋1)
B [由公式变形tan α＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
可得，tan 28°＋tan 32°＝tan 60°(1－tan 28°tan 32°)
＝(1－m)．]
4．已知tan α＝lg 10a，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B．
C．1或 D．1或10
C [∵α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg 10a＋lg ＝1－lg 10alg ，1＝1－lg 10alg，
∴lg 10alg＝0.
lg 10a＝0或lg＝0.得a＝或a＝1.]
5．已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tanB 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
A [因为tan A，tan B 是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则tan A＋tan B＝，tan Atan B＝，
所以tan(A＋B)＝＝ ，所以06．下列式子或叙述不正确的为( )
A．tan＝
B．存在α、β，满足tan(α－β)＝tan α－tan β
C．存在α、β，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
D．对任意α、β，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ
D [tan＝，A正确．
存在α＝β＝，满足tan(α－β)＝tanα－tanβ，B正确．
存在α＝0，β＝，满足tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，C正确．
对任意α、β，tan(α＋β)＝，D不正确．]
二、填空题
7.＝________.
[原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝.]
8．若＝，tan(β－2α)＝1，则tan(α－β)＝________.
2 [由＝，得＝，即tan α＝3.
又tan(β－2α)＝1，
∴tan(α－β)＝tan[－α－(β－2α)]＝－tan[α＋(β－2α)]
＝－＝－＝2.]
9．已知α，β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________.
1 [∵tan β＝＝.∴tan β＋tan αtan β
＝1－tan α.
∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β
＝1－tan αtan β.
∴＝1，∴tan(α＋β)＝1.]
三、解答题
10．已知tan＝2，tan β＝，
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[解](1)∵tan＝2，∴＝2，
∴＝2，解得tan α＝.
(2)原式＝
＝＝
＝tan(β－α)＝＝＝.
[等级过关练]
1.已知tan α和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c
C．c＝a＋b D．c＝ab
C [由根与系数的关系得：tan α＋tan＝－，tan αtan＝.
tan＝＝＝1，得c＝a＋b.]
2.在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3，tan2B＝tan A·tan C，则B等于( )
A．30° B．45°
C．120° D．60°
D [由公式变形得：tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)
＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)＝－tan C(1－tan Atan B)
＝－tan C＋tan Atan Btan C．
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C
＝tan Atan Btan C＝3.
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3.∴tan B＝，B＝60°.]
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠ BAC＝________.
[∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6.
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝＝，tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)＝＝＝.]
4．已知tan＝2，则的值为________．
[因为tan＝2，所以＝2，
解得tan α＝.
所以＝
＝＝＝.]
5．如图，在单位圆上，∠AOB＝α，∠BOC＝，且△AOC的面积等于.
(1)求sin α的值；
(2)求2cossin.
[解](1)由题意可知，∠AOC＝＋α，
∴S△AOC＝sin＝，
∴sin＝，
∵＜α＜，
∴＜α＋＜，
∴cos＝－，
sin α＝sin
＝sincos－cossin，
＝×＋×＝.
(2)2cossin＝2sin2＝1－cos＝.
