7.2.2 单位圆与三角函数线
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)
1.通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养．
2.借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.
1.单位圆
(1)一般地把半径为1的圆叫做单位圆．
(2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
2.三角函数线
思考：三角函数线的方向是怎样确定的？
[提示] 三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正值，反向的为负值．
1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )
A．正弦线，正切线
B．正弦线，正切线
C．正弦线，正切线
D．正弦线，正切线
C [由三角函数线的定义知C正确．]
2.角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
C [与的终边互为反向延长线，故它们有相同的正切线．]
3.角的终边与单位圆的交点的坐标是________．
[由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，
∴角的终边与单位圆的交点的坐标是.]
三角函数线的概念
【例1】(1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sin α＝MP，cos α＝OM，则下列命题成立的是( )
A．总有MP＋OM＞1
B．总有MP＋OM＝1
C．存在角α，使MP＋OM＝1
D．不存在角α，使MP＋OM＜0
(2)分别作出π和－π的正弦线、余弦线和正切线．
(1)C [显然，当角α的终边不在第一象限时，MP＋OM＜1，MP＋OM＜0都有可能成立；当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，故选C．]
(2)[解] ①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作π角，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝MP，cos π＝OM，tan π＝AT，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
②同理可作出－π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．
sin ＝M1P1，
cos＝O1M1，
tan＝A1T1，即－π的正弦线为，余弦线为，正切线为.
1.作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
2.作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线．
1.下列四个命题中：
①α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上．
不正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有相同正弦线的角可能不等，如与；③中当α＝时，α与α＋π都没有正切线．]
利用单位圆解三角不等式
【例2】 在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；(2)cos α≤－.
[思路探究] 作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．
[解](1)作直线y＝，交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z }.
(2)作直线x＝－，交单位圆于C，D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z }.
1.通过解答本题，我们可以总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：
(1)作出取等号的角的终边；
(2)利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；
(3)将图中的范围用不等式表示出来．
2.求与三角函数有关的定义域时，先转化为三角不等式(组)，然后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．
2.求y＝lg(1－cos x)的定义域．
[解] 如图所示，
∵1－cos x＞0，
∴cos x＜，
∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，
∴函数定义域为(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z).
三角函数线的综合应用
[探究问题]
1.为什么在三角函数线上，点P的坐标为(cos α，sin α)，点T的坐标为(1，tan α)呢？
[提示] 由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，而在单位圆中，r＝1，所以单位圆上的点都是(cos α，sin α)；另外角的终边与直线x＝1的交点的横坐标都是1，所以根据tan α＝，知纵坐标y＝tan α，所以点T的坐标为(1，tan α)．
2.如何利用三角函数线比较大小？
[提示] 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．
【例3】 已知α∈，试比较sin α，α，tan α的大小．
[思路探究] 本题可以利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示sin α，α，tan α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．
[解] 如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，
得sin α＝MP，tan α＝AT，
又α＝的长，
∴S△AOP＝·OA·MP＝sin α，
S扇形AOP＝··OA＝·＝α，
S△AOT＝·OA·AT＝tan α.
又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，
∴sin α＜α＜tan α.
1.本题的实质是数形结合思想，即要先找到与所研究问题相应的几何解释，再由图形相关性质解决问题．
2.三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，进而用几何方法解决问题．
3.利用三角函数线证明：|sin α|＋|cos α|≥1.
[证明]（图略） 在△OMP中，OP＝1，OM＝|cos α|，MP＝|sin α|，因为三角形两边之和大于第三边，所以|sin α|＋|cos α|＞1.
当点P在坐标轴上时，|sin α|＋|cos α|＝1.
综上可知，|sin α|＋|cos α|≥1.
1.应用三角函数线比较大小的策略
①三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．
②比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向．
2.利用三角函数线解三角不等式的方法
①正弦、余弦型不等式的解法
对于sin x≥b，cos x≥a(sin x≤b，cos x≤a)，求解关键是恰当地寻求点，只需作直线y＝b或x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．
②正切型不等式的解法
对于tan x≥c，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图像可确定相应的范围.
1.已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( )
A．或 B．或
C．或 D．或
C [由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝或.]
2.在[0,2π]上满足sin x≥的x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
B [画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x≥的取值范围是.]
3.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是 .
sin 1>cos 1 [∵<1<，
∴正弦线大于余弦线的长度，
∴sin 1>cos 1.]
4．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
[解](1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，则OP与OQ为角α的终边，如图甲．
甲 乙
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，则OM与ON为角α的终边，如图乙．
课件40张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.2 单位圆与三角函数线正弦单位圆余弦三角函数线的概念 利用单位圆解三角不等式点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(四) 单位圆与三角函数线
(建议用时：60分钟)[合格基础练]
一、选择题
1.已知角α的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )
A．y轴的非负半轴上 B．y轴的非正半轴上
C．x轴上 D．y轴上
D [由题意可知，sin α＝±1，故角α的终边在y轴上．]
2.如果MP、OM分别是角α＝ 的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )
A．MP
C．MP>OM>0 D．OM>MP>0
D [如图可知，OM>MP>0.]
3.有三个命题：① 与 的正弦线相等；② 与 的正切线相等；③ 与 的余弦线相等．其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0
B [根据三角函数线定义可知， 与 的正弦线相等， 与 的正切线相等， 与 的余弦线相反．]
4．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )
A．aC．cC [如图，作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b＝OM>0，a＝MP<0，
c＝AT<0，且MP>AT.
∴b＞a＞c，即c＜a＜b.]
5．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( )
A．aC．bD [如图，
在单位圆O中分别作出角π、π、π的正弦线M1P1，余弦线OM2、正切线AT.由π＝π－π知M1P1＝M2P2，又<π<，易知AT>M2P2>OM2，
∴cosπ6．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin αA [如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM二、填空题
7．若单位圆中角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
1 [角α的终边在y轴上，其正弦线的长度为1.]
8．若sin θ≥0，则θ的取值范围是________．
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) [sin θ≥0，如图利用三角函数线可得2kπ≤θ≤2kπ＋π，k∈Z.]
9．比较大小：sin 1________sin (填“>”或“<”)．
< [0<1<< ，结合单位圆中的三角函数线知sin 1三、解答题
10．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围．
(1)sin θ≥；(2)－≤cos θ<.
[解](1)图(1)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ＋≤θ≤2kπ＋ ，k∈Z.
(2)图(2)中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即2kπ－ π≤θ<2kπ－ 或2kπ＋<θ≤2kπ＋ π，k∈Z.
(1) (2)
[等级过关练]
1.点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵π＜3＜π，作出单位圆如图所示．
设MP，OM分别为a，b.sin 3＝a＞0，cos 3＝b＜0，所以sin 3－cos 3＞0.
因为|MP|＜|OM|即|a|＜|b|，所以sin 3＋cos 3＝a＋b＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]
2.使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A． B．
C． D．[0，π]
A [如图，
画出三角函数线
sin x＝MP，cos x＝OM，
由于sin＝cos，sin＝cos ，
为使sin x≤cos x成立，
则由图可得－≤x≤.]
3.若0<α<2π，且sin α< ，cos α>.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．
∪ [利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB区域内，
所以α的取值范围是
∪.]
4．函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
(n∈Z) [∵3－4sin2x＞0，
∴sin2x＜，
∴－＜sin x＜.
如图所示．
∴x∈∪(k∈Z)，
即x∈(n∈Z)．]
5．求函数f(x)＝＋ln(sin x－)的定义域
[解] 由题意，自变量x应满足不等式组
即
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴.
