7.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式①、②、③、④
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握诱导公式①、②、③、④，并会用公式求任意角的三角函数值．(重点)
2.会用诱导公式①、②、③、④，进行简单的三角求值、化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过诱导公式①、②、③、④的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.借助诱导公式的应用，培养学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
1.诱导公式①
sin(α＋k·2π)＝sin_α；
cos(α＋k·2π)＝cos_α；
tan(α＋k·2π)＝tan_α.
2.诱导公式②
sin(－α)＝－sin_α；
cos(－α)＝cos_α；
tan(－α)＝－tan_α.
3.诱导公式③
sin(π－α)＝sin α；
cos(π－α)＝－cos α；
tan(π－α)＝－tan α.
4．诱导公式④
sin(π＋α)＝－sin α；
cos(π＋α)＝－cos α；
tan(π＋α)＝tan α.
思考：公式①、②、③、④该如何记忆？
[提示] “ 函数名不变，符号看象限”
1.sin(－30°)的值是( )
A． B．－
C． D．－
B [sin(－30°)＝－sin 30°＝－.]
2.cos －sin＝________.
[cos －sin＝cosπ＋sinπ
＝cos＋sin＝cos ＋sin＝＋＝]
3.化简：＝________.
1 [＝
＝＝＝1.]
给角求值问题
【例1】 求下列各三角函数式的值．
(1)cos 210°；(2)sin π；
(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
[解](1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin＝sinπ＝sin＝sin＝.
(3)sin＝－sin＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤：
?1?“ 负化正” ：用公式②或③来转化.
?2?“ 大化小” ：用公式①将角化为0°到360°间的角.
?3?“ 小化锐” ：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角.
?4?“ 锐求值” ：得到锐角的三角函数后求值.
1.求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；(2)cos；(3)tan(－945°)．
[解](1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
(2)法一：cos＝cos＝cos
＝cos＝－cos ＝－.
法二：cos＝cos
＝cos＝－cos＝－.
(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1.
给值(式)求值问题
【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)cos(180°－α)等于( )
A． B．
C． D．－
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m，
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α
＝＝.
(2)[解] ∵cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝，
∴cos－sin2＝－－＝－.
1.解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
2.可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
2.已知sin β＝ ，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A．1 B．－1
C． D．－
D [∵cos(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－.]
三角函数式的化简
【例3】 化简下列各式．
(1)；
(2).
[解](1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
三角函数式的化简方法：
?1?利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.
?2?常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数.
?3?注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
3.化简下列各式．
(1)；
(2).
[解](1)原式＝
＝＝1.
(2)原式＝
＝＝＝.
1.诱导公式的记忆
诱导公式①、②、③、④的记忆口诀是“ 函数名不变，符号看象限”. 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
2.利用诱导公式，还可以得出如下公式
sin(2π－α)＝－sin α；
cos(2π－α)＝cos α；
tan(2π－α)＝－tan α.
1.sin 690°的值为( )
A． B．
C．－ D．－
C [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－.]
2.点P(cos 2 019°，sin 2 019°)落在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C [2 019°＝6×360°－141°，
∴cos 2 019°＝cos(－141°)＝cos 141°<0，
sin 2 019°＝sin(－141°)＝－sin 141°<0，
∴点P在第三象限．]
3.已知sin(π＋α)＝ ，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A．－ B．
C．± D．
B [sin α＝－ ，又α是第四象限角，
∴cos(α－2π)＝cos α＝＝.]
4.的化简结果为________．
1 [原式＝＝1.]
课件37张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.4 诱导公式
第1课时 诱导公式①、②、③、④给角求值问题 给值(式)求值问题 点击右图进入…Thank you for watching !第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧，能正确运用这些公式求任意角的三角函数值．(重点)
2.能运用诱导公式进行简单的三角函数的化简与恒等式的证明．(重点、难点)
1.通过诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧的推导，培养学生的逻辑推理核心素养．
2.通过诱导公式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.
1.诱导公式⑤
sin＝cos α；
cos＝sin α.
2.诱导公式⑥
sin＝cos α；
cos＝－sin α.
3.诱导公式⑦
sin＝－cos α；
cos＝sin α.
4．诱导公式⑧
sin＝－cos α；
cos＝－sin α.
思考：各组诱导公式虽然形式不同，但存在着一定的规律，有人把它概括为“奇变偶不变，符号看象限”，你理解这句话的含义吗？
[提示] 诱导公式可以归纳为k·＋α(k∈Z)的三角函数值．当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值．然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”．值得注意的是，这里的奇和偶分别指的是的奇数倍或偶数倍；符号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α看成锐角时，原函数值的符号．
1.已知sin 40°＝a，则cos 130°＝( )
A．a B．－a
C． D．－
B [cos 130°＝cos(90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.]
2.若cos>0，且sin<0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
C [由于cos＝－sin θ>0，所以sin θ<0，
又因为sin＝cos θ<0，所以角θ的终边落在第三象限，故选C．]
3.如果cos(π＋A)＝－ ，那么sin等于( )
A．－ B．
C．－ D．
B [cos(π＋A)＝－cos A＝－ ，
∴cos A＝ ，∴sin＝cos A＝.]
利用诱导公式求值
【例1】(1)已知cos(π＋α)＝－，α为第一象限角，求cos的值．
(2)已知cos＝，求cossin的值．
[解](1)∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，又α为第一象限角．
则cos＝－sin α＝－
＝－＝－.
(2)cos·sin
＝cos·sin
＝－cos·sin
＝－sin
＝－cos＝－.
这是一个利用互余、互补关系解题的问题，对于这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题.
1.已知sin＝，求cos的值．
[解] ∵＋α＋－α＝，∴－α＝－.
∴cos＝cos
＝sin＝.
利用诱导公式化简
【例2】 化简，其中k∈Z.
[解] k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝
＝
＝＝1.
k为奇数时，可设k＝2m＋1(m∈Z)．
仿上化简得：原式＝1.
故原式＝1.
用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简.
2.已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝ ，求f(α)．
[解](1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)由题意知cos α＝－＝－ ，
∴f(α)＝－cos α＝.
诱导公式的综合应用
【例3】 已知f(x)＝.
(1)化简f(x)；
(2)若x是第三象限角，且cos＝，求f(x)的值；
(3)求f.
[解](1)原式＝
＝
＝
＝tan x.
(2)∵cos＝－sin x，
∴sin x＝－.
∵x是第三象限角，
∴cos x＝－＝－.
∴f(x)＝tan x＝＝＝.
(3)f＝tan
＝－tan＝－tan ＝－.
本题是与函数相结合的问题，解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
3.已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
[解] 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
1.诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“ 奇变偶不变，符号看象限” ，是记住这些公式的有效方法．
2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．
1.若sin(3π＋α)＝－，则cos等于( )
A．－ B．
C． D．－
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝.
∴cos＝cos＝－sin α＝－.]
2.已知sin＝，则cos的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
A [cos＝cos＝－sin＝－.]
3.如果cos α＝，且α是第四象限的角，，则cos＝________.
[∵cos α＝，且α是第四象限角，
∴sin α＝－＝－＝－.
∴cos＝－sin α＝.]
4．已知sin φ＝ ，求cos＋sin(3π－φ)的值．
[解] ∵sin φ＝ ，∴cos＝cos
＝cos＝cos＝sin φ＝ ，
∴cos＋sin(3π－φ)＝＋sin(π－φ)
＝＋sin φ＝.
课件35张PPT。第七章 三角函数7.2 任意角的三角函数
7.2.4 诱导公式
第2课时 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
利用诱导公式求值 利用诱导公式化简 点击右图进入…Thank you for watching !课时分层作业(六) 诱导公式①、②、③、④
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.计算sin的值为( )
A．－ B． C． D．－
D [sin＝－sin ＝－.]
2.计算sin2(π－α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是( )
A．1 B．2
C．0 D．2sin2α
B [sin2(π－α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.]
3.计算sin2150°＋sin2135°＋2sin 210°＋cos2225°的值是( )
A． B．
C． D．
A [原式＝sin230°＋sin245°－2sin 30°＋cos245°＝＋－1＋＝.]
4．若sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则cos(π＋α)的值为( )
A． B．－
C．± D．以上都不对
B [∵sin(π－α)＝sin α＝log23 2－2＝－，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－＝－＝－.]
5．已知tan＝ ，则tan＝( )
A． B．－
C． D．－
B [∵tan＝tan＝－tan，∴tan＝－.]
6．在△ABC中，给出下列四个式子：
① sin(A＋B)＋sin C；② cos(A＋B)＋cos C；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C．
其中为常数的是( )
A．①③ B．②③
C．①④ D．②④
B [①sin(A＋B)＋sin C＝2sin C；
②cos(A＋B)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
③sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C
＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C
＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
④cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C
＝cos[2(π－C)]＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C
＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C．故选B．]
二、填空题
7．已知cos＝ ，则cos＝________.
－ [∵－θ＋＋θ＝π，∴－θ＝π－，
∴cos＝cos＝－cos＝－.]
8．若tan(5π＋α)＝m，则 的值为________．
[由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.
于是原式＝＝＝.]
9．已知cos(508°－α)＝ ，则cos(212°＋α)＝________.
[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)
＝cos(148°－α)＝ ，
所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝.]
三、解答题
10．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．
[解] 由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B，
平方相加得2cos2A＝1，cos A＝±，
又∵A∈(0，π)，∴A＝或π.
当A＝π时，cos B＝－<0，∴B∈，
∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．
∴A＝，cos B＝，∴B＝，∴C＝π.
综上所述，A＝，B＝，C＝π.
[等级过关练]
1.若角α和β的终边关于y轴对称，则下列各式中正确的是( )
A．sin α＝sin β B．cos α＝cos β
C．tan α＝tan β D．cos(2π－α)＝cos β
A [∵α和β的终边关于y轴对称，∴不妨取α＝π－β，
∴sin α＝sin(π－β)＝sin β.]
2.设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4，其中a，b，α，β∈R，且ab≠0，α≠kπ(k∈Z)．若f(2 009)＝5，则f(2 015)等于( )
A．4 B．3
C．－5 D．5
D [f(2 009)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5，
f(2 015)＝－(asin α＋bcos β)＋4＝5.]
3.已知cos(π＋α)＝－，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝________.
[∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，∴cos α＝，
∵π<α<2π，∴<α<2π，∴sin α＝－.
∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)
＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－＝.]
4．已知f(x)＝则f＋f的值为________．
－2 [因为f＝sin＝sin
＝sin＝ ，
f＝f－1＝f－2＝sin－2
＝－－2＝－.
所以f＋f＝－2.]
5．是否存在角α和β，当α∈，β∈(0，π)时，等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β) 同时成立？若存在，则求出α和β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立．理由如下：
由sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β) 得，
两式平方相加得，
sin2α＋3cos2α＝2，得到sin2α＝ ，即sin α＝±.
因为α∈，所以α＝ 或α＝－.将α＝ 代入 cos α＝ cos β，得cos β＝ ，
由于β∈(0，π)，所以β＝.
将α＝－ 代入sin α＝ sin β，得sin β＝－ ，由于β∈(0，π)，这样的角β不存在．
综上可知，存在α＝ ，β＝ 使等式同时成立．
课时分层作业(七) 诱导公式⑤、⑥、⑦、⑧
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1.已知sin＝ ，α∈，则tan α的值为( )
A．－2 B．2
C．－ D．
A [由已知得，cos α＝ ，又α∈，
所以sin α＝－＝－＝－.因此，tan α＝＝－2.]
2.已知f(sin x)＝cos 3x，则f(cos 10°)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
A [f(cos 10°)＝f(sin 80°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－.]
3.已知sin(75°＋α)＝ ，则cos(15°－α)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
B [∵(75°＋α)＋(15°－α)＝90°，
∴cos(15°－α)＝cos [90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝.]
4．若sin(π＋α)＋cos＝－m，则cos＋2sin(2π－α)的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
C [∵sin(π＋α)＋cos＝－sin α－sin α＝－m，
∴sin α＝.故cos＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－m.]
5．已知＝2，则sin(θ－5π)sin等于( )
A． B．±
C． D．－
C [∵＝2，sin θ＝3cos θ，∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sin
＝sin θ cos θ＝＝＝.]
6．已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A． B．
C．－ D．－
B [sin 239° tan 149°＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝＝.]
二、填空题
7．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
－sin2α [原式＝－sin(7π＋α)·cos＝－sin(π＋α)·＝sin α·(－sin α)＝－sin2α.]
8．若sin＝ ，则cos2θ－sin2θ＝________.
－ [sin＝cos θ＝ ，从而sin2θ＝1－cos2θ＝，所以cos2θ－sin2θ＝－.]
9．sin2＋sin2＝________.
1 [因为＋＝ ，
所以sin2＋sin2
＝sin2＋cos2－x＝1.]
三、解答题
10．已知sin·cos＝，且<α<，求sin α与cos α的值．
[解] sin＝－cos α，
cos＝cos＝－sin α.
∴sin α·cos α＝，
即2sin α·cos α＝. ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
①＋②得(sin α＋cos α)2＝，
②－①得(sin α－cos α)2＝.
又∵α∈，∴sin α>cos α>0，
即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，
∴sin α＋cos α＝， ③
sin α－cos α＝， ④
③＋④得sin α＝，③－④得cos α＝.
[等级过关练]
1.在△ABC中，下列各表达式为常数的是( )
A．sin(A＋B)＋sin C B．cos(B＋C)－cos A
C．sin2＋sin2 D．sin sin
C [sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝cos2＋sin2＝1.]
2.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α＝( )
A． B． C． D．
C [由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．]
3.计算sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.
[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋＝.]
4．已知sincos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.
[sincos
＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝.
∵0<α<，∴0又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝，cos α＝.]
5．已知sin α＝ ，求tan(α＋π)＋的值．
[解] 因为sin α＝ >0，
所以α为第一或第二象限角．
tan(α＋π)＋＝tan α＋＝＋＝.
①当α为第一象限角时，cos α＝＝ ，
原式＝＝.
②当α为第二象限角时，cos α＝－＝－ ，
原式＝＝－.
综合①②知，原式＝ 或－.
