7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．(重点)
2.会根据三角函数的定义确定三角函数在各象限内的符号．(难点)
1.通过任意角的三角函数概念的学习，培养学生的数学抽象及直观想象核心素养．
2.借助角在各象限符号的判断，提升学生的直观想象及数学抽象核心素养.
1.任意角的三角函数
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝ ＞0)．
三角函数
定义
名称
sin α
正弦
cos α
余弦
tan α
正切
2.三角函数在各象限的符号
思考：记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有什么诀窍吗？
[提示] 对正弦、余弦、正切函数值的符号可用下列口诀记忆：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦是正值．
1.已知角α终边经过P，则cos α等于( )
A． B． C． D．±
B [由三角函数定义可知，设x＝，y＝，则r＝＝1，故cos α＝.]
2.若三角形的两内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都可能
B [∵sin αcos β<0，α，β∈(0，π)，
∴sin α>0，cos β<0，∴β为钝角．]
3.若角α的终边上有一点P(3,4)，则sin α＋cos α＝________.
[由三角函数定义知，sin α＝，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝.]
4．已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角．
第三或第四 [∵cos θ·tan θ<0，∴cos θ，tan θ异号．
故由象限角知识可知θ在第三或第四象限．]
任意角三角函数的定义及应用
【例1】(1)若sin α＝，cos α＝－，则在角α终边上的点有( )
A．(－4,3) B．(3，－4)
C．(4，－3) D．(－3,4)
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
[思路探究](1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
(2)分a＞0，a＜0两种情况分别求解．
(1)A(2)1或－1 [(1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题意，故选A．
(2)因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.]
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
由α的终边上一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
1.设函数f(θ)＝sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π.若点P的坐标为，求f(θ)的值．
[解] 由点P的坐标为和三角函数定义得sin θ＝，cos θ＝，
所以f(θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2.
三角函数符号的判断
【例2】 判断下列各式的符号．
(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
(2)tan 191°－cos 191°；
(3)sin 2cos 3tan 4.
[思路探究] 先确定角所在象限，进一步确定各式的符号．
[解](1)∵2 015°＝5×360°＋215°，
2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0，
∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cos 191°<0，
∴tan 191°－cos 191°>0.
(3)∵<2<π，<3<π，π<4<，
∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，
∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2cos 3tan 4<0.
由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝?r＞0?，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P?x，y?的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键.
2.判断下列式子的符号：
sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)．
[解] 270°<320°<360°，360°<385°<450°，90°<155°<180°，－540°<－480°<－450°，
则320°为第四象限角，385°为第一象限角，155°为第二象限角，－480°为第三象限角，
所以sin 320°<0，cos 385°>0，tan 155°<0，tan(－480°)＞0.
所以sin 320°·cos 385°·tan 155°·tan(－480°)＞0，即符号为正．
1.对三角函数值符号的理解
三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内点的坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：
(1)正弦值的符号取决于纵坐标y的符号．
(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号．
(3)正切值的符号是由x，y的符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．
2.对三角函数定义的理解
(1)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置无关，只由角α的终边位置确定．即三角函数值的大小只与角有关．
(2)要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取．
(3)要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切函数值．
1.已知P(1，－5)是α终边上一点，则sin α＝( )
A．1 B．－5
C．－ D．
C [∵x＝1，y＝－5，
∴r＝，
∴sin α＝＝－.]
2.sin 1·cos 2·tan 3的值是( )
A．正数 B．负数
C．0 D．不存在
A [∵0<1<，<2<π，<3<π，
∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，
∴sin 1·cos 2·tan 3>0.]
3.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________．
[∵sin x＝|sin x|，
∴sin x≥0，
∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.]
4．已知角α的终边过点P(5，a)，且tan α＝－，求sin α＋cos α的值．
[解] 根据三角函数的定义，tan α＝＝－，
∴a＝－12，
∴P(5，－12)，r＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
从而sin α＋cos α＝－.
课件34张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.1 三角函数的定义任意角三角函数的定义及应用 三角函数符号的判断 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(三) 三角函数的定义
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.给出下列函数值：① sin(－1 000°)；② cos；③ tan 2，其中符号为负的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [∵－1 000°＝－3×360°＋80°，∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)>0；
∵－ 是第四象限角，∴cos>0；∵2 rad＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2<0.]
2.已知α∈且sin α＞0，则下列不等式一定成立的是( )
A．cos α·tan α＜0 B．sin α·tan α＞0
C．cos α－tan α＜0 D．sin α－tan α＞0
D [已知α∈且sin α＞0，则α∈，所以cos α＜0，tan α＜0，
所以对于选项A：cos α·tan α＞0，故选项A错误．
对于选项B：sin α·tan α＜0故选项B错误．
对于选项C：cos α－tan α不能确定符号，故选项C错误．
对于选项D：sin α－tan α＞0，故选项D正确．故选D．]
3.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )
A． B．－
C．－ D．－
A [∵sin 30°＝ ，cos 30°＝ ，
∴P点坐标为(1，－)，∴r＝2，cos α＝＝.]
4．若α为第二象限角，则－＝( )
A．1 B．0
C．2 D．－2
C [∵α是第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，
∴－＝＋＝2.]
5．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [由题意知：sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．]
6．设△ABC的三个内角为A，B，C，则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A．tan A与cos B B．cos B与sin C
C．sin C与tan A D．tan 与sin C
D [∵0＜A＜π，∴0＜ ＜ ，∴tan ＞0；
又∵0＜C＜π，∴sin C＞0.]
二、填空题
7．如果cos x＝|cos x|，那么角x的取值范围是________．
{x|2kπ－≤x≤2kπ＋ ，k∈Z} [∵cos x＝|cos x|，∴cos x≥0，
∴角x的终边落在y轴或其右侧，
∴2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．]
8．下列函数值：① sin 4，② cos 5，③ tan 8，其中函数值为正的是________．
② [∵π<4< ，∴sin 4<0，∵<5<2π，
∴cos 5>0；
∵<8<3π，∴tan 8<0.]
9．已知角α的终边上一点(1，m)，且sin α＝，则m＝_______.
[角α的终边上一点P(1，m)，所以r＝|OP|＝，所以sin α＝＝，
所以m＞0，解得m＝.]
三、解答题
10．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
[解] 当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝ ，
得sin α＝＝ ，cos α＝＝ ，tan α＝2；
当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝ ，得sin α＝＝－ ，cos α＝＝－ ，tan α＝2.
[等级过关练]
1.已知tan x>0，且sin x＋cos x>0，那么角x是为第几象限角( )
A．一 B．二
C．三 D．四
A [∵tan x>0，∴x是第一或第三象限角．又∵sin x＋cos x>0，∴x是第一象限角．]
2.已知角α的终边经过点P(－b,4)且cos α＝－ ，则b的值为( )
A．3 B．－3
C．±3 D．5
A [r＝ ，∴cos α＝＝－ ，∴b2＝9，b＝±3.
又cos α＝－<0，∴－b<0，b>0，∴b＝3.]
3.已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．
－2
0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，∴－24．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
2 [∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝.
∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.]
5．已知＝－ ，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
[解](1)由＝－ ，
可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴α是第三或第四象限角或终边x轴的非负轴上的角，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，
∴＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝＝－.
