上海2020届数学中考考典（一）——（教师版）（6份打包）

第一章 数与运算

考点解读

模块 考点 水平层级
数与运算 数的整除性及有关概念 Ⅰ
分数的有关概念、基本性质和运算 Ⅱ
比、比例和百分比的有关概念及比例的基本性质 Ⅱ
有关比、比例、百分比的简单问题 Ⅲ
有理数以及相反救、倒数、绝对值等有关概念，有理数在数轴上的表示 Ⅱ
平方根、立方根、次方根的概念 Ⅱ
实数概念 Ⅱ
数轴上的点与实数一-对应关系 Ⅰ
实数的运算 Ⅲ
科学记数法 Ⅱ
备注 理解性理解水平（记为Ⅱ）

探究性理解水平(记为Ⅲ)


1.1 数的整除
知识梳理

整数和整除
自然数：零和正整数统称为自然数。
整数：正整数、零、负整数统称为整数。
3、最小的自然数是零，没有最大的自然数。
4、整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除；或者说b
能整除a.
整除的条件：
①除数、被除数都是整数；
②被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
6、因数和倍数
整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也称为约数）。
7、倍数和因数是相互依存的
8、一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
9、一个整数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
9、能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
10.能被5整除的数：个位上是0或者5的整数都能被5整除
11.能被2整除的整数叫做偶数，
不能被2整除的整数叫做奇数。
备注：这里所说的奇数和偶数是指正奇数和正偶数。当研究的数从正整数范围扩大
到整数范围时，…，—4，—2,0等也是偶数，…，—5，—3，—1等也是奇数。
分解素因数
1.素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫做质数。
2.合数：一个正整数除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数。
3.“1”既不是素数，也不是合数。
4.正整数可以分为1、素数、合数三类。
5.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个
合数的素因数。
6.分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数。
7.短除法：在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”。
8.短除法分解素因数的步骤：
1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除。
2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止。
3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写出连乘的形式。
9.几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
10.互素：如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
11.素数和互素的区别：
素数是对于一个数来讲的，互素是对于两个数来讲的。
12.求几个数的最大公因数，只要把他们所有公有的素因数连乘，所得的积就是他们的最大
公因数。
两个整数中，如果某个数是另一个数的因数，那么这个数就是这两个数的最大公因数，
如果这两个数互素，那么它们的最大公因数就是1。
公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫做它
们的最小公倍数。
求两个整数的最小公倍数：只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，
将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数。
如果两个整数中某个数是另一个数的倍数，那么这个数就是这两个数的最小公倍数。如
果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数。
拓展：
求三个整数的最小公倍数。
区别求两个整数的最小公倍数与求三个整数的最小公倍数。
1到100以内的素数表的制作：
1）划去1；
2）圈出10以内的素数；
3）划去2的倍数；
4）划去3的倍数；
5）划去5的倍数；
6）划去7的倍数；
7）把没有划去的数排列起来即可。


例题精讲

【题型一·数的整除性和有关概念】
【例1】已知42=6×7，6和7都是42的（ ）
.素因数； .合数； .因数； .倍数.
【参考答案】．

【例2】4与6的最小公倍数是（ ）
．2； ．4； ．6； ．12．
【参考答案】．

【例3】下列数中能同时被2、3整除的是（ ）
．1.2； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例4】两个连续的正整数的积一定是（ ）
．素数； ．合数； ．偶数； ．奇数．
【参考答案】．

【例5】最小的素数是 ．
【参考答案】2．

【例6】分解素因数：12= ．
【参考答案】12=2×2×3．

【例7】12和15的最大公因数是 ．
【参考答案】3．

1.2 分数

知识梳理

分数的意义和性质：
分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
两个正整数、相除，可以用分数表示。即，其中为分子，为分母。
读作：分之。
3.分数和除法的联系：分数的分子就是除法中的被除数，分母就是除法中的除数。
4.分数和小数的联系：小数实际上就是分母是10、100、1000……的分数。
5.分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数，所得的分数与原
分数的大小相等。即
最简分数：分子和分母互素的分数，叫做最简分数。
约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，叫做约分。
通分：将异分母的分数分别化成与原分数大小相等的同分母的分数，这个过程叫做通分。

分数的运算：
1.同分母分数相加减：分母不变，分子相加减。
2.异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减法的法则进行计算。
3.真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。
4.假分数：分子大于或者等于分母的分数叫做假分数。
5.带分数：一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数。
带分数是假分数的另一种表示形式。
带分数的加减运算，可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减，再将所得的结果合并
起来；或者将带分数化为假分数再进行加减运算。
备注：
一般地，由于分数的意义是将一个总体等分为份而取其中份，于是我们把两个分数相乘的意义规定为：在分数的基础上，以为总体，“再”等分为份而取其中份，其结果是，即。
分数的乘法：两个分数相乘，将分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母。
整数与分数相乘，整数与分数的分子的积作积的分子，分母不变。
倒数：1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。
的倒数是，的倒数是。
互为倒数的两个数的乘积是1.
分数除法的运算法则：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘以乙数的倒数，用字母表示
就是：。
一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以
化成有限小数；否则就不能化成有限小数。
循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，
这个小数叫做循环小数。
循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做
这个循环小数的循环节。

拓展：
无限循环小数与分数的互化


例题精讲

【例1】下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例2】下列各数中，能化为有限小数的分数是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例3】如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算： ．
【参考答案】．

1.3 比和比例

知识梳理

比和比例：
1.、是两个数或两个同类的量，为了把和相比较，将与相除，叫做与的
比，记作或写成，其中读作比，或与的比。
其中叫做比的前项，叫做比的后项，前项除以后项所得的商叫做比值
2. 比、分数和除法三者之间的关系：









3.求两个同类量的比值时，如果单位不同，必须把这两个量化成相同的单位。
4.比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
最简整数比是指比的前项与后项都是整数，且他们互素。
三项连比的性质：
1）如果，那么
2）如果，那么
比例：四个量中，如果，那么就说成比例，也就是
表示两个比相等的式子叫做比例.其中分别叫做第一、二、三、四比例项，
第一比例项和第四比例项叫做比例外项，第二比例项和第三比例项叫做比例内
项。如果两个比例内向相同，即，那么把叫做和的比例中项。
7.比例的基本性质：
如果或，那么.反之，如果都不为零，且，
那么或.
备注：
当时，要将，，写成三联比的形式，那么首先要将两个式子
中所对应的比值进行调整，调整到一致：
①
，最后在得出的结果中约去他们的最大公因数即可
②或者直接寻找和的最小公倍数，将和直接调整到这个数值，那么根据
的变化，对进行相同的变化，根据的变化对进行相同的变化。
例如：，可以知道，b在两个比中所对应的数值分别为4和
6，我们首先寻找出4和6的最小公倍数为12，那么要将4变成12，应该乘以3，
要将6变成12，应该乘以2，于是：（这里存在一个假设条件为与 的比，与
的比已经是最简比）

那么
百分比：
百分比：把两个数量的比值写成的形式，称为百分数，也叫做百分比或者百分率。
记作％。其中％叫做百分号。读作：百分之.

2.百分比的应用：







例题精讲
【例1】已知实数、满足，则 ．
【参考答案】2

【例2】如果，那么下列各式不成立的是（ ）
． ； ．； ．； ．．
【参考答案】

【例3】．已知，则的值为__ __.
【参考答案】.

【例4】已知，，则 ．
【参考答案】

【例5】 已知（，则 .
【参考答案】



1.4 有理数
知识梳理

1．整数和分数统称为有理数．

2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
3．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示．
4．任何两个有理数都可以比较大小．
正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
5．只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，零的相反数是零．
6．一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
零的绝对值是零．
两个负数，绝对值大的那个数反而小．
有理数的运算

1．有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加．
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，其和的绝对值为较大的绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号．
（3）一个数同零相加，仍得这个数．
2．有理数加法的运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：．
3．有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．即．
4．有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与零相乘，都得零．
注意：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个数相乘，有因数为零，积就为零．
5．有理数乘法的运算律：
（1）交换律：；
（2）结合律：；
（3）分配率：．
6．有理数除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
注意：（1）零除以任何一个不为零的数，都得零；
（2）甲数除以乙数（零除外），等于甲数乘以乙的倒数．
7．有理数的乘方：
求个相同因数的乘积的运算，叫做乘方，记作，读作的次方，的结果读作的次幂．其中叫做底数，叫做指数，乘方的结果叫做幂．
规定：，（为正整数）．
注意：正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
8．有理数的混合运算：
有理数混合运算的顺序：先乘方，后乘除，再加减；同级运算从左到右；如果有括号，先算小括号，后算中括号，再算大括号．
9．科学计数法：
把一个数写成的（其中，是正整数），这种形式的记数方法叫做科学计数法．

例题精讲

【例1】计算： ．
【参考答案】．

【例2】一个数的相反数是2，则这个数是（ ）
．； ．； ．； ．.
【参考答案】．

【例3】 下列关于“0”的说法中，正确的是（ ）
．0是最小的正整数； ．0没有相反数； ．0没有倒数； ．0没有平方根．
【参考答案】．

【例4】的倒数是 ．
【参考答案】．

【例5】的绝对值等于 ．
【参考答案】．

【例6】数轴上点到原点的距离为2.5，则点所表示的数是（ ）
．2.5 ．-2.5 ．2.5或-2.5 ．0
【参考答案】．

【例7】已知实数、在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（ ）
．； ．；
．； ．．
【参考答案】．

【例8】当时，化简：= ．
【参考答案】


1.5 实数
知识梳理
实数的概念

1．无限不循环小数叫做无理数．
2．有理数和无理数统称为实数．
实数可以进行以下分类：

思考：不是吗？为什么是有理数呢？
平方根和开平方

1．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．
求一个数的平方根的运算叫做开平方，叫做被开方数．
2．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．
3．正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算数平方根），读作“根号”，表示的负平方根，读作“负根号”．零的平方根记作，．
4．平方根的性质：
（1）当时，，．
（2）当时，；
当时，．

立方根和开立方

1．如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，记作“”，读作“三次根号”．中的叫做被开方数，“3”叫做根指数．求一个数的立方根的运算叫做开立方．
2．任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根．
3．立方根的性质：
（1）．
（2）．
次方根

1．如果一个数的次方（是大于1的整数）等于，那么这个数叫做的次方根．当为奇数时，这个数为的奇次方根；当为偶数时，这个数为的偶次方根．求一个数的次方根的运算叫做开次方，叫做被开方数，叫做根指数．
2．次方根的表示：
（1）实数的奇次方根有且只有一个，用“”表示立方根．
（2）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负次方根用“”表示．
说明：当时，在中省略．
（3）负数没有偶次方根．
（4）零的次方根等于零，表示为．

用数轴上的点表示实数

1．每一个实数都可以用数轴上的唯一的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点也都可以用唯一的一个实数来表示．
2．实数的绝对值与相反数：
（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，实数的绝对值记作．
（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零，非零实数的相反数是．
3．实数的大小比较：
（1）负数小于零，零小于正数．
（2）两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．
（3）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．
4．数轴上两点之间的距离：
在数轴上，如果点、点所对应的数分别为、，那么、两点的距离．

实数的运算
1．设，，可知：
（1）．
（2）．
（3）．
2．近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度．
3．对于一个近似数制定保留几个有效数字，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．


例题精讲

【题型一·平方根、立方根、次方根的概念】
【例1】的平方根等于 ．
【参考答案】；

【例2】计算的结果是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】



【例3】下列运算正确的是（ ）
．； ．； ．； ． ．
【参考答案】

【题型二·实数的概念】
【例1】下列说法中，正确的是（ ）
．是分数； ．0是正整数； ．是有理数；．是无理数.　
【参考答案】．

【例2】下列各数中无理数共有（ ）
–0.21211211121111，②，③，④，⑤.
．1个； ．2个； ．3个； ．4个．
【参考答案】．

【例3】与无理数最接近的整数是（ ）
．1； ．2 ； ．3； ．4．
【参考答案】．

【例4】数轴上任意一点所表示的数一定是（ ）
．整数； ．有理数； ．无理数； ．实数.
【参考答案】．

【例5】比较大小： ．
【参考答案】．

【例6】已知，，，…，（、均为实数）则 ， ．
【参考答案】7，48．

【例7】下图是一个简单的计算程序，若最初输入的值为10，则通过该程序的运算最终输出的数据是（ ）
．2；
．6；
．10；
．18．
【参考答案】．


【题型三· 科学计数法】
【例1】根据国家统计局1月28日发布《2010年国民经济和社会发展统计公报》，去年全年国内生产总值﹙﹚为397983亿元．用科学记数法保留三个有效数字为（ ）
．亿元； ．亿元 ；
．亿元 ； ．亿元．
【参考答案】．

【例2】太阳的半径为696000千米，其中696000用科学记数法表示为 ．
【参考答案】．

【例3】随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人数不断增加，据报道，2013年海外学习汉语的学生人数已达1500000000人，1500000000用科学计数法表示为 人．
【参考答案】


【题型四·实数的运算】
【例1】
计算:
【参考答案】
解：（1）
．

【例2】
计算：.
【参考答案】
解：原式=
=
=
=.


【例3】
计算： ．
【参考答案】
解：原式=
=
= 1．



【例4】（本题满分10分）
计算：．
【参考答案】
解：原式


．


【例5】
计算：．
【参考答案】
解：原式
．


【例6】
计算：．
【参考答案】
解:原式

．


过关演练
一．选择题（共21小题）
1．（2019?上海）下列运算正确的是（　　）
A．3x+2x＝5x2 B．3x﹣2x＝x C．3x?2x＝6x D．3x÷2x
【答案】解：（A）原式＝5x，故A错误；
（C）原式＝6x2，故C错误；
（D）原式，故D错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
2．（2019?浦东新区二模）下列各数不是4的因数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】解：∵4的因数有：1、2、4，
∴各数不是4的因数是3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了求一个数因数的方法，要熟练掌握，应有顺序的写，做到不重不漏．
3．（2019?嘉定区二模）拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为（　　）
A．324×105 B．32.4×106 C．3.24×107 D．0.32×108
【答案】解：32400000＝3.24×107元．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（2019?宝山区二模）32400000用科学记数法表示为（　　）
A．0.324×108 B．32.4×106 C．3.24×107 D．324×108
【答案】解：32400000用科学记数法表示应记为3.24×107，
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（2019?奉贤区二模）电影《流浪地球》从2月5日上映以来，凭借其气势磅礴的特效场面与动人的父子情获得大众的喜爱与支持，截止3月底，中国电影票房高达4559000000元．数据4559000000用科学记数法表示为（　　）
A．45.59×108 B．45.59×109 C．4.559×109 D．4.559×1010
【答案】解：4559000000＝4.559×109，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．
6．（2019?黄浦区二模）下列自然数中，素数是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．9
【答案】解：素数是2，
故选：B．
【点睛】此题考查有理数，关键是根据素数的概念解答．

7．（2019?普陀区二模）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率π有关，下列表述中，不正确的是（　　）
A．π＝3.14
B．π是无理数
C．半径为1cm的圆的面积等于πcm2
D．圆周率是圆的周长与直径的比值
【答案】解：（A）π≈3.14，故A错误；
故选：A．
【点睛】本题考查无理数，解题的关键是正确理解π，本题属于基础题型．
8．（2019?金山区二模）下列实数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
【答案】解：有理数是整数和分数的集合，
故选：D．
【点睛】本题考查有理数，解题的关键是熟练运用有理数的定义，本题属于基础题型．
9．（2019?闵行区二模）下列各数中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】解：（A）原式，故A不是无理数；
（B）原式＝﹣2，故B不是无理数；
（C）是分数，故C不是无理数；
故选：D．
【点睛】本题考查无理数的定义，解题的关键是正确理解无理数的定义，本题属于基础题型．
10．（2019?崇明区二模）下列计算中，正确的是（　　）
A．2 B．40＝0 C．2 D．4﹣1＝﹣4
【答案】解：A.，故A正确；
B.40＝1，故B错误；
C.，故C错误；
D.4﹣1，故D错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了分数指数幂、零指数幂与负指数幂，熟练运用相关幂的运算公式是解题的关键．
11．（2019?杨浦区二模）如图，已知数轴上的点A、B表示的实数分别为a，b，那么下列等式成立的是（　　）

A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b
【答案】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a+b＜0，
∴|a+b|＝﹣a﹣b．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．
12．（2019?青浦区二模）下列单项式中，与ab2是同类项的是（　　）
A．a2b B．a2b2 C．﹣ab2 D．2ab
【答案】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2．
A、a的指数是2，b的指数是1，与ab2不是同类项；
B、a的指数是2，b的指数是2，与ab2不是同类项；
C、a的指数是1，b的指数是2，与ab2是同类项；
D、a的指数是1，b的指数是1，与ab2不是同类项．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同．
13．（2019?静安区二模）计算（1﹣a）（﹣1﹣a）的结果是（　　）
A．a2﹣1 B．1﹣a2 C．a2﹣2a+1 D．﹣a2+2a﹣1
【答案】解：原式＝（﹣a）2﹣12＝a2﹣1，
故选：A．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14．（2019?松江区二模）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a2＝a4 B．（2a）3＝6a3
C．3a2?（﹣a3）＝﹣3a5 D．4a6÷2a2＝2a3．
【答案】解：A．a2+a2＝2a2，此选项错误；
B．（2a）3＝8a3，此选项错误；
C．3a2?（﹣a3）＝﹣3a5，此选项正确；
D．4a6÷2a2＝2a4，此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握合并同类项法则及单项式的乘方、乘法和除法法则．
15．（2019?徐汇区二模）在下列各式中，运算结果为x2的是（　　）
A．x4﹣x2 B．x4?x﹣2 C．x6÷x3 D．（x﹣1）2
【答案】解：x4与x2不是同类项，不能合并，A选项错误；
x4?x﹣2＝x2，B选项正确；
x6÷x3＝x3，C选项错误；
（x﹣1）2＝x﹣2，D选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
16．（2019?普陀区二模）下列计算中，正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a2?a3＝a6 C．2a?3a＝6a2 D．2a+3a＝5a2
【答案】解：（a2）3＝a6，A选项错误；
a2?a3＝a5，B选项错误；
2a?3a＝6a2，C选项正确；
2a+3a＝5a，D选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
17．（2019?黄浦区二模）下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．a2?a3＝a5 C．（2a）2＝4a D．a6÷a3＝a2
【答案】解：A、（a2）3＝a6，错误；
B、a2?a3＝a5，正确；
C、（2a）2＝4a2，错误；
D、a6÷a3＝a3，错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．
18．（2019?静安区一模）化简（﹣x3）2的结果是（　　）
A．﹣x6 B．﹣x5 C．x6 D．x5
【答案】解：原式＝x6，
故选：C．
【点睛】此题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（2019?浦东新区二模）如果分式有意义，则x与y必须满足（　　）
A．x＝﹣y B．x≠﹣y C．x＝y D．x≠y
【答案】解：由题意得：x﹣y≠0，
即：x≠y，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式分母不为零．
20．（2019?静安区二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】解：与是同类二次根式的是，
故选：C．
【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
21．（2019?新宾县模拟）下列二次根式中，最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】解：，故A选项不是最简二次根式；
是简二次根式；
，故C 选项不是最简二次根式；
，故D 选项不是最简二次根式，
故选：B．
【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

二．填空题（共28小题）
1．（2019?上海）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是　　．
【答案】解：∵正方形的面积是3，
∴它的边长是．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义．
2．（2018?上海）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是　0.8a　元．（用含字母a的代数式表示）．
【答案】解：根据题意知售价为0.8a元，
故答案为：0.8a．
【点睛】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关系．
3．（2018?上海）计算：（a+1）2﹣a2＝　2a+1　．
【答案】解：原式＝a2+2a+1﹣a2＝2a+1，
故答案为：2a+1
【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．（2017?上海）计算：2a?a2＝　2a3　．
【答案】解：2a?a2＝2×1a?a2＝2a3．
故答案为：2a3．
【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．（2019?浦东新区二模）的相反数是　　．
【答案】解：的相反数是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数定义．
6．（2019?长宁区二模）今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为　5.09×106　．
【答案】解：5090000＝5.09×106，
故答案是：5.09×106．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．（2019?普陀区二模）月球离地球近地点的距离为363300千米，数据363300用科学记数法表示是　3.633×105　．
【答案】解：363300＝3.633×105，
故答案为3.633×105．
【点睛】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．
8．（2019?徐汇区二模）2018年1月，“墨子号”量子卫星实现了距离达7600000米的洲际量子密钥分发，数字7600000用科学记数法表示为　7.6×106　．
【答案】解：7600000＝7.6×106，
故答案为7.6×106
【点睛】本题考查了科学记数法表示交大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．
9．（2019?松江区二模）计算：　6　．
【答案】解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
10．（2019?普陀区二模）如果a＝2，b＝﹣1，那么代数式的值等于　　．
【答案】解：∵a＝2，b＝﹣1，
∴原式，
故答案为：；
【点睛】本题考查算术平方根，解题的关键熟练运用算术平方根的定义是，本题属于基础题型．
11．（2019?虹口区二模）在数轴上，实数2对应的点在原点的　左　侧．（填“左”、“右”）
【答案】解：根据题意可知：20，
∴2对应的点在原点的左侧．
故填：左
【点睛】本题考查实数与数轴上点的对应关系，掌握了实数与数轴上的点的一一对应关系，很容易得出正确答案．
12．（2019?杨浦区三模）某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上増加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是　0.17am　元（用含m、a的代数式表示）
【答案】解：由题意可得，
超市获得的利润是：a（1+30%）×[m（1﹣10%）]﹣am＝0.17am（元），
故答案为：0.17am．
【点睛】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
13．（2019?徐汇区一模）如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为　　厘米．

【答案】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．
由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
由DG∥BC得△ADG∽△ABC
∴．
∵PH⊥BC，DE⊥BC，
∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，
∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，
∴，
解得x．
即AH为厘米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
14．（2019?徐汇区校级一模）如图，图中所有四边形都是正方形，其中左上角的n个小正方形与右下角的1个小正方形边长相等，若最大正方形边长是最小正方形边长的m倍，则用含n的代数式表示m的结果为m＝　2n+5　．

【答案】解：如图，过A作AB⊥FG于B，

则△ABC∽△CDE，
∴2，
设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为m，
∴AB＝m﹣1，BF＝n，DE＝1，
∴BC＝2DE＝2，CDAB（m﹣1），
∴FG＝FB+BC+CD+DG＝n+2（m﹣1）+1＝m，
∴m＝2n+5，
故答案为：2n+5．
【点睛】本题考查了列代数式，相似三角形的性质和判定，正方形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
15．（2019?杨浦区三模）计算：（﹣2）9÷27＝　﹣4　．
【答案】解：原式＝﹣29÷27＝﹣22＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法，关键是掌握同底数幂的除法法则．
16．（2019?奉贤区二模）计算：m3÷（﹣m）2＝　m　．
【答案】解：m3÷（﹣m）2＝m3÷m2＝m．
故答案为m．
【点睛】本题考查了同底数幂相除，正确运用同底数幂相除法则是解题的关键．
17．（2019?金山区二模）计算：a2÷a﹣2＝　a4　．
【答案】解：a2÷a﹣2＝a2﹣（﹣2）＝a4，
故答案为：a4．
【点睛】本题考查的是同底数幂的除法、负整数指数幂，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
18．（2019?崇明区二模）计算：（2x）2＝　4x2　．
【答案】解：（2x）2＝4x2．
故答案为：4x2．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
19．（2019?静安区二模）如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是　m＞4　．
【答案】关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，就是对应的二次方程x2﹣4x+m＝0无实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4m＝16﹣4m＜0，
∴m＞4．
故答案为：m＞4．
【点睛】本题考查二次三项式的因式分解问题，可转化为对应的二次方程的实数根的情况，属于比较简单的问题．
20．（2019?金山区二模）因式分解：a3+2a＝　a（a2+2）　．
【答案】解：a3+2a＝a（a2+2），
故答案为a（a2+2）．
【点睛】本题考查了因式分解，正确提取公因式是解题的关键．
21．（2019?浦东新区二模）分解因式：a2﹣2ab+b2﹣4＝　（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）　．
【答案】解：a2﹣2ab+b2﹣4
＝（a﹣b）2﹣4
＝（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．
故答案为：（a﹣b+2）（a﹣b﹣2）．
【点睛】此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．
22．（2019?闵行区二模）分解因式：x2﹣9x＝　x（x﹣9）　．
【答案】解：原式＝x?x﹣9?x＝x（x﹣9），
故答案为：x（x﹣9）．
【点睛】本题考查了提公因式法因式分解的知识，解题的关键是首先确定多项式各项的公因式，然后提取出来．
23．（2019?徐汇区二模）在实数范围内分解因式x3﹣4x的结果为　x（x+2）（x﹣2）　．
【答案】解：x3﹣4x＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，正确运用各种方法是解题的关键．
24．（2019?长宁区二模）计算：　　．
【答案】解：原式＝4﹣2﹣1
＝4
＝3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了负指数幂的性质以及有理数的混合运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
25．（2019?静安区二模）如果有意义，那么x的取值范围是　x＞0　．
【答案】解：由题意可知：，
解得：x＞0，
故答案为：x＞0．
【点睛】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
26．（2019?金山区二模）化简：（b≥0）的结果是　　．
【答案】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次根式的性质与化简，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27．（2019?杨浦区三模）计算：　7　．
【答案】解：原式＝347．
故答案为：7
【点睛】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键．

28．（2019?青浦区二模）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是　x≥3　．
【答案】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，要明确，当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.
三．解答题（共20小题）
1．（2019?上海）计算：|1|
【答案】解：|1|
1﹣224
＝﹣3
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
2．（2018?上海）先化简，再求值：（），其中a．
【答案】解：原式＝[]
?
，
当a时，
原式5﹣2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
3．（2017?上海）计算：（1）2（）﹣1．
【答案】解：原式＝32﹣21﹣3+2
2．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（2019?青浦区二模）计算：（﹣1）2019﹣|1|．
【答案】解：原式＝﹣1﹣（1）1
＝1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
5．（2019?浦东新区二模）计算：（﹣3）0﹣|2|．
【答案】解：原式＝1﹣31+21．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、分母有理化、绝对值、二次根式化简等考点的运算．
6．（2019?静安区二模）计算：（1）2|1|．
【答案】解：原式（2+1﹣2）+（）1
3﹣21
2．
【点睛】本题考查负指数幂的运算，分母有理化，绝对值运算．能够将每一项准确化简是正确计算的关键．
7．（2019?嘉定区二模）计算：（﹣2018）0+（）﹣2．
【答案】解：原式＝1+4π﹣3＝π．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（2019?宝山区二模）计算：．
【答案】解：
＝π+2﹣（2）
＝π．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
9．（2019?松江区二模）计算：
【答案】解：
＝33﹣21﹣4
＝33﹣21﹣4+2
＝2．
【点睛】本题考查完全平方公式、负整数指数幂和分母有理化，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
10．（2019?普陀区二模）计算：|2sin60°﹣2|．
【答案】解：原式＝|2|2+1
＝231
＝21，
【点睛】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．
11．（2019?金山区二模）计算：（）0（）+（）﹣1．
【答案】解：原式＝12
＝12
＝3；
【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、分数指数幂、负指数幂是解题的关键．
12．（2019?黄浦区二模）计算：|1|﹣（）0．
【答案】解：原式

．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
13．（2019?徐汇区校级一模）计算：sin30°+|﹣2|﹣tan45°+（﹣1）2019
【答案】解：原式2﹣1﹣1
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．（2019?青浦区一模）计算：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|tan30°．
【答案】解：（sin30°）﹣1+|1﹣cot30°|tan30°
＝（）﹣1+|1|

．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
15．（2019?徐汇区一模）计算：．
【答案】解：原式


＝2．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
16．（2019?长宁区二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式

．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，即化简求值，解题的关键是掌握运算顺序，会化简分式．
17．（2019?奉贤区二模）先化简，再求值：，其中x．
【答案】解：原式?

，
当x时，原式33．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
18．（2019?崇明区二模）先化简，再求值：（a+1），其中a．
【答案】解：原式?

，
当a时，原式1．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则、分母有理化法则是解题的关键．
19．（2019?杨浦区三模）先化简，再计算：，其中x．
【答案】解：原式?，
当x1时，
原式2．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（2019?徐汇区二模）计算：．
【答案】解：原式＝2（）﹣3
＝23
．
【点睛】本题考查了根式化简，熟练掌握分母有理化与最简二次根式化简是解题的关键.

第二章 代数与方程

考点解读

模块 考点 水平层级
方程与代数 代数式的有关概念 Ⅱ
列代数式和求代数式的值 Ⅱ
整式的加、减、乘、除及乘方的运算法则 Ⅲ
乘法公式【平方差、两数和（差）的平方公式】及其简单运用 Ⅲ
因式分解的意义 Ⅱ
因式分解的基本方法【提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法】 Ⅲ
分式的有关概念及基本性质 Ⅱ
分式的加、减、乘、除运算法则 Ⅲ
整数指数幂的概念和运算 Ⅱ
分数指数幂的概念和运算 Ⅱ
二次根式的有关概念 Ⅱ
二次根式的性质及运算 Ⅲ
一元一次方程的解法 Ⅲ
二元一次方程和它的解以及一次方程组和它的解的概念 Ⅱ
二元一次方程组的解法、三元一次方程组的解法 Ⅲ
不等式及其基本性质，一元一次不等式（组）及其解的概念 Ⅱ
一元一次不等式（组）的解法，数轴表示不等式（组）的解集 Ⅲ
一元二次方程的概念 Ⅱ
一元二次方程的解法 Ⅲ
一元二次方程的求根公式 Ⅲ
一元二次方程根的判别式 Ⅱ
整式方程的概念 Ⅰ
含有一个字母系数的一元一次方程与一元二次方程的解法 Ⅱ
分式方程、无理方程的概念 Ⅱ
分式方程、无理方程的解法 Ⅲ
二元二次方程组的解法 Ⅲ
列一次方程（组）、一元二次方程、分式方程等解应用题 Ⅲ
备注 理解性理解水平（记为Ⅱ） 探究性理解水平(记为Ⅲ)








2.1 代数式的有关概念，
列代数式和求代数式的值，整式的加、减、乘、除及乘法的运算法则，
乘法公式及其简单运用

知识梳理

1．用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
2．用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值．
3．由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
4．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
5．由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式，在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．次数最高的项的次数就是这个多项式的次数．
例如：多项式是单项式与﹣1三项的和，代数式中次数最高的项是，所以这个多项式的次数是2．
6．单项式、多项式统称为整式．
7．所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项．
8．把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式．
9．合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
10．可以写成（读作“a的n次方”），其中a表示底数，正整数a表示指数，a的n次乘方的结果叫做a的n次幂．
11．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．（m、n都是正整数）．同底数幂相除，底数不变，指数相减（m、n是正整数且m＞n，a≠0）．任何不等于零的数的零次幂为1，即（a≠0）．
12．幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．（m、n都是正整数）
13．积的乘方等于把积的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即．（n为正整数）
14．单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．
15．单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加．
16．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
17．两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
18．多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加．

【总结】理解代数式中字母表示数以及单项式多项式的相关概念；
注意单项式与多项式乘法的基本步骤．



例题精讲

【题型一·代数式的概念】
【例1】下列式子：① ② ③ ④，其中属于代数式的是（ ）
．①③； ．②④； ．①③④； ．①②③④．
【参考答案】．
【例2】下列代数式中，属于单项式的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例3】如果单项式与是同类项，那么、的值分别为（ ）
．，； ．，；
．，； ．，．
【参考答案】．
【例4】用代数式表示“的相反数与的倒数的和的平方”： ．
【参考答案】；
【例5】如果，那么的值是( ) ．
． ； ． 2； ． 1； ． 0．
【参考答案】
【例 6】某粮食公司2013年生产大米总量为万吨，比2012年大米生产总量增加了10%，那么2012
年大米生产总量为（ ）
．万吨； ．万吨；
．万吨； ．万吨．
【参考答案】．

【题型二·整式的乘法】
【例1】下列各式中，正确的是（ ）
．; ．; ．; ．．
【参考答案】．
【例2】下列运算正确的是（ ）
．； ．；
．； ．．
【参考答案】；
【例3】化简的结果是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．



2.2 因式分解的意义，因式分解的基本方法


知识梳理

1．平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即．
2．完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即：，．
3．平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式．
4．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
5．一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．
6．如果一个多项式各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式．这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
7．提取的公因式应是各项系数的最大公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．
8．逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法，由平方差公式反过来可得．这个公式叫做因式分解的平方差公式．同理由乘法公式中的完全平方公式反过来可得，．这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．
9．由多项式与多项式相乘的法则，可知．反过来可得．如果二次三项式中的常数项q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么就可以进行如下的因式分解，即．
10．利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．
11．利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．


【总结】注意理解因式分解的意义；
注意因式分解四种方法的灵活运用，特别是十字相乘法的基本步骤需要理解．






例题精讲

【题型三·因式分解的概念】
【例1】下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
．； ．；　
．；　 ．．
【参考答案】．
【题型四·因式分解】
【例1】分解因式： ．
【参考答案】 .
【例2】分解因式： ．
【参考答案】 ．
【例3】分解因式： ．
【参考答案】．
【例4】分解因式： ．
【参考答案】．

2.3分式的有关概念及其基本性质，分式的加、减、乘、除法则，
整数指数幂，分数指数幂

知识梳理
1．两个整式A、B相除，即A÷B时，可以表示为．如果B中含有字母，那么叫做分式，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母．
2．分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，即，其中M、N为整式，且B≠0，M≠0，N≠0．
3.把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程，叫做约分．如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式．
4．化简分式时，如果分式的分子和分母都是单项式，约分时约去它们系数的最大公因数、相同因式的最低次幂．如果分子、分母是多项式，先分解因式，再约分．化简分式时要将分式化成最简分式或整式．
5．两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母．分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用式子表示为：,．
6．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
7．异分母分式相加减，先将它们化为相同分母的分式，然后进行加减．将几个异分母的分式分别化为与原
来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分．
8．整数指数幂：（m、n为整数，a≠0）；（m、n为整数，a≠0，b≠0）；（m、n为整数，a≠0）．

9．分数指数幂：（a≥0），（a＞0），其中m、n为正整数，n＞1．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂．有理数指数幂的运算性质：设a＞0，b＞0，p、q为有理数，那么（1），
，（2），（3），．

【总结】理解分式的运算与分数运算的异同，注意分式运算中分式基本性质的运用；
有理数指数幂的运算公式要加强熟练运用，特别是同底数幂的运算．


例题精讲


【题型五·分式的概念与计算】
【例1】下列式子属于分式的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】
【例2】计算： ．
【参考答案】．
【例3】化简并求值：，其中．
【参考答案】解：原式
．
将代入，
原式．
【例4】（本题满分10分）
先化简，再求值：，其中.
【参考答案】
原式＝ 2分
＝ 2分
＝
＝ 3分
将代入， 3分

【例5】（本题满分10分）
先化简分式：，再从不等式组的解集中取一个合适的整数代入，求原分式的值.

【参考答案】


解：

1分


2分
. 1分


由(1)得 ， 2分
由(2)得 ， 2分
∴不等式的解集是 ，
符合不等式解集的整数是,-2，-1，0，1，2.
当时，原式=8. 2分
（备注：代正确都得分）






2.4二次根式的有关概念，二次根式的性质及运算

知识梳理
1．代数式（a≥0）叫做二次根式．读作“根号a”，其中a是被开方数．
2．性质1 （a≥0）．性质2 （a≥0）；性质3 （a≥0，b≥0）．性质4 （a≥0，b＞0）．
3．被开方数中个因式的指数都为1，且不含分母的二次根式叫做最简二次根式．
4．几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
5．两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变．两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．
6．把分母中的根号化去，叫做分母有理化．两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．

【总结】注意二次根式存在的意义，一般作为隐含条件；
二次根式的化简及除法与分母有理化的过程要注意区分；
二次根式的运算的结果需要化为最简二次根式．


例题精讲

【题型六·二次根式定义】

【例1】如果，那么（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例2】如果二次根式有意义，那么的取值范围是 ．
【参考答案】．

【题型七·同类二次根式】
【例1】下列二次根式中，的同类二次根式是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例2】在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【题型八·化简二次根式】
【例1】下列二次根式中最简二次根式是（ ）
．； ． ； ．； ．．
【参考答案】．
【例2】下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
．； ．； ．； ．
【参考答案】．


【题型九·二次根式计算】
【例1】下列运算一定正确的是（ ）
．； ．；
．； ．．
【参考答案】．
【例2】（本题满分10分）
（1）计算：；
（2）若，求（1）中代数式的值．
【参考答案】（1）原式= 3分

= 2分

（2）∵， 1分，1分
∴， 1分，1分
∴原式=
= 1分


过关演练

一．选择题（共12小题）
1．（2019?上海）如果m＞n，那么下列结论错误的是（　　）
A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n
【答案】解：∵m＞n，
∴﹣2m＜﹣2n，
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
2．（2018?上海）下列对一元二次方程x2+x﹣3＝0根的情况的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根
C．有且只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣3，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×（1）×（﹣3）＝13＞0，
∴方程x2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
3．（2017?上海）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x＝0 B．x2﹣2x﹣1＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x+2＝0
【答案】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

4．（2019?嘉定区二模）如果关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）的解是x＝﹣1，那么m的值是（　　）
A．m＝3 B．m＝﹣3 C．m＝1 D．m＝﹣1
【答案】解：把x＝﹣1，代入方程关于x的方程x﹣m+2＝0（m为常数）得：
﹣1﹣m+2＝0，
解得：m＝1，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次方程．
5．（2019?虹口区二模）方程的解为（　　）
A．x＝4 B．x＝7 C．x＝8 D．x＝10．
【答案】解：将方程两边平方得x﹣1＝9，
解得：x＝10，
经检验：x＝10是原无理方程的解，
故选：D．
【点睛】本题考查解无理方程，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．
6．（2019?长宁区二模）下列方程中，有实数解的是（　　）
A． B．2x2﹣x+1＝0 C．x2+4＝0 D．
【答案】解：A．原方程变形为x+2＝0，解得x＝﹣2，x＝3时，x＝﹣2时，x2﹣4＝0，因此原方程无解，故A错误；
B．△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×1＝﹣7＜0，因此因此原方程无解，故B错误；
C．△＝b2﹣4ac＝02﹣4×1×4＝﹣16＜0，因此因此原方程无解，故C错误；
D．原方程变形为6﹣x＝x2，移项得，x2+x﹣6＝0，．△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，因此因此原方程有两个不相等的实数根，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了方程的实数根，能熟练解分式方程与一元二次方程是得解题的关键．
7．（2019?松江区二模）下列方程中，没有实数根的是（　　）
A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2﹣2x+3＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
【答案】解：A、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣3）＝16＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以A选项错误；
B、△＝（﹣2）2﹣4×3＝﹣8＜0，方程没有实数根，所以B选项正确；
C、△＝（﹣2）2﹣4×1＝0，方程有两个相等的两个实数根，所以C选项错误；
D、△＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，方程有两个不相等的两个实数根，所以D选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
8．（2019?崇明区二模）下列方程中，一定有实数解的是（　　）
A．x4+9＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0
C． D．1＝0
【答案】解：A．原方程变形为x2＝﹣9，∵﹣9＜0，所以方程没有实数根，故A不符合题意；
B．△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，所以原方程有实数根，故B正确，符合题意；
C．原方程变形为x2+x﹣2＝3x﹣3，即x2﹣2x+1＝0，解得x＝，1，当x＝时，分式分母x﹣1＝0，因此x＝1是原分式方程的增根，方程无解，故C不符合题意；
D．原方程变形为，∵，所以原方程没有实数根，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程与分式方程的解，熟练运用一元二次方程根的判别式与解分式方程是解题的关键
9．（2019?金山区二模）用换元法解方程：2＝0时，如果设y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（　　）
A．y2＝0 B．y1＝0 C．y2﹣2y﹣1＝0 D．y2﹣y﹣2＝0
【答案】解：
设y，那么将原方程可化为：，去分得，y2﹣1﹣2y＝0，
整理得y2﹣2y﹣1＝0
故选：C．
【点睛】此题主要考查换元法解一元二次方程．主要针对有相似的整体项，可以利用换元法进行求解，再求出最终的答案．
10．（2019?闵行区二模）下列方程中，没有实数根的方程是（　　）
A．1 B．x2+x﹣1＝0 C． D．x
【答案】解：A．原方程变形为x2+3＝1，即x2＝﹣2，∵﹣2＜0，所以方程没有实数根，故A符合题意；
B．△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，所以原方程有实数根，故B正确，不符合题意；
C．原方程变形为2x﹣2＝x+2，解得x＝4，当x＝4时，分式方程左边右边，因此x＝4是原分式方程的根，故C不符合题意；
D．原方程变形为x+2＝x2，即x2﹣x﹣2＝0，．△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，所以原方程有实数根，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程与分式方程的解，熟练运用一元二次方程根的判别式与解分式方程是解题的关键．
11．（2019?杨浦区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　）
A．x2﹣mx﹣1＝0 B．ax＝3 C．?0 D．
【答案】解：A．x2﹣mx﹣1＝0中△＝m2+4＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
B．ax＝3中当a＝0时，方程无解，不符合题意；
C．由知此方程组无解，不符合题意；
D．有增根x＝1，此方程无解，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件、分式方程的增根．
12．（2019?金山区二模）不等式组的解集是（　　）
A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞1 D．x＜1
【答案】解：解不等式﹣x＞3，得：x＜﹣3，
解不等式x﹣1＜0，得：x＜1，
则不等式组的解集为x＜﹣3．
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键.
二．填空题（共32小题）
1．（2019?上海）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛　　
斛米．（注：斛是古代一种容量单位）
【答案】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，
则，
故5x+x+y+5y＝5，
则x+y．
答：1大桶加1小桶共盛斛米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
2．（2019?上海）如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是　m　．
【答案】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，
∴m．
故填空答案：m．
【点睛】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根
（3）△＜0?方程没有实数根．
3．（2019?杨浦区三模）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＜10　．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝62﹣4m+4＞0，
解得m＜10．
故答案为：m＜10．
【点睛】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
4．（2019?浦东新区二模）如果关于x的方程x2+2x+m＝0有两个实数根，那么m的取值范围是　m≤1　．
【答案】解：∵方程有两个实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×m＝4﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故答案为：m≤1．
【点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
5．（2019?静安区二模）某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是　20%　．
【答案】解：设每月的利润增长率为x，
依题意，得：25000（1+x）2＝36000，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2019?虹口区二模）如果关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，那么k的值为　1　．
【答案】解：∵关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0，
解得：k＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据已知得出△＝（﹣6）2﹣4k×9＝0且k≠0是解此题的关键．
7．（2019?宝山区二模）方程的解为　x＝1　．
【答案】解：移项，得 1，
方程两边平方，得 2x﹣1＝1，
解得 x＝1．
故答案为x＝1．
【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一次方程是解题的关键．
8．（2019?长宁区二模）某商品经过两次涨价后，价格由原来的64元增至100元，如果每次商品价格的增长率相同，那么这个增长率是　25%　．
【答案】解：设这个增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
故答案为：25%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2019?闵行区二模）一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0根的判别式的值等于　41　．
【答案】解：依题意，一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0，a＝2，b＝﹣3，c＝﹣4
∴根的判别式为：△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41
故答案为：41
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式：△＝b2﹣4ac，有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
10．（2019?崇明区二模）方程4的解是　x＝15　．
【答案】解：原方程变形为：x+1＝16，
∴x＝15，
x＝15时，被开方数x+1＝16＞0‘
∴方程的解为x＝15．
故答案为x＝15．’
【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元一次方程是解题的关键．
11．（2019?奉贤区二模）如果关于x的方程x2+4x+2k＝0有两个相等的实数根，那么k的值是　2　．
【答案】解：
∵x的方程x2+4x+2k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝42﹣4×2k＝0，解得k＝2
故答案为：2
【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与根的判别式△＝b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．
12．（2019?奉贤区二模）方程0的根是　x＝1　．
【答案】解：原方程变形为x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x＝0或x＝1，
∴x＝0时，被开方数x﹣1＝﹣1＜0，
∴x＝0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x＝1，
故答案为x＝1．
【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
13．（2019?普陀区二模）如果关于x的方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于　　．
【答案】解：
依题意，
∵方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个相等的实数根
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）＝0，解得m
故答案为：
【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．
14．（2019?松江区二模）方程x的解是　x＝1　．
【答案】解：原方程变形为 4﹣3x＝x2，
整理得 x2+3x﹣4＝0，
∴（x+4）（x﹣1）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4（舍去），x2＝1．
故答案为x＝1．
【点睛】本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
15．（2019?杨浦区二模）方程x﹣1的解为：　1　．
【答案】解：原方程可化为：（x﹣1）2＝1﹣x，
解得：x1＝0，x2＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，
故答案为：1．
【点睛】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答．
16．（2019?嘉定区二模）已知关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为　　．
【答案】解：∵关于x的方程x2+3x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝32﹣4×1×（﹣m）＝0，
解得：m，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
17．（2019?崇明区二模）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，那么m的取值范围是　m＜﹣1　．
【答案】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0没有实数根，
∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点睛】本题主要考查对根的判别式，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据题意得出（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0是解此题的关键．
18．（2019?金山区二模）已知关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个根是x＝1，那么这个方程的另一个根是　﹣2　．
【答案】解：设关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的另一个实数根是α，
∵关于x的一元二次方程x2+x+m＝0的一个实数根为1，
∴α+1＝﹣1，
∴α＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
19．（2019?黄浦区二模）若关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0没有实数根，则m的取值范围是　　．
【答案】解：根据题意△＝（2m﹣1）2﹣4m2＜0，
整理得﹣4m+1＜0，
解得m．
故答案为m．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
20．（2019?黄浦区二模）方程的根是x＝　8　．
【答案】解：方程两边平方得：x+1＝9，解得：x＝8，
经检验：x＝8是方程的解．
故答案是：8．
【点睛】本题考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
21．（2019?青浦区二模）方程的根是　x　．
【答案】解：∵，
∴x2﹣1＝1，
∴x2＝2，
∴x＝±，
经检验 x＝±是原方程的根，
∴x＝±．
故答案为：x＝±．
【点睛】此题主要考查了无理方程的解法，主要方法是方程两边同时平方从而转化为整式方程解决问题．
22．（2019?杨浦区二模）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同，已知甲平均每分钟比乙少打20个字，如果设甲平均每分钟打字的个数为x，那么符合题意的方程为：　　．
【答案】解：∵甲平均每分钟打x个字，
∴乙平均每分钟打（x+20）个字，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23．（2019?静安区一模）方程的根是　x＝﹣1　．
【答案】解：方程的两边都乘以（x﹣1），得x2＝1
所以x＝±1．
当x＝1时，x﹣1＝0，所以1不是原方程的根；
当x＝﹣1时，x﹣1＝﹣2≠0，所以﹣1是原方程的根．
所以原方程的解为：x＝﹣1．
故答案为：x＝﹣1．
【点睛】本题考查了分式方程的解法．题目比较简单，解分式方程易忘记检验而出错．
24．（2019?虹口区二模）不等式﹣2x＞﹣4的正整数解为　x＝1　．
【答案】解：∵﹣2x＞﹣4
∴x＜2
∴正整数解为：x＝1
故答案为：x＝1
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练运用解不等式的方法是本题的关键．
25．（2019?嘉定区二模）不等式组的解集是　﹣1≤x＜2　．
【答案】解：
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜2，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
故答案为﹣1≤x＜2．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．
26．（2019?松江区二模）不等式组的解集是　﹣2≤x＜1　．
【答案】解：
解不等式①，得x≥﹣2，
解不等式②，得x＜1，
所以，这个不等式组的解集是﹣2≤x＜1，
故答案为﹣2≤x＜1．
【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
27．（2019?普陀区二模）不等式组的解集是　﹣1　．
【答案】解：，
解不等式2x﹣1＜0，得：x，
解不等式x﹣3≤4x，得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
28．（2019?邯郸三模）不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．
【答案】解：
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式②，得x≤2，
所以，这个不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为﹣1＜x≤2．
【点睛】主要考查了一元一次不等式解集的求法，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
29．（2019?长丰县模拟）不等式组的整数解是　﹣1，0，1　．
【答案】解：解不等式组，得﹣2＜x≤1，
∵x为整数，
∴x＝﹣1，0，1．
故答案为﹣1，0，1．
【点睛】本题考查了求不等式组的整数解，熟练解不等式组是解题的关键．
30．（2019?奉贤区二模）不等式组的整数解是　2　．
【答案】解：
由①得 x＞1，
由②得x，
∴，
∵x取整数，
∴x＝2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了解不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解题的关键．
31．（2019?徐汇区二模）不等式组的解集是　5≤x＜7　．
【答案】解：
不等式组
解①式得x≥5
解②式得x＜7
故该不等式的解集为：5≤x＜7
故答案为：5≤x＜7
【点睛】此题主要考查解一元一次不等式组，分组解答后，也可以通过数轴表示出公共部分即为该不等式组的解集．值得注意的是，在化系数为1时，若遇到负号，要改变不等号的方向．
32．（2019?黄浦区二模）不等式组的解集是　　．
【答案】解：，
解①得x，
解②得x＜3，
所以不等式组的解集为x＜3．
故答案为x＜3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

三、解答题（共19小题）
1．（2018?上海）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】解：
解不等式①得：x＞﹣1，
解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：

【点睛】本题考查了不等式组的解法，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
2．（2019?上海）解方程：1
【答案】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
3．（2019?奉贤区二模）E﹣learning即为在线学习，是一种新型的学习方式．某网站提供了A、B两种在线学习的收费方式．A种：在线学习10小时（包括10小时）以内，收取费用5元，超过10小时时，在收取5元的基础上，超过部分每小时收费0.6元（不足1小时按1小时计）；B种：每月的收费金额y（元）与在线学习时间是x（时）之间的函数关系如图所示．
（1）按照B种方式收费，当x≥5时，求y关于x的函数关系式．
（2）如果小明三月份在这个网站在线学习，他按照A种方式支付了20元，那么在线学习的时间最多是多少小时？如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付多少元？

【答案】解：（1）当x≥5时，设y与x之间的函数关系式是：y＝kx+b（k≠0）
∵它经过点（5，0），（20，15），
∴，解得
∴y＝x﹣5
（2）按照A种收费方式，设小明三月份在线学习时间为x小时，
得5+（x﹣10）×0.6＝20．解得x＝35．
当x＝35时，y＝x﹣5＝35﹣5＝30．
30﹣20＝10（元）．
答：如果小明3月份按照A种方式支付了20元，那么他三月份在线学习的时间最多是35小时，如果该月他按照B种方式付费，那么他需要多付10元．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解决此类题，要认真的审题，同时，要读懂图象，这是解答的突破口，此外，灵活地运用一次函数的解析式，是解题的关键．
4．（2019?杨浦区二模）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，求a、b的值．
【答案】解：把代入二元一次方程组得：
，
由①得：a＝1+b，
把a＝1+b代入②，整理得：
b2+b﹣2＝0，
解得：b＝﹣2或b＝1，
把b＝﹣2代入①得：a+2＝1，
解得：a＝﹣1，
把b＝1代入①得：
a﹣1＝1，
解得：a＝2，
即或．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握代入法是解题的关键．
5．（2019?青浦区二模）解方程组：
【答案】解：原方程组变形为
，
∴或
∴原方程组的解为 或
【点睛】本题考查了二次方程组的解，将二次方程组化为一次方程组是解题的关键．
6．（2019?静安区二模）解方程组：
【答案】解：
由②得：（x﹣2y）（x+5y）＝0
原方程组可化为：或
解得：，．
∴原方程组的解为，．
【点睛】本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
7．（2019?虹口区二模）解方程组：
【答案】解：由①得，x﹣6y＝0或x+y＝0，
将它们与方程②分别组成方程组，得：或
分别解这两个方程组，
得原方程组的解为．
【点睛】本题是考查高次方程，高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
8．（2019?奉贤区二模）解方程组：
【答案】解：将方程x2﹣3xy+2y2＝0 的左边因式分解，得x﹣2y＝0或x﹣y＝0，
原方程组可以化为或，

解这两个方程组得或，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
9．（2019?徐汇区二模）解方程组：．
【答案】解：
由①得 （x+y）（x﹣2y）＝0，
∴x+y＝0或x﹣2y＝0
由②得 （x+y）2＝1，
∴x+y＝1或x+y＝﹣1
所以原方程组化为或或或，
所以原方程组的解为，．
【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
10．（2019?崇明区二模）解方程组
【答案】解：
由②得 （x+2y）（x﹣y）＝0
所以 x+2y＝0或x﹣y＝0
原方程组化为或，
所以原方程组的解为，．
【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．
11．（2019?松江区二模）解方程组：．
【答案】解：
由②得：（x﹣3y）2＝1，
x﹣3y＝1或x﹣3y＝1，
所以原方程组变为：，，
解这两个方程组得：，
所以原方程组的解为，．
【点睛】此题考查了高次方程，解答此类题目一般是先把高次方程分解为低次方程，再分别解低次方程．
12．（2019?嘉定区二模）解方程：．
【答案】解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：
16＝（x+2）2﹣（x﹣2），
整理得：x2+3x﹣10＝0，
解此方程得：x1＝﹣5，x2＝2，
经检验x1＝﹣5是原方程的解，x2＝2是增根（舍去），
所以原方程的解是：x＝﹣5．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
13．（2019?宝山区二模）解方程：
【答案】解：去分母得：16+x﹣2＝（x+2）2，
整理方程得，x2+3x﹣10＝0，
解得：x1＝﹣5，x2＝2，
经检验x＝﹣5是原方程的解，x＝2是增根（舍去），
∴原方程的解是x＝﹣5．
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．（2019?金山区二模）解方程：1．
【答案】解：去分母，得x+2﹣2x＝x2﹣4，
整理，得 x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x＝﹣3或x＝2，
检验：x＝2时，分母x﹣2＝0，因此x＝2是原分式方程的增根，
x＝﹣3时，左边＝1＝右边
所以原方程的解为x＝﹣3．
【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程求解是解题的关键．
15．（2019?普陀区二模）解方程：．
【答案】解：方程两边同时乘以x2﹣9，得 4x＝2（x﹣3）﹣（x2﹣9），
去括号，得 4x＝2x﹣6﹣x2+9，
整理，得x2+2x﹣3，
∴（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x＝﹣3或x＝1，
检验：当x＝﹣3时，分母x﹣3＝0，因此x＝﹣3是方程的增根，
x＝1时，左边右边，
因此分式方程的根为x＝1．
【点睛】本题考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程求解是解题的关键．
16．（2019?黄浦区二模）解分式方程：．
【答案】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，
整理得：x2+3x﹣10＝0，即（x﹣2）（x+5）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣5，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
17．（2019?浦东新区二模）解不等式组：，并写出这个不等式组的自然数解．
【答案】解：，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜4．
故不等式组的解集是：﹣1≤x＜4．
故这个不等式组的自然数解是：0，1，2，3．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
18．（2019?长宁区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

【答案】解：，
由①得x＜3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．
19．（2019?闵行区二模）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．

【答案】解：，
由①得：2x＞﹣2，
解得：x＞﹣1，
由②得：2x≥3x﹣1，
解得：x≤1，
所以，原不等式组的解集为：﹣1＜x≤1．
在数轴上表示为：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.






2.5一次方程（组）和一次不等式（组）

知识梳理
方程与方程的解
1．用字母、、…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数，含有未知数的等式叫做方程．在方程中，所含的未知数又称为元．
2．为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一个等量关系式，就是列方程。
3．如果未知数所取的某个值能使方程的左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．
2．一元一次方程
1．只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程．
2．等式性质1： 等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得结果仍是等式．
3．等式性质2： 等式的两边同时乘以同一个数或（除以一个不为0的数），所得结果仍是等式．
4．求方程解得过程叫做解方程．
5．解方程的一般步骤是：1、去分母；2、去括号；3、移向；4、化成的形式；5、两边同时除以未知数的系数，得到方程的解．
3．一元一次方程的应用
1．列方程解应用题的一般步骤是：1、设未知数（元）；2、列方程；3、解方程；4、检验并作答．








4．一元一次不等式（组）
1．用不等号“”、“”、“”、“”表示的关系式，叫做不等式．
2．不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．即如果，那么；如果，那么．
3．不等式性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即：如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）．
4．不等式性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。即：如果，且，那么（或）；如果，且，那么（或）．
5．在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
6．不等式解得全体叫做不等式的解集．
7．求不等式的解集的过程叫做解不等式．
8．只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式．
9．解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，可概括为：1、去分母；2、去括号；3、移项；4、化成（或）的形式（其中）；5、两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集．
10．由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．
11．不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式的解集．
12．求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．
13．解一元一次不等式组的一般步骤是：1、求出不等式组中各个不等式的解集；2、在数轴上表示各个不等式的解集；3.确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集．
5．二元一次方程
1．含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程．
2．使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程的解有无数个，二元一次方程的解的全体叫做这个二元一次方程的解集．
4．由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
5．在二元一次方程组中，使每个方程都适合的解，叫做二元一次方程组的解．
6．通过将两个方程相加（或相减）消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做加减消元法．
7．如果方程组中含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程组叫做三元一次方程组．


例题精讲

【题型一·一元一次方程（组）】
【例1】如果关于的方程有解，那么的取值范围为 ．
【参考答案】．
【例2】下列关于x的方程一定是一元一次方程的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例3】（本题共2小题，每小题5分，满分10分）
为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电．即在居民家中安装分时电表，每天6∶00至22∶00用电每千瓦时0.61元，每天22∶00至次日6∶00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年9月随意记录了该月6天的用电情况，见下表（单位：千瓦时）．
序 号 1 2 3 4 5 6
6∶00至22∶00用电量 4.5 4.4 4.6 4.6 4.3 4.6
22∶00至次日6∶00用电量 1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.5






（1）如果该用户去年9月份（30天）每天的用电情况基本相同，根据表中数据，试估计该用户去年9月总用电量约为多少千瓦时；
（2）如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量各为多少千瓦时？
（注：以上统计是从每个月的第一天6∶00至下一个月的第一天6∶00止）
【参考答案】
解：（1）6∶00至22∶00用电量：
．
22∶00至次日6∶00用电量：
．
所以 135 +45 = 180（千瓦时）．
所以，估计该户居民去年9月总用电量为180千瓦时．
（2）根据题意，得该户居民5月份总用电量为（千瓦时）．
设该用户6月份6∶00至22∶00的用电量为千瓦时，
则22∶00至次日6∶00的用电量为千瓦时．
根据题意，得
．
解得．
所以 ．
答：该用户6月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量分别为180、60千瓦时．
【题型二·不等式的性质】
【例1】如果a>1>b，那么下列不等式正确的个数是（ ）
① a–b>0；
② a-1>1–b；
③ a-1>b–1；
④ .
．1； ．2； ．3； ．4．
【参考答案】．
【例2】如果，那么下列不等式中一定正确的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【题型三·不等式（组）的求解】
【例1】不等式组的解集是 .
【参考答案】.
【例2】不等式组的解在图1所示的数轴上表示为（ ）

． ． ． ．
【参考答案】．
【例3】（本题满分10分）
解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．



【参考答案】
解：由①得：． 2分
解得． 1分
由②得：． 3分
解得． 1分
所以不等式组的解集是． 1分


2分



2.6一元二次方程

知识梳理

1．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
2．任何一个关于的方程都可以化成的形式，这种形式简称一元二次方程的一般式．
3．一元二次方程的解法有：开平方法，因式分解法，配方法，公式法．
4．一元二次放的，当时，它有两个实数根：，，这就是一元二次方程的求根公式．
5．我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“”来表示，记作．
6．一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．

例题精讲

【题型四·一元二次方程的概念与配方法】
【例1】一元二次方程的常数项是（ ）
．-1； ．1； ．0； ．2．
【参考答案】

【例2】用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【题型五·一元二次方程根的判别式】
【例1】一元二次方程的根的判别式是 ．
【参考答案】．
【例2】若关于的方程有两个相等的实数根，则常数的值是 .
【参考答案】.

【题型六·一元二次方程求根】
【例1】一元二次方程的解为 .
【参考答案】，．
【例2】将关于的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是 ．
【参考答案】1．

【题型七·一元二次方程应用题】
【例1】一件衬衫原价是90元，现在打八折出售，那么这件衬衫现在的售价是（ ）
．82元； ．80元； ．72元； ．18元．
【正确答案】．
【例2】今年春节期间，小明把2000元压岁钱存入中国邮政储蓄银行，存期三年，年利率是4.25%，小明在存款到期后可以拿到的本利和为（ ）
．元；　　 ．元；　　
．元；　　 ．元．
【参考答案】．
【例3】（本题满分10分）
如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米，长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化，当阴影部分面积为800平方米时，小路宽为多少米？


【参考答案】
解：根据题意得． 4分
整理得．
∴． 2分
解得．
∴或（不合题意，舍）． 2分+1分
∴小路宽10米．

2.7代数方程

知识梳理
1．如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程．
2．一元整式方程中含未知数的项的最高次数是（是正整数），这个方程就叫做一元次方程；其中次数大于2的方程统称一元高次方程，本章简称高次方程．
3．如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．
4．对于二项方程，当为奇数时，方程有且只有一个实数根。当为偶数时，如果，那么方程有两个实数根，且两个根互为相反数；如果，那么方程没有实数根．
5．整式方程和分式方程统称为有理方程．
6．有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程．
7．仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
8．关于的二元二次方程的一般形式是：（都是常数，且中至少有一个不是零；当为零时，与以及与分别不全为零）．
9．方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解．
10．列方程（组）解应用题的一般步骤是：（1）审题；（2）设元；（3）列方程（组）；（4）解方程（组）；（5）检验；（6）解释．


例题精讲

【题型八·二元二次方程组】
【例1】解方程组：．
【参考答案】解：由（2）得：，
则或，
将代入（1），得，
则，
将代入（1），得，
则，
所以方程组的解是，，，．
【题型九·分式方程（组）求解】
【例1】方程的解是 ．
【参考答案】.
【例2】（本题满分10分）
解方程组：．
【参考答案】
解：设，，则原方程组可化为． 2分
解这个方程组，得 ． 2分
于是，得，即． 2分
解方程组得 ． 2分

经检验是原方程组的解． 1分
所以，原方程组的解是． 1分

【题型十·分式方程换元法求解】
【例1】例题：用换元法解方程时，可以设，那么原方程可以化为（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【题型十一·分式方程的应用】
【例1】解放军某部承担一段长1500米的清除公路冰雪任务，为尽快清除冰雪，该部官兵每小时比原计划多清除20米，结果提前24小时完成任务，若设原计划每小时清除公路冰雪米，则可列出方程 .
【参考答案】.

【例2】一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．
【参考答案】解：设这辆高铁列车全程的运行时间为小时，
则那辆动车组列车全程的运行时间为小时，
∴，
．
．
，．
经检验：它们都是原方程的根，但不符合题意．
当时，．
答：这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．
【题型十二·无理方程求解】
【例1】方程的解是 .
【参考答案】．
【例2】方程的解是
【参考答案】．
【题型二十·方程开放题】
【例1】一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是或，试写出一个符合要求的方程组 （只需写一个）．
【参考答案】不唯一，如等．
【题型十三·方程类应用题】
【例1】(本题满分10分，每小题各6分)
某商店第一次用600元购进某种型号的铅笔若干支，
第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价比第一次贵1元，
所以购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价及购进的数量．
（2）若将这两次购进的铅笔按同一单价（元／支）全部销售完毕，并要求获利不低于420元，求获利（元）关于单价（元／支）的函数关系式及定义域，并在直角坐标系内画出它的大致图像．
【参考答案】
解：（1）设第一次每支铅笔的进价为a元／支，
则据题意得：， 2分
∴，（舍） 2分
1分
答：第一次每支铅笔的进价是4元，购进150支。 1分
（2）由题意得：
即获利y（元）关于单价x（元／支）的函数关系为：
2分



2分




过关演练

一次方程（组）与不等式（组）
一、选择题
1. 下列方程中，二元一次方程是 （ ）
A. B. C. D.
2. 若关于x的一元一次方程的解是x= -1,则k的值是 （ ）[来源:Z_xx_k.Com]
A B 1 C D 0
3．已知方程的解满足，则的值是 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．任何数
4．已知当，时，代数式，则的值为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5. 下列各式中，一元一次不等式是 ( )
A、x≥ B、2x>1-x2 C、x+2y<1 D、2x+1≤3x

二、填空题
6、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的解集是 。

7、已知不等式≤0的正整数解只有1、2、3，那么的取值范围是 。
8、当x________时，代数式的值是非负数．
9．方程中，的系数是 ，次数是 ．
10、三元一次方程有 个解，如果x是y的2倍，y是z的2倍，则其中的一个解是
11、计算：= ， ，
12. ，
13、若不等式组的解集为－1＜＜1，那么的值等于 。
三、解方程组或不等式组
14、








15.


[来源:学。科。网Z。X。X。K]

四、列方程（组）解下列各题
16、六（2）班共有学生48人，其中女生比男生多8人，这个班的男生有多少人？





[来源:学科网ZXXK]
17. 在甲处工作有272人，在乙处工作有196人，如要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处请多少人到甲处？




18.今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？





19. 为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电，即在居民家中安装分时电表，每天6：00至22：00用电每千瓦时0.61元，每天22：00至次日6：00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年9月随意记录了该月6天的用电情况，见下表（单位：千瓦时）．
序 号 1 2 3 4 5 6
6：00至22：00用电量 4.5 4.4 4.6[来源:Zxxk.Com] 4.6 4.3 4.6
22：00至次日6：00用电量 1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.5
（1）如果该用户去年9月份（30天）每天的用电情况基本相同，根据表中数据，试估计该用户去年9月总用电量约为多少千瓦时．
（2）如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6：00至22：00与22：00至次日6：00两个时段的用电量各为多少千瓦时？（注：以上统计是从每个月的第一天6：00至下一个月的第一天6：00止）



五、解答题
20、已知方程组，其中，求的值。









一次方程（组）与不等式（组）
参考答案
一、
1. B 2. B 3. C 4. D 5. D
二、
6. x7.
8.
9． 3 3
10. 无数
11. 8
12． -7
13. -6

三、
14.
15.
四、
16. 20人
提示：设这个班的男生有x人
则：48-x=x+8
17. 79人
提示：应从乙处请x人到甲处
则：
18. 33岁
提示：设哥哥今年x岁，弟弟今年y岁，z年前哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同

19. （1）180千瓦时；（2）分别为180、60千瓦时

五、
20.


一元二次方程
一、选择题
1. 二次三项式在实数范围内因式分解，正确的结果是 （ ）
A. B.
C. D.
2. 关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是 （ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
3. 下列说法中，正确的是 （ ）
A．如果，那么 B．的算术平方根等于3
C．当时，有意义 D．方程的根是
4. 为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为，根据题意所列方程为 （ ）
A． B．
C． D．
5、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年我省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起我省森林覆盖率的年平均增长率为，则可列方程 （ ）[来源:学.科.网Z.X.X.K]
A． B．
C． D．
6. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为 （ ）
A．1 B． C．2 D．


二、填空题[来源:学+科+网]
7. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 。
8. 如果关于x的一元二次方程（m为实数）有两个实数根，则实数m的取值范围是 。[来源:Zxxk.Com]
9. 如果关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是 。
10. 如果关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是 。[来源:学§科§网Z§X§X§K]
11. 二次三项式在实数范围内因式分解为 。
12. 某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划到2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米，如果每年屋顶绿化面积的增产率相同，那么这个增长率是 。
13. 某工厂在第一季度的生产中，一月份的产值为150万元，二、三月份的月增长率相同，已知第一季度的总产值是650万元，求二、三月份的月增长率?现设二、三月份的月增长率为x，则根据题意可列出方程 。


三、解答题
14. 一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，求这辆车第二、三年的年折旧率．





15. 如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为40米、长为60米的矩形区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化．当阴影部分面积为2016平方米时，小路宽x为多少米．

[来源:Z#xx#k.Com]


一元二次方程
参考答案
一、
1. D 2.C 3.A 4.C 5. D 6. A
二、
7.
8. 且
9.
10.
11.
12． 20%
13.
三、
14. 15%
15. 2米
分式方程（组）及应用
一、选择题
1.在下列方程中，关于的分式方程的个数有 ( )
① ② ③
④ ⑤.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.若分式方程无解，则a的值是 ( )
A.－１　　　 B. 1 C. ±1 D.-2
3.若分式方程（其中k为常数）产生增根，则增根是 （ ）
A.x=6 B.x=5 C.x=k D.无法确定
4.解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 （ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
5．方程的根是 （ ）
A、x=-2 B、x= C、 D、
6．用换元法解方程，则原方程可化为（ ）
A、 B、
C、 D、
7．方程的解为 （ ）
A、
B、
C、
D、
8．某农场开挖一条长480m的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成任务，若原计划每天挖，那么求时所列方程正确的是 （ ）
A、 B、
C、 D、

二、填空题
9. 解方程，设，那么原方程化为关于y的整式方程是 。
10. 若关于x的方程有增根，则a的值是 。
11.若方程－＝1有根x=2,则a-2b=__________.
12.当m=______时,方程－＝1有增根.
13．观察下列方程：（1）（2）；（3）；…按此规律写出关于的第n个方程为 ，此方程的解为 ．
14．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生人数是 人．[来源:Zxxk.Com]


15．北京至石家庄的铁路长392，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1h，如果设该列车提速前的速度为每小时，那么求所列出的方程为 ．

三、解答题[来源:学|科|网Z|X|X|K]
16、 -=




17、 -=-








18、甲乙在电脑上合打一份稿件，4小时后，甲另有任务，余下部分由乙单独完成又6小时，已知甲打6小时的稿件乙要打7.5小时，问：甲、乙单独完成此任务各需多少小时？



19、甲乙两会相距km，一辆长途汽车从甲地开出3小时后，一辆小轿车也从甲地开出，结果小轿车比长途汽车晚20分钟到达乙地，又已知小轿车的速度是长途汽车的3倍，求两车的速度．




[来源:学。科。网][来源:学*科*网Z*X*X*K]

20. 要修建360米长的一段高速公路，甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米．甲工程队每天修建的费用为2万元，乙工程队每天修建的费用为3.2万元．
（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；
（2）为在35天内完成修建任务，应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少？并说明理由．





21. 甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．两店将所进饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各购进了多少箱饮料？





[来源:学科网ZXXK]
分式方程（组）及应用
参考答案
一、
1. A 2.C 3.B 4. A 5. C 6. D 7. B 8. A
二、
9.
10. 3
11. 2
12. 0或1
13. ，
14. 8
15.
16.
17. 原方程可化简为：-=-
18. 甲单独完成此任务需12小时，乙单独完成此任务需15小时.
提示：甲单独完成此任务需x小时，乙单独完成此任务需y小时,则

19. 小轿车的速度为40千米/时，长途汽车的速度为120千米/时。
20. （1）设乙工程队每天修建x米，则甲工程队每天修建（x-6）米．（1分）
根据题意，得（4分）
整理，得x2-6x-216=0．（2分）
解得x1=18，x2=-12．（1分）
经检验：x1=18，x2=-12都是原方程的根，但x2=-12不符合题意，舍去．
∴x=18．（1分）
答：甲、乙两个工程队每天各修建12，18米
（2）甲工程队修建时间为：=30（天），需花费：30×2=60（万元）．
乙工程队修建时间为：=20（天），需花费：20×3.2=64（万元）．（2分）
答：甲工程队每天修建12米，乙工程队每天修建18米．甲、乙两工程队都能在规定的35天时间内完成任务，但甲工程队所需的费用较少，所以根据题意，应请甲工程队修建这段高速公路．（1分）

21. 解：设甲店进货 x 箱饮料，那么乙店进货（25 – x ）箱饮料．…………………（1分）
根据题意，得 ．………………………………………（4分）
整理后，得 ．………………………………………（1分）
解得 ， ．…………………………………………………（2分）
经检验： ， 都是原方程的根，但 不符合题意，舍去．
∴ x = 10．…………………………………………………………………（1分）
答：甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料．…………………………（1分）

代数方程
一、选择题
1. 下列方程组：；；； 。其中，二元二次方程组的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 下列方程中，有实数根的是 （ ）
A. B. C. D.
3. 下列方程中，有实数根的是 （ ）[来源:学。科。网]
A. B.
C. D.
4、下列方程组中，不属于二元二次方程组的是 （ ）
A. ； B. ； C. ； D. ．
5、把二元二次方程化为两个二元一次方程，下列写法正确的是( ）
A、 B、
C、或 D、或
6、方程组有两组不同的实数解，则 （ ）
A、≥ B、＞ C、＜＜ D、以上答案都不对

二、填空题
7. 方程在实数范围内的根是 。
8. 把二次方程化成两个一次方程是 。
9. 当m 时，关于x的方程的根是。
10. 方程的解是 。
11. 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是，，试写出一个符合要求的方程组 （只需写一个）。
12. 已知方程为一元一次方程，则k ，这个方程的解为 。
13. 若x=2是关于x的方程的根，则关于y的方程的解是 。
14、若关于的方程没有实数根，那么。
15、方程的实数根的个数是________个[来源:Z+xx+k.Com]
16、点和点的距离为5，若点在轴上，则点坐标为_______________ ；若直线平行于轴，则点坐标为________________
17、已知点，，且点到轴距离为3，则点坐标为_____________
18、已知，则点坐标为_____________
19、已知，点在轴上，且，则a= ，
20、方程的解是 。

三、解答题
21. 解方程：





22. 解方程：




23、解下列关于的方程
(1) (2)



24、根据的取值范围，讨论的根的情况





25、关于的方程，分别求为何值时，原方程（1）有唯一解（2）有无数多解（3）无解
[来源:学科网]




26、如果不论为何值，总是关于的方程的解，试求的值





27、关于x的方程的解是正数，求k的取值范围。





28. 某厂2013年的产值为a万元，2015年的产值为10000万元，求这两年的平均增长率







[来源:学。科。网]

代数方程
参考答案
一、
1. B 2. C 3. A 4. B 5. D 6. B
二、
7.
8. ，
9.
10.
11.
12. = x=1
13. ，
14、>1
15、1
16、（-2，0）或（6，0） （2，-2）或（2，8）
17、（-4，3）或（2，3）或（，-3）或（，-3）
18、（-2，）或（-2，）
19、（1，0）或（6，0） 5
20、
三、
21.
22.



23. 分析：对于字母系数的方程需要讨论字母系数的取值范围与方程的解的关系.
解：(1)

当3a+2=0即a=-时，此方程无解；
当3a+2≠0即a≠-时，x=.
（2）
（b+3）x=1
x=
∵b+3＞0，∴x=±.[来源:Zxxk.Com]
24、
当时，原方程没有实数根；
当时，原方程有两个相等的实数根；
当且时，原方程有两个不相等的实数根；
当时，原方程有一个实数根

25、当，n为一切实数时，原方程有唯一解；
当，且时，原方程有无数多解；
当，且时，原方程无解；

26、
，；提示：把代人 ，整理得：
由题意得
27.
28.

【注意】
在列方程解应用题的时候，一定要注意检验，检查答案是否正确，是否有解，是否符合题意（生活实际）。
许多实际问题中的已知量与未知量之间存在着一种等量关系，把这种等量关系式写出来，得到方程，求出方程的解，通过验证获得实际问题的解，称这种解决问题的方法为方程的思想方法。

图 1



2

1

-1

-2

4

5

3

(第22题图)

x(元/支)

y(元)

O

-1200



420

6



PAGE









3.7 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数
的图像和性质


知识梳理
1．正比例函数性质：
当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大．
当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小．




2．反比例函数（是常数,）的图像叫做双曲线，它有两支．
【思考】双曲线的每支都是向两个方向无限伸展的，那么双曲线是否会与坐标轴相交？

3．反比例函数（是常数,）有如下性质：
（1）当时，图像图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小．
（2）当时，图像图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大．





4．一次函数（、是常数,且）的图像是一条直线.一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．






5．一条直线轴的交点的纵坐标叫做这条直线在轴上的截距，简称直线的截距．
一般地，直线（）与轴的交点坐标是（0，）.直线（）的截距是．







6．一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位．





7．由一次函数的函数值大于0（或者小于0），就得到关于的一元不等式（或）.在一次函数的图像上且位于轴上方（或下方）的所有点，他们的横坐标的取值范围就是不等式（或）的解集．
8．一般来说，一次函数（、是常数,且）具有以下性质：
当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大．
当时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小．
9．抛物线（其中是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点是原点．抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．





10．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是（0，）.抛物线的开口方向由所取之的符号决定，当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．
11．抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是过点（，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线；顶点坐标是（，0）．当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．
12．抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是过点（，0）且平行（或重合）于轴的直线，即直线；顶点坐标是（，）．当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．










13．抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），与轴交点为（0，）.当时，它的开口向上，顶点式抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点式抛物线的最高点．
14．一般地，对于抛物线，沿着轴正方向看，可见它的变化情况如下：
当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧部分是下降的，在对称轴的右侧部分是上升的；
当时，抛物线在对称轴（即直线）左侧部分是上升的，在对称轴的右侧部分是下降的．





例题精讲

【题型一·函数图像所过象限】
【例1】在平面直角坐标系中，反比例函数（）图像的两支分别在第
象限．
【参考答案】二、四．

【例2】己知反比例函数的图像如图所示，那么的取值范围是
．
【参考答案】．
【例题解析】
在反比例函数中∶当时，函数图像的两支分别在第一、三象限；
当时，函数图像的两支分别在第二、四象限．

【例3】函数的图像经过的象限是（ ）
．第一、二、三象限； ．第一、二、四象限；
．第一、三、四象限； ．第二、三、四象限．
【参考答案】．

【例4】）已知的图像经过第一、三、四象限，则的取值范围是 ．
【参考答案】．
【例题解析】
在一次函数的图像中∶当,时，一次函数的图像经过第一、二、三象限；
当,时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；
当,时，一次函数的图像经过第一、二、四象限；
当,时，一次函数的图像经过第二、三、四象限．

【例5】抛物线（）的图像一定经过 象限．
【参考答案】一、二．
【例题解析】在二次函数中，当时，它的开口向上；当时，它的开口向下．


【题型二·增减性】
【例1】如果函数（为常数）的图像经过点（－1，－2），那么随着的增大而 ．
【参考答案】增大．
【例题解析】
正比例函数的性质∶当时，正比例函数自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大；

当时，正比例函数自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小．
【例2】已知（，），（，），（，）是反比例函数的图像
上的三个点，且，，则，，的大小关系是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例题解析】
反比例函数性质∶当时，在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐减小；
当时，在每个象限内，当自变量的值逐渐增大时，的值随着逐渐增大．

【例3】已知一次函数，则函数值随自变量的增大而 ．（填
“增大”或“减小”）．
【参考答案】增大．
【例题解析】
一次函数的性质∶当时，自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐增大；
当时，自变量的值逐渐增大时，的值也随着逐渐减小．

【例4】在直角坐标平面内，抛物线在轴 侧图像上升（填“左”或“右”）．
【参考答案】左．
【例题解析】
二次函数的性质∶当时，抛物线在对称轴左侧部分是下降的，在对称轴的右侧部分是上升的；
当时，抛物线在对称轴左侧部分是上升的，在对称轴的右侧部分是下降的．

【例5】若（，）， （，）， （，）为二次函数
的图像上的三点，则，，的大小关系是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例题解析】此题可以利用图像求解，通过描点判断大小关系．


【题型三·函数图像与两轴交点】
【例1】一次函数的图像与轴的交点坐标是 ．
【参考答案】（3，0）．
【例题解析】此题是通过待定系数法,令来求解的值．

【例2】若二次函数的图像与轴有公共点,则实数的取值范围是
．
【参考答案】．
【例题解析】
二次函数与轴的交点是通过根的判别式来判定的∶当二次函数与轴有两个交点时，可得；
当二次函数与轴有一个交点时，可得；
当二次函数与轴没有交点时，可得．


【例3】抛物线与轴的交点坐标是 ．
【参考答案】（，0）或（1,0）．
【例题解析】此题是通过待定系数法,令来求解的值．

【例4】若一次函数的图像在轴上的截距是5，则 ．
【参考答案】7．
【例题解析】一般地，直线（）与轴的交点坐标是（0，），直线（）
的截距是．

【例5】如图所示的抛物线是二次函数的图像，那么的值是
．
【参考答案】．




【例6】抛物线与轴的交点坐标是（ ）
　．（0，4）； ．（1，4）； ．（0，5）； ．（4，0）．
【参考答案】．查原题
【例题解析】此题是通过待定系数法,利用图像所过点或者令和来求解未知数的值．


【题型四·函数图像的平移】
【例1】如果一次函数的图像与直线平行，且过点（－3，5），那么该一次函数解析式为 ．
【参考答案】．
【例题解析】一次函数中，我们往往会遇到两条直线平行、重合，以及垂直的情况，在这些情况中，我们
往往可以根据斜率以及截距来进行一些判断∶当且时，我们说两条直线重合；
当且时，我们说两条直线平行．

【例2】将一次函数的图像平移，使其经过点，则所得直线的函数解析式是 ．
【参考答案】．
【例题解析】一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移得到.
当时，向上平移个单位；
当时，向下平移||个单位．

【例3】如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．
【参考答案】．



【例4】在直角坐标平面内，如果抛物线经过平移可以与抛物线互相重合，那么这个平移是（ ）
．向上平移一个单位； ．向下平移一个单位；
．向左平移一个单位； ．向右平移一个单位．

【参考答案】．
【例5】如果将抛物线向右平移个单位后，恰好过点（3，6），那么
的值为 ．
【参考答案】2或4．
【例题解析】我们通常做二次函数平移时都会记住“左加右减，上加下减”.其中左右和上下分别代表着平移的方向，若二次函数向左右平移，则在后进行加减，若二次函数向上下平移，则在后进行加减．



【题型五·二次函数图像开口方向】
【例1】下列二次函数中，图像的开口向上的是（ ）
．；　　　　　　 ．；　　
．；　　　　　 ．．
【参考答案】．

【例2】如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是
．
【参考答案】．
【例题解析】在二次函数中当时，它的开口向上；当时，它的开口向下．


【题型六·二次函数图像顶点坐标、对称轴】
（一）二次函数图像顶点坐标
【例1】抛物线的顶点坐标为 ．
【参考答案】（－1，2）．

【例2】抛物线（）的顶点坐标是 ．
【参考答案】（－2，1）．

【例3】如果抛物线的最高点是坐标轴的原点，那么的取值范围
是 ．
【参考答案】．

【例4】己知抛物线的顶点在轴上，则 ．
【参考答案】4或－8．

【例5】己知抛物线（为常数）的顶点在轴上，则
．
【参考答案】－2．
【例题解析】抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），与轴交点为（0，）．


（二）二次函数图像对称轴
【例1】抛物线的对称轴是直线 ．
【参考答案】．

【例2】二次函数图像的对称轴是直线 ．
【参考答案】．

【例3】抛物线的对称轴是：直线 ．
【参考答案】．

【例4】如果二次函数的对称轴是直线，那么的值是 ．
【参考答案】．

【例5】二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如下表，则的值为 ．


【参考答案】-1．

【例6】抛物线的图像如图所示，该抛物线与轴交于、两点，若点的坐标为（1，0），则点的坐标为 ．
【正确答案】（3，0）．
【例题解析】抛物线（其中、、是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，），与轴交点为（0，）．


3.8 一次函数的应用


知识梳理

例题精讲
【例1】
某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，预计购进乙品牌文具盒的数量（个）与甲品牌文具盒的数量（个）之间的函数关系如图所示．
（1）求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）；
（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购乙品牌的文具盒．乙品牌文具盒的单价比甲品牌的单价贵5元，求所选购的甲、乙文具盒的数量．










【参考答案】
提示：（1） ；
（2）甲乙文具盒的数量分别为200个，100个．

【例2】
声音在空气中传播的速度y（米／秒）（简称音速）是气温x（℃）（0≤x≤30）的一次函数．下表列出了一组不同气温时的音速：
气温x（℃） …… 5 10 15 20 ……
音速y（米/秒） …… 334 337 340 343 ……
（1）求 y与x之间的函数关系式；
（2）小明在距烟花燃放地点503.7米处看到烟花燃放1.5秒后才听到声响，求此时的气温．
【参考答案】

解：（1）设一次函数的关系式为…………………………………1分
∵一次函数的图像过点，

∴解得………………………………………………………4分
∴ ………………………………………………………………………1分
（2）由题意得：…………………………………………2分
解得……………………………………………………………………1分
答：此时的气温为8℃．………………………………………………………………1分


【例3】
某校九年级二班为开展“迎五一劳动最光荣”的主题班会活动，派小明和小丽两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的宝克牌钢笔每支8元，英雄牌钢笔每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．
小明和小丽根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的宝克牌钢笔的数量要少于英雄牌钢笔的数量的，但又不少于英雄牌钢笔的数量的，如果他们买了宝克牌钢笔支，买这两种笔共花了元．
（1）请写出（元）关于（支）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）请帮助他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？
【参考答案】
解：（1）根据题意，得． 3分
根据题意，得定义域为． 1分
解得，定义域为的整数． 1分+1分
（2）由于一次函数的斜率．
所以 随的增大而增大．
因此，当时花的钱最少． 2分
，． 1分
答：当购买英雄牌钢笔32支，宝克牌钢笔8支时，所花的钱最少，此时花了217.6元． 1分


过关演练

一、选择题
1．（2019?松江区二模）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（﹣1，0）与（0，2），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　）

A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＞2 D．x＜2
【答案】解：由题意可得：一次函数y＝kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＞﹣1，
则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣1，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．
2．（2019?闵行区二模）已知直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】解：∵直线y＝kx+b经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
∴直线y＝bx+k一定不经过第二象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，关键要知道k和b对图象的决定作用．
3．（2019?杨浦区二模）如果k＜0，b＞0，那么一次函数y＝kx+b的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【答案】解：∵k＜0，
∴一次函数y＝kx+b的图象经过第二、四象限．
又∵b＞0时，
∴一次函数y＝kx+b的图象与y轴交与正半轴．
综上所述，该一次函数图象经过第一、二、四象限．
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．
4．（2019?崇明区二模）直线y＝﹣x+4不可能经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】解：由于﹣1＜0，4＞0，
故函数过一、二、四象限，
不过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，要知道，对于y＝kx+b（k≠0）来说，k、b的符号决定函数所过的象限．
5．（2019?普陀区二模）下列函数中，如果x＞0，y的值随x的值增大而增大，那么这个函数是（　　）
A．y＝﹣2x B．y C．y＝﹣x+1 D．y＝x2﹣1
【答案】解：A、y＝﹣2x，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
B、y，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
C、y＝﹣x+1，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；
D、y＝x2﹣1，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而增大，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．
6．（2019?嘉定区二模）将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣2x B．y＝x2﹣2x﹣2 C．y＝x2﹣x﹣1 D．y＝x2﹣3x﹣1
【答案】解：∵将抛物线y＝x2﹣2x﹣1向上平移1个单位，
∴平移后抛物线的表达式y＝x2﹣2x﹣1+1，即y＝x2﹣2x．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．
7．（2019?普陀区一模）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（　　）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞1 D．a＜1
【答案】解：由题意可知：a﹣1＜0，
∴a＜1，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
9．（2019?宝山区一模）已知二次函数y＝ax2﹣1的图象经过点（1，﹣2），那么a的值为（　　）
A．a＝﹣2 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝﹣1
【答案】解：把（1，﹣2）代入y＝ax2﹣1得a﹣1＝﹣2，解得a＝﹣1．
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

10．（2019?虹口区一模）抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标是（　　）
A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1）
【答案】解：当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1，
所以抛物线y＝x2﹣1与y轴交点的坐标为（0，﹣1）．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
11．（2019?普陀区一模）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（　　）
A．y＝3x2 B．y＝3x2+1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3x2﹣x
【答案】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y＝3x2﹣x＝0，
所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
12．（2019?浦东新区一模）已知二次函数y＝﹣（x+3）2，那么这个二次函数的图象有（　　）
A．最高点（3，0） B．最高点（﹣3，0）
C．最低点（3，0） D．最低点（﹣3，0）
【答案】解：在二次函数y＝﹣（x+3）2中，a＝﹣1＜0，
∴这个二次函数的图象有最高点（﹣3，0），
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质，掌握当a＜0时，二次函数图象有最高点是解题的关键．
13．（2019?虹口区一模）如果抛物线y＝（a+2）x2开口向下，那么a的取值范围为（　　）
A．a＞2 B．a＜2 C．a＞﹣2 D．a＜﹣2
【答案】解：∵抛物线y＝（a+2）x2开口向下，
∴a+2＜0，
∴a＜﹣2．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，牢记“a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口．”是解题的关键．
14．（2019?奉贤区一模）某同学在利用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a＝0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示：
x … 0 1 2 3 4 …
y … ﹣3 0 ﹣1 0 ﹣3 …
接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】解：由表中数据得x＝0和x＝4时，y＝3；x＝1和x＝3时，y＝0，它们为抛物线上的对称点，
而表格中有一组数据计算错误，
所以只有x＝2时y＝﹣1错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
15．（2019?广饶县模拟）已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（　　）
A．y＝（x+2）2+3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2+5
【答案】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向左平移2个单位所得直线的解析式为：y＝（x+2）2+3；
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
16．（2019?闵行区一模）将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（　　）
A．y＝2（x﹣2）2﹣4 B．y＝2（x﹣1）2+3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2x2﹣3
【答案】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．
17．（2019?浦东新区一模）如果将抛物线y＝x2+4x+1平移，使它与抛物线y＝x2+1重合，那么平移的方式可以是（　　）
A．向左平移 2个单位，向上平移 4个单位
B．向左平移 2个单位，向下平移 4个单位
C．向右平移 2个单位，向上平移 4个单位
D．向右平移 2个单位，向下平移 4个单位
【答案】解：∵抛物线y＝x2+4x+1＝（x+2）2﹣3的顶点坐标为（﹣2，3），抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴顶点由（﹣2，3）到（0，1）需要向右平移2个单位再向上平移4个单位．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
18．（2019?嘉定区一模）下列函数中，是二次函数的是（　　）
A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2
C．y＝1﹣x2 D．y
【答案】解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；
B、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故此选项错误；
C、y＝1﹣x2，是二次函数，符合题意；
D、y，是反比例函数，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．


19．（2019?资中县一模）下列抛物线中，顶点坐标为（2，1）的是（　　）
A．y＝（x+2）2+1 B．y＝（x﹣2）2+1 C．y＝（x+2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1
【答案】解：y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1），故选项A不符合题意，
y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（2，1），故选项B符合题意，
y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），故选项C不符合题意，
y＝（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1），故选项D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．（2019?长宁区一模）抛物线y＝2（x+2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，3）
【答案】解：∵y＝2（x+2）2﹣3
∴抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣3）
故选：B．
【点睛】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．

二、填空题
1．（2019?黄浦区二模）直线y＝2x﹣3的截距是　﹣3　．
【答案】解：∵在一次函数y＝2x﹣3中，
b＝﹣3，
∴一次函数y＝2x﹣3在y轴上的截距b＝﹣3．
故答案是：﹣3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数图象上的点的坐标，一定满足该函数的关系式．

2．（2019?奉贤区二模）如果正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是　k＞3　．
【答案】解：因为正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，
所以k﹣3＞0，
解得：k＞3，
故答案为：k＞3．
【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y＝（k﹣3）x的图象经过第一、三象限解答．
3．（2019?宝山区二模）如图，点M的坐标为（3，2），动点P从点O出发，沿y轴以每秒1个单位的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝﹣x+b也随之移动，若点M关于l的对称点落在坐标轴上，设点P的移动时间为t，则t的值是　2或3　．

【答案】解：如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．
过点M作MD⊥x轴于点D，则OD＝3，MD＝2．
由直线l：y＝﹣x+b可知∠PDO＝∠OPD＝45°，
∴∠MED＝∠OEF＝45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，
∴DE＝MD＝2，OE＝OF＝1，
∴E（1，0），F（0，﹣1）．
∵M（3，2），F（0，﹣1），
∴线段MF中点坐标为（，）．
直线y＝﹣x+b过点（，），则b，解得：b＝2，
∴t＝2．
∵M（3，2），E（1，0），
∴线段ME中点坐标为（2，1）．
直线y＝﹣x+b过点（2，1），则1＝﹣2+b，解得：b＝3，
∴t＝3．
故点M关于l的对称点，当t＝2时，落在y轴上，当t＝3时，落在x轴上．
故答案为2或3．

【点睛】考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．
4．（2019?青浦区二模）已知反比例函数y（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而增大，那么k的取值范围是　k＜0　．
【答案】解：∵反比例函数y（k≠0），如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而增大，
∴k的取值范围是：k＜0．
故答案为：k＜0．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．
5．（2019?长宁区二模）如果反比例函数（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），那么这个反比例函数的图象在第　二、四　象限．
【答案】解：∵反比例函数y（k是常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），
∴k＝﹣1×2＝﹣2＜0，
∴反比例函数的解析式为y，
∴这个函数图象在第二、四象限．
故答案为：二、四．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值是解题的关键．
6．（2019?黄浦区二模）如图，函数y（x＞0）的图象经过△OAB的顶点B和边AB的中点C，如果点B的横坐标为3，则点C的坐标为　（6，2）　．

【答案】解：把x＝3代入y（x＞0）中，得y＝4，
∴B（3，4），
∵C点是AB的中点，A点在x轴上，
∴C点的纵坐标为：4÷2＝2，
把y＝2代入y（x＞0）中，得x＝6，
∴C（6，2）．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，关键是由B点纵坐标求出C点的纵坐标．
7．（2019?金山区二模）已知反比例函数的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是　k＜1　．
【答案】解：由题意可得k﹣1＜0，
则k＜1．
故答案为：k＜1．
【点睛】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
8．（2019?长宁区二模）如果二次函数（m为常数）的图象有最高点，那么m的值为　﹣2　．
【答案】解：∵二次函数（m为常数）的图象有最高点，
∴，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是根据二次函数的定义确定m的值，难度不大．
9．（2019?杨浦区一模）如果抛物线y＝﹣2x2+bx+c的对称轴在y轴的左侧，那么b　＜　0（填入“＜”或“＞”）．
【答案】解：由对称轴可知：x0，
∴b＜0，
故答案为：＜
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．
10．（2019?嘉定区一模）如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是　k＞2　．
【答案】解：由题意可知：k﹣2＞0，
∴k＞2，
故答案为：k＞2．
【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
11．（2019?青浦区一模）抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是　上升　．（填“上升”或“下降”）
【答案】解：∵y＝x2﹣2，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
【点睛】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．
12．（2019?虹口区一模）如果抛物线y＝ax2+2经过点（1，0），那么a的值为　﹣2　．
【答案】解：把（1，0）代入y＝ax2+2得a+2＝0，解得a＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
13．（2019?长宁区一模）若点A（﹣1，7）、B（5，7）、C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）在同一条抛物线上，则k的值等于　6　．
【答案】解：∵抛物线经过A（﹣1，7）、B（5，7），
∴点A、B为抛物线上的对称点，
∴抛物线解析式为直线x＝2，
∵C（﹣2，﹣3）、D（k，﹣3）为抛物线上的对称点，
即C（﹣2，﹣3）与D（k，﹣3）关于直线x＝2对称，
∴k﹣2＝2﹣（﹣2），
∴k＝6．
故答案为6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
14．（2019?虹口区一模）如果点A（﹣5，y1）与点B（﹣2，y2）都在抛物线y＝（x+1）2+1上，那么y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
而抛物线开口向上，
所以当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
所以y1＞y2．
故答案为＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．

15．（2019?黄浦区一模）如果点A（﹣1，m）、是抛物线y＝﹣（x﹣1）2+3上的两个点，那么m和n的大小关系是m　＜　n（填“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
而抛物线开口向下，
所以当x＜1时，y随x的增大而增大，
所以m＜n．
故答案为＜．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
16．（2019?徐汇区一模）已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1　＜　y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【答案】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，
而x＜1时，y随y的增大而减小，
所以y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
17．（2019?金山区一模）已知二次函数f（x）＝x2﹣3x+1，那么f（2）＝　﹣1　．
【答案】解：把x＝2代入f（x）＝x2﹣3x+1得f（2）＝22﹣3×2+1＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
18．（2019?普陀区一模）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于　1　．
【答案】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．


19．（2019?松江区一模）如果点A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那么y1　＞　y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】解：抛物线的对称轴为y轴，
所以当x＜0时，y随y的增大而减小，
所以y1＞y2．
故答案为＞．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
20．（2019?嘉定区一模）抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是　（0，0）　．
【答案】解：当x＝0时，y＝x2+2x＝0，
所以抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．

三、解答题
1．（2019?静安区二模）在平面直角坐标系xOy中（如图7），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过原点，与x轴的另一个交点为A，顶点为P（﹣3，4）．
（1）求这条抛物线表达式；
（2）将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线顶点为Q，它与y轴交点为B，联结PB、PQ．设点B的纵坐标为m，用含m的代数式表示∠BPQ的正切值；
（3）连接AP，在（2）的条件下，射线PB平分∠APQ，求点B到直线AP的距离．

【答案】解：（1）设抛物线表达式为：y＝a（x+3）2+4（a≠0）
把O（0，0）代入得，
∴抛物线的表达式：．
（2）设PQ与y轴交点为H．
∵P（﹣3，4），B（0，m），
∴PH＝3，BH＝4﹣m，
在Rt△PBH中，tan∠BPQ．
故∠BPQ的正切值为：．

（3）设PB与x轴交于点M．
由（1）得点A坐标为（﹣6，0）．
又P（﹣3，4），
∴AP＝5．
∵射线PB平分∠APQ，
∴∠APB＝∠BPQ．
∵PQ∥x轴，∴∠AMP＝∠BPQ，
∴∠AMP＝∠APB，
∴AP＝AM＝5，
∴M（﹣1，0）．
设直线PB为y＝kx+b（k≠0），把点P（﹣3，4），M（﹣1，0）代入，得：y＝2x﹣2，
∴点B为（0，﹣2）．
∴BH＝4﹣m＝4﹣（﹣2）＝6．
∵射线PB平分∠APQ，BH⊥PQ，
∴点B到直线AP的距离为6．
【点睛】本题是二次函数的综合题，分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度，以及角平分线的性质定理来得点到直线的距离等知识点，综合性较强，难度较大．
2．（2019?虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+8与x轴相交于点A（﹣2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P．点D（0，4）在OC上，联结BC、BD．
（1）求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标；
（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果△COE与△BCD的面积相等，求点E的坐标；
（3）点Q在抛物线对称轴上，如果△CDB∽△CPQ，求点Q的坐标．

【答案】解：（1）将点A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：
，解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8．
∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，
∴点P的坐标为（1，9）．
（2）当x＝0时，y＝﹣x2+2x+8＝8，
∴点C的坐标为（0，8）．
设点E的坐标为（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），
∵S△COE＝S△BCD，
∴8?x4×4，
解得：x＝2，
∴点E的坐标为（2，8）．
（3）过点C作CM∥x轴，交抛物线对称轴于点M，如图所示．
∵点B（4，0），点D（0，4），
∴OB＝OD＝4，
∴∠ODB＝45°，BD＝4，
∴∠BDC＝135°．
∵点C（0，8），点P（1，9），
∴点M的坐标为（1，8），
∴CM＝PM＝1，
∴∠CPM＝45°，CP，
∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方，
∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．
∵△CDB∽△CPQ，
∴，即，
解得：PQ＝2，
∴点Q的坐标为（1，11）．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的一元一次方程；（3）利用相似三角形的性质，求出PQ的长度．
3．（2019?嘉定区二模）在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）依题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交点为点C，
∴点C的坐标是（0，3），
又点B的坐标是（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，
∴∠DBO＝30°或60°．
在直角△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，
∴或，
∴或．

（3）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3得：对称轴是直线x＝﹣1，
根据题意：设P（﹣1，t），
又点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，0），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2，
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得：，．
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
4．（2019?长宁区二模）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与x轴相交于点A，点A的横坐标为6，抛物线顶点为点B．
（1）求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标；
（2）过点O作OP∥AB，在直线OP上点取一点Q，使得∠QAB＝∠OBA，求点Q的坐标；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，此时点A移动到点D的位置，CB：DB＝3：4，求m的值．

【答案】解：（1）∵点O（0，0）、A（6，0）在抛物线上
∴，
解得
∴抛物线的解析式为（x﹣3）2﹣4，
∴顶点B的坐标是（3，﹣4）
（2）如图，

∵A（6，0），B（3，﹣4）
∴直线AB解析式为：yx﹣8
∵OP∥AB
∴直线OP解析式为：yx
设点Q（3k，4k），
∵∠OBA＝∠QAB＞∠OAB，
∴k＞0
∵OP平行于AB，QA不平行于OB
∴四边形OQAP为梯形
又∵∠QAB＝∠OBA
∴四边形OQAP为等腰梯形
∴QA＝OB
∴（6﹣3k）2+（4k）2＝25
∴或k＝﹣1（舍去）
∴
（3）由（1）知
设抛物线向左平移m（m＞0）个单位后的新抛物线表达式为
∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c）
∴0＜m＜3，﹣4＜c＜0，
如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F

∴，且∠BFC＝∠BED＝90°
∴△BCF∽△BDE
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∴或者m2＝3（舍去）
∴
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键．
5．（2019?宝山区二模）如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴1，
∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C点，
∴c＝3，C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A点，A点的坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，即：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x＝﹣1，
且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0）；
（2）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵直线BD和直线BC的夹角为15°，
∴∠DBO＝30°或∠DBO＝60°，
在Rt△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，
∵BO＝3，
当∠DBO＝30°时，如图1所示：

tan30°，
∴DO，
∴CD＝OC﹣DO＝3；
当∠DBO＝60°时，如图2所示：

tan60°，DO，
∴CD＝DO﹣OC，
∴CD的长度为3或；
（3）设P（﹣1，t），∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
由勾股定理得：BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
分情况讨论：如图3所示：

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，
即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，
即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解得：t＝4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，
即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解得：，；
综上所述，当△BPC为直角三角形时，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，有一定难度，注意分类讨论．
6．（2019?广西模拟）如图，抛物线y＝ax2+4x+c过点A（6，0）、B（3，），与y轴交于点C．联结AB并延长，交y轴于点D．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求△ADC的面积；
（3）点P在线段AC上，如果△OAP和△DCA相似，求点P的坐标．

【答案】解：（1）将A（6，0），B（3，）代入y＝ax2+4x+c，
得，，
解得，a，c＝﹣6，
∴该抛物线解析式为：yx2+4x﹣6；

（2）将A（6，0），B（3，）代入y＝kx+b，
得，，
解得，k，b＝3，
∴yABx+3，
当x＝0时，y＝3，
∴D（0，3），OD＝3，
在抛物线yx2+4x﹣6中，
当x＝0时，y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），OC＝6，
∴DC＝OC+OD＝9，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴S△ADCDC?OA＝27；

（3）由（2）知，OC＝OA＝6，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，ACOA＝6，
如图所示，连接OP，过点P作PH⊥OA于H，
则△PHA为等腰直角三角形，

①当△DCA∽△OAP时，
，
即，
∴AP＝4，
∴HP＝HAAP＝4，OH＝OA﹣HA＝2，
∴P（2，﹣4）；
②当△DCA∽△PAO时，
，
即，
∴PA，
∴HP＝HA，
∴OH＝OA﹣AH，
∴P（，），
综上所述，点P的坐标为（2，﹣4）或（，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，在二次函数图象中求三角形的面积，三角形相似的判定等，解题的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨论相似情况．
7．（2019?资阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．

（1）求平移后的抛物线的表达式；
（2）如果点D在线段CB上，且CD，求∠CAD的正弦值；
（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．
【答案】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c．
将A（﹣1，0）、B（4，0），代入得
解得：
所以，y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图1

∵y＝﹣x2+3x+4，∴点C的坐标为（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+4，将B（4，0），代入得kx+4＝0，解得k＝﹣1，
∴y＝﹣x+4．
设点D的坐标为（m，4﹣m）．
∵CD，∴2＝2m2，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
∴点D的坐标为（1，3）．
过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N．
∵，
∴，
∴．
∵DM∥BN，∴，
∴，
∴．
∴．
（3）如图2

设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4）．
如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4）．
∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2，，
∴，解得或n＝0（舍）．
∴点Q的坐标为（，）．
【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．
8．（2019?嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．
（1）试求这个抛物线的表达式；
（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；
（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．

【答案】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为yx2x+2．
（2）∵yx2x+2（x﹣1）2，
∴顶点M的坐标为（1，）．
当x＝0时，yx2x+2＝2，
∴点C的坐标为（0，2）．
过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．

∴S△AMC＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，
（HM+AO）?OHAO?OCCH?MH，
（1+4）4×2（2）×1，
．
（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．

∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），
∴BG＝2，GA＝2，
∴△BGA是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝45°．
同理，可得：∠BOA＝45°．
∵点C的坐标为（2，0），
∴BC＝2，OC＝2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴∠DBO＝45°，BO＝2，
∴∠BAO＝∠DBO．
∵∠DOE＝45°，
∴∠DOB+∠BOE＝45°．
∵∠BOE+∠EOA＝45°，
∴∠EOA＝∠DOB，
∴△AOE∽△BOD，
∴．
∵抛物线yx2x+2的对称轴是直线x＝1，
∴点D的坐标为（1，2），
∴BD＝1，
∴，
∴AE，
过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，
∴EF＝AF＝1，
∴点E的坐标为（3，1）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出△AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度．
9．（2019?崇明区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+6（a、b都是常数，且a＜0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0），顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；
（2）过点B的直线yx+3交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；
（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA＝∠CBD时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6，得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为yx2+2x+6．
∵yx2+2x+6（x﹣2）2+8，
∴点C的坐标为（2，8）．
（2）当x＝2时，yx+3＝2，
∴点D的坐标为（2，2）．
过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．

∵抛物线的顶点坐标为（2，8），
∴点F的坐标为（2，0）．
∵点B的坐标为（6，0），
∴CF＝8，CD＝6，DF＝2，BF＝4，BC4，BD2．
∴sin∠BCF，即，
∴DE，
∴BE，
∴cot∠CBD．
（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．

∵∠PBA＝∠CBD，
∴cot∠PBA，即，
∴OM，
∴点M的坐标为（0，）或（0，）．
设直线BP的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将B（6，0），M（0，）代入y＝mx+n，得：，
解得：，
∴直线BP的解析式为yx．
同理，当点M的坐标为（0，）时，直线BP的解析式为yx．
联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，
解得：，或，，
∴点P的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出∠CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标．
10．（2019?定陶区三模）如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；
（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．

【答案】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）
∴，解得
∴抛物线解析式为，
（2），
∴对称轴为直线x＝1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，

∵∠PBO＝∠BAO，∴tan∠PBO＝tan∠BAO，
∴
∴，
∴BG
∴OG，
∴P（1，），
（3）如图2

设新抛物线的表达式为m
则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2
过点F作FH⊥y轴，垂足为H，
∵DE∥FH，EO＝2OF
∴，
∴FH＝1，
①点D在y轴的正半轴上，则F（﹣1，），
∴OH＝m
∴，
∴m＝3，
②点D在y轴的负半轴上，则F（1，），
∴OH＝m，
∴，
∴m＝5
∴综上所述m的值为3或5．
【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键.
11．（2019?东阳市模拟）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B （4，0）、D （5，3），设它与x轴的另一个交点为A（点A在点B的左侧），且△ABD的面积是3．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求∠ADB的正切值；
（3）若抛物线与y轴交于点C，直线CD交x轴于点E，点P在射线AD上，当△APE与△ABD相似时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）设A（m，0），
则AB＝4﹣m，
由△ABD的面积是3知（4﹣m）×3＝3，
解得m＝2，
∴A（2，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣4），
将D（5，3）代入得：3a＝3，解得a＝1，
∴y＝（x﹣2）（x﹣4）＝x2﹣6x+8；

（2）如图1，过点D作DF⊥x轴于点F，

∵A（2，0），B（4，0），D（5，3），
∴DF＝3，AF＝3，
则AD＝3，∠DAF＝45°，
过点B作BE⊥AD于E，
则AE＝BE，
∴DE＝2，
∴tan∠ADB；

（3）如图2，

由A（2，0），D（5，3）得直线AD解析式为y＝x﹣2，
由B（4，0），D（5，3）可得直线BD解析式为y＝3x﹣12，
由C（0，8），D（5，3）可得直线CD解析式为y＝﹣x+8，
当y＝0时，﹣x+8＝0，解得x＝8，
∴E（8，0），
①若△ADB∽△APE，则∠ADB＝∠APE，
∴BD∥PE，
设PE所在直线解析式为y＝3x+m，
将点E（8，0）代入得24+m＝0，解得m＝﹣24，
∴直线PE解析式为y＝3x+24，
由得，
∴此时点P（11，9）；
②若△ADB∽△AEP，则∠ADB＝∠AEP，
∴tan∠ADB＝tan∠AEP，
设P（n，n﹣2），过点P作PG⊥AE于点G，
则OG＝n，PG＝n﹣2，
∴GE＝8﹣n，
由tan∠AEP求得n＝4，
∴P（4，2）；
综上，P（11，9）或（4，2）．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握三角形的面积公式、待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、一次函数和二次函数的交点问题等知识点．
12．（2019?松江区一模）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【答案】解：y＝2（x2+2x）﹣1，
y＝2（x2+2x+1）﹣2﹣1，
y＝2（x+1）2﹣3，
开口方向：向上，
顶点坐标：（﹣1，﹣3），
对称轴：直线x＝﹣1．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．
13．（2019?虹口区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B（4，0），点A（3，m）在抛物线上．
（1）求抛物线的表达式，并写出它的对称轴；
（2）求tan∠OAB的值．

【答案】解：（1）把点O（0，0），点B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x，
它的对称轴为：x2，
（2）把点A（3，m）代入y＝﹣x2+4x得：
m＝﹣32+4×3＝3，
即点A的坐标为：（3，3），
过点B作BD⊥OA，交OA于点D，过点A作AE⊥OB，交OB于点E，如下图所示，
AE＝3，OE＝3，BE＝4﹣3＝1，
OA3，AB，
S△OABOB×AEOA×BD，
BD2，
AD，
tan∠OAB2．

【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题的关键：（1）正确掌握代入法和抛物线的对称轴公式，（2）正确掌握三角形面积公式和勾股定理．
14．（2019?闵行区一模）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；
（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO＝∠BAO，求点P的坐标．

【答案】解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，
解得：，
∴所求抛物线的表达式为yx2x．
（2）∵抛物线的表达式为yx2x，
∴抛物线的对称轴为直线x，
∴点D的坐标为（，0）．
过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．
∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），
∴BC＝4，OC＝3，CD＝3，
∴cot∠BDO．
（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．
则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴cot∠∠BAC2．
∵∠PAO＝∠BAO，
∴cot∠PAO2，即m﹣2n＝5①．
∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，
∴∠BCO＝∠PQA＝90°，
∴BC∥PQ，
∴，
∴，即4m＝﹣3n②．
由①、②得：，
解得：，
∴点P的坐标为（，）．


【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．
15．（2019?长宁区一模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点B（1，3），又与x轴正半轴相交于点A，∠BAO＝45°，点P是线段AB上的一点，过点P作PM∥OB，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若∠BMP＝∠AOB，求点P的坐标；
（3）过点M作MC⊥x轴，分别交直线AB、x轴于点N、C，若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，求的值．

【答案】解：（1）如图，过点B作BH⊥x轴，垂足为点H，

∵点B（1，3）
∴BH＝3，OH＝1，
∵∠BAO＝45°，∠BHA＝90°
∴AH＝BH＝3，
∴OA＝4
∴点A（4，0）
∵抛物线过原点O、点A、B，
∴设抛物线的表达式为y＝ax2+bx（a≠0）
∴
解得：a＝﹣1，b＝4
∴抛物的线表达式为：y＝﹣x2+4x
（2）如图，

∵PM∥OB
∴∠PMB+∠OBM＝180°，且∠BMP＝∠AOB，
∴∠AOB+∠OBM＝180°
∴BM∥OA，
设点M（m，3），且点M在抛物线y＝﹣x2+4x上，
∴3＝﹣m2+4m，
∴m＝1（舍去），m＝3
∴点M（3，3），
∵点O（0，0），点A（4，0），点B（1，3）
∴直线OB解析式为y＝3x，
直线AB解析式为y＝﹣x+4，
∵PM∥OB，
∴设PM解析式为y＝3x+n，且过点M（3，3）
∴3＝3×3+n，
∴n＝﹣6
∴PM解析式为y＝3x﹣6
∴
解得：x，y
∴点P（，）

（3）如图，延长MP交x轴于点D，作PG⊥MN于点G，

∵PG⊥MN，MC⊥AD
∴PG∥AD
∴∠MPG＝∠MDC，∠GPN＝∠BAO＝45°，
又∵∠PGC＝90°，∠ACG＝90°，
∴AC＝CN，PG＝NG，
∵PM∥OB，
∴∠BOA＝∠MDC，
∴∠MPG＝∠BOA
∵点B坐标（1，3）
∴tan∠BOA＝3＝tan∠MPG
∴MG＝3PG＝3NG，
∴MN＝4PG，
∵△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍，
∴AC×NC＝2MN×PG，
∴NC2＝2×MNMNMN2，
∴
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求函数解析式，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
16．（2019?黄浦区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，对称轴为直线x＝1，交x轴于点E，tan∠BDE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P是对称轴上一点，且∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．

【答案】解：（1）依照题意，画出图形，如图1所示．

∵点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点E的坐标为（1，0），
∴BE＝AE＝2．
∵tan∠BDE，
∴DE＝2BE＝4，
∴点D的坐标为（1，﹣4）．
∴抛物线的表达式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4．
将（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4，得：4a﹣4＝0，
解得：a＝1，
∴抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，即y＝x2﹣2x﹣3．
（2）取点F（5，0），连接DF，过点C作CM⊥直线DE，垂足为点M，过点B作BN⊥直线DF，垂足为点N，如图2所示．

∵点D的坐标为（1，﹣4），
∴EF＝DE＝4，
∴△DEF为等腰直角三角形，
∴∠EDF＝∠EFD＝45°，DF＝4．
∵BN⊥DF，
∴△BNF为等腰直角三角形，
∴NB＝NFBF，
∴DN＝DF﹣NF＝3，
∴tan∠BDN．
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3）．
∵点D的坐标为（1，﹣4），CM⊥DE，
∴CM＝DM＝1，
∴△CDM为等腰直角三角形，
∴∠DCM＝∠CDM＝45°．
①当点P在点D下方时，∵∠CDM＝∠DCP+∠CPM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，
∴∠CPM＝∠BDN，
∴tan∠CPM，即，
∴MP＝3，
∴EP＝EM+MP＝6，
∴点P的坐标为（1，﹣6）；
②当点P在点D上方时，∵∠PCD+∠PCM＝45°，∠BDE+∠BDN＝45°，
∴∠PCM＝∠BDN，
∴tan∠PCM，
∴MP，
∴EP＝EM+MP，
∴点P的坐标为（1，）．
综上所述，点P的坐标为（1，﹣6）或（1，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、二次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）通过解直角三角形找出顶点D的坐标；（2）分点P在点D的下方和点P在点D的上方两种情况，求出点P的坐标．
17．（2019?浦东新区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝2x2﹣12x+10的图象与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，求△ABC的面积．
【答案】解：∵二次函数y＝2x2﹣12x+10，
∴当x＝0时，y＝10，当y＝0时，x＝1或x＝5，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，10），
∴AB＝5﹣1＝4，
∴△ABC的面积是：20．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．（2019?金山区一模）已知二次函数y＝x2﹣4x﹣5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．（点B在点A的右侧）
（1）当y＝0时，求x的值．
（2）点M（6，m）在二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．

【答案】解：（1）把y＝0代入y＝x2﹣4x﹣5，得
x2﹣4x﹣5＝0，
解得，x1＝5，x2＝﹣1，
即当y＝0时，x的值是﹣1或5；
（2）∵点M（6，m）在二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象上，
∴m＝62﹣4×6﹣5＝7，
∴点M（6，7），
∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5，与y轴的交点为P，
∴点P的坐标为（0，﹣5），
设直线MP的函数解析式为y＝kx+b，
，得，
即直线MP的解析式为y＝2x﹣5，
当y＝0时，x，
即点C的坐标为（，0），
由（1）知，当y＝0时，x的值是﹣1或5，
∵二次函数y＝x2﹣4x﹣5与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），
∴点B的坐标为（5，0），
∴cot∠MCB．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
19．（2019?闵行区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3），
∴，解得，
∴所求函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．
20．（2019?奉贤区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与抛物线y＝ax2+bx交于点A（6，0）和点B（1，﹣5）．
（1）求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式；
（2）如果点C在直线AB上，且∠BOC的正切值是，求点C的坐标．

【答案】解：（1）把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入抛物线y＝ax2+bx得：
，解得：，
∴这条抛物线的表达式：y＝x2﹣6x，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
把点A（6，0）和点B（1，﹣5）代入得：，
解得：，
则直线AB的解析式为：y＝x﹣6；
（2）当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝6，
∴OA＝OH＝6，
∵∠AOH＝90°，
∴∠OAH＝45°，
过B作BG⊥x轴于G，则△ABG是等腰直角三角形，
∴AB＝5，
过O作OE⊥AB于E，
S△AOHAH?OEOA?OH，
6?OE＝6×6，
OE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝532，
Rt△BOE中，tan∠OBE，
∵∠BOC的正切值是，
∴∠BOC＝∠OBE，
作OB的垂直平分线交AB于C，交OB于F，
解法一：∵B（1，﹣5），
∴F（，），
易得直线OB的解析式为：y＝﹣5x，
设直线FC的解析式为：yx+b，
把F（，）代入得：b，b，
∴直线FC的解析式为：yx，
xx﹣6，
x，
当x时，y6，
∴C（，）；
解法二：过C作CD⊥x轴于D，连接OC，
设C（m，m﹣6），则AC（6﹣m），
∵OC＝BC，
∴m2+（m﹣6）2＝[5（6﹣m）]，
m，
∴C（，）．

【点睛】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角函数的意义，等腰直角三角形的性质，画出图形，利用数形结合的思想解决问题．
21．（2019?嘉定区一模）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．
（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；
（2）求∠OAM的正弦值．
【答案】解：（1）由题意，得1+b﹣3＝0，
解这个方程，得，b＝2，
所以，这个抛物线的表达式是y＝x2+2x﹣3，
所以y＝（x+1）2﹣4，
则顶点M的坐标为（﹣1，﹣4）；
（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
设直线x＝1与x轴的交点为点B，
则点B的坐标为（﹣1，0），且∠MBA＝90°，
在Rt△ABM中，MB＝4，AB＝2，
由勾股定理得：AM2＝MB2+AB2＝16+4＝20，即AM＝2，
所以sin∠OAM．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．（2019?五华区二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … ﹣4 ﹣4 0 …
（1）求该抛物线的表达式；
（2）已知点E（4，y）是该抛物线上的点，点E关于抛物线的对称轴对称的点为点F，求点E和点F的坐标．
【答案】解：（1）∵x＝﹣2，y＝﹣4；x＝0，y＝﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣1，），
设抛物线解析式为y＝a（x+1）2，
把（0，﹣4）代入得a（0+1）24，解得a，
∴抛物线解析式为y（x+1）2；
（2）当x＝4时，y（4+1）28，则E点坐标为（4，8），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1
∴点E关于抛物线的对称轴对称的点F的坐标为（﹣6，8）．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
23．（2019?杨浦区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（1，﹣2）和（﹣1，0）和（0，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）按照列表、描点、连线的步骤，在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象（要求至少5点）．

【答案】解：（1）根据题意得，解得，
所以此二次函数的解析式为yx2﹣x；
（2）yx2﹣x（x﹣1）2﹣2，则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2），
当y＝0时，x2﹣x0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）；
如图，

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
24．（2019?虹口区一模）已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）请用配方法求出顶点的坐标；
（2）如果该抛物线沿x轴向左平移m（m＞0）个单位后经过原点，求m的值．
【答案】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6
＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x﹣1）2﹣8，
故该函数的顶点坐标为：（1，﹣8）；

（2）当y＝0时，0＝2（x﹣1）2﹣8，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
即图象与x轴的交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
故该抛物线沿x轴向左平移3个单位后经过原点，
即m＝3．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出顶点坐标是解题关键．
25．（2019?奉贤区一模）已知抛物线y＝x（x﹣2）+2．
（1）用配方法把这个抛物线的表达式化成y＝a（x+m）2+k的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，求新抛物线的表达式．
【答案】解：（1）y＝x（x﹣2）+2
＝x2﹣2x+2
＝（x﹣1）2+1，
它的顶点坐标为：（1，1）；

（2）∵将抛物线y＝x（x﹣2）+2上下平移，使顶点移到x轴上，
∴图象向下平移1个单位得到：y＝（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．
26．（2019?徐汇区校级一模）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用配方法求抛物线的顶点坐标．
【答案】解：（1）把A（2，﹣1），B（﹣1，﹣4）两点代入y＝﹣2x2+bx+c，得．
解得，
故该抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝﹣2x2+3x+1．
y＝﹣2x2+3x+1＝﹣2（x2x）+12（x）2．
所以抛物线的顶点坐标是（，）．
【点睛】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的三种形式以及待定系数法确定函数解析式，掌握配方法是将二次函数解析式的三种形式间转换的关键．
27．（2019?杨浦区三模）已知：二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（2，3）．求：这个二次函数的解析式，及这个函数图象的对称轴．
【答案】解：∵二次函数y＝2x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（2，3），
∴
解得
∴这个二次函数的解析式为y＝2x2﹣3x+1，
这个函数图象的对称轴为直线．
【点睛】题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，题目比较基础，难度不大.









【注意】
正比例函数性质的逆命题也是可以正确的，我们在做题的时候也可以直接运用

【注意】
反比例函数性质的逆命题也是可以正确的，我们在做题的时候也可以直接运用

【注意】
画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线.
正比例函数是特殊的一次函数．

【注意】
画直线时，通常先描出直线与轴、轴的交点.


【注意】
做题时，尤其注意向下平移个单位.


【注意】
抛物线的对称轴是一条直线，答题时一定要写直线.


【注意】
在二次函数中，我们常常会做到平移的题目，一般我们在做平移时都会把二次函数化为顶点式来进行平移的求解。.


【记忆技巧】
一般地，我们通常做二次函数平移时都会记住“左加右减，上加下减”.其中左右和上下分别代表着平移的方向，若二次函数向左右平移，则在后进行加减，若二次函数向上下平移，则在后进行加减

【注意】
图像的上升或下降，是对图像变化情况的直观描述.规定以轴正方向为参照，一般不说明.




PAGE






第四章 数据整理与概率统计

考点解读

模块 考点 水平层级
数据整理与概率统计 事件发生的可能性 Ⅱ
事件的概率计算 Ⅲ
统计的意义 Ⅰ
表示一组数据平均水平的量 Ⅲ
表示一组数据波动水平的量 Ⅲ
表示一组数据分布的量 Ⅲ
备注 理解性理解水平（记为Ⅱ）

探究性理解水平(记为Ⅲ)




4.1 事件发生的可能性
知识梳理

1．必然事件和不可能事件-----------确定事件
在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件；
在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；必然事件和不可能事件统称为确定事件．

2．随机事件或不确定事件
（1）在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定事件．
（2）一个确定事件是发生还是不发生，答案是确定的；
而一个随机事件是发生还是不发生，具有不确定性．

3．事件发生的可能性
（1） 各种事件发生的可能性有大有小，需要用数学符号语言表述，通常用字母“”表述．
（2） 各种事件发生的可能性有大有小，可用数学语言来描述。依照可能性由大到小依次表述为某个事件：“一定发生”、“很有可能发生”、“可能发生”、“不太可能发生”、“一定不会发生”等．

（3）一般来说，随机事件发生的可能性大小，要经过大数次的试验来确定．






例题精讲

【例1】下列语句正确的是（ ）
．“上海冬天最低气温低于－5”，这是必然事件；
．“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件；
．“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件；
．“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件．
【参考答案】．

【例2】一个不透明的盒子中装有5个红球和3个白球，它们除颜色外都相同．若从
中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ）
．摸到红球是必然事件；　　 ．摸到白球是不可能事件；　　
．摸到红球和摸到白球的可能性相等；　 ．摸到红球比摸到白球的可能性大．
【参考答案】．

【例3】下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是( ) ．
．瓮中捉鳖； ．守株待兔； ．旭日东升； ．夕阳西下．
【参考答案】．


4.2 事件的概率计算
知识梳理

概率
（1）用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率，通常用字母“”表示．
（2）不可能事件的概率为“0”；而必然事件的概率为“1”。这样，随机事件的概率为大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数．

2．频率
（1）在大量重复某同一试验时，事件发生的次数÷试验的总次数所得的值，我们把它称为事件发生的频率．
（2）事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。用频率表示概率，得到的只是近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大，我们常用频率去估计概率．

3．等可能事件的概率
（1）等可能试验：①试验的结果是有限个，各种结果可能出现的机会是均等的；②任何两个结果不可能同时出现.符合上述两个条件的试验叫做等可能试验；各个结果出现的事件称为等可能事件.

（2）等可能事件的概率计算方法：
一般地，如果一个试验共有个等可能的结果，事件包含其中的个结果，那么事件的概率 .


3．等可能试验结果的分析方法（枚举法）
线段法；树形图；表格法.它们是枚举法的不同表现形式.

例题精讲

【例1】在1~9这九个数中，任取一个数能被3整除的概率是 ．
【参考答案】．

【例2】布袋中装有3个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布
袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
【参考答案】．

【例3】在形状、大小、颜色都一样的卡片上，分别画有线段、直角三角形、等腰三
角形、等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形、正五边形、正六边形、圆等10个图形，小杰随机抽
取一张卡片，抽得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．
【参考答案】．


【例4】如图，飞镖投一个被平均分成6份的圆形靶子，那么飞镖落在阴影部分的概
率是（ ）
．； ．；
．； ．．
【参考答案】．



4.3 统计的意义
知识梳理

1．统计学是研究如何收集、处理、分析数据从而得出结论或找出规律的科学．
2. 总体、个体及样本
在统计中，我们把所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，当总体中个体数目较多时，一般从总体中抽取一部分个体，这一部分个体叫做总体的样本，样本中个体的数目叫做样本容量。其中，具有代表性的样本叫做随机样本．
收集数据的方法一般有两种，即普查和抽样调查．



例题精讲

【例1】某初级中学要了解全校学生的课外作业负担情况，你认为以下抽样方法中比较合理的（ ）
．调查全体女生； ．调查全体男生；
．调查九年级全体学生； ．调查七、八、九年级各20名学生．
【参考答案】．
【例2】手机已经普及，家庭座机还有多少？为此，某校中学生从某街道
5000户家庭中随机抽取50户家庭进行统计，列表如下：
拥有座机数（部） 0 1 2 3 4
相应户数 10 14 18 7 1

该街道拥有多部电话（指1部以上，不含1部）的家庭大约有 户．
【参考答案】2600．
【例3】(课后练习题变式)为了估计鱼塘有多少条鱼，我们从塘里先捕上50条鱼做上标记，再放回塘里，过了一段时间，待带有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次捕上300条鱼，发现有2条鱼带有标记，则估计塘里有 条鱼．
【参考答案】750．


4.4 表示一组数据平均水平的量
知识梳理

1．平均数
（1）平均数：一般地，如果有个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“拔”。
（2）加权平均数：如果个数中， 出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。

2. 平均数的计算方法
（1）定义法：当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：
（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）．

3. 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.

4. 中位数：一般地，将个数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（为奇数时），或最中间两个数据的平均数（为偶数时），称为这组数据的中位数.

说明：将一组个数据按大小依次排列，当为奇数时，第个数据是中位数；当为偶数时，第两个数据的平均数是中位数.
思考：平均数、中位数和众数的共同点和不同点？

例题精讲

【例1】某校男子篮球队队员的年龄如下表所示，
那么他们的平均年龄是 岁．
【参考答案】14.5．

【例2】已知数据，，，，的平均数是，则数据，，，，，的平均数是 （结果用表示）
【参考答案】．

【例3】若2，7，6和四个数的平均数是5，18，1，6，与五个数的平均数是10，则 .
【参考答案】15



【例4】下表是六年级学生小林的学期成绩单，由于不小心蘸上了墨水，他的数学平时成绩看不到，小林去问了数学课代表，课代表说他也不知道小林的平时成绩，但他说：“我知道老师核算学期总成绩的方法，就是期中成绩与平时成绩各占30%，而期末成绩占40%”小林核算了语文成绩：80×30%＋80×40%＋70×30%＝77，完全正确，他再核对了英语成绩，同样如课代表所说，那么按上述方法核算的话，小林数学平时成绩是 分．
学科 期中成绩 期末成绩 平时成绩 学期总成绩
语文 80 80 70 77
数学 80 75 78
英语 90 85 90 88

【参考答案】80．




【例5】某班40名学生右眼视力的检查结果如下表所示，该班学生右眼视力的中位数是 ．
视力 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1.0 1.2 1.5
人数 1 2 3 4 3 4 4 6 5 5 3



【参考答案】0.7．

【例6】一组数据共有6个正整数，分别为6、7、8、9、10、，如果这组数据的众数和平均数相同，那么的值为（ ）
．6； ．7； ．8； ．9．
【参考答案】．

4.5 表示一组数据波动水平的量
知识梳理

1．方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即
2．标准差：方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

说明：（1）方差的单位为数据平方单位，标准差的单位与数据单位相同.
（2）方差、标准差都反映一组数据波动大小.
（3）一组数据的方差越大，这组数据的波动越大．

例题精讲

【例1】若1、、2、3的平均数是3，那么这组数据的方差是 ．
【参考答案】．

【例2】甲、乙、丙、丁四人进行设计比赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都
是8.9环，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是（ ）
．甲； ．乙； ．丙； ．丁
【参考答案】．
【例3】已知，，，…，的平均数是5，方差是2，则，，，…，
的平均数是 ，方差是 ．
【参考答案】17，18．



4.6 表示一组数据分布的量
知识梳理

1.频数分布直方图：我们把反映各小组相关数据出现的频数的统计图叫做频数分布直方图.
（一个小组的频数是指落在这个小组内的数据累计出现的次数）

2.频率分布的意义
在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

3.研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：
①计算极差（最大值与最小值的差）
②决定组距与组数
③决定分点
④列频率分布表
⑤画频率分布直方图
（2）频率分布的有关概念
①极差：最大值与最小值的差
②频数：落在各个小组内的数据的个数
③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。

例题精讲

【例1】下列说法正确的是（ ）
．一组数据的平均数和中位数一定相等； ．一组数据的平均数和众数一定相等；
．一组数据的标准差和方差一定不相等； ．一组数据的众数一定等于该组数据中的某个数据．
【参考答案】．

【例2】为了解各年龄段观众对某电视节目的收视率，小明调查了部分观众的收视情况，并分成、、、、、六组进行调查，其频率分布直方图如图所示，各长方形上方的数据表示该组的频率，若组的频数为48，那么被调查的观众总人数为 人．
【参考答案】200．











【例3】为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身高进行
了测量，经统计，身高在150.5~155.5厘米之间的频数为5，那么这一组的频率是 ．
【参考答案】．

【例4】
某校九年级260名学生进行了一次数学测验，随机抽取部分学生的成绩进行分析，这些成绩整理后分成五组，绘制成频率分布直方图（如图所示），从左到右前四个小组的频率分别为0.1、0.2、0.3、0.25，最后一组的频数为6．根据所给的信息回答下列问题：
（1）共抽取了多少名学生的成绩？
（2）估计这次数学测验成绩超过80分的学生人数约有多少名？
（3）如果从左到右五个组的平均分分别为55、68、74、86、95分，那么估计这次数学测验成绩的平均分约为多少分？









【参考答案】
解：（1）最后一组的频率为 1－0.1－0.2－0.3－0.25＝0.15．
所以6÷0.15＝40（名）．
所以，共抽取了40名学生的成绩．
（2）成绩超过80分的组频率之和为0.25＋0.15＝0.4．
所以0.4×260＝104（名）．
所以，估计这次数学测验超过80分的学生人数约有104名．
（3）五个组的频数分别为4、8、12、10、6．
加权平均数为
．
所以，估计这次数学测验成绩的平均分约为77.05分．

过关演练

一．选择题（共18小题）
1．（2019?上海）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（　　）

A．甲的成绩比乙稳定
B．甲的最好成绩比乙高
C．甲的成绩的平均数比乙大
D．甲的成绩的中位数比乙大
【答案】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，
则其中位数为8，平均数为8，方差为[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；
乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，
则其中位数为8，平均数为8，方差为[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，
∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，
故选：A．
【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．


2．（2018?上海）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
【答案】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选：D．
【点睛】本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3．（2019?长宁区二模）某校随机抽查若干名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布直方图（如图），则仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是（　　）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【答案】解：仰卧起坐次数不小于15次且小于20次的频率是：0.1；
故选：A．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数．
4．（2019?奉贤区二模）学校环保小组的同学随机调查了某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9．利用学过的统计知识，根据上述数据估计该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约（　　）
A．200只 B．1400只 C．9800只 D．14000只
【答案】解：∵某小区10户家庭一周内使用环保方便袋的数量，数据如下（单位：只）：6，5，7，8，7，5，7，10，6，9，
∴平均每户使用方便袋的数量为：（6+5+7+8+7+5+7+10+6+9）＝7（只），
∴该小区200户家庭一周内共需要环保方便袋约：7×200＝1400（只）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了用样本估计总体，正确求出平均数是解题关键．
5．（2019?杨浦区二模）为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了80名初三学生的体重进行统计分析．在此问题中，样本是指（　　）
A．80
B．被抽取的80名初三学生
C．被抽取的80名初三学生的体重
D．该校初三学生的体重
【答案】解：样本是被抽取的80名初三学生的体重，
故选：C．
【点睛】此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
6．（2019?黄浦区二模）为了了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行统计分析，在这个问题中，样本是指（　　）
A．400
B．被抽取的50名学生
C．400名学生
D．被抽取的50名学生的体重
【答案】解：样本是抽取50名学生的体重，
故选：D．
【点睛】考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

7．（2019?杨浦区三模）将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，简况如表所示：
组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧
频数 14 11 12 13 ■ 13 12 10

那么第⑤组的频率是（　　）
A．14 B．15 C．0.14 D．0.15
【答案】解：第⑤组的频数为100﹣14﹣11﹣12﹣13﹣13﹣12﹣10＝15，
所以第⑤组的频率＝15÷100＝0.15．
故选：D．
【点睛】本题考查了频（数）率分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了频数与频率．
8．（2019?浦东新区二模）某运动队在一次队内选拔比赛中，甲、乙、丙、丁四位运动员的平均成绩相等，方差分别为0.85、1.23、5.01、3.46，那么这四位运动员中，发挥较稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】解：由题意知甲的方差最小，成绩最稳定，
故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
9．（2019?静安区二模）小明和小丽暑期参加工厂社会实践活动，师傅将他们工作第一周每天生产的合格产品的个数整理成如表1两组数据．那么关于他们工作第一周每天生产的合格产品个数，下列说法中正确的是（　　）
小明 2 6 7 7 8
小丽 2 3 4 8 8

A．小明的平均数小于小丽的平均数
B．两人的中位数相同
C．两人的众数相同
D．小明的方差小于小丽的方差

【答案】解：A、小明的平均数为（2+6+7+7+8）÷5＝6，小丽的平均数为（2+3+4+8+8）÷5＝5，故本选项错误；
B、小明的中位数为7，小丽的中位数为4，故本选项错误；
C、小明的众数为7，小丽的众数为8，故本选项错误；
D、小明的方差为4.4，小丽的方差为6.4，小明的方差小于小丽的方差，故原题说法正确；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，熟练掌握定义和公式是解题的关键；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
10．（2019?嘉定区二模）现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm，方差分别是S甲2、S乙2，如果S甲2＞S乙2，那么两个队中队员的身高较整齐的是（　　）
A．甲队 B．乙队
C．两队一样整齐 D．不能确定
【答案】解：∵S甲2＞S乙2，
∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．
故选：B．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
11．（2019?闵行区二模）下列各统计量中，表示一组数据离散程度的量是（　　）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．频数
【答案】解：方差是表示一组数据离散程度的量，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了统计量的选择，关键是掌握平均数、众数、中位数和极差、方差在描述数据时的区别．

12．（2019?昆都仑区二模）如果一组数据3、4、5、6、x、8的众数是4，那么这组数据的中位数是（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】解：∵数据3、4、5、6、x、8的众数是4，
∴x＝4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、6、8，
则中位数为：（4+5）＝4.5．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13．（2019?金山区二模）数据2、1、0、﹣2、0、﹣1的中位数与众数分别是（　　）
A．0和0 B．﹣1和0 C．0和1 D．0和2
【答案】解：在这一组数据中2是出现次数最多的，故众数是0；
将这组数据已从小到大的顺序排列，处于中间位置的数是0，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是0；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
14．（2019?崇明区二模）对于数据：6，3，4，7，6，0，9．下列判断中正确的是（　　）
A．这组数据的平均数是6，中位数是6
B．这组数据的平均数是6，中位数是7
C．这组数据的平均数是5，中位数是6
D．这组数据的平均数是5，中位数是7
【答案】解：5，
众数为6，中位数为6，
A、这组数据的平均数是6，中位数是6，说法错误；
B、这组数据的平均数是6，中位数是7，说法错误；
C、这组数据的平均数是5，中位数是6，说法正确；
D、这组数据的平均数是5，中位数是7，说法错误；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了中位数、众数、平均数，关键是掌握三种数的计算方法．
15．（2019?徐汇区二模）今年3月12日，学校开展植树活动，植树小组16名同学的树苗种植情况如下表：
植树数（棵） 3 5 6 7 8
人数 2 5 1 6 2

那么这16名同学植树棵树的众数和中位数分别是（　　）
A．5和6 B．5和6.5 C．7和6 D．7和6.5
【答案】解：∵植树数为3的有1人，植树数为5的有5人，植树数为6的有1人，植树数为7的有6人，植树数为8的有2人，
∴出现次数最多的数据是7，
∴众数为7；
∵一共有16名同学，
∴因此其中位数应是第8和第9名数据的平均数，
∴中位数为（6+7）÷2＝6.5，
故中位数为：6.5．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
16．（2019?南京二模）一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】解：原数据的2、3、3、4的平均数为3，中位数为3，众数为3，方差为[（2﹣3）2+（3﹣3）2×2+（4﹣3）2]＝0.5；
新数据2、3、3、3、4的平均数为3，中位数为3，众数为3，方差为[（2﹣3）2+（3﹣3）2×3+（4﹣3）2]＝0.4；
∴添加一个数据3，方差发生变化，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
17．（2019?虹口区二模）下列事件中，必然事件是（　　）
A．在体育中考中，小明考了满分
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1
D．四边形的外角和为180度．
【答案】解：A、在体育中考中，小明考了满分是随机事件；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
C、抛掷两枚正方体骰子，点数和大于1是必然事件；
D、四边形的外角和为180度是不可能事件，
故选：C．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
18．（2019?大连二模）袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】解：∵袋中有3个红球，4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，
∴红球和白球的总数为：3+4＝7个，
∴随机地从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是：．
故选：C．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记概率公式的计算方法是解答此题的关键，即P（A）.
二．填空题（共35小题）
1．（2019?上海）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是　　．
【答案】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，
∴掷的点数大于4的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
2．（2019?上海）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约　90　千克．

【答案】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约100×15%＝90（千克），
故答案为：90．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．
3．（2017?上海）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中任意摸出一球恰好为红球的概率是　　．
【答案】解：∵在不透明的袋中装有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，
∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（2019?青浦区二模）A班学生参加“垃圾分类知识”竞赛，已知竞赛得分都是整数，竞赛成绩的频数分布直方图，如图所示，那么成绩高于60分的学生占A班参赛人数的百分率为　77.5%　．

【答案】解：77.5%，
故答案为：77.5%．
【点睛】本题考查频数（率）直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．（2019?浦东新区二模）某校有560名学生，为了解这些学生每天做作业所用的时间，调查人员在这所学校的全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图的统计图，根据这个统计图可以估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为　160　名．

【答案】解：根据题意结合统计图知：
估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于2小时的人数约为560160人，
故答案为：160．
【点睛】本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
6．（2019?静安区二模）为了解某校九年级男生1000米跑步的水平情况，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为D、C、B、A四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，那么扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为　72　度．

【答案】解：扇形统计图中表示C等次的扇形所对的圆心角的度数为：360°72°，
故答案为：72．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
7．（2019?虹口区二模）为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成4组，频率分布表（不完整）如下表所示．如果次数在110次（含110次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为　92%　．
组别 分组（含最小值，不含最大值） 频数 频率
1 90～100 3 0.06
2 100～110 1 a
3 110～120 24 0.48
4 120～130 b c

【答案】解：∵样本容量为：3÷0.06＝50，
∴该校初三毕业生一分钟跳绳次数的达标率约为100%＝92%，
故答案为：92%
【点睛】本题考查的是频数分布表的知识，准确读表、从中获取准确的信息是解题的关键，注意用样本估计总体的运用．
8．（2019?徐汇区二模）某校九年级学生共300人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取50名学生进行1分钟的跳绳测试，结果统计的频率分布如图所示，其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.004、0.008、0.034、0.03，如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为　72人　．

【答案】解：∵从左至右前四个小长方形的高依次为0.004、0.008、0.034、0.03，
∴从左至右前四个小组的频率为：0.04，0.08，0.34，0.3；
∴跳绳次数不少于135次的频率为1﹣0.04﹣0.08﹣0.34﹣0.3＝0.24，
∴全年级达到跳绳优秀的人数为300×0.24＝72人，
故答案为：72人．
【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，读懂题目信息，求出第⑤、⑥组的频率是解题的关键．
9．（2019?普陀区二模）张老师对本校参加体育兴趣小组的情况进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，已知参加体育兴趣小组的学生共有80名，其中每名学生只参加一个兴趣小组，根据图中提供的信息，可知参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数是　25%　．

【答案】解：由题意得，参加篮球兴趣小组的人数为：80×45%＝36（人），
∴参加排球兴趣小组的人数为：80﹣36﹣24＝20（人），
∴参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数为：20÷80×100%＝25%，
故答案为：25%．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
10．（2019?崇明区二模）为了了解全区近3600名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低值，不含最高值）
分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
频数 12 18 180
频率 0.16 0.04

根据上表信息，由此样本请你估计全区此次成绩在70～80分的人数大约是　1620　．
【答案】解：由题意可得，
样本中成绩在70～80分的人数为：600﹣12﹣18﹣180﹣600×0.16﹣600×0.04＝270，
36001620，
故答案为：1620．
【点睛】本题考查频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出全区此次成绩在70～80分的人数．
11．（2019?金山区二模）100克鱼肉中蛋白质的含量如图表，每100克草鱼、鲤鱼、花鲢鱼鱼肉的平均蛋白质含量为16.8克，那么100克鲤鱼肉的蛋白质含量是　17.2　克．

【答案】解：∵每100克草鱼、鲤鱼、花鲢鱼鱼肉的平均蛋白质含量为16.8克，
∴设100克鲤鱼肉的蛋白质含量是x克，
由题意可得：（17.9+15.3+x）＝16.8，
解得：x＝17.2．
故答案为：17.2．
【点睛】此题主要考查了频数分布直方图，由直方图获取正确信息是解题关键．
12．（2019?黄浦区二模）秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表（如表所示），图表中c＝　9　．
分　数　段 频数 频率
60≤x＜70 6 a
70≤x＜80 20 0.4
80≤x＜90 15 b
90≤x≤100 c 0.18

【答案】解：，
c＝50﹣6﹣20﹣15＝9，
故答案为：9
【点睛】本题考查频数分布表，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案．
13．（2019?杨浦区二模）某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E F
类型 足球 羽毛球 乒乓球 篮球 排球 其他
人数 10 4 6 2

那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为　24　%．

【答案】解：∵被调查学生的总数为10÷20%＝50人，
∴最喜欢篮球的有50×32%＝16人，
则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比100%＝24%，
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．
14．（2019?宝山区二模）为了解全区5000名初中毕业生的体重情况，随机抽测了400名学生的体重，频率分布如图所示（每小组数据可含最小值，不含最大值），其中从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，由此可估计全区初中毕业生的体重不小于60千克的学生人数约为　1500　人．

【答案】解：∵从左至右前四个小长方形的高依次为0.02、0.03、0.04、0.05，
∴从左至右前四组的频率依次为0.02×5＝0.1、0.03×5＝0.15、0.04×5＝0.2、0.05×5＝0.25，
∴后两组的频率之和为：1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.25＝0.3，
∴体重不小于60千克的学生人数约为：5000×0.3＝1500人，
故答案为：1500．
【点睛】本题考查了频数分布图和频率分布直方图的知识，根据频率、频数及样本容量之间的关系进行正确的运算是解题的关键．
15．（2019?杨浦区三模）某班10名学生校服尺寸与对应人数如图所示，那么这10名学生校服尺寸的中位数为　170　cm．

【答案】解：∵某班10名学生校服尺寸分别是160cm、165cm、165cm、165cm、170cm、170cm、175cm、175cm、180cm、180cm，
∴这10名学生校服尺寸的中位数为：
（170+170）÷2
＝340÷2
＝170（cm）
答：这10名学生校服尺寸的中位数为170cm．
故答案为：170．
【点睛】此题主要考查了中位数的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
16．（2019?嘉定区二模）在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是　95　分．
【答案】解：∵95分出现了4次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是95分；
故答案为：95．
【点睛】此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．
17．（2019?松江区二模）某校初三（1）班40名同学的体育成绩如表所示，则这40名同学成绩的中位数是　28分　．
成绩（分） 25 26 27 28 29 30
人数 2 5 6 8 12 7

【答案】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是28分，28分，它们的平均数是28分，
那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是28分．
故答案为：28分．
【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
18．（2019?长宁区二模）为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中20名学生，将所得数据整理并制成如表，那么这些测试数据的中位数是　7　小时．
睡眠时间（小时） 6 7 8 9
学生人数 8 6 4 2

【答案】解：∵共有20名学生，把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第10和11个数的平均数，
∴这些测试数据的中位数是7小时；
故答案为：7．
【点睛】本题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．
19．（2019?奉贤区二模）下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是　26∽30分　．
分数段 18分以下 18～22分 22～26分 26～30分 30分
人数 3 7 9 13 8

【答案】解：由表格中数据可得本班一共有：3+7+9+13+8＝40（人），
故中位数是第20个和第21个数据的平均数，
则该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是26∽30分．
故答案为：26∽30分．
【点睛】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
20．（2019?闵行区二模）一射击运动员在一次射击练习中打出的成绩如表所示，那么这个射击运动员这次成绩的中位数是　8.5　．
成绩（环） 6 7 8 9 10
次数 2 5 3 6 4

【答案】解：由表格中数据可得射击次数为20，中位数是第10个和第11个数据的平均数，
故这个射击运动员这次成绩的中位数是：（8+9）＝8.5．
故答案为：8.5．
【点睛】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键．
21．（2019?青浦区二模）将分别写有“创建”、“智慧”、“校园”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰好排列成“创建智慧校园”的概率是　　．
【答案】解：根据题意，画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能排列的方式，其中恰好排列成“创建智慧校园”的只有1种，
∴恰好排列成“创建智慧校园”的概率是，
故答案为．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（2019?浦东新区二模）从1、2、3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好是偶数的概率是　　．
【答案】解：
共有6种情况，是偶数的有2种情况，所以组成的两位数是偶数的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A），注意本题是不放回实验．
23．（2019?静安区二模）从0，1，2，3这四个数字中任取3个数，取得的3个数中不含2的概率是　　．
【答案】解：从0，1，2，3这四个数字中任取3个数有0、1、2；0、1、3；0、2、3；1、2、3四种等可能的结果数，
所以取得的3个数中不含2的概率．
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
24．（2019?虹口区二模）一个不透明的袋中装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为0.4，那么红球有　6　个．
【答案】解：设红球有x个，根据题意得：
0.4，
解得：x＝6，
答：红球有6个；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了概率公式，设出未知数，列出方程是解题的关键．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25．（2019?嘉定区二模）不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为　　．
【答案】解：∵袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，
∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
26．（2019?松江区二模）在不透明的盒子中装有4个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外其它完全相同，从中随机摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，那么白色棋子的个数是　8　．
【答案】解：设白色棋子的个数为x，
根据题意得，
解得x＝8，
即白色棋子的个数为8．
故答案为8．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
27．（2019?徐汇区二模）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和15个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是　　．
【答案】解：任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率．
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
28．（2019?金山区二模）从方程x2＝0，1，x2﹣2x+4＝0中，任选一个方程，选出的这个方程无实数解的概率为　　．
【答案】解：∵1，x2﹣2x+4＝0无实数解，
∴无实数解的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式和一元二次方程的解法，关键是掌握算术平方根具有非负性，掌握判断一元二次方程解的方法．
29．（2019?普陀区二模）如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是　　．

【答案】解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4，5共5个，
故这个事件的概率是：．
故答案为：．

【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．
30．（2019?闵行区二模）从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是　　．
【答案】解：从一副52张没有大小王的扑克牌中任意抽取一张牌，那么抽到A的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
31．（2019?黄浦区二模）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是　　．
【答案】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是2的倍数的有2、4，6，
故骰子向上的一面出现的点数是2的倍数的概率是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
32．（2019?杨浦区二模）从﹣5，，，﹣1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为　　．
【答案】解：在﹣5，，，﹣1，0，2，π这七个数中，为负整数的有﹣5，﹣1，共2个数，
则恰好为负整数的概率为；
故答案为．
【点睛】本题考查随机事件的概率的计算方法，能准确找出负整数的个数，并熟悉等可能事件的概率计算公式是关键．
33．（2019?长宁区二模）掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是　　．
【答案】解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，
共有六种可能，其中2、3、5是素数，
所以概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
34．（2019?杨浦区三模）在“石头、剪刀、布”的游戏中，两人打出相同标识手势的概率是　　．
【答案】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两人打出相同标识手势的有3种情况，
∴两人打出相同标识手势的概率是：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
35．（2019?崇明区二模）从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，那么抽得的数是素数的概率是　　．
【答案】解：∵1，2，3，4，5，6，7，8这8个数有4个素数，
∴2，3，5，7；故取到素数的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）；找到素数的个数为易错点.

三、解答题：
1、一组数据中有 2 个 4，4 个 10，4 个 8，求这组数据的平均数、中位数、方差和标准差。





2、某班进行投篮比赛，受缺损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况：
??进球数n ??0 ??1 ??2 ??3 ??4 ??5
投进n个球的人数 ??1 ??2 ??7 ??2

同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球，进球4个或4个以下人平均每人投进2.5个球．那么投进3个球和4个球的各有多少人？


3、某年级组织学生参加夏令营活动，本次夏令营分为甲、乙、丙三组进行活动。下面两幅统计图反映了学生参加夏令营的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加丙组的人数为????????人；
（2）该年级报名参加本次活动的总人数为???????人，并补全频数分布直方图；
（3）在扇形统计图中，“乙组”部分所对应的圆心角的度数是 。
（4）根据实际情况，需从甲组抽调部分同学到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍，应从甲抽调多少名学生到丙组？




4、我市为增强市民的法制观念，抽调了一部分市民进行了一次知识竞赛，竞赛成绩（得分取整数）进行整理后分成五组，并绘成频率分布直方图。请根据右图，回答下列问题：
（1）抽取了多少人参加竞赛？
（2）这次竞赛成绩的中位数落在哪个分数段内？
[来源:学§科§网]

5、某人为了了解所在地区的旅游情况，收集了该地区2013年至2016年每年的旅游收入及入境旅游人数（其中缺少2015年旅游人数）的有关数据，整理并分别绘成图
1和图2．
根据上述信息，回答下列问题：
（1）该地区2015至2016年年旅游收入增加了______亿元；
（2）该地区2013至2016年四年的年旅游收入的平均数是______亿元；
（3）该地区旅游人数从2014年到2016年的年增长率相同，求2015年旅游人数；
（4）根据第（3）小题中的信息，把图2补画完整．
6、射击集训队在一个月的集训中，对甲乙两名运动员进行了 10次测试，成绩如右图所示。

（1）根据图中所提供的信息填写下表：

平均数 众数 方差
甲 7
乙 8

　　


（2）如果你是教练，会选择哪位运动员参加比赛？请说明理由。



参考答案

三、解答题：
1、这组数据的平均数为8，中位数为8，方差为4.8，标准差为　　
2、设投进3个球和4个球的各有x，y人，则
解之得：
答：投进3个球和4个球的分别有9人和3人．
3、（1）25 （2）50，图略 （3）72?
（4）5名 设应从甲抽调x名学生到丙组，
???????? 根据题意得25+x=3(15-x)
?????????解得：x=5?
答：应从甲抽调5名学生到丙组。
4、（1）3＋12＋18＋9＋6　　＝48　 　（2）70.5～80.5分
5. （1）40 （2）45
（3）220人 提示：设年增长率为x，则得：200（1+x）2=242，
（4）略
6、（1）甲：6　1.2　乙：6.9　2.2　　
（2）派乙参赛，因为乙取得8环的次数较多，派甲参赛也可，只要有道理。








第五章 锐角的三角比

考点解读

模块 考点 水平层级
图形与几何 锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30°、45°、60°角的三角比的值（40） Ⅱ
解直角三角形及其应用（41） Ⅲ
备注 理解性理解水平（记为Ⅱ）
探究性理解水平(记为Ⅲ)



1 锐角的三角比
知识梳理

1．如图，在△中，，直角边和分别叫做的对边和邻边．
2．（1）直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦．
．
（2）直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦．
．
（3）直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切．
．
（4）直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切．
．

【记忆技巧】
正（正对）弦（斜边）：对边比斜边；
余（余邻—“鱼鳞”）弦（斜边）：邻边比斜边．


例题精讲

【例1】在△中，，，，则的值是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例2】已知在△中，，，，那么的长为（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．

【例3】如图，在△中，，，垂足为，若，
，那么的值为 ．
【参考答案】．






2 特殊角的三角比
知识梳理

1．特殊角的锐角三角比：
30° 45° 60°


1
1














【记忆技巧】
1．图形推导法





2．表格记忆法
30° 45° 60°


1
1











例题精讲

【例1】已知在△中，，，那么 度．
【参考答案】60．

【例2】下列计算中错误的是（ ）

．； ．；
．； ．．
【参考答案】．

【例3】
计算： ．
【参考答案】
解：原式

．



3 解直角三角形

知识梳理

1．在直角三角形中，由已知元素求未知元的过程叫做解直角三角形．
2．在△中，90°，则它的三条边和两个锐角这五个元素间有以下关系：
（1）锐角之间的关系：90°；
（2）三边之间的关系：；

（3）边角之间的关系：；；；．
3．解直角三角形的类型与解法：
类型一︰已知一边一角（角为两锐角之一）

已知条件 解法步骤
一 边 和 一 角 斜边和一锐角 斜边和一个锐角 1．； 2．； 3．．
一直角边和一锐角 一条直角边 和一个锐角 1．；2．；3．．
一条直角边 和一个锐角 1．；2．；3．．
类型二︰已知两边（两直角边或一条直角边与斜边）


已知条件 解法步骤
两 边 斜边和直角边 1．；2．利用，求；3．．
两条直角边和 1．2．利用，求；3．．



例题精讲

【题型一】
【例1】
如图，在等腰梯形中，∥，，，，则梯形的面积是 ．
【参考答案】6．

【例2】
已知：如图，在△中，，，．求的长．
【参考答案】
解：过点作于．
在△中，，，
设，则．
在△中，，，，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．

【例3】
如图，△中，，是边上的中线，，．
（1）求△的面积；
（2）求的值．
【参考答案】
解：（1）过点作，垂足为点，交于点，则为边中线．
∵，，
∴．
在△中，，,
∴．
（2）∵是边上的中线,为边中线,
∴点是△的重心．
∴．
∴．


【例4】
已知如图，在平行四边形中，，，，垂足为，．求：

（1）的长；
（2）的正弦值．
【解题指导】转换为求比较简单．
【参考答案】
解：（1）∵，
∴
在△中，，，
∴．
∴．
∵四边形为平行四边形 ，

∴∥．
∴，．
∴．
（2）∵，，
∴．
∴．
∵∥，
∴．
∴．
∴．



【题型二】
【例1】如图所示，△的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ）
． ； ．；
．； ．．
【解题指导】需总结网格中求锐角三角比的各种情况．
【参考答案】．

【题型三】
【例1】
如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把△
沿着过点的某条直线折叠，使点落在轴负半轴上的点处，折痕与轴
交于点．
（1）试求点、、的坐标；
（2）求的值．
【解题指导】本题的难点是需由翻折判断出为的角平分线．
【参考答案】
解：（1）∵直线与轴交于点，与轴交于点,

∴（4，0），（0，3）．
∴,,．
由翻折得：，，．
∴（0，－2）．
设点（，0），则．
则在△中，，，．
∴．
解得．
∴（，0）．
（2）∵,
∴==．
∵,
∴．
∴=．









【例2】
如图， △中，，，，以为圆心，4为半径作圆弧交边于点，
交于点．
（1）求的长；
（2）联结，求的正切值．
【解题指导】本题的角不在直角三角形中,需做垂直构造直角三角形.
【参考答案】
解：（1）联结．
∵以为圆心，4为半径作圆弧交边于点，交于点，
∴．
∵在△中，，,,
∴．
（2）过点作⊥垂足为．
∵，
∴∥．
∴．
∵,，
∴．
∴．
∴，．
∴．
∴．

过关演练

一、选择题
1. 若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于 （ ）
A．60°或120° B．30°或150° C． 150° D．30°[来源:学科网ZXXK]
2. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为 （ ）
A. 30° B. 45° C. 36° D. 72°
3．等腰三角形一个角等于70?，那么它的底角是 ( ）
A、70? B、55? C、70?或55? D、60?[来源:学+科+网Z+X+X+K]
4．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，① AD⊥BC； ② BD=DC； ③∠B = ∠C； ④∠BAD = ∠CAD则下列结论正确的个数是 （ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
5. 等腰三角形一个外角等于140?，那么它的底角是 （ ）
A、40? B、100? C、70? D、70?或40?
6．已知一个Rt△的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是 （ 　　）
A、100 B、28 C、 28或100 D、56
[来源:学_科_网][来源:学,科,网]
二、填空题
7. 已知等腰△ABC的周长为20，若设腰长为x，则x的取值范围是
8. 等腰三角形的周长为14，其中一边长为6，则另两边长分别为 。
9. 如图，AB=AC=CD，AD=BD，图中共有 个等腰三角形，∠B=∠C=

第9题 第14题 第15题
10. 等腰三角形中，∠A=80?，则∠B= ；
11、等腰三角形的底角度数是顶角度数的两倍，那么它的底角度数为 .
12. 在△ABC中，∠A=30?，当∠B= 时，△ABC是等腰三角形。
13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20?，则其底角为 。
14. 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N是AB、CD的中点，∠ADC+∠BCD=2700，AB=14,BC=6，则MN= 。
15. 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为AC边上的中点，BC=14，AD=12，。则 。
[来源:学科网]
三、解答题
14. 如图，在△ABC中，AB=9cm, BC=6cm, ∠CAB和∠BCA的角平分线交于点O，点D在AB上，且AD=OD，DO的延长线交BC于点E，试求△BDE的周长。





15．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AD∥BC，∠CBE=∠ABE，求证：DE=2AB




参考答案
一、
1. B 2. C 3. C 4.A 5. D 6. C
二、
7.
8. 4、4或6、2
9．3 36 ?
10. 80 ?或20 ?
11. 72 ?
12. 30 ?或75 ?
13. 55 ?
14．4
15.
三、
15. 15 cm
16. 分析：欲证DE=2AB，则可寻DE的一半，再让其与AB相等，取DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，可证得△AFD，△ABF均为等腰三角形，由此结论得证．
证明：DE的中点F，连AF，则AF=FD=DE，所以∠DAF=∠ADF，又因为AD∥BC，所以∠CBE=∠ADF，又因为∠CBE=∠ABE，所以∠ABF=∠AFB，所以AF=AB，即DE=2AB．
评析：本题是有直角、无中点的情况，这时要取直角三角形的斜边上的中点，再连结该点与直角顶点，然后用性质来解决问题．




PAGE