7.2.3 同角三角函数的基本关系式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)
1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．
2.借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2 α＋cos2 α＝1.
商数关系：＝tan_α.
(2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．
思考：“同角”一词的含义是什么？
[提示] 一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2＋cos2＝1等．
1.已知α∈，sin α＝，则tan α＝( )
A．－ B．2
C． D．－2
A [∵α∈，sin α＝，
∴cos α＝－＝－＝－，
则tan α＝＝－，故选A．]
2.已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
B [∵cos2α＝1－sin2α＝1－＝，
∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－＝－.]
3.若sin α＋3cos α＝0，则的值为________．
－ [因为sin α＋3cos α＝0，所以tan α＝－3，因此
原式＝＝＝－.]
已知一个三角函数值求另两个三角函数值
【例1】(1)若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
(2)若cos α＝，求tan α的值；
(3)若tan α＝－，求sin α的值．
[思路探究] 对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．
[解](1)∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tan α＝＝－×＝.
(2)∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角．
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－.
(3)∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角．
由可得sin2α＝.
当α是第二象限角时，sin α＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；
(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．
1.已知sin αcos α＝－，且0<α<π，求tan α的值．
[解] 法一：∵sin αcos α＝－，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝，
∴(sin α＋cos α)2＝，∴sin α＋cos α＝±.
同理(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.
∵sin αcos α＝－<0,0<α<π，
∴<α<π，
∴sin α>0，cos α<0，
∴sin α－cos α＝.
由，
得或，
∴tan α＝－或tan α＝－.
法二：∵sin αcos α＝－，
∴＝－，
∴＝－，
∴12tan2α＋25tan α＋12＝0，
∴(3tan α＋4)(4tan α＋3)＝0，
∴tan α＝－或tan α＝－.
化切求值
【例2】 已知tan α＝3，求下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)sin2α＋cos2α.
[解](1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝＝－.
(3)原式＝＝＝＝.
化切求值的方法技巧
?1?已知tan α＝m，可以求 或
的值，将分子分母同除以cos α或cos2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的.
?2?对于asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值.
2.已知tan α＝2，求下列各式的值：
(1)；
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2 α.
[解](1)＝＝＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝.
这时分子和分母均为关于sin α，cos α的二次齐次式．
因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，
则4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝＝
＝1.
应用同角三角函数关系化简
【例3】 若sin α·tan α<0，化简＋.
[解] ∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝＋
＝＋＝＋
＝＝－.
解答此类题目常用的方法有：
?1?化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
?2?对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
?3?对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
3.化简：.
[解] 原式＝
＝
＝
＝1.
1.同角三角函数基本关系式的变形形式
(1)平方关系：1－sin2 α＝cos2 α，1－cos2 α＝sin2 α.
(2)商数关系：sin α＝tan α·cos α，cos α＝.
2.已知sin α±cos α，整体代入求值
已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α cos α；
(sin α－cos α)2＝1－2sin α cos α；
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；
(sin α－cos α)2＝(sin α＋cos α)2－4sin α cos α.
所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．
3.应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.
1.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是( )
A．tan α＝－ B．cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
B [由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确．]
2.已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于( )
A． B．－
C． D．－
B [由条件知sin α＝－
＝－＝－.]
3.已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________.
－ [∵sin α＋cos α＝，
∴(sin α＋cos α)2＝.
∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝.
∴1＋2sin αcos α＝.
∴sin αcos α＝－.]
4．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．
[解] 由tan α＝＝得
sin α＝cos α. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1.
∴cos2α＝.
又∵α是第三象限的角，
∴cos α＝－.
∴sin α＝cos α＝－.
课件40张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.3 同角三角函数的基本关系式1 平方和商已知一个三角函数值求另两个三角函数值化切求值 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(五) 同角三角函数的基本关系式
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.下列结论中成立的是( )
A．sin α＝ 且cos α＝ B．tan α＝2且＝
C．tan α＝1且cos α＝± D．sin α＝1且tan α·cos α＝1
C [A中，sin2α＋cos2α＝ ≠1，故不成立；B中，＝ ，即tan α＝3，与tan α＝2矛盾，故不成立；D中，sin α＝1时，角α的终边落在y轴的非负半轴上，此时tan α无意义，故不成立．]
2.化简 的结果是( )
A．sin B．－sin
C．cos D．－cos
C [∵0<< ，∴cos >0.∴ ＝＝cos .]
3.已知＝2，则sin θcos θ的值是( )
A． B．±
C． D．－
C [由题意得sin θ＋cos θ＝2(sin θ－cos θ)，∴(sin θ＋cos θ)2＝4(sin θ－cos θ)2，
解得sin θcos θ＝.]
4．如果tan θ＝2，那么1＋sin θcos θ的值是( )
A． B．
C． D．
B [1＋sin θcos θ＝＝＝＝.]
5．若sin θ＝ ，cos θ＝ ，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3C [由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1，解得m＝0或8.]
6．函数y＝＋的值域是( )
A．{0,2} B．{－2,0}
C．{－2,0,2} D．{－2,2}
C [y＝＋.当x为第一象限角时，y＝2；
当x为第三象限角时，y＝－2；当x为第二、四象限角时，y＝0.]
二、填空题
7．已知＝1，则α在第________象限．
二或四 [由＝1?tan α＝－1<0.∴α在第二或第四象限．]
8．化简－ 的结果为________．
－2tan2α [－
＝
＝＝＝－2tan2α.]
9．在△ABC中， sin A＝ ，则角A＝________.
[由题意知cos A>0，即A为锐角．
将 sin A＝ 两边平方得2sin2A＝3cos A．
∴2cos2A＋3cosA－2＝0，
解得cos A＝ 或cos A＝－2(舍去)，∴A＝.]
三、解答题
10．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：
(1)m的值；
(2)＋的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
[解](1)由根与系数的关系可知，
sin θ＋cos θ＝， ①
sin θ·cos θ＝m. ②
将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝，
所以sin θ·cos θ＝，
代入②得m＝.
(2)＋＝＋
＝＝sin θ＋cos θ＝.
(3)由(1)得m＝，所以原方程化为2x2－(＋1)x＋＝0，解得x1＝，x2＝.
所以或
又因为θ∈(0，π)，
所以θ＝或.
[等级过关练]
1.已知－<θ< ，且sin θ＋cos θ＝a，其中a∈(0,1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是( )
A．－3 B．3或
C．－ D．－3或－
C [因为sin θ＋cos θ＝a，a∈(0,1)，两边平方整理得sin θcos θ＝<0，故－<θ<0且cos θ>－sin θ，
∴|cos θ|>|sin θ|，借助三角函数线可知－<θ<0，－12.已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B．
C．－ D．
D [sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.]
3.已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
－1 [由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.
所以2sin αcos α－cos2α＝＝
＝＝－1.]
4．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈Z)的值为________．
1 [∵sin α＋cos α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0，
当sin α＝0时cos α＝1，此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时sin α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.]
5．是否存在一个实数k，使方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦．
[解] 设这两个锐角为A，B，
∵ A＋B＝90°，∴ sin B＝cos A，
所以sin A，cos A为8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个根．
所以
② 代入① 2，得9k2－8k－20＝0，解得k1＝2，k2＝－ ，当k＝2时，原方程变为8x2＋12x＋5＝0，
∵ Δ<0，∴ 方程无解；将k＝－ 代入② ，得sin Acos A＝－<0，
所以A是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k.
