专题强化训练(二) 向量的数量积与三角恒等变换
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6)
C．(6，－3) D．(－6,3)
A [设b＝ka＝(k，－2k)，k＜0，而|b|＝3，则＝3，k＝－3，b＝(－3,6)．]
2.若a，b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )
A． B． C． D．
B [∵a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0, ∴a2＝b2，|a|＝|b|，
又∵cos θ＝＝＝，∴θ＝.]
3.函数f(x)＝cos 2x＋2sin x的最小值和最大值分别为( )
A．－3,1 B．－2,2
C．－3， D．－2，
C [f(x)＝－2sin2x＋2sin x＋1＝－22＋，sin x∈[－1,1]，
∴f(x)max＝， f(x)min＝－3.]
4．平面直角坐标系中， O为坐标原点， 已知两点A(3,1)，B(－1,3), 若点C满足＝α＋β， 其中α，β∈R且α＋β＝1, 则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0
D [设C(x，y)，则＝(x，y)，＝α＋β
＝α(3,1)＋(1－α)(－1,3)＝(3α，α)＋(α－1,3－3α)
＝(4α－1,3－2α)，∴x＝4α－1，y＝3－2α，
消去α得x＋2y－5＝0.]
5．函数y＝sin xcos x＋cos 2x－的图像的一个对称中心为( )
A． B．
C． D．
B [y＝sin 2x＋(1＋cos 2x)－＝sin2x＋－，令2x＋＝kπ，(k∈Z)
x＝－(k∈Z)，当k＝2时，x＝，∴函数图像的一个对称中心为.]
6．设向量a＝(cos 55°，sin 55°)，b＝(cos 25°，sin 25°)，若t为实数，则|a－tb|的最小值是( )
A． B．1
C． D．1＋
A [|a－tb|＝＝
＝
＝
＝
＝＝，|a－tb|的最小值为.]
二、填空题
7．给出下列四个命题，其中正确的序号是________．
①非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角是30°；②若(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；③若单位向量a，b的夹角为120°，则当|2a＋xb|(x∈R)取最小值时x＝1；④ 若＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，∠ ABC为锐角，则实数m的取值范围是m＞－.
①②③ [①中，令＝a，＝b.以，为邻边作平行四边形OACB．∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴四边形OACB为菱形，∠AOB＝60°，∠AOC＝30°，即a与a＋b的夹角是30°，
故①正确．②中，∵(＋)·(－)＝0，∴||2＝||2，
故△ABC为等腰三角形．故②正确．
③中，∵(2a＋xb)2＝4a2＋4xa·b＋x2b2
＝4＋4xcos 120°＋x2＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3，
故|2a＋xb|取最小值时x＝1.故③正确．
④中，∵＝－＝(3，－4)－(6，－3)＝(－3，－1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(6，－3)＝(－1－m，－m)，又∠ABC为锐角，∴·＞0，即3＋3m＋m＞0，∴m＞－.又当与同向共线时，m＝，故当∠ABC为锐角时，m的取值范围是m＞－且m≠.故④不正确．]
8．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则sin 2α＋2cos 2α＝________.
－2 [由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin2α
＝＝＝
＝－2.]
9．若＝2 020，则＋tan 2α＝________.
2 020 [＋tan 2α＝＋＝＝＝
＝＝2 020.]
三、解答题
10．已知△ABC的内角B满足2cos 2B－8cos B＋5＝0，若＝a，＝b，且a，b满足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ为a，b的夹角．求sin(B＋θ)．
[解] 2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0,4cos2B－8cos B＋3＝0，
得cos B＝，sin B＝，cos θ＝＝－，
sin θ＝，
sin(B＋θ)＝sin Bcos θ＋cos Bsin θ＝.
[等级过关练]
1.已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于( )
A．－ B．－2
C．－1 D．
B [∵sin 2α＝，且＜2α＜π，∴cos 2α＝－，
∴tan 2α＝－，
∴tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.
2.设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量长度的最大值是( )
A． B．
C．3 D．2
C [∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，
∴||＝＝≤3.
3.函数y＝(acos x＋bsin x)cos x有最大值2，最小值－1，则实数a＝________，b＝________.
1 ±2 [y＝acos2x＋bsin xcos x＝sin 2x＋·cos 2x＋＝sin(2x＋φ)＋，＋＝2，－＋＝－1，a＝1，b＝±2.]
4．如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．
－ [因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，
设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．
所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)
＝2－.
所以当x＝时，(＋)·取到最小值－.]
5．已知函数f(x)＝a(cos 2x＋sin xcos x)＋b.
(1)当a＞0时，求f(x)的单调递增区间；
(2)当a＜0且x∈时，f(x)的值域是[3,4]，求a，b的值．
[解] f(x)＝a·＋a·sin 2x＋b
＝sin＋＋b.
(1)2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，(k∈Z)，kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即x∈，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)0≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin2x＋≤1，
f(x)min＝3，f(x)max＝4，
∴a＝2－2，b＝4.
章末综合测评(二) 向量的数量积与三角恒等变换
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若向量a＝(3，m)，b＝(2，－1)，a·b＝0，则实数m的值为( )
A．－ B． C．2 D．6
D [a·b＝6－m＝0，∴m＝6.]
2.设向量a＝，若a的模长为 ，则cos 2α等于( )
A．－ B．－
C． D．
A [∵|a|＝＝，∴cos2α＝.∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.]
3.平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A． B．2
C．4 D．12
B [∵|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12.
∴|a＋2b|＝2.]
4．tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°等于( )
A．－ B． C．－1 D．1
D [tan 17°＋tan 28°＋tan 17°tan 28°
＝tan(17°＋28°)(1－tan 17°tan 28°)＋tan 17°tan 28°
＝1－tan 17°tan 28°＋tan 17°tan 28°＝1.]
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6 B．5
C．4 D．3
C [∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(6,3)，∵(8a－b)·c＝(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30，
∴x＝4.]
6．要得到函数y＝sin x的图像，只需将函数y＝cosx－的图像( )
A．向右平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向左平移 个单位
A [y＝cos＝sin，向右平移个单位即得y＝sin＝sin x，故选A．]
7．已知A，B，C是锐角△ABC的三个内角，向量p＝(sin A,1)，q＝(1，－cos B)，则p与q的夹角是( )
A．锐角 B．钝角
C．直角 D．不确定
A [∵△ABC是锐角三角形，∴A＋B>.∴>A>－B>0.
∵函数y＝sin x，x∈是递增函数，∴sin A>sin.即sin A>cos B．
∴p·q＝sin A－cos B>0，∴p与q所成的角是锐角．]
8．若向量a＝，b＝(1，sin 75°)，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
C [由向量a＝，b＝(1，sin 75°)，
所以a·b＝tan 15°＋＝＋＝＝＝4，故选C．]
9．若将函数y＝tan(ω>0)的图像向右平移 个单位长度后，与函数y＝tan的图像重合，则ω的最小值为( )
A． B． C． D．
D [由题意知tan＝tan，即tan＝tan.
∴－ω＝kπ＋，得ω＝－6k＋，则ωmin＝(ω>0)．]
10．设函数f(x)＝asin xcos x－2sin2x，若直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为1
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为2
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为1
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为2
A [f(x)＝asin xcos x－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x－1＝－1，
令cos θ＝，sin θ＝，则tan θ＝，其中θ是参数，则f(x)＝sin(2x＋θ)－1，
则函数的最小正周期T＝＝π，∵直线x＝是f(x)图像的一条对称轴，
∴2×＋θ＝kπ＋，即θ＝kπ＋，则tan θ
＝tan＝tan＝，
即＝，得a＝2，则函数f(x)的最大值为－1＝－1＝－1＝2－1＝1，故选A．]
11.已知3cos 2α－4sin2β＝1,3sin 2α－2sin 2β＝0，且α、β都是锐角，则α＋2β＝( )
A． B．π
C． D．
A [由3cos 2α－4sin2β＝1得3cos 2α＋2cos 2β＝3， ①
由3sin 2α－2sin 2β＝0得9sin22α－4sin22β＝0，得9cos22α－4cos22β＝5，得(3cos 2α－2cos 2β)(3cos 2α＋2cos 2β)＝5，得3cos 2α－2cos 2β＝， ②
①②联立解得cos 2α＝，cos 2β＝，
∵α，β为锐角，∴sin α＝，cos α＝，sin 2β＝，
∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝0，
∵α＋2β∈，∴α＋2β＝.故选A．]
12.已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1图像的对称轴完全相同；若x∈，则y＝g(x)的值域是( )
A．[－1,2] B．[－1,3]
C．[0,2] D．[0.3]
A [∵函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1图像的对称轴完全相同，
∴ω＝2，
∴函数f(x)＝3sin，
则2x－＝kπ＋，即x＝＋，k∈Z，
由g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1，则2x＋φ＝kπ，
即x＝－，k∈Z.
∵|φ|＜，∴－＋＝，∴φ＝，
∴g(x)＝2cos＋1，
∵x∈，
∴2x＋∈，
∴cos∈
∴g(x)∈[－1,2]，故选A．]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13.若2sin(π＋x)－cos＝1，则cos 2x＝________.
[∵2sin(π＋x)－cos＝1，∴－2sin x－sin x＝1，∴sin x＝－，
∴cos 2x＝1－2sin2x＝.]
14．已知非零向量π，n满足4|π|＝3|n|，若n⊥(－4π＋n)，则π，n夹角的余弦值为________
[∵非零向量π，n满足4|π|＝3|n|，
若n⊥(－4π＋n)，
∴|π|＝|n|，且n·(－4π＋n)＝n2－4π·n＝0，
即π·n＝.
设π，n夹角为θ，则cos θ＝＝＝.]
15．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(1，－2)，则|3a－b|的最大值是________．
6 [向量3a＝(3cos θ，3sin θ)，其终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，
|b|＝＝3，其终点也在此圆上，当3a与b反向时，|3a－b|为最大，最大值为3|a|＋|b|＝3＋3＝6.
如图所示：
]
16．已知x∈，函数f(x)＝2sin2＋sin2x＋＋3m，若f(x)＜2恒成立，则m的取值范围是________．
[f(x)＝2sin2＋sin2x＋＋3m＝1－cos＋cos 2x＋3m
＝3m＋1－2sin，
∵≤x≤，∴≤2x－≤π，则3m－1≤f(x)≤3m＋1，
∵f(x)＜2恒成立，∴3m＋1＜2，解得m＜.∴m的取值范围是.]
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝其中x∈(0，π)．
(1)若a∥b，求x的值；
(2)若tan x＝－2，求|a＋b|的值．
[解](1)∵a∥b，∴sin xcos x＝，即sin 2x＝1.
∵x∈(0，π)，∴x＝.
(2)∵tan x＝＝－2，∴sin x＝－2cos x.
∵a＋b＝，
∴|a＋b|＝
＝＝.
18．(本小题满分12分)已知向量a＝(2cos α，2sin α)，b＝(cos α－sin α，cos α＋sin α)．
(1)求向量a与b的夹角；
(2)若(λb－a)⊥a，求实数λ的值．
[解](1)|a|＝2，|b|＝，a·b＝2cos2α－2sin αcos α＋2sin αcos α＋2sin2α＝2；
∴cos〈a，b〉＝＝；又0≤〈a，b〉≤π；∴a与b的夹角为.
(2)∵(λb－a)⊥a；∴(λb－a)·a＝λa·b－a2＝2λ－4＝0，∴λ＝2.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝cos x(sin x－cos x)＋.
(1)求f的值；
(2)当x∈时，不等式c[解](1)f(x)＝sin xcos x－cos 2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin ，
所以f＝1.
(2)因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以－≤sin ≤1.
由不等式c解得 －1所以实数c的取值范围为.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(3x＋φ)(A>0，x∈(－∞ ，＋∞)，0<φ<π)在x＝ 时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式；
(3)若f＝ ，求sin α.
[解](1)∵f(x)＝Asin(3x＋φ)，∴T＝，即f(x)的最小正周期为.
(2)∵当x＝时，f(x)有最大值4，∴A＝4.
∴4＝4sin，∴sin＝1.
即＋φ＝2kπ＋，得φ＝2kπ＋(k∈Z)．
∵0<φ<π，∴φ＝.∴f(x)＝4sin.
(3)∵f＝4sin
＝4sin＝4cos 2α.
由f＝，得4cos 2α＝，∴cos 2α＝，
∴sin2α＝(1－cos 2α)＝，∴sin α＝±.
21.(本小题满分12分)已知向量a＝(sin x,1)，b＝(cos x，－1)．
(1)若a∥b，求tan 2x的值；
(2)若f(x)＝(a＋b)·b，当x∈时，求函数f(x)的最大值．
[解](1)∵向量a＝(sin x,1)，b＝(cos x，－1)．
又a∥b，∴1×cos x＝－1×(sin x)，∴tan x＝－，∴tan 2x＝＝－.
(2)∵f(x)＝(a＋b)·b，∴f(x)＝sin xcos x＋cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin＋，
∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝，即x＝时，函数取最大值为，
故函数的周期为π，当x∈时的最大值为.
22.(本小题满分12分)如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ)．
(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2)当θ为何值时，投资费用最低？并求出f(θ)的最小值．
[解](1)连结OM(图略)．在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝∠PON＝θ，
故NP＝2tan θ.据平面几何知识可知，MB＝MP，∠BOM＝∠BOP＝－，
在Rt△BOM中，OB＝2，∠BOM＝－，故BM＝2tan.
所以f(θ)＝NP＋2BM＝2tan θ＋4tan.
显然θ∈，所以函数f(θ)的定义域为.
(2)令α＝－，则θ＝－2α，且α∈.
所以f(θ)＝2tan＋4tan α＝＋4tan α
＝＋4tan α＝＋4tan α＝＋4tan α＝＋3tan α≥2，
当且仅当＝3tan α，即tan α＝等号成立．故θ＝时，投资最低f(θ)＝2.
平面向量的数量积
平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．
【例1】 非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值．
[思路探究]
→→
[解] 由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得
解得
所以|a||b|＝－a·b，
所以cos θ＝＝－.
1.如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则·＝( )
A． B． C．－ D．－
C [设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，
在Rt△ABD中，cos∠ABC＝，·＝||||cos(π－∠ABC)＝2×1×＝－.故选C．]
向量的坐标运算
1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．
2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．
3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．
【例2】 已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
[思路探究](1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；
(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．
[解](1)设点B的坐标为(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
∴∴
∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，∴M.
(2)由已知得＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
又＝λ，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
则∴
2.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求.
[解] 设D(x，y)，则＝(x－2，y＋1)，
＝(x－3，y－2)，＝(－6，－3)，
∵⊥，∴·＝0，
则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0， ①
∵∥，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0， ②
解由①②构成的方程组得
则D点坐标为(1,1)，所以＝(－1,2).
平面向量的应用
1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．
2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．
3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．
【例3】 已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.
求证：(1)BE⊥CF；
(2)AP＝AB．
[证明] 如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则
A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．
(1)＝－＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，
＝－＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．
∵·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，
∴⊥，即BE⊥CF.
(2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(－2，－1)，
∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理，由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
解得x＝，∴y＝，即P.
∴||2＝＋＝4＝||2，
∴||＝||，即AP＝AB．
3.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．
[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴＝(1,1)，＝(－3,3)，
∴·＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴⊥，即AB⊥AD．
(2)∵四边形ABCD为矩形，∴⊥，＝.
设C点的坐标为(x，y)，
则＝(1,1)，＝(x＋1，y－4)，
∴解得
∴C点的坐标为(0,5)．
从而＝(－2,4)，＝(－4,2)，
∴||＝2，||＝2，·＝8＋8＝16.
设与的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝，
∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
给值求值问题
给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．
【例4】 已知<α<π，tan α＋＝－.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
[思路探究](1)结合α的取值范围，求解tan α的值；
(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan α的式子代入求值即可．
[解](1)由tan α＋＝－，得3tan2α＋10tan α＋3＝0，即tan α＝－3或tan α＝－.
又<α<π，所以tan α＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＝－.
4．已知sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求cos(α＋β)的值．
[解] ∵0＜α＜＜β＜，
∴＜＋α＜π，－＜－β＜0.
又sin＝，cos＝，
∴cos＝－.
sin＝－.
cos(α＋β)＝sin＝sin
＝sincos－cossin＝×－×＝－.
三角恒等变形的综合应用
与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：
(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
【例5】 已知向量a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
[思路探究](1)可先由f(θ)＝0求tan θ，再化简后，由tan θ值代入求值；
(2)先化简成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域．
[解](1)∵a＝(1，－)，b＝(sin x，cos x)，
∴f(x)＝a·b＝sin x－cos x，
∵f(θ)＝0，即sin θ－cos θ＝0，
∴tan θ＝，
∴
＝
＝
＝
＝－2＋.
(2)f(x)＝sin x－cos x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，取最小值－，
当x－＝，即x＝时，取最大值2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．
5．已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(，－1)，且m·n＝1，且A为锐角．
(1)求角A的大小；
(2)求函数f(x)＝cos 2x＋4cos Asin x(x∈R)的值域．
[解](1)由题意得m·n＝sin A－cos A＝1，
2sin＝1，sin＝.
由A为锐角得A－＝，A＝.
(2)由(1)知cos A＝，
所以f(x)＝cos 2x＋2sin x＝1－2sin2x＋2sin x
＝－2＋.
因为x∈R，所以sin x∈[－1,1]，因此，
当sin x＝时，f(x)有最大值，
当sin x＝－1时，f(x)有最小值－3，
所以所求函数f(x)的值域为.
转化与化归的思想
三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．
【例6】 已知sin＝，cos＝－，且α－和－β分别为第二、第三象限角，求tan的值．
[思路探究] 先根据α－，－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由＝－求解．
[解] ∵sin＝，且α－为第二象限角，
∴cos＝－＝－.
又cos＝－，且－β为第三象限角，
∴sin＝－＝－.
∴tan＝－，tan＝，
∴tan＝tan
＝＝＝－.
6．已知sin α－cos α＝－，α∈，sin＝，β∈.
(1)求sin α和cos α的值；
(2)求cos的值．
[解](1)由题意得(sin α－cos α)2＝，
即1－sin 2α＝，
∴sin 2α＝.又2α∈，
∴cos 2α＝＝，
∴cos2 α＝＝，
∵α∈，
∴cos α＝＝，
sin α＝＝.
(2)∵β∈，β－∈，
∴cos＝，
cos＝cos
＝cos αcos＋sin αsin
＝×＋×＝.
数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起．运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题．
【例7】 已知向量＝(2,0)，＝(0,2)，＝(cos α，sin α)，则与夹角的范围是( )
A． B．
C． D．
[思路探究] 计算向量的模长，得到点A在以C(0,2)为圆心，为半径的圆上，利用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案．
D [∵＝(2,0)，＝(0,2)，＝(cos α，sin α)，
∴||＝＝，
A的轨迹是以C(0,2)为圆心，以为半径的圆，
在△COD中，OC＝2，CD＝，∠CDO＝，所以∠COD＝，
所以当A在D处时，则与夹角最小为－＝，
当A在E处时与夹角最大为＋＝，
∴与夹角的取值范围是，故选D．]
7．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )
A．－1 B． C．＋1 D．＋2
C [∵|a|＝|b|＝1，
且a·b＝0，∴可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)．
∴c－a－b＝(x－1，y－1)．
∵|c－a－b|＝1，
∴＝1，
即(x－1)2＋(y－1)2＝1.
又|c|＝，如图所示．
由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max＝＋1＝＋1.]
课件55张PPT。第八章 向量的数量积与三角恒等变换章末复习课平面向量的数量积 向量的坐标运算 平面向量的应用 给值求值问题 三角恒等变形的综合应用转化与化归的思想 数形结合思想 点击右图进入…Thank you for watching !
