8.2.3 倍角公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解二倍角公式的推导过程，知道倍角公式与和角公式之间的内在联系．(重点)
2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并能运用这些公式进行简单的恒等变换．(重点、难点)
1.通过倍角公式的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.借助倍角公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.
二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α .
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α .
T2α：tan 2α＝ .
思考：你是怎样理解倍角公式中的“倍角”二字的？
[提示] 倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如2α是α的二倍角，8α是4α的二倍角，是的二倍角等．
1.sin 15°sin 75°的值为( )
A． B． C． D．
B [原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.]
2.计算1－2sin222.5°的结果为( )
A． B．
C． D．
B [1－2sin222.5°＝cos 45°＝.]
3.已知cos α＝，则cos 2α等于________．
－ [由cos α＝，得cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.]
利用二倍角公式化简求值
【例1】 化简求值．
(1)cos4 －sin4 ；(2)sin ·cos ·cos ；
(3)1－2sin2 750°；(4)tan 150°＋.
[思路探究] 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项，然后求得．
[解](1)cos4 －sin4
＝
＝cos α.
(2)原式＝cos
＝sin cos ＝
＝sin ＝，
∴原式＝.
(3)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°
＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝，
∴原式＝.
(4)原式＝
＝＝
＝＝
＝－＝－，
∴原式＝－.
二倍角公式的灵活运用：
(1)公式的逆用：逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．主要形式有：
2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝sin 2α，
cos α＝，cos2 α－sin2 α＝cos 2α，＝tan 2α.
(2)公式的变形：公式间有着密切的联系，这就要求思考时要融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有：
1±sin 2α＝sin2 α＋cos2 α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2 α，cos2 α＝，sin2 α＝.
1.求下列各式的值：
(1)sin cos ；
(2)2sin2＋1；
(3)cos 20°cos 40°cos 80°.
[解](1)原式＝＝＝.
(2)原式＝－＋2＝2－cos ＝.
(3)原式＝
＝
＝＝＝.
利用二倍角公式解决条件求值问题
【例2】(1)已知sin α＝3cos α，那么tan 2α的值为( )
A．2 B．－2 C． D．－
(2)已知sin＝，则cos的值等于( )
A． B．
C．－ D．－
(3)已知cos α＝－，sin β＝，α是第三象限角，β∈.
①求sin 2α的值；②求cos(2α＋β)的值．
[思路探究](1)可先求tan α，再求tan 2α；
(2)可利用π－2α＝2求值；
(3)可先求sin 2α，cos 2α，cos β，再利用两角和的余弦公式求cos(2α＋β)．
(1)D(2)C [(1)因为sin α＝3cos α，
所以tan α＝3，
所以tan 2α＝＝＝－.
(2)因为cos＝sin＝sin＝，
所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.]
(3)[解] ①因为α是第三象限角，cos α＝－，
所以sin α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝.
②因为β∈，sin β＝，
所以cos β＝－＝－，
cos 2α＝2cos2 α－1＝2×－1＝，
所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝×－×＝－.
直接应用二倍角公式求值的三种类型：
(1)sin α(或cos α)cos α(或sin α)sin 2α(或cos 2α)．
(2)sin α(或cos α)cos 2α＝1－2sin2 α(或2cos2 α－1)．
(3)sin α(或cos α)
2.(1)已知α∈，sin α＝，则sin 2α＝______，cos 2α＝________，tan 2α＝________.
(2)已知sinsin＝，且α∈，求tan 4α的值．
(1)－ － [因为α∈，sin α＝，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2 α＝1－2×＝，tan 2α＝＝－.]
(2)[解] 因为sin＝sin＝cos，
则已知条件可化为sincos＝，
即sin＝，
所以sin＝，
所以cos 2α＝.因为α∈，所以2α∈(π，2π)，
从而sin 2α＝－＝－，
所以tan 2α＝＝－2，
故tan 4α＝＝－＝.
利用二倍角公式证明
【例3】 求证：＝sin 2α.
[思路探究] 可先化简左边，切化弦，再利用二倍角公式化简出右边．
[证明] 法一：左边＝＝
＝＝
＝sin cos cos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
法二：左边＝＝cos2α·＝
cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．
∴原式成立．
证明问题的原则及一般步骤：
(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．
(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”“异名化同名”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．
3.求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B．
[解] 左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，∴等式成立.
倍角公式的灵活运用
[探究问题]
1.在化简＋时，如何灵活使用倍角公式？
[提示] 在化简时，如果只是从α的关系去整理，化简可能感觉无从下手，但如果将α看成的倍角，可能会有另一种思路，
原式＝＋
＝＋＝＝.
2.如何求函数f(x)＝2cos2x－1－2sin xcos x(x∈R)的最小正周期？
[提示] 求函数f(x)的最小正周期，可由f(x)＝(2cos2x－1)－(2sin xcos x)＝cos 2x－sin 2x＝2sin，知其最小正周期为π.
【例4】 求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin xcos x，x∈的最小值，并求其单调减区间．
[思路探究] →
→→
[解] f(x)＝5·＋·－2sin 2x
＝3＋2cos 2x－2sin 2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤，
∴sin∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
f(x)取最小值为3－2.
因为y＝sin在上单调递增，
所以f(x)在上单调递减．
本题考查二倍角公式，辅助角公式及三角函数的性质.解决这类问题经常是先利用公式将函数表达式化成形如y＝Asin?ωx＋φ?的形式，再利用函数图像解决问题.
4．求函数y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4 x的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递减区间．
[解] y＝sin4x＋2sin xcos x－cos4x
＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋2sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝2＝2sin，
所以T＝＝π，ymin＝－2.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
又x∈[0，π]，
所以令k＝0，
得函数的单调递减区间为.
1.对于“二倍角”应该有广义上的理解
如：8α是4α的二倍；4α是2α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝(n∈N*)．
2.二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．常用形式：
①1＋cos 2α＝2cos2 α；②cos2 α＝；③1－cos 2α＝2sin2 α；④sin2α＝.
1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A． B．
C． D．
B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos2α.
∵α∈，∴2sin α＝cos α.又∵sin2 α＋cos2 α＝1，
∴sin2 α＝.又α∈，∴sin α＝.
故选B．]
2.的值为( )
A．－ B．－
C． D．
D [原式＝cos2－sin2＝cos ＝.]
3.已知tan α＝－，则＝________.
－ [＝
＝＝tan α－＝－.]
4．求下列各式的值：
(1)cos cos ；
(2)－cos2.
[解](1)原式＝
＝＝＝＝.
(2)原式＝＝－＝－cos ＝－.
课件54张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换
8.2.3 倍角公式利用二倍角公式化简求值 利用二倍角公式解决条件求值问题点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(十九) 倍角公式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1. sin 105°cos 105°的值为( )
A． B．－
C． D．－
B [sin105°cos 105°＝sin210°＝sin(180°＋30°)
＝－sin30°＝－.]
2.若tan α＝3，则＝( )
A．2 B．3
C．4 D．6
D [＝＝＝2tanα＝6.]
3.设f(tan x)＝tan 2x，则f(2)的值等于( )
A． B．－
C．－ D．4
B [∵f(tan x)＝，∴f(2)＝＝－.
∴故选B．]
4.－等于( )
A．－2cos 5° B．2cos 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
C [原式＝－
＝(cos 50°－sin 50°)＝2
＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.]
5．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是( )
A． B．
C．－ D．－
A [设底角为θ，则θ∈，顶角为180°－2θ.∵sin θ＝，∴cos θ＝＝.
∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.]
6．下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法错误的是( )
A．最小正周期为π
B．最大值为1，最小值为－1
C．函数图像关于直线x＝0对称
D．函数图像关于点对称
C [函数f(x)＝1－2sin2＝cos
＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π， A正确．
最大值为1，最小值为－1，B正确．
由2x＝kπ＋?x＝＋，k∈Z，得函数图像关于直线x＝＋，k∈Z对称，C不正确．
由2x＝kπ?x＝，k∈Z，得函数图像关于点，k∈Z对称，D正确．]
二、填空题
7．函数f(x)＝2cos2－1的最小正周期为________．
π [f(x)＝cos＝sin 2x，故f(x)的最小正周期为π.]
8．计算＝________.
－ [＝·＝tan150°
＝－tan30°＝－.]
9．求函数f(x)＝cos 2x＋4sin x的值域是________．
[－5,3] [f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；当sin x＝－1时，f(x)min
＝－5.]
三、解答题
10．已知cos＝，α∈.
求：(1)cos α－sin α的值；
(2)cos的值．
[解](1)∵cos＝，α∈，
∴＝，
cos α＋sin α＝平方化简可得sin 2α＝－，
又α∈，
∴sin α＞0，cos α＜0，cos α－sin α＝－
＝－＝－
(2)cos＝cos 2α－sin 2α
＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)－sin 2α＝.]
[等级过关练]
1.已知sin＝，则等于( )
A． B．±
C． D．±
B [∵＝＝，
由sin＝，
得(sin θ－cos θ)＝，两边平方得：sin 2θ＝，
∴cos 2θ＝±.∴原式＝＝±，故选B．]
2.4cos 50°－tan 40°等于( )
A． B．
C． D．2－1
C [4cos 50°－tan 40°＝
＝＝
＝＝＝.]
3.函数y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T为________．
π [∵y＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋，∴周期T＝π.]
4．已知tan ＝3，则＝________.
3 [＝
＝＝tan ＝3.]
5．已知函数f(x)＝cos＋sin2x－cos 2x＋2·sin xcos x.
(1)化简f(x)；
(2)若f(α)＝，2α是第一象限角，求sin 2α.
[解](1)f(x)＝cos 2x－sin 2x－cos 2x＋sin 2x
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
(2)f(α)＝sin＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜＋2kπ(k∈Z)，
∴2kπ－＜2α－＜＋2kπ，∴cos＝，
∴sin 2α＝sin
＝sincos ＋cos sin
＝×＋×＝.
