专题24.3正多边形和圆（测试）
一、单选题
1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】．
故这个正多边形的边数为12．
故选：B．
2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
【答案】A
【解析】设正多边形是正n边形，则它的一边所对的中心角是，
正多边形的外角和是360°，则每个外角也是，
所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等，
故选A．
3．在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【解析】
解：由题意这个正n边形的中心角=60°，
∴n==6
∴这个多边形是正六边形，
故选：D．
4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图，作，
依题可得：是边长为2的等边三角形，
在中，
∵，，
∴，
即原来的纸宽为.
故答案为：C.
5．已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：如图，六边形ABCDEF为正六边形，作OH⊥AB于H，连接OA，
∴OA为正六边形ABCDEF的外接圆的半径，OH为正六边形ABCDEF的边心距，
∴OH=，
在Rt中，∠AOH==30°，
∴cos∠AOH=，
∴OA=2，
∴它的外接圆的面积==4π．
故选：C．
6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是( )
A．2﹣ B． C． D．
【答案】A
【解析】
过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，
则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，
∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，
设AF＝EF＝GH＝DH＝k，
∴AE＝DG＝k，
∴EG＝2AE＝2k，
∴AB＝AD＝2k+2k，
∴正八边形边长与AB的比＝，
故选A．
7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．27﹣9 B．54﹣18 C．18 D．54
【答案】B
【解析】解：设EF交AH于M、交HD于N，连接OF、OE、MN，如图所示：
根据题意得：△EFO是等边三角形，△HMN是等腰直角三角形，
∴EF＝OF＝6，
∴△EFO的高为：OF?sin60°＝6×＝，MN＝2（6﹣）＝12﹣，
∴FM＝（6﹣12+）＝﹣3，
∴阴影部分的面积＝4S△AFM＝4×（﹣3）×＝54﹣；
故选：B．
8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（ ）米
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米），
设正方形边长是x米，则
x2+x2=42，
解得：x=2，
所以正方形桌布的边长是2米．
故选：A．
9．下面给出五个命题
(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆
(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形
(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形
(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
(5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等
其中真命题有( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】A
【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；
(2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；
(3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；
(4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；
(5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等．
故正确的是(1)(5)．共有2个．
故选：A．
10．一个圆的内接正三角形的边长为，则该圆的内接正方形的边长为( )
A． B．4 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意画图如下：过点O作OD⊥BC于D，连接OB，
∴BD=CD=BC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB，
∴OB2-(OB)2=BD2，
解得：OB=2，即圆的半径为2，
∴该圆的内接正方形的对角线长为4，
设正方形的边长为x，
∴x2+x2=42，
解得x=.
∴该圆的内接正方形的边长为.
故选D.
11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是( )
A．30° B．60° C．55° D．75°
【答案】B
【解析】连接OB，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOD＝＝120°，
∴∠BPD＝∠BOD＝60°，
故选：B．
12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】
解：由题意n=6时，π≈=3，
故选：B．
13．如图，用四根长为的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动，同时添加另外四根长为的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，由题意可知：△ABC是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a．
则有：a2+a2=52，
∴a=或-（舍弃）
故选：D．
14．如图，将边长为5的正六边形沿直线折叠，则图中阴影部分周长为（ ）
A．20 B．24 C．30 D．35
【答案】C
【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF的周长=5×6=30，
故选：C．
15．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，
∵⊙O的周长等于6πcm，
∴2πr=6π，
解得：r=3，
∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=3cm，
∵OH⊥AB，
∴AH=AB，
∴AB=OA=3cm，
∴AH=cm，OH==cm，
∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6××3×=（cm2）．
故选C.
16．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
则这个正n边形的中心角是60°，
n的值为6，
故选：C
二、填空题
17．若正多边形的一个外角为 60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________．
【答案】60°
【解析】∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为=6，
即正多边形为六边形，
∴这个正多边形的中心角的度数==60°．
故答案为60°
18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____．
【答案】60°
【解析】解：如图，过A作l∥l1，则∠4＝∠2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°，
∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2，
∵l1∥l2，
∴l∥l2，
∴∠1+∠3＝180°，
∴∠1+120°﹣∠2＝180°，
∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，
故答案为：60°．
19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____．
【答案】75°
【解析】解：
设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，
由题意知，⊙O的周长，
∴∠A3OA10＝＝150°，
∴∠A3A7A10＝75°，
故答案为：75°．
20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（ ）
A． B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3
【答案】A
【解析】如图，
∵正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1
∴第一次旋转后点M1 纵坐标坐标为 ，第二次、第三次旋转后点M2（M3）的纵坐标为﹣ ，四次旋转后点M4的纵坐标为﹣﹣，第五次旋转后点M5的纵坐标为 +，第六次旋转后的点M6的纵坐标为．
故选：A．
三、解答题
21．如图，已知．
（1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【解析】解：（1）如图所示：
,
（2）如图所示：
22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．
【答案】2.
【解析】延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.
∵正六边形的边长为1，
∴正六边形的半径是1，则CE＝4，
由题意得中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是，
则△BCE的边EC上的高是，△ACE边EC上的高是，
则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝×4×(－)＝2.
23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答）
温馨提示，如图1，是一个边长为a的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等．
解答问题：
（1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）： ．
（2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）；
（3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值．
【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）．
【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②正六边形的面积为：a2，周长为6a；
③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆；
④圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧长度相等；
⑤圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧的弧度相等；
⑥圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的长度相等；
⑦圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的弧度相等；
⑧圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的圆心角（中心角）相等，都是60°；
⑨圆内接正六边形的边长等于圆的半径；
⑩圆内接正六边形的边心距为：a等．
（2）如图2所示：
（3）如图2，连结EO，在Rt△ONE中，
∵OE=DE=a，
∠EON=DOE=30°，
∴OE=a，
∴边长为a正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值为：．
24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE=CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PA=PC+PB
【解析】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，
连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，
∴∠CPE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；
又∵∠EBC＝∠PAC，
∴△BEC≌△APC，
∴PA＝BE＝PB＋PC．
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E．
∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
又∵∠APB＝45°，
∴BP＝BE，∴；
又∵AB＝BC，
∴△ABE≌△CBP，
∴PC＝AE．
∴．
（3）答：；
证明：在AP上截取AQ＝PC，
连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，
∴△ABQ≌△CBP，
∴BQ＝BP．
又∵∠APB＝30°，
∴PB
∴PB+PC
25．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
【答案】 90° 72°
【解析】
(1)方法一：如图①，连接OB，OC.
图①
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.
又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
方法二：如图②，连接OA，OB.
图②
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90° 72° (3)∠MON＝.
26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.
(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.
(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.
(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？
【答案】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC；（2）60；
（3）如图（4）见解析；（4）可推广到正n边形.
【解析】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，连OD，OE，OF.
方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC.
（2）OD//AC，OE//AB，OF//BC， 如图（3）,
作OM⊥BC于M，连OB，
∵ΔABC是等边Δ，∴BM=BC=30，且∠OBM=30°，
∴OM=10，
∵OE//AB，∴∠OEM=60°，OE==20，
又OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60，
答：略.
（3）如图（4）,
方法1：在BC，CA，AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD，OE，OF，
方法2：在AB上任取一点D，连OD，逆时针旋转OD120°两次，得E，F.
（4）设M1为A1A2上任一点，在各边上分别取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连OM1……OM5即可，
∴可推广到正n边形.
13
专题24.3正多边形和圆（测试）
一、单选题
1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )
A．6 B．12 C．16 D．18
2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互余或互补
3．在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（ ）
A．1 B． C． D．2
5．已知一个正六边形的边心距为，则它的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是( )
A．2﹣ B． C． D．
7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．27﹣9 B．54﹣18 C．18 D．54
8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（ ）米
A． B．4 C． D．
9．下面给出五个命题
(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆
(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形
(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形
(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
(5)正n边形的中心角，且与每一个外角相等
其中真命题有( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
10．一个圆的内接正三角形的边长为，则该圆的内接正方形的边长为( )
A． B．4 C． D．
11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是( )
A．30° B．60° C．55° D．75°
12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )
A． B．3 C． D．
13．如图，用四根长为的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动，同时添加另外四根长为的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，将边长为5的正六边形沿直线折叠，则图中阴影部分周长为（ ）
A．20 B．24 C．30 D．35
15．如图，已知的周长等于 ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（ ）
A． B． C． D．
16．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
二、填空题
17．若正多边形的一个外角为 60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________．
18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____．
19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____．
20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（ ）
A． B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3
三、解答题
21．如图，已知．
（1）用尺规作正六边形，使得是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；
（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．
22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．
23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答）
温馨提示，如图1，是一个边长为a的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等．
解答问题：
（1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）： ．
（2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）；
（3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值．
24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．
下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．
证明：在AP上截取AE=CP，连接BE
∵△ABC是正三角形
∴AB=CB
∵∠1和∠2的同弧圆周角
∴∠1=∠2
∴△ABE≌△CBP
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB．
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．
25．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图①中∠MON的度数；
(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．
26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.
(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.
(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.
(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.
(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？
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