7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般)
2.理解象限角的概念．(重点)
3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(难点)
1.通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养．
2.借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养.
1.角的概念
(1)角：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角．这两条射线分别称为角的始边和终边．由于是旋转生成的，也称为转角．
(2)角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角
按逆时针方向旋转而形成的角
负角
按顺时针方向旋转而形成的角
零角
一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角
2.角的加减法运算
引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．
3.象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
4．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？
[提示] 不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．
1.钟表的分针在一个半小时内转了( )
A．180° B．－180° C．540° D．－540°
D [钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]
2.下列各角中，与330°角的终边相同的角是( )
A．510° B．150° C．－150° D．－390°
D [与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．]
3.下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角．
其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)
①②③④ [由象限角定义可知①②③④都不正确．]
任意角的概念
【例1】(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )
A．A＝B＝C B．A?C
C．(A∩C)＝B D．(B∪C)?C
(2)设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A．A＝B B．B＝C
C．A＝C D．A＝D
[思路探究] 利用角的概念进行判断．
(1)D(2)D [(1)第一象限角可表示为k·360°<α(2)直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．]
1.判断角的概念问题的关键与技巧：
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
2.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
1.有下列说法：
①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．
其中正确说法的序号是________．
③ [①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；
②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；
③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．]
象限角与区域角的表示
【例2】(1)如图，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．
[思路探究]
(1)C [在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k·360°＋150°<α(2)[解] 阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}．
集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}．
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合．对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合．(k∈Z)．
2.写出图中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．
[解] 在－180°～180°内落在阴影部分角的集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}.
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
[探究问题]
1.由α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
[提示](1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：将各象限k等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n象限时，就在n号区域．例如：当角α在第二象限时，在图k＝2时的2号区域，在图k＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．
2.若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
[提示](1)关于y轴对称：若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于x轴对称：若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线y＝x对称：若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
【例3】(1)若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)已知α为第二象限角，则2α，分别是第几象限角？
[思路探究](1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；
(2)由α的范围写出2α，的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定的位置．
(1)C [因为α是第四象限角，则角α应满足：
k·360°－90°<α所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．]
(2)[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，则45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此时，为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，则225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此时，为第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
(变结论)本例(2)中条件不变，试判断是第几象限角？
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此时为第一象限角；
当k＝3n＋1，n∈Z时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此时为第二象限角；
当k＝3n＋2，n∈Z时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此时为第四象限角．
∴为第一、第二或第四象限角．
解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或f(α,n)的范围，再根据k与n的关系进行讨论.
1.终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置
角α的集合表示
在x轴上
{α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上
{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上
{α|α＝k·90°，k∈Z}
2.象限角的集合表示
象限角
象限角α的集合表示
第一象限角
{α|k·360°<α第二象限角
{α|k·360°＋90°<α第三象限角
{α|k·360°＋180°<α第四象限角
{α|k·360°＋270°<α3.对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内(而且只有这样的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z).
1.以下说法正确的是( )
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A?B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
B [对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A?B，故选B．]
2.已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有( )
A．M＝N B．NM
C．MN D．M∩N＝
C [由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图(1))
又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角(如图(2))，因而MN，故正确答案为C．]
3.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
k·360°(k∈Z) [根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·360°(k∈Z)．]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
(1)－120°；(2)640°.
[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
课件51张PPT。第七章 三角函数7.1 任意角的概念与弧度制
7.1.1 角的推广转角一条射线旋转角始边终边没有作任何旋转逆时针方向旋转顺时针方向旋转和 第几象限的角 整数个周角 任意角的概念 象限角与区域角的表示 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(一) 角的推广
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.－1 120°角所在象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．]
2.终边在第二象限的角的集合可以表示为( )
A．{α|90°<α<180°}
B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}
D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}
D [终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．]
3.若角θ是第四象限角，则270°＋θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C [因为角θ是第四象限角，所以－90°＋k·360°<θ则180°＋k·360°<270°＋θ<270°＋k·360°(k∈Z)，
故270°＋θ是第三象限角，故选C．]
4．集合M＝{α|α＝k·90°，k∈Z}中各角的终边都在( )
A．x轴非负半轴上
B．y轴非负半轴上
C．x轴或y轴上
D．x轴非负半轴或y轴非负半轴上
C [当k＝4n(n∈Z)时，α＝n·360°；当k＝4n＋1(n∈Z)时，α＝90°＋n·360°；当k＝4n＋2(n∈Z)时，α＝180°＋n·360°；当k＝4n＋3(n∈Z)时，α＝270°＋n·360°.因此，集合M中各角的终边都在x轴或y轴上．]
5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
A [当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角，所以α为第一或第三象限角．故选A．]
6．终边在直线y＝x上的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
C [设终边在直线y＝x上的角的集合为P，
则P＝{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°＋45°，k∈Z}
＝{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}，故选C．]
二、填空题
7．一角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为________．
1 110° [按逆时针方向旋转得到的角是正角，旋转三周则得30°＋3×360°＝1 110°.]
8．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是______度，分针所转成的角度是________度．
－5 －60 [将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×＝60°，所转成的角度是－60°.]
9．若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．
214° －146° [∵2 014°＝5×360°＋214°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝214°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是214°，最大负角是－146°.]
三、解答题
10．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．
(1) (2)
[解] 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
[等级过关练]
1.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是( )
A．第一象限角 B．第一或第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第一或第四象限角
C [由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．]
2.若角α＝m·360°＋60°，β＝k·360°＋120°，(m，k∈Z)，则角α与β的终边的位置关系是( )
A．重合 B．关于原点对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
D [α的终边和60°的终边相同，β的终边与120°终边相同，
∵180°－120°＝60°，
∴角α与β的终边的位置关系是关于y轴对称，故选D．]
3.角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.
150°＋k·360°，k∈Z [∵30°与150°的终边关于y轴对称，
∴β的终边与150°角的终边相同．
∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.]
4．终边在直线y＝x上的角的集合是________．
{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z} [如图，直线y＝x过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，
终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：
S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，
S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，
所以角β的集合S＝S1∪S2
＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．]
5．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知：
α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴0°＜α＋β＜180°.
取k＝1，得α＋β＝80°，①
α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β为锐角，
∴－90°＜α－β＜90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°，②
由①②得：α＝15°，β＝65°.
