中考压轴题综合复习
（面积比转化）
本节压轴题解题的基本解题步骤
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
二、求解线段的长度：
三.求解面积比：
1.分别表示哪些图形的面积？
2.面积比怎么求解？
方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值；
方案二.用面积转化求解比值。
四、证明点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系有几种？ 提示：点在圆外、点在圆上、点在圆内；
2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么？
3.找找该题的圆心、半径、点到圆心的距离。
4.怎么添加辅助线？
教学重难点
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
例题精讲
例1.已知△ABC中，AB=4，BC=6，AC＞AB，点D为AC边上一点，且DC=AB，E为BC边的中点，联结DE，设AD=x。（★★★★）
当DE⊥BC时（如图1），求x的值；
设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
取AD的中点M，联结EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作⊙A，试问：当AD的长改变时，点P与⊙A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由。
【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AB=4，BC=6，AC＞AB，DC=AB
二.当时，求解线段的长度：
1.得到了什么特殊条件？ 提示：结合“E为BC边的中点”得到“为边中垂线”；
2.计算求解，通过中垂线联想到连结，则得到；再联想到等腰三角形画底边上的高线，即“过点作垂线”，再用勾股定理求解。
二.求解面积比：
1.分别表示哪些图形的面积？ 提示：四边形和。
2.面积比怎么求解？ 提示：
方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值；
方案二.用面积转化求解比值。
本题，用“方案二”较简单，连结，则：，
所以，，所以。
证明点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系有几种？ 提示：点在圆外、点在圆上、点在圆内；
2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么？ 提示：等价于比较线段的大小；
3.找找该题的圆心、半径、点到圆心的距离。 提示：、
4.该题转化为比较与的大小，怎么添加辅助线？
提示：作或，都可以证明=。
【满分解答】
解：（1）联结BD，过点B作BH⊥AC于H，
∵DE⊥BC，E为BC中点，∴BD=DC，∵AB=DC，∴AB=BD，
∴AH=BH=，∵AB2-AH2= BC2-CH2，∴，
∴x=1
（2）连BD，∵点E为BC中点，∴
∴
∵，∴，即
∴（0＜x＜6）
（3）点P在⊙A上。
证明：取AC中点N，则AN=，
∵M为AD中点，∴MN=
∵E为BC中点，∴NE//AB,且EN=2，
∴MN=EN，
∵NE//AB，∴，∴AP=AM
∴点P在⊙A上.
过关演练
1.如图，已知梯形，∥，，．为射线上
一动点，过点作∥交射线于点．联结，设，。
（1）求的长；
（2）当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结，若△与△相似，试求的长。（★★★★）
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.边：，∥，∥
2.角：；
3.特殊图形：为等腰三角形，∥形成相似基本图形“A字型”。
求解的长，画等腰底边上的高线，用三角比即可求解。
求解函数关系式，：
1.求解两个图形的面积比：用面积比转化，引入；
2.，，即可求解函数关系式；
3.注意求解定义域。
当△与△相似时：
1.找相等角：；
2.分类讨论，因为，则分以下两个情况讨论：
①当时：可证四边形是平行四边形；
②当时：可得；
3.计算求解。
【满分解答】
（1）过点作⊥于点，
∵∥，，
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
∴．
（2）∵∥，
∴．
∵△与△同高，
∴．
由∥可得：△∽△．
∴．
∴，
（3）∵∥，
∴．
∵△与△相似，
①，可证四边形是平行四边形．
∴．
②，
∴．
可求得：．
综上所述，当△与△相似时，的长为5或 ．
直击中考
1．（2019?虹口区一模）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．
（1）如果cos∠DBC，求EF的长；
（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．
【答案】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，
∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，
cos∠DBC，则：BF＝9，
S△BEFBF?ABEF?BG，即：9×6＝6×EF，
则EF＝9；
（2）过点A作AH⊥BG交于点H，连接AG，设：BF＝a，
在Rt△BGF中，cos∠GBF＝cosα，则tanα，sinα，
y①，
tanα，解得：a2＝36+（）2…②，
把②式代入①式整理得：y（x）；
（3）①当GF＝FC时，
FC＝10﹣a＝GF＝asinα，
把②式代入上式并解得：x，
②当CF＝CG时，
同理可得：x；
故：AD的长为或．
【点睛】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．
2．（2019?闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC．E为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，y．
（1）求AB的长；
（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果，求线段CE的长．
【答案】解：（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N．
∵AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，
∴BM，
在Rt△ABM中，∠AMB＝90°，
∴．
∴AB＝13．
（2）∵，
∴．即得 ，
∵∠AFD＝∠BEC，∠ADF＝∠C．
∴△ADF∽△BCE．
∴，
又∵CE＝x，FDx，AB＝CD＝13．即得 FC．
∵AD∥BC，
∴．
∴．
∴．
∴所求函数的解析式为，函数定义域为．
（3）在Rt△ABM中，利用勾股定理，得 ．
∴．
∵，
∴S四边形ABEF＝80．
设S△ADF＝S．由△ADF∽△BCE，，得 S△AEC＝9S．
过点E作EH⊥BC，垂足为点H．
由题意，本题有两种情况：
（ⅰ）如果点G在边AD上，则 S四边形ABCD﹣S四边形ABEF＝8S＝40．
∴S＝5．
∴S△AEC＝9S＝45．
∴．
∴EH＝6．
由 DN⊥BC，EH⊥BC，易得 EH∥DN．
∴．
又 CD＝AB＝13，
∴，
（ⅱ）如果点G在边DA的延长线上，则 S四边形ABCD+S四边形ABEF+S△AEF＝9S．
∴8S＝200．解得 S＝25．
∴S△BEC＝9S＝225．
∴．解得 EH＝30．
∴．
∴，
∴．
【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．
3．（2019?闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．
（1）求证：∠BPD＝∠MAN；
（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；
（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．
【答案】（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，
∴∠PBA＝∠PCA＝90°，
∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPD+∠BPC＝180°，
∴∠MAN＝∠BPD；
（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，
∴∠BPD＝∠BPE．
∴∠BPE＝∠BAC，
在Rt△ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，
∴∠APB＝∠ABE，
∴∠BAC＝∠ABE，
∴sin∠BAC＝sin∠ABE，
∵AB＝2，
∴AE＝6，
∴BE2，
∴BD＝BE＝2；
（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，
设BD＝2a，PC＝2b，
∵∠BPD＝∠MAN＝45°，
∴DP＝BD＝2a，
∴CD＝2a+2b，
在Rt△ABG和Rt△BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，
∴BG＝AG，DP＝BD，
∵QH∥BD，点Q为BP的中点，
∴PHPD＝a．QHBD＝a，
∴CH＝PH+PC＝a+2b，
∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，
∴BG＝DC＝2a+2b．
∴AC＝4a+2b，
∵BE∥QC，BE⊥AP，
∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，
∴∠QCH＝∠PAC，
∴△ACP∽△QCH，
∴，即，
解得，a＝b，
∴CH＝3a．
由勾股定理得，CQa，
∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，
∴△QCH∽△PFC，
∴，即，
解得，FCa，
∴QF＝QC﹣FCa，
∵BE∥QC，Q是PB的中点，
∴PE＝EF，
∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，
∴．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
中考压轴题综合复习
（面积比转化）
本节压轴题解题的基本解题步骤
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
二、求解线段的长度：
三.求解面积比：
1.分别表示哪些图形的面积？
2.面积比怎么求解？
方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值；
方案二.用面积转化求解比值。
四、证明点与圆的位置关系：
1.点与圆的位置关系有几种？ 提示：点在圆外、点在圆上、点在圆内；
2.求解“点与圆的位置关系”等价于求解什么？
3.找找该题的圆心、半径、点到圆心的距离。
4.怎么添加辅助线？
教学重难点
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
例题精讲
例1.已知△ABC中，AB=4，BC=6，AC＞AB，点D为AC边上一点，且DC=AB，E为BC边的中点，联结DE，设AD=x。（★★★★）
当DE⊥BC时（如图1），求x的值；
设，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
取AD的中点M，联结EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作⊙A，试问：当AD的长改变时，点P与⊙A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由。
过关演练
1.如图，已知梯形，∥，，．为射线上
一动点，过点作∥交射线于点．联结，设，。
（1）求的长；
（2）当点在线段上时，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）联结，若△与△相似，试求的长。（★★★★）
直击中考
1．（2019?虹口区一模）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．
（1）如果cos∠DBC，求EF的长；
（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．
2．（2019?闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC．E为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，y．
（1）求AB的长；
（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果，求线段CE的长．
3．（2019?闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．
（1）求证：∠BPD＝∠MAN；
（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；
（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．
中考压轴题综合复习一
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
一．中考压轴题命题方向：
二．动点产生的分类讨论类型：
例1.如图1，在Rt△ABC中，，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE// BC，交AD于点E。（★★★★）
（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到，联结．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值。
【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：AC=4，BC=5，CD=3；PE// BC
2.角的关系？ 提示：
3.特殊图形？提示：PE// BC形成相似基本图形“A字型”
求解函数关系式，用相似基本图形可直接求得。
两圆外切时，根据条件得，再计算求解。注意连结后，。
图形翻折后，会产生很多相等的量（边和角）：
画出翻折后的图形，让学生画图看看；
翻折后有哪些相等的边和相等的角？提示：引导学生寻找翻折前后的相等量，从边和角人手；
添加辅助线，构造相似基本图形求解；延长延长AD交于F，则；
再找找题目中的相似三角形？
提示：从翻折前后图形人手，～、～
怎么计算？ 提示：用边之比计算求解，先求解= ，再求解，最后得。
小题回顾总结。
【满分解答】
（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，
∵PE// BC，∴,∴，
∴,∴， 即，（）
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有
DE=PE+BD，即，
解之得，∴，
∵PE// BC，∴∠DPE=∠PDC，
在Rt△PCD中， tan=；∴tan=
延长AD交BB/于F，则AF⊥BB/，
∴，又，∴
∴～，
∴BF=，所以BB/= ，
∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，
∴～，∴,∴。
1.如图2，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG。（★★★★）
（1）求证：；（4分）
（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试证明⊙P与⊙G外切；（5分）
（3）当BP取何值时，PG // CF。（5分）
【解法点拨】可以参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
边：，；
角：平分，；
特殊图形：正方形。
二.证明，即证明：
方案一.在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH，证明△AHP≌△PCF即可；
方案二.过点作于点，则，设，用比例式可证明，则；
证明量圆外切，即证明，证明线段和差关系，用“截长补短”证明；
时，可得为等腰直角三角形，则，再结合
可求得长。
【满分解答】
（1）证明：在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH．
由正方形ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD．……（1分）
∵∠APF = 90°，∴∠APF =∠B．
∵∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC，
∴∠PAH =∠FPC．………………………………………………………（1分）
又∵∠BCD =∠DCE = 90°，CF平分∠DCE，∴∠FCE = 45°．
∴∠PCF = 135°．
又∵AB = BC，AH = PC，∴BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°．
∴∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF．………………………………（1分）
在△AHP和△PCF中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF，
∴△AHP≌△PCF．
∴AP = PF，即………………………………………（1分）
（2）解：延长CB至点M，使BM = DG，联结AM．
由AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG，
得△ADG≌△ABM，即得AG = AM，∠MAB =∠GAD．………………（1分）
∵AP = FP，∠APF = 90°，∴∠PAF = 45°．
∵∠BAD = 90°，∴∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°．（1分）
于是，由AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP，
得△APM≌△APG．∴PM = PG．
即得PB + DG = PG．………………………………………………………（2分）
∴⊙P与⊙G两圆外切．……………………………………（1分）
（3）解：由PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°．…………………………………（1分）
于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°．
∴PC = GC．即得DG = BP．………………………………………………（1分）
设BP = x，则DG = x．由AB = 2，得PC = GC = 2 – x．
∵PB + DG = PG，∴PG = 2 x．
在Rt△PGC中，∠PCG = 90°，得．……………（1分）
即得．解得．………………………………………（1分）
∴当时，PG // CF．………………………………………（1分）
一．选择题
1．（2019?上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．
由题意：，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
2．（2018?上海）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【答案】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O＝30°，AD＝2，
∴OA＝4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC＝3，
∴OB＝OA+AB＝4+3﹣2＝5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB＝OA+AB＝4+2+3＝9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆和圆的位置关系、切线的性质、勾股定理，熟练掌握圆和圆相交和相切的关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定OB的取值范围．
二、解答题（共50小题）
1．（2018?上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【答案】解：（1）∵OD⊥AC，
∴，∠AFO＝90°，
又∵AC＝BD，
∴，即，
∴，
∴，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°，
∵AB＝2，
∴AO＝BO＝1，
∴AF＝AOsin∠AOF＝1，
则AC＝2AF；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC，
∴∠AFO＝∠C＝90°，
∴OD∥BC，
∴∠D＝∠EBC，
∵DE＝BE、∠DEF＝∠BEC，
∴△DEF≌△BEC（ASA），
∴BC＝DF、EC＝EF，
又∵AO＝OB，
∴OF是△ABC的中位线，
设OF＝t，则BC＝DF＝2t，
∵DF＝DO﹣OF＝1﹣t，
∴1﹣t＝2t，
解得：t，
则DF＝BC、AC，
∴EFFCAC，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠D，
则cot∠ABD＝cot∠D；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，
∴∠BOC、∠AOD＝∠COD，
则2180，
解得：n＝4，
∴∠BOC＝90°、∠AOD＝∠COD＝45°，
∴BC＝AC，
∵∠AFO＝90°，
∴OF＝AOcos∠AOF，
则DF＝OD﹣OF＝1，
∴S△ACDAC?DF（1）．
【点睛】本题主要考查圆的综合题，解题的关键是掌握圆周角和圆心角定理、中位线定理、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用等知识点．
【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
（2019杨浦二模）21. 已知在梯形中，∥，，，且，，点在边上一动点，以为圆心，为半径的圆交边于点.
（1）求的长；
（2）当的长为时，请通过计算说明
圆与直线的位置关系.
答案：（1）；（2）圆与直线相切.
25. 已知圆的半径长为2，点、、为圆上三点，弦，点为的中点.
（1）如图1，联结、，设，请用表示；
（2）如图2，当点为弧的中点时，求点、之间的距离；
（3）如果的延长线与圆交于点，以为圆心、为半径的圆与以为直径的圆相切，求弦的长.
答案：（1）；（2）；（3）.
教师：本专题你有哪些收获和感悟？
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中考压轴题综合复习一
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
一．中考压轴题命题方向：
二．动点产生的分类讨论类型：
例1.如图1，在Rt△ABC中，，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE// BC，交AD于点E。（★★★★）
（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求的正切值；
（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到，联结．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值。
1.如图2，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG。（★★★★）
（1）求证：；（4分）
（2）⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD，试证明⊙P与⊙G外切；（5分）
（3）当BP取何值时，PG // CF。（5分）
一．选择题
1．（2019?上海）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
2．（2018?上海）如图，已知∠POQ＝30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
二、解答题（共50小题）
1．（2018?上海）已知⊙O的直径AB＝2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC＝BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
（2019杨浦二模）21. 已知在梯形中，∥，，，且，，点在边上一动点，以为圆心，为半径的圆交边于点.
（1）求的长；
（2）当的长为时，请通过计算说明
圆与直线的位置关系.
25. 已知圆的半径长为2，点、、为圆上三点，弦，点为的中点.
（1）如图1，联结、，设，请用表示；
（2）如图2，当点为弧的中点时，求点、之间的距离；
（3）如果的延长线与圆交于点，以为圆心、为半径的圆与以为直径的圆相切，求弦的长.
教师：本专题你有哪些收获和感悟？
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中考压轴题综合复习
（和直角三角形有关的分类讨论）
本节压轴题解题的基本解题步骤
一、寻找题目中的已知量和特殊条件。
二.求解函数解析式，用待定系数法即可求解。
三.、求解三角比的值。
四、分类讨论计算。
教学重难点
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
例题精讲
例1.如图9，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数图像经过、和三点，顶点为。（★★★★）
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）联结、，求的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点,使得以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由。
【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些点的坐标已知？ 提示： 、和三点；
2.二次函数解析式和顶点坐标可以求解。
二.求解函数解析式，用待定系数法即可求解。
三.求解三角比的值：
1.先让学生计算出的三边长度；
2.通过观察三边的关系，你能得到什么结论吗？ 提示：即为直角三角形；
3.计算的值。
四．当与相似时：
1.有什么特殊性质没有？ 提示：为直接三角形；
2.怎么分类讨论计算？ 提示：分以下三大类计算求解
①.若，过、两点作轴垂线，用相似可求得点坐标为；
②.若，则可直接的点坐标为；
③.若，过点作轴垂线，可求的点坐标为；
3.所求点坐标有4个，分别计算求解。
【满分解答】
（1）设所求二次函数解析式为
由题意，得： 解得：
因此，所求二次函数的解析式为，顶点坐标为．
（2）联结．∵
∴
∴ ∴ ∴
（3)能，条件的点符合共有4个，它们分别是。
过关演练
1.如图，Rt△ABO在直角坐标系中，∠ABO=900，点A（-25，0），∠A的正切值为，直线AB与y轴交于点C。（★★★★）
（1）求点B的坐标；
（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上的处。试在直角坐标系中画出旋转后的，并写出点的坐标；
（3）在直线OA/上是否存在点D，使△COD与△AOB相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A（-25，0）；
2.角：，。
求解点的坐标，过点画轴垂线，用三角比即可求解。
旋转后注意“点B落在x轴正半轴上的处”，又因为，则在的正上方，利用旋转前后对应边相等可直接写出的坐标；
当△COD与△AOB相似时：
1.注意点在直线上；
2.可以得到为直角三角形；
3.分类讨论计算：
①当时：即，解得。
②当时：即，解得
【满分解答】
（1）过点B作BH⊥AO于H，由tanA=，设BH=4k，AH=3k，则AB=5k
在Rt△ABO中，∵tgA=，AO=25，∴AB=15
∴k=3，∴BH=12
AH=9，∴OH=16
∴B（-16，12）
（2）正确画图。 （20，15），
（3）在Rt△AOC中，AO=25，tgA=，∴OC=-
设OA/的解析式为y=kx，则15=20k，则k=，∴y=x
∵△ABO旋转至△A/B/O，∴∠AOB=∠A/OB/，
∵∠AOB+∠A=900，∠COA/+∠A/OB/=900，∴∠A=∠COA/
∴在直线OA/上存在点D符合条件，设点D的坐标为（x，x），则OD=
10当即，也即x=16时，△COD与△AOB相似，
此时D（16，12）
20当即，也即x=时△COD与△AOB相似，
此时D（）
直击中考
1、（2019?定陶区三模）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．
【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）
∴，解得
∴抛物线解析式为，
（2），
∴对称轴为直线x＝1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，
∵∠PBO＝∠BAO，∴tan∠PBO＝tan∠BAO，
∴
∴，
∴BG
∴OG，
∴P（1，），
（3）如图2
设新抛物线的表达式为m
则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2
过点F作FH⊥y轴，垂足为H，
∵DE∥FH，EO＝2OF
∴，
∴FH＝1，
①点D在y轴的正半轴上，则F（﹣1，），
∴OH＝m
∴，
∴m＝3，
②点D在y轴的负半轴上，则F（1，），
∴OH＝m，
∴，
∴m＝5
∴综上所述m的值为3或5．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键.
2、（2019?嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】解：（1）依题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交点为点C，
∴点C的坐标是（0，3），
又点B的坐标是（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，
∴∠DBO＝30°或60°．
在直角△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，
∴或，
∴或．
（3）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3得：对称轴是直线x＝﹣1，
根据题意：设P（﹣1，t），
又点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，0），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2，
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得：，．
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
3、（2019?宝山区二模）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
【答案】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴1，
∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C点，
∴c＝3，C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A点，A点的坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，即：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x＝﹣1，
且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0）；
（2）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵直线BD和直线BC的夹角为15°，
∴∠DBO＝30°或∠DBO＝60°，
在Rt△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，
∵BO＝3，
当∠DBO＝30°时，如图1所示：
tan30°，
∴DO，
∴CD＝OC﹣DO＝3；
当∠DBO＝60°时，如图2所示：
tan60°，DO，
∴CD＝DO﹣OC，
∴CD的长度为3或；
（3）设P（﹣1，t），∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
由勾股定理得：BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
分情况讨论：如图3所示：
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，
即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，
即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解得：t＝4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，
即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解得：，；
综上所述，当△BPC为直角三角形时，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，有一定难度，注意分类讨论．
中考压轴题综合复习
（和直角三角形有关的分类讨论）
本节压轴题解题的基本解题步骤
一、寻找题目中的已知量和特殊条件。
二.求解函数解析式，用待定系数法即可求解。
三.、求解三角比的值。
四、分类讨论计算。
教学重难点
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
例题精讲
例1.如图9，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数图像经过、和三点，顶点为。（★★★★）
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）联结、，求的正切值；
（3）能否在第一象限内找到一点,使得以、、三点为顶点的三角形与以、、三点为顶点的三角形相似？若能，请确定符合条件的点共有几个，并请直接写出它们的坐标；若不能，请说明理由。
过关演练
1.如图，Rt△ABO在直角坐标系中，∠ABO=900，点A（-25，0），∠A的正切值为，直线AB与y轴交于点C。（★★★★）
（1）求点B的坐标；
（2）将△ABO绕点O顺时针旋转，使点B落在x轴正半轴上的处。试在直角坐标系中画出旋转后的，并写出点的坐标；
（3）在直线OA/上是否存在点D，使△COD与△AOB相似，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
直击中考
1、（2019?定陶区三模）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．
2、（2019?嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
3、（2019?宝山区二模）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．
中考压轴题综合复习（角的特殊关系）
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
【备注】引导学生对中考压轴题进行一下概述，为后面讲解铺垫好基础，大概5分钟左右。
一．中考压轴题命题方向：
二．动点产生的分类讨论类型：
例1.如图，已知在△中，=4，=2，以点为圆心，线段长为半径的弧交边于点，且∠=∠，是边延长线上一点，过点作⊥，交线段的延长线于点．设，。（★★★★）
（1）求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠=2∠时，求的值。
【参考教法】可参考以下教法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.哪些边已知？哪些边存在特殊关系？ 提示：=4，=2，⊥，；
2.哪些角存在特殊关系？ 提示：∠=∠，∠QPB=90。
3.特殊图形：、均为等腰三角形，。
用得到饿比例式可以直接求解的长度；
求解函数关系式：
1.分析和分别代表的量？ 提示：，，都表示边的长度；
2.从图中观察，与是否有直接关系？ 提示：没有，因此需要添加辅助线，构造基本图形使得与有联系；
3.分别过点、作、，则由相似基本图形可以求解相关线段的长度，继而求解很熟关系式；
4.注意求解函数定义域。
当∠=2∠时，为“当题目中的量满足一种特殊关系时，求解相关量”：
1.由∠=2∠可得到那些角度相等？ 提示：得到最为关键；
2.等腰三角形画底边上的高线，用勾股定理求解。
【满分解答】
（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．
∴．
∵，，∴．
（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4．
作AH⊥BC，垂足为点H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．
∴，即．
∴，．
又∵DE∥PQ，∴，即．
整理，得．定义域为x>0．
（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，．
∴．
解得．
∴．
解得，即．
1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=AB，P是边AC上的一个点，AP=PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E。（★★★★）
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
边：AB=AC=4，BC=AB，AP=PD；
角：∠APD=∠ABC；
特殊图形：△APD∽△ABC
二.用相似三角形对应角相等即可证明AD∥BC。
三.求解函数关系式：
1.AP=x，BE=y，都表示边的长度；
2.用第一小问得到的平行线，产生了相似基本图形“A字型”，，可求得函数关系式；
3.注意求解定义域。
当△CDP与△CBE相似时：
1.用角度关系，证明相似是唯一存在的；
2.用边之比，计算相关线段的长度，再由线段关系得到BP∥DE。
【满分解答】
（1）证明：∵，，∴．…………………………（1分）
又∵∠APD=∠ABC，∴△APD∽△ABC．………………………………（1分）
∴∠DAP=∠ACB．…………………………………………………………（1分）
∴AD∥BC．…………………………………………………………………（1分）
（2）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DAP=∠DPA．
∴AD=PD．…………………………………………………………………（1分）
∵AP=x，∴AD=2x．…………………………………………………………（1分）
∵，AB=4，∴BC=2．
∵AD∥BC，∴，即．……………………………（1分）
整理，得y关于x的函数解析式为．……………………………（1分）
定义域为．…………………………………………………………（1分）
（3）解：平行．…………………………………………………………………………（1分）
证明：∵∠CPD=∠CBE，∠PCD>∠E，
∴当△CDP与△CBE相似时，∠PCD=∠BCE．…………………………（1分）
∴，即．………………………………………………（1分）
把代入，整理得．
∴x=2，x=-2（舍去）．………………………………………………………（1分）
∴y=4．
∴AP=CP，AB=BE．…………………………………………………………（1分）
∴BP∥CE，即BP∥DE．
1．（2019?上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 120 度．
【答案】解：∵D是斜边AB的中点，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵11∥l2，
∴∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝180°﹣60°＝120°．
故答案为120．
【点睛】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．
2．（2019?上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 ．
【答案】解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，
∴AB5，
设AD＝x，则BD＝5﹣x，
∵△ACD≌△C1A1D1，
∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，
∴∠C1D1B1＝∠BDC，
∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，
∴∠B1C1D1＝∠B，
∴△C1B1D∽△BCD，
∴，即2，
解得x，
∴AD的长为，
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得△C1B1D∽△BCD是解题的关键．
8．（2019?宝山区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝ ．
【答案】解：∵AB∥DC，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵∠ABD＝∠CEA，
∴∠AEB＝∠BDC，
∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE，∠CBD＝180°﹣∠ABD﹣∠ABE，
∴∠EAB＝∠CBD，
∴△AEB∽△BDC，
∴，
∵3AE＝2BD，BE＝1，
∴CD，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得△AEB∽△BDC是解题的关键．
【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
20．（2019?虹口区一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 8 ．
【答案】解：连接BG并延长交AC于H，
∵G为ABC的重心，
∴2，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE＝DF＝4，
∵GE∥CH，
∴△BEG∽△CBH，
∴2，
∴BE＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
10．（2019?奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AF⊥BE，垂足为点F，点G在线段BF上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CF＝CB．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵AF⊥BE，
∴∠FAB+∠FBA＝90°．
∵∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG．
又∵AF＝BG，
∴△AFB≌△BGC（SAS）．
∴∠AFB＝∠BGC．
∴∠BGC＝90°，∴CG⊥BE．
（2）∵∠ABF＝∠EBA，∠AFB＝∠BAE＝90°，
∴△AEB∽△FAB．
∴．
∵点E是AD的中点，AD＝AB，
∴．
∵AF＝BG，
∴，即FG＝BG．
∵CG⊥BE，
∴CF＝CB．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．难度中等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键．
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教师：本专题你有哪些收获和感悟？
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中考压轴题综合复习二（角的特殊关系）
1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；
2.培养学生分析问题解决问题的能力；
3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；
4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。
一．中考压轴题命题方向：
二．动点产生的分类讨论类型：
例1.如图，已知在△中，=4，=2，以点为圆心，线段长为半径的弧交边于点，且∠=∠，是边延长线上一点，过点作⊥，交线段的延长线于点．设，。（★★★★）
（1）求的长；
（2）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当∠=2∠时，求的值。
1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=AB，P是边AC上的一个点，AP=PD，∠APD=∠ABC，联结DC并延长交边AB的延长线于点E。（★★★★）
（1）求证：AD∥BC；
（2）设AP=x，BE=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结BP，当△CDP与△CBE相似时，试判断BP与DE的位置关系，并说明理由。
1．（2019?上海）如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝ 度．
2．（2019?上海）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是 ．
3．（2019?宝山区一模）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，点E在CB延长线上，∠ABD＝∠CEA，若3AE＝2BD，BE＝1，那么DC＝ ．
【说明】：本部分为“专题小结”，由“专题知识点或是方法回顾+教师寄语”组成。先让学生说说本节课的收获，之后是教师寄语。教师寄语可以是：需要完成的作业、需要总结的知识点、名言名句、提醒学生需要做的事情等等。
20．（2019?虹口区一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 ．
10．（2019?奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AF⊥BE，垂足为点F，点G在线段BF上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CF＝CB．
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