专题23.1图形的旋转测试卷
一、单选题
1．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
【答案】C
【解析】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
2．如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C'.若∠A=40°，∠B'=110°，∠BCA'的度数是（ ）
A．110° B．80° C．40° D．30°
【答案】B
【解析】根据旋转的性质可得：∠A′=∠A,∠A′CB′=∠ACB，
∵∠A=40°，
∴∠A′=40°，
∵∠B′=110°，
∴∠A′CB′=180°?110°?40°=30°，
∴∠ACB=30°，
∵将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′，
∴∠ACA′=50°，
∴∠BCA′=30°+50°=80°，
故答案是B.
3．如图，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．ACCE B．ADEC C．ABCD D．BCEC
【答案】D
【解析】解：根据旋转可知，△ABC≌△DEC，
∴AC=DC，∠A=∠CDE，AB=DE，BC=EC，
∴ABC三项错误，D正确；
故选择：D.
4．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得=30°、OA=OD
∴(180°-)=75°
故选B
5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】B
【解析】解：由题意知，AC=A′C，∠ACA′=90°，
∴∠CAA′=∠CA′A=45°，
∵∠1=20°，
∴∠CA′B′=25°.
由旋转的性质知∠CAB=∠CA′B′=25°.
∴∠B=90°－25°=65°.
故选B.
6．如图所示，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．点 B．格点 C．格点 D．格点
【答案】C
【解析】解：如图
连接N和两个三角形的对应点；发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心；
故选：C．
7．如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝4．将腰 CD 以 D 为旋转中心逆时针旋转 90°至 DE，连结 AE，则△ADE 的面积是（ ）
A． B．2 C． D．不能确定
【答案】A
【解析】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于点F，作DG⊥BC于点G，
∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，
∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，
又∵∠CDF+∠CDG=90°，
∴∠CDG=∠EDF，
∴△DCG≌△DEF（AAS），
∴EF=CG，
∵AD=3，BC=4，
∴CG=BC－AD=4－3=1，
∴EF=1，
∴△ADE 的面积是.
故选A.
8．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．21° B．24° C．45° D．66°
【答案】B
【解析】解：∵将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，
∴∠AOB=∠A'OB'=21°，∠A'OA=45°
∴∠AOB'=∠A'OA-∠A'OB'=24°．
故选：B．
9．如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C，则A'C的长为（ ）
A．6 B．4+2 C．4+3 D．2+3
【答案】C
【解析】解：连结CC′，A′C交B C′于O点，如图，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC＝BC′＝6，∠CBC′＝60°，A′B＝AB＝AC＝A′C′＝5，
∴△BCC′为等边三角形，
∴CB＝CB′，
而A′B＝A′C′，
∴A′C垂直平分BC'，
∴BO＝BC′＝3，
∴A'O＝＝4
CO＝＝3
∴A'C＝A'O+CO＝4+3
故选：C．
11．如图，把绕着点逆时针旋转得到，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 绕着点逆时针旋转得到
∴BAD=CAE=20°
∴==30°+20°=50°
故选D
12．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点逆时针方向旋转后，A点的坐标为( ).
A．(2,-1) B．(2,0) C．(1，-1） D．(-1,0)
【答案】A
【解析】
13．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，
∵线段OP绕点O顺时针旋转90°，
∴∠POP′=∠AOB=90°，
∴∠AOP=∠P′OB，且OP=OP′，∠PAO=∠P′BO=90°，
∴△OAP≌△OBP′，
∴P′B=PA=3，BO=OA=2，
∴P′(3，-2)，
故选D．
14．如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵将△BCO绕点C按顺时针旋转得到△ACD，
∴BO=AD，故A正确，
∵OC与CD是对应边，C为旋转中心，
∴∠DOC等于旋转角，即∠DOC=60°，故B正确，
∵OC=CD，∠DOC=60°，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵∠BOC与∠ADC是对应角，
∴∠ADC=150°，
∴∠ODA=150°-60°=90°，即OD⊥AD，故C正确，
∵∠ADC=150°，
∴∠DAC<30°，
∴∠BAD<90°，
∴∠ODA+∠BAD≠180°，
∴OD与AB不平行，故D错误，
故选D.
15．四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H，若AB=4，AE=时，则线段BH的长是（ ）
A． B．16 C． D．
【答案】C
【解析】连结GE交AD于点N，连结DE，如图，
∵正方形AEFG绕点A逆时针旋转，
∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，
∵AE=，
∴AN=GN=1，
∴DN=4?1=3，
在Rt△DNG中,DG==；
由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90?得到△AGD，
∴DG=BE=，
∵S△DEG=GE?ND=DG?HE，
∴HE==，
∴BH=BE+HE=+=.
故答案为C.
16．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，与BC，AC分别交于点D，E.设，的面积为，则与的函数图象大致为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】连接B′C，作AH⊥B′C′，垂足为H，
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，
∴AB′=AB=AC=AC′=2，∠AB′C′=∠C′=30°，
∴AH=AC′=1，
∴C′H=，
∴B′C′=2C′H=2，
∵AB′=AC，
∴∠AB′C=∠ACB′，
∵∠AB′D=∠ACD=30°，
∴∠AB′C-∠AB′D=∠ACB′-∠ACD，
即∠DB′C=∠DCB′，
∴B′D=CD，
∵CD+DE=x，
∴B′D+DE=x，即B′E=x，
∴C′E=B′C′-B′E=2-x，
∴y==×(2-x)×1=，
观察只有B选项的图象符合题意，
故选B.
二、填空题
17．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 ________度就可以与它自身重合.
【答案】72°
【解析】该图形围绕自己的旋转中心，最少顺时针旋转72度后，能与其自身重合．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知顶点的坐标分别为，且是由旋转得到.若点在上，点在轴上，要使四边形为平行四边形，则满足条件的点的坐标为______．
【答案】(?1.5,2)或(?3.5,?2)或(?0.5,4)．
【解析】∵点Q在x轴上，点P在直线AB上，以为顶点的四边形是平行四边形，
当AC为平行四边形的边时，
∴PQ=AC=2，
∵P点在直线y=2x+5上，
∴令y=2时，2x+5=2，解得x=?1.5，
令y=?2时，2x+5=?2，解得x=?3.5，
当AC为平行四边形的对角线时，
∵AC的中点坐标为(3,2)，
∴P的纵坐标为4，
代入y=2x+5得，4=2x+5，
解得x=?0.5，
∴P(?0.5,4)，
故P为(?1.5,2)或(?3.5,?2)或(?0.5,4)．
故答案为：(?1.5,2)或(?3.5,?2)或(?0.5,4)．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0).点 P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为______。
【答案】20°
【解析】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴∠BAD=140°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= (180°?∠BAD)=20°，
故答案为：20°
20．如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．
【答案】20°
【解析】
∵将△ABC绕点A逆时针旋转140°，得到△ADE，
∴∠BAD=140°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为140°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B= (180°?∠BAD)=20°，
故答案为：20°
三、解答题
21．按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，点A绕某点M旋转后，A的对应点为，求作点M．
（2）如图②，点B绕某点N顺时针旋转后，B的对应点为，求作点N．
【答案】(1)见解析；（2）见解析
【解析】解：如图①，点M即为所求；
如图②，点N即为所求.
① ②
22．如图所示，中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将三角板绕点按逆时针方向旋转.
（1）在如图所见中，交于，交于，证明；
（2）继续旋转至如图所见，延长交于，延长交于，证明.
.
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【解析】证明：（1）连接BD,
∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点
∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°
∴BD=AD=CD
∴∠ABD=∠A=45°
∴∠MBD=∠C=45°
∵∠MDB+∠BDN=90°
∠NDC+∠BDN=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB和△NDC中
∴△MDB≌△NDC（ASA）
∴DM=DN（5分）
（2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，
由（1）知BD⊥AC，BD=CD
∴∠ABD=∠ACB=45°
∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°
∴∠MBD=∠NCD
∵BD⊥AC
∴∠MDB+∠MDC=90°
又∠NDC+∠MDC=90°
∴∠MDB=∠NDC
在△MDB和△NDC中
∴△MDB≌△NDC（ASA）?
∴DM=DN.
23．已知直角三角板和直角三角板,,,.
(1)如图1,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当平分时,求的度数；
(2)在(1)的条件下,继续旋转三角板,猜想与有怎样的数量关系?并利用图2所给的情形说明理由；
(3)如图3,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当落在内部时,直接写出与的数量关系.
【答案】(1)；(2)， 理由见解析；(3)．
【解析】(1)∵CF是∠ACB的平分线，∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°÷2＝45°，
又∵∠FCE＝90°，
∴∠ACE＝∠FCE﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°；
(2)∵∠BCF+∠ACF＝90°，
∠ACE+∠ACF＝90°，
∴∠BCF＝∠ACE；
(3)∵∠FCA＝∠FCD﹣∠ACD＝60°﹣∠ACD，
∠FCA＝∠ACB﹣∠BCF＝90°﹣∠BCF，
∴60°﹣∠ACD＝90°﹣∠BCF，
∠ACD＝30°﹣∠BCF.
24．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B（6，6）在第一象限，AP平分∠CAB交OB于P．
（1）求∠OPA的度数和OP的长；
（2）点P不动，将正方形OABC绕点O逆时针旋转至图2的位置，∠COP＝60°，AP交OB于点F，连接CF．求证：OF+CF＝PF；
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB交x轴于点D、OE平分∠BOD，M、N是OB、OE上的动点，求BN+MN的最小值，请在图中画出示意图并简述理由．
【答案】（1）67.5°，6；（2）详见解析；（3）3
【解析】
解：（1）如图1，
∵AC，OB是正方形OABC的对角线，
∴OA＝AB，∠2＝∠3＝∠BAC＝45°，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴∠1＝∠BAC＝22.5°，
∴∠OAP＝∠3+∠1＝67.5°，
在△OAP中，∠OPA＝180°﹣∠2﹣∠OAP＝67.5°，
∴∠OAP＝∠OPA，
∴OA＝OP，
∵B（6，6），
∴AB＝6，
∴OA＝AB＝6，
∴OP＝6；
（2）如图2，ＡＰ与y轴交于点G
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∵∠COP＝60°，
∴∠AOP＝150°，
由（1）知，OP＝OA
∴∠P＝15°，
由（1）知，∠POG＝45°，
∴∠AGO＝∠P+∠POG＝60°，
∵OB是正方形的对角线，
∴∠BOC＝45°，
∵∠COP＝60°，∠POG＝45°，
∴∠BOG＝∠COP＝60°，
∴△OFG是等边三角形，
∴OF＝FG＝OG，
在△COF和△POG中，，
∴△COF≌△POG，
∴PG＝CF，
∴CF+OF＝PG+FG＝PF；
（3）如图3，过点B作BQ⊥OE于Q，延长BQ交x轴于B'，
∵OE是∠DOB的平分线，
∴BQ＝B'Q，
∴点B'与点B关于OE对称，
连接B'M'交OE于N'，
∴BN'+M'N'＝B'N'+M'N'＝B'M'，
过点B'作B'M⊥OB于M，交OE于E，此时，BN+MN最小，
∵OB是边长为6的正方形的对角线，
∴OB＝6，
由作图知，OB'＝OB＝6，
由（2）易知，∠BOH＝30°，
在Rt△B'OM中，B'M＝OB'＝3，
即：BN+MN的最小值为3．
25．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．
【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE，见解析；③PC2＝.
【解析】（1）解：∵CD∥AB，∴∠C＝∠B，
在△ABP和△DCP中，
，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴DC＝AB．
∵AB＝200米．
∴CD＝200米，
故答案为：200．
（2）①PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图1，延长EP交BC于F，
同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS），
∴PF＝PE，BF＝DE，
又∵AC＝BC，AE＝DE，
∴FC＝EC，
又∵∠ACB＝90°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴PC＝PE，PC⊥PE．
②PC与PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE，PC⊥PE．
理由如下：如解图2，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，
同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS），
∴BF＝DE，PE＝PF＝，
∵DE＝AE，
∴BF＝AE，
∵当α＝90°时，∠EAC＝90°，
∴ED∥AC，EA∥BC
∵FB∥AC，∠FBC＝90，
∴∠CBF＝∠CAE，
在△FBC和△EAC中，
，
∴△FBC≌△EAC（SAS），
∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠FCE＝90°，
∴△FCE是等腰直角三角形，
∵EP＝FP，
∴CP⊥EP，CP＝EP＝．
③如解图3，作BF∥DE，交EP延长线于点F，连接CE、CF，过E点作EH⊥AC交CA延长线于H点，
当α＝150°时，由旋转旋转可知，∠CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，
∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150°
同②可得△FBP≌△EDP（SAS），
同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝，
在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1，
∴HE＝，AH＝，
又∵AC＝AB＝3，
∴CH＝3+，
∴EC2＝CH2+HE2＝
∴PC2＝
26．已知：在中，.
（1）如图1，若，点在内，且，，，把绕着点顺时针旋转，使点旋转到点处，得到，连结.
①依题意补全图1；
②直接写出的长.
（2）如图2，若，点在外，且，，，求的度数.
（3）如图3，若，点在内，且，，，求的长.
【答案】（1）①见解析；②；（2）；（3）.
【解析】（1）①补全图如图4所示；
②.解法提示：如图4，由旋转的性质得：，，，.∵，∴为等边三角形，∴，，∴，∴.
（2）如图5，把绕着点逆时针旋转，使点旋转到点处，得到，连结.
由旋转性质得：，，，∴，∴为等边三角形，则，.∵，∴，∴，∴.
（3）如图6，作使得：，，则，∴，，∴，.取线段的中点，连结、，则.
∵，∴为等边三角形，∴，，∴.又，∴，∴，∴，∴，∴.
1
专题23.1图形的旋转测试卷
一、单选题
1．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
2．如图,将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C'.若∠A=40°，∠B'=110°，∠BCA'的度数是（ ）
A．110° B．80° C．40° D．30°
3．如图，将△ABC旋转至△CDE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．ACCE B．ADEC C．ABCD D．BCEC
4．如图，是由绕点顺时针旋转后得到的图形，若点恰好落在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠B的度数是（ ）
A．70° B．65° C．60° D．55°
6．如图所示，在方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A．点 B．格点 C．格点 D．格点
7．如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝3，BC＝4．将腰 CD 以 D 为旋转中心逆时针旋转 90°至 DE，连结 AE，则△ADE 的面积是（ ）
A． B．2 C． D．不能确定
8．如图，将三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到三角形A'OB'，若∠AOB=21°，则∠AOB′的度数是（ ）
A．21° B．24° C．45° D．66°
9．如图,在的方格纸中,两点在格点上,线段绕某点逆时针旋转角后得到线段,点与对应,则角的大小为( )
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A'BC’，连接A'C，则A'C的长为（ ）
A．6 B．4+2 C．4+3 D．2+3
11．如图，把绕着点逆时针旋转得到，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
12．正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕C点逆时针方向旋转后，A点的坐标为( ).
A．(2,-1) B．(2,0) C．(1，-1） D．(-1,0)
13．如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点是等边三角形内的一点，，将绕点按顺时针旋转得到，则下列结论不正确的是( )
A． B． C． D．
15．四边形ABCD、AEFG都是正方形，当正方形AEFG绕点A逆时针旋转45°时，如图，连接DG、BE，并延长BE交DG于点H，且BH⊥DG与H，若AB=4，AE=时，则线段BH的长是（ ）
A． B．16 C． D．
16．如图，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，△ABC绕点A逆时针旋转α(0<α<120°)得到，与BC，AC分别交于点D，E.设，的面积为，则与的函数图象大致为( )
A． B． C． D．
二、填空题
17．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 ________度就可以与它自身重合.
18．如图，在平面直角坐标系中，已知顶点的坐标分别为，且是由旋转得到.若点在上，点在轴上，要使四边形为平行四边形，则满足条件的点的坐标为______．
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(－1，1)，B(0，－2)，C(1，0).点 P(0，2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为______。
20．如图，将绕点逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为______．
三、解答题
21．按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
（1）如图①，点A绕某点M旋转后，A的对应点为，求作点M．
（2）如图②，点B绕某点N顺时针旋转后，B的对应点为，求作点N．
22．如图所示，中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将三角板绕点按逆时针方向旋转.
（1）在如图所见中，交于，交于，证明；
（2）继续旋转至如图所见，延长交于，延长交于，证明.
.
23．已知直角三角板和直角三角板,,,.
(1)如图1,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当平分时,求的度数；
(2)在(1)的条件下,继续旋转三角板,猜想与有怎样的数量关系?并利用图2所给的情形说明理由；
(3)如图3,将顶点和顶点重合,保持三角板不动,将三角板绕点旋转.当落在内部时,直接写出与的数量关系.
24．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B（6，6）在第一象限，AP平分∠CAB交OB于P．
（1）求∠OPA的度数和OP的长；
（2）点P不动，将正方形OABC绕点O逆时针旋转至图2的位置，∠COP＝60°，AP交OB于点F，连接CF．求证：OF+CF＝PF；
（3）如图3，在（2）的条件下，正方形的边AB交x轴于点D、OE平分∠BOD，M、N是OB、OE上的动点，求BN+MN的最小值，请在图中画出示意图并简述理由．
25．思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是 米．
思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．
26．已知：在中，.
（1）如图1，若，点在内，且，，，把绕着点顺时针旋转，使点旋转到点处，得到，连结.
①依题意补全图1；
②直接写出的长.
（2）如图2，若，点在外，且，，，求的度数.
（3）如图3，若，点在内，且，，，求的长.
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