专题24.2点和圆、直线和圆的位置关系（测试）
一、单选题
1．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
【答案】D
【解析】
∵点 P 在⊙O 上，∴只需要 OP⊥EF 即可， 故选：D．
2．如图，内切于，切点分别为。已知，连接，那么等于（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
【答案】B
【解析】解：∵E，F是圆的切点，
∴OE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠AEO=∠AFO=90°，
∵∠EOF=2∠EDF=，
∴，
∴
故选择：B.
3．如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接、、，交于，如图，
等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，
平分， ， ，，
，
，
点、、共线，
即，
，
在中， ，
，
，
设⊙的半径为，则， ，
在中，，解得，
在中，，
，，
垂直平分，
，，
，
，
，
故选D．
4．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为，
∵，，
∴
∵，
∴
∵点O是AB的三等分点，
∴，，
∴，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴MN最小值为，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值，
,
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．
5．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
【答案】C
【解析】解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选：C．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是( )
A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
【答案】D
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，
当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；
故选D．
7．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切，已知AB=10cm，则两圆形成的圆环的面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
=25
环形的面积为
8．如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】A
【解析】设与的切点为，
连接，，
∵等边三角形的边长为8，
∴，，
∵圆分别与边，相切，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的半径为，
故选：A．
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F
∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，
∵△ABC的周长为14，
∴AD+AF+BE+BD+CE+CF＝14
∴2(BE+CE)＝10
∴BC＝5
故选：C．
10．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】切线性质得到
故选D
11．平面上与直线，，，的位置关系如图.如果的半径为，且点到其中一直线的距离为，那么此直线为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所求直线到圆心O点的距离为14cm<半径20 cm，所以此直线为圆O的割线,即为直线.故选B.
12．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4，
∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，
∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，
∴四边形AFOE，FBGO是正方形，
∴AF=BF=AE=BG=2，
∴DE=3，
∵DM是⊙O的切线，
∴DN=DE=3，MN=MG，
∴CM=5-2-MN=3-MN，
在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，
∴（3+NM）2=（3-NM）2+42，
∴，
∴.
故选A.
13．如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI．若∠AOB=β，则∠OIB等于（ ??）
A．180°β B．180°-β C．90°+ β D．90°+β
【答案】A
【解析】连接IC，
∵ CD∥OA ，
∴∠AOC=∠OCD,
∵∠AOC＋∠COB=∠AOB= β ,
∴∠OCD+∠COB= β ,
∵ 点I是△OCD的内心 ,
∴∠COI＋∠OCI=,
∴ ∠OIC=180°-(∠COI＋∠OCI)= 180°- β ;
在△COI与△BOI中，
∵OC=OB,∠COI=∠BOI,OI=OI,
∴△COI≌△BOI,
∴ ∠OIB =∠OIC= 180°- β.
故答案为：A.
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
【答案】B
【解析】作DE⊥BC于E，如图所示：
则DE＝AB＝4，BE＝AD＝2，
∴CE＝4＝DE，
当⊙O与边AD相切时，切点为D，圆心O与E重合，即OC＝4；
当OA＝OC时，⊙O与AD交于点A，
设OA＝OC＝x，则OB＝6﹣x，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：42+（6﹣x）2＝x2，
解得：x＝；
∴以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是4≤x≤；
故选：B．
15．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25
【答案】C
【解析】∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选：C．
16．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【解析】连接AI、BI，
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI＝∠BAI，
由平移得：AC∥DI，
∴∠CAI＝∠AID，
∴∠BAI＝∠AID，
∴AD＝DI，
同理可得：BE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+AD+BE＝AB＝5
故选：C．
17．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
【答案】C
【解析】解：过D作DM⊥AB于M，连接BD，如图，
由题意：B（8，0），C（0，﹣6），
∴OB＝8，OC＝6，BC＝10，
则由三角形面积公式得，×BC×DM＝×OB×DC，
∴10×DM＝64，
∴DM＝6.4，
∴圆D上点到直线y＝x﹣6的最小距离是6.4﹣2＝4.4，
∴△ABC面积的最小值是 ×10×4.4＝22，
故选：C．
二、填空题
18．如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为___.
【答案】11
【解析】如图
设DE、BD、BC、CE与I的切点分别为F. G、H、M，由切线长定理知：
BH=BG、CH=CM、EM=EF、FD=DG、AM=AG；
则AG+AM=AB+AC?BC=11；
所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+DG+EM+AE=AG+AM=11.
19．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
【答案】2
【解析】直角三角形的斜边，
所以它的内切圆半径.
20．如图，中，，，点在边上，，.点是线段上一动点，当半径为6的圆与的一边相切时，的长为________.
【答案】或
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BD+CD=18，
∴，
在Rt△ADC中，∠C=90°，AC=12，CD=5，
∴，
当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离=6，
过P作PH⊥BC于H，则PH=6，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥AC，
∴△DPH∽△DAC，
∴，
∴，
∴PD=6.5，
∴AP=6.5；
当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离=6，
过P作PG⊥AB于G，
则PG=6，
∵AD=BD=13，
∴∠PAG=∠B，
∵∠AGP=∠C=90°，
∴△AGP∽△BCA，
∴，
∴，
∴AP=3，
∵CD=5＜6，
∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切，
综上所述，AP的长为6.5或3，
故答案为：6.5或3．
21．如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为_____．（为正整数）
【答案】
【解析】连接，，，、、与轴分别交于、、，如图所示：
在中，，
∴，
同理：，，……，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……，
…按照此规律可得点的坐标是，即，
故答案为：．
三、解答题
22．如图所示，已知矩形的边，．
(1)以点为圆心，为半径作，则点，，与的位置关系如何？
(2)若以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是什么？
【答案】(1)点在内，点在上，点在外；(2)的半径的取值范围是：．
【解析】(1)连接，
∵，，
∴，
∴点在内，点在上，点在外；
(2)∵以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径的取值范围是：．
23．如图，⊙O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且EACABC.
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若D为AB的中点，CD3，AB8.
①求⊙O的半径；②求ABC的内心I到点O的距离.
【答案】（1）见解析；（2）①⊙O的半径；②ABC的内心I到点O的距离为.
【解析】(1)如图，连接AO
则EACABC=.
又∵AO=BO,
∴ACO=CAO=
∴EAO=EAC+CAO=AOC +=
∴EA⊥AO
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，
∵D为AB的中点，
∴OC⊥AB，ADO=，AD=4
∴,即
解得
②如下图，
∵D为AB的中点，
∴
且CO是的平分线，则内心I在CO上，连接AI,BI,过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.
易知DI=FI=GI,设其长为a.由面积可知：
即
解得
∴
∴ABC的内心I到点O的距离为
24．如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.
【答案】（1）见解析；（2）推理过程见解析.
【解析】(1)连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠COB=60°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，
∴∠P＝90°-∠BOC＝30°，
∴PO=2OC，
∴PB=OB，
∵AB=2OB，
∴AP=AB+PB=3PB；
(2)如图，连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵PC是⊙O的切线，OC是半径，
∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，
∴∠BCP=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，
∴2∠BCP＝180°﹣∠P，
∴∠BCP＝(90°﹣∠P).
25．如图，中，，为上一点，经过点，与相交于点E，与交于点，连接.
(I).如图，若，，求的长.
(II)如图，平分，交于点，经过点.
①求证：为的切线；
②若，，求的长.
【答案】(Ⅰ)AF=4；(Ⅱ)①证明见解析；②AF=5.
【解析】（Ⅰ）∵AF为⊙O的直径，
.
∵，，
，
，
AF=2AE=4.
（Ⅱ）①连接OD.
∵DA平分，
，
∵OA=OD，
，
，
，
∵∠C=90°，
，
即，
BC为⊙O的切线.
②设OD与EF交于点H，
∵，
四边形CDHE为矩形.
EH=CD=2，.
.
EF=2EH=4.
.
26．木匠黄师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了如图1三种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，且所拼成的图形为轴对称图形，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
（1）求出方案一、方案二中圆的半径.
（2）在方案三中，设，圆的半径为.
①求关于的函数解析式；
②当取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？
（3）说明三种方案中哪一个圆形桌面的面积最大.
【答案】（1）1，;（2）①见解析；②;（3）见解析.
【解析】（1）方案一：因为长方形的长宽分别为3、2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1；
方案二：如图2，作于，于.
设半径为，在和中，
，，∴，
∴，∴，解得.
（2）①∵，∴新拼图形水平方向最大跨度为，竖直方向最大跨度为.类似（1），所截出圆的直径最大为或中较小的.
当时，即当时，；
当时，即当时，；
当时，即当时，.
②当时，；当时，；
当时，；
∴当时，方案三中最大为.
（3）∵，∴方案三可取得圆桌的面积最大.
1
专题24.2点和圆、直线和圆的位置关系（测试）
一、单选题
1．已知⊙O 的半径为 5，直线 EF 经过⊙O 上一点 P（点 E，F 在点 P 的两旁），下列条件能判定直线 EF 与⊙O 相切的是（ ）
A．OP＝5 B．OE＝OF
C．O 到直线 EF 的距离是 4 D．OP⊥EF
2．如图，内切于，切点分别为。已知，连接，那么等于（ ）
A．55° B．50° C．60° D．65°
3．如图，等腰的内切圆⊙与，，分别相切于点，，，且， ，则的长是( )
A． B． C． D．
4．如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．三角形的外心是（ ）
A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点
C．三角形三条边垂直平分线的交点 D．三角形三条内角平分线的交点
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是( )
A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5
7．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB与小圆相切，已知AB=10cm，则两圆形成的圆环的面积等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等边三角形的边长为8，以上一点为圆心的圆分别与边，相切，则的半径为（ ）
A． B．3 C．4 D．
9．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
11．平面上与直线，，，的位置关系如图.如果的半径为，且点到其中一直线的距离为，那么此直线为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形中，，，、、分别与相切于、、三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为（ ）.
A． B． C． D．
13．如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI．若∠AOB=β，则∠OIB等于（ ??）
A．180°β B．180°-β C．90°+ β D．90°+β
14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，AB＝4，BC＝6，点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点，则OC的取值范围是（ ）
A．4＜OC≤ B．4≤OC≤ C．4＜OC D．4≤OC
15．以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25
16．如图，点I是Rt△ABC的内心，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，将∠ACB平移使其顶点C与I重合，两边分别交AB于D、E，则△IDE的周长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
17．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于B、C两点，A是以D（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC、AB，则△ABC面积的最小值是（ ）
A．26 B．24 C．22 D．20
二、填空题
18．如图，I为△ABC的内切圆，AB=9，BC=8，AC=10，点D．E分别为AB、AC上的点，且DE为I的切线，则△ADE的周长为___.
19．直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为_____．
20．如图，中，，，点在边上，，.点是线段上一动点，当半径为6的圆与的一边相切时，的长为________.
21．如图所示，在平面直角坐标系中，一组同心圆的圆心为坐标原点，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，，，，，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中与轴重合若半径为2的圆与在第一象限内交于点，半径为3的圆与在第一象限内交于点，…，半径为的圆与在第一象限内交于点，则点的坐标为_____．（为正整数）
三、解答题
22．如图所示，已知矩形的边，．
(1)以点为圆心，为半径作，则点，，与的位置关系如何？
(2)若以点为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是什么？
23．如图，⊙O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且EACABC.
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若D为AB的中点，CD3，AB8.
①求⊙O的半径；②求ABC的内心I到点O的距离.
24．如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝（90°﹣∠P）成立.请你写出推理过程.
25．如图，中，，为上一点，经过点，与相交于点E，与交于点，连接.
(I).如图，若，，求的长.
(II)如图，平分，交于点，经过点.
①求证：为的切线；
②若，，求的长.
26．木匠黄师傅用长，宽的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了如图1三种方案：
方案一：直接锯一个半径最大的圆；
方案二：沿对角线将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆；
方案三：锯一块小矩形拼到矩形下面，且所拼成的图形为轴对称图形，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆.
（1）求出方案一、方案二中圆的半径.
（2）在方案三中，设，圆的半径为.
①求关于的函数解析式；
②当取何值时圆的半径最大，最大半径为多少？
（3）说明三种方案中哪一个圆形桌面的面积最大.
1
