4 解直角三角形的应用
知识梳理
1．水平线：水平面上的直线以及和水平面平行的直线.
2．铅垂线：垂直于水平面的直线，我们通常称为铅垂线.
3．在测量时，如图，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角.
4．如图，坡面的铅垂高度()和水平宽度()的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作，即.
坡度通常写成的形式，如1︰1.5．
5．坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作.
坡度与坡角之间的关系: .
知识延伸※
1．方向角：以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向，旋转到目标的方向线所成的小于
90°的角，通常表达成北（南）偏东（西）* 度.若正好为45°，则表示为西（东）南（北）方向.
2．方位角：从标准方向的北端起，顺时针方向到直线的水平角称为该直线的方位角.方位角的取值范围
为.
例题精讲
【题型一·仰角、俯角】
【例1】如图，下列角中为俯角的是（ ）
．∠1； ．∠2；
．∠3； ．∠4．
【参考答案】．
【例2】
已知：如图，九年级某班同学要测量校园内旗杆的高度，在地面的点处用测角器测得旗杆顶点的仰角，再沿直线向着旗杆方向行走10米到点处，在点又用测角器测得旗杆顶点
的仰角．[已知测角器的高度为1.6米，求旗杆的高度（结果保留根号）．[来源:Z|xx|k.Com]
【参考答案】
解∶根据题意，设米．
在△中，，．
∴米．
在△中，，，
∴米．
由题意，米．
解得．
∴米．
∴米．
答：旗杆的高度是米．
【例3】
如图，小杰在高层楼点处，测得多层楼最高点的俯角为30°，小杰从高层楼处乘电梯往下到达处，又测得多层楼最低点的俯角为10°，高层楼与多层楼之间的距离为．已知米，求多层楼的高度．（结果精确到1米）（参考数据∶，，，，）
【参考答案】
解：过点作，垂足为．
由题意，得：，米，， ．
在△中，，,米
∴米．
∵米，
∴米．
在△中，，,米，
∴米．
∴米．
答：多层楼的高度约18米．
【题型二·方向角】
【例1】如图，甲、乙两船同时从港口出发，其中甲船沿北偏西30°方向航行，乙船沿南偏西70°方向航行，已知两船的航行速度相同，如果1小时后甲、乙两船分别到达点、处，那么点位于点的（ ）
．南偏西40°； ．南偏西30°；
．南偏西20°； ．南偏西10°．
【参考答案】．
【例2】
一艘轮船自西向东航行，在处测得东偏北21.3°方向有一座小岛，继续向东航行80海里到达处，测得小岛此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛最近？（参考数据∶，，，）
【参考答案】
解∶过点作⊥直线，垂足为点．
此时轮船离小岛最近，即为所求．
由题意可知∶，海里，，
设海里．
在△中，，，海里，
∴海里．
在△中，，，海里，
∴，即．
解得∶，即海里．
答∶轮船继续向东航行20海里，距离小岛最近．
【例3】
据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返航.已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10∶00巡逻船在处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的处有一个不明物体正在向正东方向移动，10∶15巡逻船在处又测得该物体位于北偏东18.4°方向的处，若巡逻船的速度是每小时36海里.
（1）试在图中画出点的大概位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向的速度也不变，试问什么时候该物体与我巡逻船之间的距离最近？（参考数据∶，，，，，）
【参考答案】
解∶（1）作于点，交延长线于点， 交延长线于点，
由题意，，，海里，
在△中，，，海里，
∴海里，海里．
∴海里．
又海里，
∴海里，从而海里．
在△中，，．
∴海里，
∴海里，
海里/小时．
∴不明物体移动的速度为12海里/小时．
（2）由题意，不明物体沿移动，我巡逻船沿运动，且∥，
∴两者之间的最近距离为直线与的距离．
设又过了分钟，不明物体移动到点，我巡逻船到达点，这时，
则海里，海里．
∴，解得．
∴到10∶20时，两者之间距离最近．
【总结】关于航海、距离最短等问题应首先弄清方向角的意义，再结合实际抽象出示意图并构造三角形；分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，就需要添加辅助线化不可解的三角形为可解的直角三角形；在解题的过程中，有时还需要设未知数构造方程来求解．
【题型三·坡度、坡角】
【例1】修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例2】如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程
时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是 ．
【参考答案】1︰（或1︰2.4）．
【例3】已知一条斜坡的长度是10米，高度是6米，那么坡角的角度约为 ．
（参考数据∶，）
【正确答案】37°．
【例4】在一次对某水库大坝设计中，李设计师对修建一座长80米的水库大坝提出了以下方案：大坝的横截面为等腰梯形，如图，∥，坝高10米，迎水坡面的坡度1∶，审核组专家看后，从力学的角度对此方案提出了建议，李设计师决定在原方案的基础上，将迎水坡面的
坡度进行修改，修改后的迎水坡面的坡度1∶．
（1）求原方案中此大坝迎水坡的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿方向拓宽2.7
米，求坝底将会沿方向加宽多少米？
【参考答案】
解∶（1）过点作于．
在△中，1∶，，且米．
∴米．
∴米．
（2）如图，延长至点，至点，连接，过点作于．
在△中，1∶，且米，
∴米，米．
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．
∴．
即．
∴．
米．
答：坝底将会沿方向加宽米．
【总结】解决坡角、坡度相关问题时，首先要认真读题，弄清题意，理解好坡角、坡度的实际意义及坡角与坡度的关系；其次从图中确定要解的直角三角形，充分使用坡角、坡度提供的相关数据，正确选择关系式求解．
【题型四·综合应用】
【例1】
如图，某中心广场灯柱被钢缆固定，已知米，且．
（1）求钢缆的长度；
（2）若米，灯的顶端距离处1.6米，且，则灯的顶端距离地面多少米？
【参考答案】
解∶（1）在△中，，
设米，米．
则米．
∵米，
∴，．
∴米．
∴钢缆的长度为米．
（2）过作垂直于交于点，过作垂直于交于点，则，
∵米，米，
由题意有米．
在△中，，，米，
∴米．
∴米．
∴灯的顶端距离地面多少米．
【例2】小楠家附近的公路上通行车辆限速为60千米/小时．小楠家住在距离公路50米的居民楼（如图中的点处），在他家前有一道路指示牌正好挡住公路上的段（即点、、和点、、分别在一直线上），已知∥，，，小楠看见一辆卡车通过处，7秒后他在处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗？请说
明理由．（参考数据∶，）
【参考答案】
解∶同意小楠的结论．
过点作，垂足为，则米．
∵∥，
∴，．
在△中，，，米，
∴米．
在△中，，
∴米．
∴米．
∵千米／小时＞60千米／小时，
∴小楠的结论是正确的．
过关演练
一、填空题
1．（2017?上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝ ．
【答案】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．
易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，
∵△OBC是等边三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，
∵OE＝OC，
∴∠OEC＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，
∴∠OEC＝∠OCE＝30°，
∴∠BCE＝90°，
∴△BEC是直角三角形，
∴cos30°，
∴λ6，
故答案为．
【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
2．（2019?奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是 ．
【答案】解：∵小正方形的面积是25，
∴EB＝5，
∵△ABC≌△DEB，
∴AB＝DE，
∵大正方形的面积为49，
∴AD＝7，
∴DB+DE＝7，
设BD＝x，
则DE＝7﹣x，
在Rt△BDE中：x2+（7﹣x）2＝52，
解得：x1＝4，x2＝3，
当x＝4时，7﹣x＝3，
当x＝3时，7﹣x＝4，
∵α为较小的锐角，
∴BD＝4，DE＝3，
∴tanα，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．
3．（2019?宝山区一模）Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，那么sinB＝ ．
【答案】解：由题意，得
sinB，
故答案为：．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键．
4．（2019?杨浦区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG，则BC长为 4 ．
【答案】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，
∵点G是△ABC的重心，
∵CG＝2，
∴CD＝3，点D为AB的中点，
∴DC＝DB，又DE⊥BC，
∴CE＝BEBC，
∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，
∴∠ACG＝∠CDE，
∵sin∠ACG＝sin∠CDE，
∴CE＝2，
∴BC＝4
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
二．解答题
1．（2019?嘉定区二模）如图已知：△ABC中，AD是边BC上的高、E是边AC的中点，BC＝11，AD＝12，DFGH为边长为4的正方形，其中点F、G、H分别在AD、AB、BC上．
（1）求BD的长度；
（2）求cos∠EDC的值．
【答案】解：（1）∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，
∴GF∥BD，GF＝DF＝4，
∴，
∵AD＝12，
∴AF＝8，
则，
解得：BD＝6；
（2）∵BC＝11，BD＝6，
∴CD＝5，
在直角△ADC中，AC2＝AD2+DC2，
∴AC＝13，
∵E是边AC的中点，
∴ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函数的应用及直角三角形的性质等．
2．（2019?松江区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，BD＝6，sinA，求梯形ABCD的面积．
【答案】解：∵DC∥AB，AB⊥BC，
∴∠C＝∠ABC＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠DBC+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
∵sinA，
∴sinA＝sin∠DBC，
∵BD＝6，
∴，，
∴AB＝9，DC＝4，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC2，
∴梯形ABCD的面积是（4+9）×213．
【点睛】本题考查了梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出DC、BA的长度是解此题的关键．
3．（2019?奉贤区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，对角线AC平分∠BCD，过点D作DE⊥AC，垂足为点E，交边AB的延长线于点F，联结CF．
（1）求腰DC的长；
（2）求∠BCF的余弦值．
【答案】解：（1）∵∠ABC＝90°，BC＝2AB＝8，
∴AB＝4，AC4，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠ACB，
∴∠DAC＝∠DCA，
∴AD＝CD，
∵DE⊥AC，
∴CEAC2，
在Rt△DEC中，∠DEC＝90°，tan∠DCE，
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB，
∴，
∵CE＝2，
∴DE，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC5；
即腰DC的长是5；
（2）设DF与BC相交于点Q，
∵∠FBC＝∠FEC＝90°，∠BQF＝∠EQC，
∴由三角形内角和定理得：∠AFE＝∠ACB，
∵∠FAD＝∠ABC＝90°，
∴△AFD∽△BCA，
∴，
∵AD＝DC＝5，，
∴，
解得：AF＝10，
∵AE＝CE，FE⊥AC，
∴CF＝AF＝10，
在Rt△BCF中，∠CBF＝90°，cos∠BCF．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
4．（2019?虹口区一模）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．
（1）如果cos∠DBC，求EF的长；
（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范围；
（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．
【答案】解：（1）将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，
∴BG⊥EF，BG＝AB＝6，
cos∠DBC，则：BF＝9，
S△BEFBF?ABEF?BG，即：9×6＝6×EF，
则EF＝9；
（2）过点A作AH⊥BG交于点H，连接AG，设：BF＝a，
在Rt△BGF中，cos∠GBF＝cosα，则tanα，sinα，
y①，
tanα，解得：a2＝36+（）2…②，
把②式代入①式整理得：y（x）；
（3）①当GF＝FC时，
FC＝10﹣a＝GF＝asinα，
把②式代入上式并解得：x，
②当CF＝CG时，
同理可得：x；
故：AD的长为或．
【点睛】本题为四边形综合题，基本方法是利用解直角三角形的方法，确定相应线段间的关系，此类题目难度较大．
5．（2019?徐汇区一模）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．
（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；
（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；
（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．
【答案】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，
∵cosα，∴sinα，
过点A作AH⊥BC交于点H，
AH＝AC?sinα＝6＝DF，BH＝2，
如图1，设：FC＝4a，
∴cos∠ACB，则EF＝3a，EC＝5a，
∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，
∴△ADC∽△DCE，
∴AC?CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10?5a，
解得：a＝2或（舍去a＝2），
AD＝HF＝10﹣2﹣4a；
（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，
CD2＝CH2+DH2＝（ACsinα）2+（ACcosα﹣x）2，
即：CD2＝36+（8﹣x）2，
由（1）得：AC?CE＝CD2，
即：yx2x+10（x＞0）…①，
（3）①当DF＝DC时，
∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，
∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，
∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，
即：10x2x+10+x，
解得：x＝6；
②当FC＝DC，
则∠DFC＝∠FDC＝α，
则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，
在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα，
即：5x+8y＝80，
将上式代入①式并解得：x；
③当FC＝FD，
则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，
故：该情况不存在；
故：AD的长为6和．
【点睛】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．
∵DF⊥OC，
∴DL∥OC，
∴∠LDB＝∠C＝∠B
∴BL＝DL，
∵AB＝10，AB：BC＝5：4，
∴BC＝8，OC＝5，
∵BM＝CM＝4，
∴cos∠OCM
∵DL∥OC，
∴
设BD＝x，则CD＝8﹣x，
∴BL＝DLx，CH（8﹣x），OH＝OC﹣CH＝5（8﹣x），
∵OH∥DL，
∴，
∴；
∴y关于x的函数解析式是
定义域是，
探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，
∴OF＝OD，
∵DF⊥OC，
∴OC垂直平分DF，FO＝OL，
∴y＝5x，
∴，
解得：x，
∴BD．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
29．（2019?虹口区二模）如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，点P为射线BC上一动点，以P为圆心，BP长为半径作⊙P，交射线BC于点Q，联结BD、AQ相交于点G，⊙P与线段BD、AQ分别相交于点E、F．
（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半径；
（2）设BP＝x，FQ＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结PE、PF，如果四边形EGFP是梯形，求BE的长．
【答案】解：（1）∵BE＝FQ，
∴∠BPE＝∠FPQ，
∵PE＝PB，
∴∠EBP（180°﹣∠EPB），
同理∠FQP（180°﹣∠FPQ），
∴∠EBP＝∠FQP，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠EBP，
∴∠FQP＝∠ADB，
∴tan∠FQP＝tan∠ADB，
设⊙P的半径为r，则tan∠FQP，
∴，
解得：r，
∴⊙P的半径为；
（2）过点P作PM⊥FQ，垂足为点M，如图1所示：
在Rt△ABQ中，cos∠AQB，
在Rt△PQM中，QM＝PQcos∠AQB，
∵PM⊥FQ，PF＝PQ，
∴FQ＝2QM，
∴，
当圆与D点相交时，x最大，作DH⊥BC于H，如图2所示：
则PD＝PB＝x，DH＝AB＝4，BH＝AD＝3，
则PH＝BP﹣BH＝x﹣3，
在Rt△PDH中，由勾股定理得：42+（x﹣3）2＝x2，
解得：x，
∴x的取值范围为：；
（3）设BP＝x，分两种情况：
①EP∥AQ时，
∴∠BEP＝∠BGQ，
∵PB＝PE，
∴∠PBE＝∠BEP，
∴∠BGQ＝∠PBE，
∴QG＝QB＝2x，
同理：AG＝AD＝3，
在Rt△ABQ中，由勾股定理得：42+（2x）2＝（3+2x）2，
解得：x，
∴QG＝QB＝2x，
∵EP∥AQ，PB＝PQ，
∴BE＝EG，
∵AD∥BC，
∴，即，
解得：BG，
∴BEBG；
②PF∥BD时，同①得：BG＝BQ＝2x，DG＝AD＝3，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：42+32＝（3+2x）2，
解得：x＝1或x＝﹣4（舍去），
∴BQ＝2，
∴BP＝1，
作PN⊥BG于N，则BE＝2BN，如图3所示：
∵AD∥BC，
∴∠PBN＝∠ADB，
∴cos∠PBN＝cos∠ADB，即，
∴BN，
∴BE＝2BN；
综上所述，或．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、三角函数、垂径定理、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理得出方程是解题关键．
30．（2019?松江区二模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC，BC＝16．点O在边BC上，以O为圆心，OB为半径的弧经过点A．P是弧AB上的一个动点．
（1）求半径OB的长；
（2）如果点P是弧AB的中点，联结PC，求∠PCB的正切值；
（3）如果BA平分∠PBC，延长BP、CA交于点D，求线段DP的长．
【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC，BC＝16，
∴AB12，
如图1，过O作OH⊥AB于H，
则BHAB＝6，
∵∠BHO＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BHO∽△BCA，
∴，
∴，
∴OB＝9；
（2）如图2，连接OP交AB于H，过P作PE⊥BC于E，
∵点P是弧AB的中点，
∴OP⊥AB，AH＝BHAB＝6，
在Rt△BHO中，OH3，
在△POE与△BOH中，，
∴△POE≌△BOH（AAS），
∴PE＝HB＝6，OE＝OH＝3，
∴CE＝BC﹣OB+OE＝10，
∴∠PCB的正切值；
（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，
∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，
∴AE＝AC＝4，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，∠D＝∠D，
∴△ADE∽△BDC，
∴，
设DE＝x，
∴，
∴AD，
在Rt△ACB与Rt△AEB中，，
∴Rt△ACB≌Rt△AEB（HL），
∴BE＝BC＝16，
∵CD2+BC2＝BD2，
∴（4）2+162＝（16+x）2，
解得：x，
∴AD，BD＝16，
∴CD，
∴OB＝过O作OF⊥PB交PB于F，
则△OBF∽△DBC，
∴，
∴，
∴BF＝7，
∴PB＝2BF＝14，
∴PD＝BD﹣BP．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
31．（2019?长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P在边AC上（点P与点A不重合），以点P为圆心，PA为半径作⊙P交边AB于另一点D，ED⊥DP，交边BC于点E．
（1）求证：BE＝DE；
（2）若BE＝x，AD＝y，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（3）延长ED交CA的延长线于点F，联结BP，若△BDP与△DAF相似，求线段AD的长．
【答案】（1）证明：∵ED⊥DP，
∴∠EDP＝90°．
∴∠BDE+∠PDA＝90°．
又∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠PAD＝90°．
∵PD＝PA，
∴∠PDA＝∠PAD．
∴∠BDE＝∠B．
∴BE＝DE．
（2）∵AD＝y，BD＝BA﹣AD＝5﹣y．
过点E作EH⊥BD垂足为点H，由（1）知BE＝DE，
∴．
在Rt△EHB中，∠EHB＝90°，
∴．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．
∴AB＝5．
∴．
∴，
∴．
（3）设PD＝a，则，
在等腰△PDA中，，易得
在Rt△PDF中，∠PDF＝90°，．
∴，．
若△BDP∽△DAF又∠BDP＝∠DAF
①当∠DBP＝∠ADF时，即，
解得a＝3，此时．
②当∠DBP＝∠F时，即，
解得，此时．
综上所述，若△BDP∽△DAF，线段AD的长为或．
【点睛】此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质与判定以及勾股定理等知识，利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键．
32．（2019?宝山区二模）如图已知：AB是圆O的直径，AB＝10，点C为圆O上异于点A、B的一点，点M为弦BC的中点．
（1）如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；
（2）如果AM⊥OC于点E，求∠ABC的正弦值；
（3）如果AB：BC＝5：4，D为BC上一动点，过D作DF⊥OC，交OC于点H，与射线BO交于圆内点F，请完成下列探究．
探究一：设BD＝x，FO＝y，求y关于x的函数解析式及其定义域．
探究二：如果点D在以O为圆心，OF为半径的圆上，写出此时BD的长度．
【答案】解：（1）如图1，过点O作ON∥BC交AM于点N，
∵点O是AB的中点，
∴点N是AM的中点，
∴ONBM，
∵点M为弦BC的中点，
∴BM＝CM，
∴ONCM，
∵ON∥BC，
∴；
（2）如图1，连接OM，
∵点M为弦BC的中点，
∴OM⊥BC，
∵AM⊥OC于点E，
∴∴∠OME+∠CME＝∠CME+∠C＝90°，
∴∠OME＝∠MCE，
∴△OME∽△MCE，
∴ME2＝OE?CE，
设OE＝x，则CE＝2x，MEx，
在Rt△MCE中，CMx，
∴sin∠ECM
∴sin∠ABC；
（3）探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，
∵DF⊥OC，
∴DL∥OC，
∴∠LDB＝∠C＝∠B，
∴BL＝DL，
∵AB＝10，AB：BC＝5：4，
设BD＝x，则CD＝8﹣x，BL＝DLx，CH，OH＝OC﹣CH＝5（8﹣x），
∵OH∥DL，
∴，
∴，
∴y（其中）；
探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，
∴OF＝OD，
∵DF⊥OC，
∴OC垂直平分DF，FO＝OL，
∴y＝5x，
∴，
解得：x，
∴BD．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
第六章 四边形
考点解读
模块 考点 水平层级
四边形 多边形及其有关概念，多边形外角和定理 Ⅱ
多边形内角和定理 Ⅲ
平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的概念 Ⅱ
平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）的性质、判定 Ⅲ
梯形的有关概念 Ⅱ
等腰梯形的性质和判定 Ⅲ
三角形中位线定理和梯形中位线定理 Ⅲ
备注 理解性理解水平（记为Ⅱ）
探究性理解水平(记为Ⅲ)
1 多边形
知识梳理
1．在平面内，不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形，叫做多边形．
由条线段组成的多边形就称为边形（）．
组成多边形的每一条线段叫做多边形的边．
相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点．
多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角．
联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线．
对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧，那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形．
2．多边形内角和定理： 边形的内角和等于（）．
3．由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角．
对于多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和，叫做多边形的外角和．
多边形的外角和等于360°．
例题精讲
【例1】若正边形的内角为140°，边数为 ．
【参考答案】9．
【例2】如图，为正五边形的一条对角线，则 ．
【参考答案】36°．
【例3】一个正多边形的每个外角都是36°，则这个正多边形的边数是 ．
【参考答案】10．
【例4】
一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数是 ．
【参考答案】4．
【例5】
从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形内角和为 度．
【参考答案】3240．
2 平行四边形（包括矩形、菱形、正方形）
知识梳理
（一）平行四边形
1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2．平行四边形的性质定理1：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等．
简述为：平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质定理2：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等．
简述为：平行四边形的对角相等．
夹在两条平行线间的平行线段相等．
平行四边形的性质定理3：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分．
简述为：平行四边形的两条对角线互相平分.
平行四边形的性质定理4：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点．
3．平行四边形的判定定理1：如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理2：如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
平行四边形的判定定理3：如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
平行四边形的判定定理4：如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形．
简述为：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
【说明】
1．平行四边形的判定还可以用平行四边形的定义：如果一个四边形的两组对边分别平行，则这个四边
形是平行四边形．
（二）特殊的平行四边形
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角．
矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等．
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
正方形的性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角.
3．矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
菱形判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形．
菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【说明】
1．菱形、矩形、正方形具有平行四边形的所有性质．
2．菱形和正方形的面积还可用对角线乘积除以2求得．
【总结】
【总结】
1．平行四边形满足的性质：①、②、④、⑤、⑧、?．
2．菱形满足的性质：①、②、④、⑤、⑥、⑧、⑨、?、?、?．
3．矩形满足的性质：①、②、③、④、⑤、⑦、⑧、⑩、?、?、?．
例题精讲
【题型一·平行四边形】
【例1】四边形中，对角线交于点．给出下列四组条件：
①∥，∥；
②，；
③，；
④∥，．
其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有（ ）
．1组； ．2组； ．3组； ．4组．
【参考答案】．
【例2】在四边形中，∥，要使四边形是平行四边形，还需
添加一个条件，这个条件可以是 ．（只要填写一种情况）
【参考答案】（答案不唯一）．
【例3】
已知：平行四边形中，点为边的中点，点为边的中点，联结、．
（1）求证：∥；
（2）过点作，垂足为，联结．求证：△是等腰三角形．
【参考答案】
证明：（1）∵四边形是平行四边形，
∴∥且．
∵点、分别是边、的中点，
∴，．
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∴∥．
（2）将与的交点记为．
∵⊥，
∴．
∵∥，
∴．即．
∵∥，
∴．
∵点是边的中点，
∴．
∴．
∴直线是线段的垂直平分线．
∴．
即△是等腰三角形．
【题型二·菱形】
【例1】下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是（ ）
．四边相等； ．对角线相等；
．对角线平分一组对角； ．对角线互相平分且垂直．
【参考答案】．
【例2】如果平行四边形的对角线相交于点，那么在下列条件中，能
判断平行四边形为菱形的是（ ）
．； ．；
．； ．．
【参考答案】．
【例3】在四边形中，如果∥，，要使四边形是菱
形，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．
【参考答案】（答案不唯一）．
【例4】已知菱形的面积为96，两条对角线之比为3︰4，则菱形的周长为
．
【参考答案】40．
【例5】
如图，在菱形中，于，且∶3∶2．
（1）试求的值；
（2）若菱形的面积为100，试求其两条对角线与的长．
【参考答案】
解：（1）令 ，，
由四边形为菱形得．
在△中，，，．
∴．
∴．
（2）∵,
又∵，
∴
解得．
又在△中，，，，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴．
【例6】
如图（1），在菱形中，，，垂足为.
（1）求证：△≌△；
（2）若，求证：；
（3）若对角线与、交于点、，且（如图（2））.求证：.
图（1） 图（2）
【参考答案】
解：（1）∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴△≌△.
（2）∵四边形是菱形，
∴∥，
又∵，
∴，
∴,
又，
∴，
∵,
∴，
∴.
（3）∵△≌△，
∴，，
∴，
∴△≌△.
∴，
又∵, ，
∴，
∴,
∴,
∴.
【例7】已知：如图，在梯形中，∥，点、在边上，∥，∥，且四边形是平行四边形．[来源:学+科+网Z+X+X+K]
（1）试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）现有三个论断：
①；
②90°；
③．
请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形．
【参考答案】
（1）解：线段与的长度之间的数量为：．
证明：∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形．
∴．
同理可证，四边形是平行四边形．
∴．
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：选择论断②作为条件．
证明：∵∥，
∴．
∵，
∴．
即得．
又∵，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
【题型三】矩形
【例1】下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）
．对角线互相平分； ．对角线互相垂直；
．对角线互相平分且垂直； ．对角线互相平分且相等．
【参考答案】．
【例2】我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中真命题是（ ）
．有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形；
．有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形；
．有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形；
．有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形．
【参考答案】．
【例3】四边形的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是
（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例4】
已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分、平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．
【参考答案】
证明：（1）∵平分、平分
∴,
∵∥，
∴，
∴，
∴,,
∴．
（2）∵点为的中点，
∴，又,
∴四边形是平行四边形
∵平分、平分,
∴,
∴
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴平行四边形是矩形．
【题型四】正方形
【例1】在下列命题中，真命题是（ ）
．两条对角线相等的四边形是矩形；
．两条对角线互相垂直的四边形是菱形；
．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形．
【参考答案】．
【例2】已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
．； ．； ．； ．.
【参考答案】．
【例3】下列命题中，错误的是 （ ）
．有一个角是直角的平行四边形是正方形； ．对角线相等的菱形是正方形；
．对角线互相垂直的矩形是正方形； ．一组邻边相等的矩形是正方形．
【参考答案】．
【例4】
已知：如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且
是的中点，联结，交边于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，求证：四边形是正方形．
【参考答案】
证明：（1）∵，是的中点，，
∴．
即得．
又∵∥，，
∴，．
∴．
∴∥．
又∵，
∴ 四边形是平行四边形．
∴．
∵，
∴．
又∵∥，
∴四边形是平行四边形．
（2）∵四边形是平行四边形，
∴∥，．
又∵∥，，
∴∥，．
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是菱形．
∴．
由，
即得．
∴．
∴．
∴四边形是正方形．
过关演练
一、选择题
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论正确的是 （ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
2. 在平行四边形ABCD中，下列条件中不能判定四边形ABCD是菱形的是 （ ）
A. AB=BC B. AC=BD C. ∠ABD=∠CBD D. AC⊥BD
3. 如果要证明平行四边形ABCD是正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明 （ ）
A. AB=AD，且AC⊥BD B. AB=AD，且AC=BD [来源:学,科,网]
C. ∠A=∠B，且AC⊥BD D. AC和BD互相垂直平分
4. 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论不正确的是 （ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
5. 四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是 （ ）[来源:学_科_网]
A．AB=CD B．AB=BC C．AC=BD D．AD=BC
6. 如果平行四边形ABCD对角线相交于点O，在下列条件中，能判断平行四边形ABCD为菱形的是 （ ）
A. ∠OAB=∠OBA B. ∠OAB=∠OBC
C. ∠OA B =∠OCD D. ∠OA B =∠OAD
7. 下列命题中，是假命题的是 （ ）
A．两腰相等的梯形是等腰梯形 B．对角线相等的梯形是等腰梯形
C．两个底角相等的梯形是等腰梯形
D．平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形[来源:学科网ZXXK]
8. 在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么依次联结四边形ABCD各边中点所得的四边形一定是 （ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
二、填空题
9. 平行四边形ABCD的面积为12cm2，AB边上的高为3cm，则AB= cm。
10. 已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为12cm，则另一条对角线长为 cm。
11. 在梯形ABCD中，AD//BC，∠C=36°，∠B=54°，M、N分别是AD、BC的中点，若BC=10，AD=6，则MN的长为 。
12. 在平行四边形ABCD中，AB=2cm，BC=3cm，则它的周长是 cm。
13. 如果矩形的周长是20cm，相邻两边长之比为2：3，那么对角线长为 cm。
14. 若梯形的两底之比为2：5，中位线的长为14cm，则较大底的长为 cm．
15. 直角梯形的一个底角为60°，上、下底的长分别是2和3，那么这个梯形的周长 。
三、解答题
16. 如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EG=ED，延长CE到点F，使得EF=EC。
求证：AF//BG
参考答案
1. C 2. B 3. B 4.D 5. C 6. D 7. C 8. B
9． 4
10. 16
11. 2 提示：延长BA、CD交于点O，由已知得∠O=90°
12. 10
13.
14．20
15.
16. 提示：证明△CDE≌△FGE,得到CD=FG, CD//FG
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第六章 四边形
3 梯形
知识梳理
1．一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
在梯形中，平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）．
在梯形中，不平行的两边叫做梯形的腰．
2．有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
3．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．
等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等．
等腰梯形性质定理2：等腰梯形两条对角线相等．
等腰梯形判定定理1：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
等腰梯形判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形．
例题精讲
【题型一·梯形】
【例1】下列命题中，错误的是（ ）
．一组对边平行的四边形是梯形；
．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
．对角线相等的平行四边形是矩形；
．一组邻边相等的平行四边形是菱形．
【参考答案】．
【例2】梯形中，∥，如果，那么 度．
【参考答案】30．
【例3】
已知：如图，在△中，，是直角边的垂直平分线，，连接．
求证：（1）四边形是梯形；
（2）．
【参考答案】
（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴∥．
∵与不平行，
∴四边形是梯形．
（2） 延长交于．
∵，，，
∴△≌△．
∴．
∵，
∴∥．
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
【例4】
已知：如图7，在梯形中，平分，若以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，联结、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点是的中点，请判断线段和的位置关系，并证明你的结论．
【参考答案】
解：（1）∵平分，
∴．
由题意，．
在△与△中，
．
∴△≌△．
∴．
∵四边形为梯形．
∴∥．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形是菱形．
（2）线段和的位置关系是垂直．
∵点是的中点，
∴．
∴．
∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∴∥．
∵四边形是菱形，
∴⊥．
∴⊥．
【题型二·直角梯形】
【例1】已知直角梯形的一腰长为18，另一腰长是9，则较长的腰与底所成的角为（ ）
．120°和60°； ．45°和135°； ．30°和150°； ．90°．
【参考答案】．
【例2】
（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分8分）
已知：如图，在梯形中，∥，，，点是的中点，是上的点，联结、、．
（1）求证：；
（2）若点是的中点，联结交于点，求证：四边形是菱形．
【参考答案】
（1）证明：∵点是的中点，
∴．
又∵，
∴．
∵∥，
∴四边形为平行四边形．
∴∥，
∴即．
（2）证明：∵点是的中点，是上的点，
∴∥且．
又∵∥，
∴四边形为平行四边形．
∵平行且等于，
∴ 四边形是平行四边形．
又∵，
∴ 四边形是矩形．
∴且
∴，
∴四边形是菱形
【题型三·等腰梯形】
【例1】在下列命题中，属于假命题的是（ ）
．对角线相等的梯形是等腰梯形；
．两腰相等的梯形是等腰梯形；
．底角相等的梯形是等腰梯形；
．等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形是等腰梯形．
【参考答案】．
【例2】如图，在等腰梯形中，∥，，，，则梯形的面积是__________．
【参考答案】6．
【例3】已知在等腰梯形中，∥，，，那么 ．
【参考答案】．
【例4】如图：已知，四边形是平行四边形，
∥，交的延长线于点，交延长线于点，
求证：四边形是等腰梯形．
【参考答案】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥，∥，．
∴∥；
又∵∥，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵、交于点，
∴线段与线段不平行．
∴四边形是等腰梯形．
【例5】已知：如图，在梯形 中，∥，，点在的延长线上，，．
（1）求证：；
（2）当 平分时，求证：△是等腰直角三角形．
【参考答案】
证明：（1）联结，
∵梯形中，//，
∴．
∵，，
∴△≌△．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵平分，
∴ ．
∵梯形中，//，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∴△是等腰直角三角形．
4 三角形中位线定理和梯形中位线定理
知识梳理
1．联接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【说明】
三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分为4个全等的三角形．
3．联接梯形两腰的中点的线段叫做梯形的中位线．
4．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
【说明】
三角形、梯形中位线定理中的结论有两个，一个表明位置关系，另一个表明数量关系．运用该定理
时，可根据需要选用结论．
例题精讲
【例1】已知梯形的上底长是，中位线长是，那么下底长是 ．
【参考答案】9．
【例2】等腰梯形的腰长为，它的周长是，则它的中位线长为 ．
【参考答案】6．
【例3】顺次连结菱形的各边中点所得到的四边形是（ ）
．平行四边形； ．菱形； ．矩形； ．正方形．
【参考答案】．
【例4】在四边形中，点、、、分别是边、、、的
中点，如果四边形为菱形，那么四边形可能是 （只要写一种）．
【参考答案】矩形．
【例5】我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫
做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于
．
【参考答案】．
过关演练
一、选择题
1、（2019?杨浦区三模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠BAD＝90°，BO＝DO，那么添加下列一个条件后，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠ABC＝90° B．∠BCD＝90° C．AB＝CD D．AB∥CD
【答案】解：A、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∵∠ABC＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
B、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，∵∠BCD＝90°，
∴AO＝OB＝OD＝OC，
即对角线平分且相等，
∴四边形ABCD为矩形，正确；
C、∵∠BAD＝90°，BO＝DO，AB＝CD，
无法得出△ABO≌△DCO，
故无法得出四边形ABCD是平行四边形，
进而无法得出四边形ABCD是矩形，错误；
D、∵AB||CD，∠BAD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵BO＝DO，
∴OA＝OB＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠BAO＝∠ODC，
∵∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB≌△DOC，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴?ABCD是矩形，正确；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理．
2、（2019?浦东新区二模）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，AO＝CO，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ）
A．BO＝DO B．AB＝BC C．AB＝CD D．AB∥CD
【答案】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△ADO与△CBO中，，
∴△ADO≌△CBO（AAS），
∴AD＝CB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC
∴四边形ABCD是菱形；故B正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，
3．（2019?普陀区二模）如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接?ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC⊥BD；②C△ABO＝C△CBO；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．
①∵AC⊥BD，∴新的四边形成为矩形，符合条件；
②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC，BO＝DO．
∵C△ABO＝C△CBO，∴AB＝BC．
根据等腰三角形的性质可知BO⊥AC，∴BD⊥AC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；
③∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CBO＝∠ADO．
∵∠DAO＝∠CBO，∴∠ADO＝∠DAO．
∴AO＝OD．
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；
④∵∠DAO＝∠BAO，BO＝DO，
∴AO⊥BD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，
∴新四边形是矩形．符合条件．
所以①②④符合条件．
故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线的性质．
4．（2019?徐汇区二模）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．BC＝CD D．AB＝BC
【答案】解：A选项：若AB＝CD，∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
B选项：当AD∥BC时，又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝AD可判定四边形ABCD是菱形；
C选项：当BC＝CD时，△ABD≌△BCD（SSS），
∴∠A＝∠C．
二、填空题
1．（2019?奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果小正方形的面积是25，大正方形的面积为49，直角三角形中较小的锐角为α，那么tanα的值是 ．
【答案】解：∵小正方形的面积是25，
∴EB＝5，
∵△ABC≌△DEB，
∴AB＝DE，
∵大正方形的面积为49，
∴AD＝7，
∴DB+DE＝7，
设BD＝x，
则DE＝7﹣x，
在Rt△BDE中：x2+（7﹣x）2＝52，
解得：x1＝4，x2＝3，
当x＝4时，7﹣x＝3，
当x＝3时，7﹣x＝4，
∵α为较小的锐角，
∴BD＝4，DE＝3，
∴tanα，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用．
2．（2019?崇明区一模）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，G为△ABC的重心，那么CG＝ ．
【答案】解：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB10，
∵G为△ABC的重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴CDAB＝5，
∵G为△ABC的重心，
∴CGCD，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
3．（2019?宝山区一模）直角三角形的重心到直角顶点的距离为4cm，那么该直角三角形的斜边长为 12cm ．
【答案】解：由题意得，CG＝4，
∵点G是△ABC的重心，
∴CDCG＝6，CD是△ABC的中线，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴AB＝2CD＝12（cm），
故答案为：12cm．
【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．
4．（2019?杨浦区一模）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，如果点G为重心，那么∠GCB的余切值为 4 ．
【答案】解：作AD⊥BC于D，
则点G在AD上，连接GC，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴CDBC＝4，
由勾股定理得，AD3，
∵G为△ABC的重心，
∴DGAD＝1，
∴cot∠GCB4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
三、解答题
1、（2019?松江区二模）如图，已知?ABCD中，AB＝AC，CO⊥AD，垂足为点O，延长CO、BA交于点E，联结DE．
（1）求证：四边形ACDE是菱形；
（2）联结OB，交AC于点F，如果OF＝OC，求证：2AB2＝BF?BO．
【答案】（1）证明：∵CO⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠AEC+∠B＝90°，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AE＝AC，
∴AE＝AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BE∥CD，AB＝CD＝AE，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∵AE＝AC，
∴四边形AEDC是菱形．
（2）解：连接OB交AC于F．
∵四边形AEDC是菱形，
∴∠AEC＝∠ACE，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF＝∠AFB，
∴∠AFB＝∠AEO，
∵∠ABF＝∠OBE，
∴△BAF∽△BOE，
∴，
∴BA?BE＝BF?BO，
∵BE＝2BA，
∴2AB2＝BF?BO．
【点睛】本题考查菱形的性质和判定，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识属于中考常考题型．
2．（2019?松江区二模）在梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥AB，且AD⊥BD，BD＝6，sinA，求梯形ABCD的面积．
【答案】解：∵DC∥AB，AB⊥BC，
∴∠C＝∠ABC＝90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠DBC+∠ABD＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
∵sinA，
∴sinA＝sin∠DBC，
∵BD＝6，
∴，，
∴AB＝9，DC＝4，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC2，
∴梯形ABCD的面积是（4+9）×213．
【点睛】本题考查了梯形和解直角三角形，能通过解直角三角形求出DC、BA的长度是解此题的关键．
3．（2019?奉贤区二模）已知：如图，正方形ABCD，点E在边AD上，AF⊥BE，垂足为点F，点G在线段BF上，BG＝AF．
（1）求证：CG⊥BE；
（2）如果点E是AD的中点，联结CF，求证：CF＝CB．
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°．
∵AF⊥BE，
∴∠FAB+∠FBA＝90°．
∵∠FBA+∠CBG＝90°，
∴∠FAB＝∠CBG．
又∵AF＝BG，
∴△AFB≌△BGC（SAS）．
∴∠AFB＝∠BGC．
∴∠BGC＝90°，∴CG⊥BE．
（2）∵∠ABF＝∠EBA，∠AFB＝∠BAE＝90°，
∴△AEB∽△FAB．
∴．
∵点E是AD的中点，AD＝AB，
∴．
∵AF＝BG，
∴，即FG＝BG．
∵CG⊥BE，
∴CF＝CB．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．难度中等，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定方法是解题的关键．
4．（2019?金山区二模）已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠CAD＝∠DBC，
∴∠BAD＝∠ABC，
∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC＝BD，COAC，DOBO，
∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，
∵DH⊥CE，垂足为H，
∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∵∠ECO+∠DEH＝90°，
∴∠ECO＝∠EDH，
在△ECO和△FDO中，，
∴△ECO≌△FDO（ASA），
∴OE＝OF．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．
A
B
PAGE
第七章 相似三角形
考点解读
模块 考点 水平层级
图形与几何 相似形的概念，相似比的意义，画图形的放大和缩小 Ⅱ
平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理 Ⅲ
相似三角形的概念 Ⅱ
相似三角形的判定和性质及其应用 Ⅲ
三角形的重心 Ⅰ
向量的有关概念 Ⅱ
向量的表示 Ⅰ
向量的加法和减法、实数与向量相乘、向量的线性运算 Ⅱ
备注 记忆水平（记为Ⅰ）
理解性理解水平（记为Ⅱ）
探究性理解水平(记为Ⅲ)
1 相似形
知识梳理
1．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动．
2．将一个图形放大或缩小后，就得到与它形状相同的图形．
3．形状相同的两个图形叫做相似的图形，即相似形．
【总结】
1．相似图形的大小不一定相同，如果两个相似图形的大小相同，则两个相似形全等，当两个多边形
是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1；
2．对于大小不同的两个相似图形，可以看作是大（小）的图形由小（大）的图形放大（缩小）得到．
4．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．
【注意】
1．理解相似多边形的定义，明确“对应”关系；
2．多边形的相似，要求边数相同，形状相同（对应角相等，对应边的长度成比例）．
例题精讲
【例1】下列各组中的图形，不是相似图形的是（ ）
．同一座城市的两张比例尺不同的地图； ．一个人现在的照片和他十年前的照片；
．两个正方形； ．国旗上的五角星．
【正确答案】．
【例2】下列各组图形中一定是相似形的是 （填序号）．
（1）两个平行四边形一定相似；
（2）两个矩形一定相似；
（3）两个正方形一定相似；
（4）两个菱形一定相似；
（5）两个下底角相等的等腰梯形相似；
（6）有一个内角为80°的两个等腰三角形相似；
（7）有一个内角为100°的两个等腰三角形相似；
（8）等边三角形都相似；
（9）直角三角形都相似；
（10）邻边之比都为2︰1的两个等腰三角形相似．
【正确答案】（3）、（7）、（8）、（10）．
【例3】如图所示，△与△是相似图形，若，，，，试求与．
【正确答案】，．
【例4】如图，在正方形网格上，若使△∽△，则点应在（ ）
．处； ．处；
．处； ．处．
【正确答案】．
【例5】若顶点在格点上的三角形称为格点三角形，请在图中画一个格点三角形与原三角形相似
【正确答案】
【总结】
在“网格”中画出与已知图形相似的图形的方法：首先确定对应边所成的比例数；
其次根据比例数在格点上找出对应边的长度；
最后根据对应角相等，即可作出图形
2 比例线段
知识梳理
1．一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作：（或），其中．
除以所得的商叫做与的比值．如果：的比值等于，那么．
2．两条线段的长度的比叫做两条线段的比．
3．如果（或），那么就说成比例．其中叫做第一比例项，叫做第二比例
项；叫做第三比例项；叫做第四比例项．
4．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简
称比例线段．
【注意】
要注意比例线段的顺序性与单位要统一．
5．如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项．如
（）时，叫做和的比例中项．、、满足：．
【注意】
比例中项的应用一定要注意题目中的表述：比如题目中若出现“线段”或“单位”时，值为正值；
否则，取正、负两个值．
6．比例的基本性质：
（1）如果，那么．
（2）比例线段的比例式中，只要乘积形式不变，的位置可以灵活变化．
若，则、、、、、、．
【思考】判断命题“如果，那么”是真命题还是假命题，为什么？
7．合比性质：如果，那么；
如果，那么；
如果，那么；
如果，那么．
8．等比性质：如果，那么（）；
如果，那么（）．
【注意】
等比性质的存在条件．
9．如果点把线段分割成和（>）两段，其中是和的比例中项，那么称这
种分割为黄金分割．点称为线段的黄金分割点．与的比值称为黄金分割数，它的近似值为．
【注意】
1．一般来说，一条线段的黄金分割点有两个；
2．利用黄金分割时一定是： ．
例题精讲
【例1】比例的基本性质：
若，则下列比例式中不正确的是（ ）
A． B． ． D．
【解题指导】:乘积形式不变．
【正确答案】．
【例2】比例中项：
已知线段＝2cm，＝9cm，那么线段和的比例中项为_________ ．
【解题指导】:．
【正确答案】．
【例3】合比性质：
设2y－3x＝0（y≠0），则＝ ．
【解题指导】:．
【正确答案】．
【例4】等比性质的应用：
（1）若则 ．
【解题指导】:（1）设k法；（2）设．
【正确答案】．
（2）若,且, 则 ； ； ．
【解题指导】: 设k法．
【正确答案】
（3）若, 则．
【解题指导】:等比性质的应用．
【正确答案】．
【例5】黄金分割：
已知线段长为2cm，是的黄金分割点，则较长线段= ；= ．
【解题指导】:．
【正确答案】．
【例6】比例尺：
图纸上画出的某个零件的长是，如果比例尺是，这个零件的实际长是 ．
【解题指导】:设实际长为x,则．
【正确答案】．
3 三角形一边的平行线
知识梳理
1．三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成
比例．
2．三角形一边的平行线性质定理推论：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形
的三边与原三角形的三边对应成比例．
3．三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线
平行于三角形的第三边．
4．三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三
边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
【总结】
三角形一边平行线的定理可以理解为两个基本图形：“”字形与“8”字形．
【注意】在运用判定定理时一定要是两边上的比才能得平行。
5．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例．
【总结】
平行线分线段成比例定理可以理解为基本图形：“井”字形．
6．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在
另一条直线上截得的线段也相等．
例题精讲
一、“A”字型：
【例1】如图,，则 ．
【解题指导】A字型的简单应用。 由得，．
【正确答案】．
【例2】如果梯形两底的比为5：9，其中一腰的长为16cm，那么将这腰从大底向小底方向延伸________cm能与另一腰所在的直线相交．
【解题指导】本题仍是A字型的应用．如图：
【正确答案】．
【例3】在中，分别是上的点，下列比例式中不能判定的是（ ）
． ． ． ．
【解题指导】必须由边上的比得平行．
【正确答案】
【例4】如图，在中，，四边形为内接正方形，，则= ．
【解题指导】因为四边形为正方形，所以可以转化为．
【正确答案】．
【例5】如图，，，则下列式子中成立的是（ ）
．
【解题指导】这类题型首先排除涉及到的的比．
【正确答案】．
【例6】已知：如图，在中，，，若，，，求：四边形的周长．
【解题指导】转化为即：．
【正确答案】．
【例7】在中，是边边上的点，且平分，已知，．求的长．
【解题指导】A字型与角平分线与平行的结合．
【正确答案】．
【例8】如图，相交于，∥，∥，求证：∥．
【解题指导】需找中间比．
【正确答案】．
【例9】如图，在中，，，下列结论正确的是（ ）
【解题指导】需找中间比．
【正确答案】．
【例10】如图，已知点在的边上，且，以为一边作平行四边形，延长、交于点，连接，求证：．
【解题指导】较复杂的找中间比
【正确答案】略
【例11】如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG＝4m，如果小明得身高为1.6m，求B、D之间距离和路灯杆AB的高度．
【解题指导】A字型的应用．
【正确答案】．
【例12】已知：如右图，，与交于点，过点作，交于点。当， 时，求的长．
【解题指导】两个比例式相加．
【正确答案】．
二、“8”字型：
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，为的中点,是的中点,与交于，则= ．
【正确答案】
【例2】如图，中，点分别在和的延长线上, 则 ．
【正确答案】
【例3】如图，梯形中，∥,对角线、交于点,∥交延长线与，求证：
．
【解题指导】需找中间比
【正确答案】略
【例4】己知菱形的边长是3，点在直线上，=1，联结与对角线相交于点，则 的值是 ．
【解题指导】多解问题
【正确答案】
三、“A”与“8”字的综合应用
【例1】如图，梯形中，为上下底中点，交于，交于，连接，求证：．
【解题指导】A字型与8字型的综合应用．
【正确答案】：由：8字型可得由中点可得．
所以，所以．
四、做辅助线构造“A”字构造“8”字
【例1】如图，中，是中线，点在上，且，的延长线交于，求
的值．
【解题指导】需做辅助线：做平行线
【正确答案】：
【例2】已知：如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边BC上，且CF=3BF，EF与BD相交于点G，求的值．
【解题指导】延长即可．
【正确答案】：．
【例3】如图在中，为上的一点，，，交于，则= ．
【解题指导】需做平行线．
【正确答案】．
五、“井”字型：
【例1】如图,,,,则 ．
【正确答案】4
【例2】如图，若,则，这是一个 命题（填“真”或“假”）．
【正确答案】假
【例3】如图，已知：,,，则 ．
【正确答案】7
【例4】如图，已知AD//BE//CF，下列比例式成立的是（ ）
【正确答案】
4 三角形的重心
知识梳理
1．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．
2．三角形重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍．
【相关结论】
【思考】
以上结论如何证明？
例题精讲
【例1】在中，∠＝90°，＝3.6，＝4.8，点为的重心，则点到中点的距离为 ．
【正确答案】1．
【例2】如图在中，是重心，过作∥，= 4，则= ．
【正确答案】6
【例3】如图，点是的重心，交于点，若＝2，那么＝__________．
【正确答案】6
【例4】中，点是重心，∥，+=7.2cm，求．
【正确答案】4.32．
【例5】已知点是的重心，连接、，那么 ．
【正确答案】．
【例6】如图，中，，，平分，是边上的中线，、交于点，则长为_________．
【正确答案】
过关演练
一、选择题
1．（2019?普陀区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①；②；③；④，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，
∵DE∥BC，且DE经过重心G，
∴△ADE∽△ABC，
∴，故①正确；
∴，故③正确；
∵DG∥BF，
∴，故②错误；
∵△ADE∽△ABC，，
∴，
∴，故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．
2．（2019?浦东新区一模）在△ABC与△DEF中，下列四个命题是真命题的个数共有（ ）
①如果∠A＝∠D，，那么△ABC与△DEF相似；
②如果∠A＝∠D，，那么△ABC与△DEF相似；
③如果∠A＝∠D＝90°，，那么△ABC与△DEF相似；
④如果∠A＝∠D＝90°，，那么△ABC与△DEF相似；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】解：①如果∠A＝∠D，，那么△ABC与△DEF相似；故错误；
②如果∠A＝∠D，，那么△ABC与△DEF相似；故正确；
③如果∠A＝∠D＝90°，，那么△ABC与△DEF相似；故正确；
④如果∠A＝∠D＝90°，，那么△ABC与△DEF相似；故正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．
3．（2019?宝山区一模）下列命题中，正确的是（ ）
A．两个直角三角形一定相似
B．两个矩形一定相似
C．两个等边三角形一定相似
D．两个菱形一定相似
【答案】解：两个直角三角形不一定相似，两个矩形不一定相似，两个菱形不一定相似，而两个等边三角形一定相似．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
填空题
1．（2019?虹口区一模）如图，在△ABC中，点G为ABC的重心，过点G作DE∥AC分别交边AB、BC于点D、E，过点D作DF∥BC交AC于点F，如果DF＝4，那么BE的长为 8 ．
【答案】解：连接BG并延长交AC于H，
∵G为ABC的重心，
∴2，
∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴CE＝DF＝4，
∵GE∥CH，
∴△BEG∽△CBH，
∴2，
∴BE＝8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
2．（2018?上海）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
【答案】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，
∵△ABC的面积是6，
∴BC?AH＝6，
∴AH3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴，即，解得x，
即正方形DEFG的边长为．
故答案为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在应用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算相应线段的长．也考查了正方形的性质．
三、解答题
1．（2019?上海）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠E═∠C；
（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．
【答案】（1）证明：如图1中，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠ABC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，
∴∠ADE（∠ABC+∠BAC）＝90°∠C，
∴∠E＝90°﹣（90°∠C）∠C．
（2）解：延长AD交BC于点F．
∵AB＝AE，
∴∠ABE＝∠E，
BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠CBE，
∴AE∥BC，
∴∠AFB＝∠EAD＝90°，，
∵BD：DE＝2：3，
∴cos∠ABC．
（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，
∴∠ABC中必有一个内角为90°
∵∠ABC是锐角，
∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，
∵∠E∠C，
∴∠ABC＝∠E∠C，
∵∠ABC+∠C＝90°，
∴∠ABC＝30°，此时2．
②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，
∴∠EDA＝45°，
∵△ABC与△ADE相似，
∴∠ABC＝45°，此时2．
综上所述，∠ABC＝30°或45°，2或2．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2．（2019?普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，点E在AD的延长线上，∠ACE＝∠BCD，EC2＝ED?EA．
（1）求证：四边形ABCD为梯形；
（2）如果，求证AB2＝ED?BC．
【答案】（1）证明：∵EC2＝ED?EA
∴
而∠E＝∠E
∴△ECA∽△EDC
∴∠EAC＝∠ECD
又∵∠ACE＝∠BCD
∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD
即∠ECD＝∠BCA
∴∠EAC＝∠BCA
∴AE∥BC，
∵AD＜BC，
故四边形ABCD是梯形．
（2）证明：由（1）可知△ECA∽△EDC
∴即得
而由已知可得
∴CD＝AB，即梯形ABCD是等腰梯形
∴∠B＝∠BCD
而∠BCD＝∠EDC
∴∠B＝∠EDC
由（1）知∠BCA＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC
∴
而AB＝CD
∴AB2＝ED?BC
故AB2＝ED?BC得证．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定与性质，通过比例式得出对应线段相等也是证明线段相等的一种方法．
B
D
F
E
G
A
C
PAGE
相似三角形
5 相似三角形的概念
知识梳理
1．如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三条边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．两个三角形是相似三角形也可以表述为“两个三角形相似”、“一个三角形与另一个三角形相似” ．
2．对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似三角形的对应边．
3．相似三角形的对应角相等，对应边成比例.两个相似三角形的对应边的比，叫做这个三角形的相似比（或相似系数）.
【注意】
两个三角形的相似比与表述这两个三角形相似的顺序有关．
4．两三角形相似用相似符号“∽”来表示，读作“相似于”.
例如，在△与△中，若，，，，则△与△相似，其中点与点、点与点、点与点分别是对应点，记作△∽△．
【注意】
用符号表示两个三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应位置上.
思考：用符号表示两个相似三角形相似时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“△”后的相应的位置上.所以 ∽ 就一定意味着点“”与点“”的对应关系么？
若已知“△∽△”或“△相似于△”，除非题目中给出点的对应关系，否则不能够确定点与点、点与点、点与点分别是对应点．
【总结】
全等三角形是相似三角形的特例. 当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形.两个全等三角形一定是相似三角形；两个相似三角形不一定是全等三角形．
例题精讲
【例1】下列各组图形中，一定相似的是（ ）
．两个矩形； ．两个菱形； ．两个正方形； ．两个等腰梯形．
【正确答案】．
【例2】下列四个命题中，假命题是（ ）
．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；
．有一个锐角相等的两个直角三角形相似；
．底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；
．斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
【正确答案】．
6 相似三角形的判定
知识梳理
1．三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．
2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
【总结】
直线截△两边、两边所在的直线，截得的三角形与原三角形△相似.
3．相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两个三角形相似．
相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．
相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似．
直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角 三角形相似.简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似.
【记忆技巧】
类比全等三角形的判定“、”、“”、“”、“”，相似的判定可以对照来理
解记忆.
【注意】
通过相似的判定应明确：相似只是图形的放缩，与位置无关．
知识延伸※
两个三角形中，如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似．
注意：因为三角形的高线可能不在三角形内部，所以高线不具备相关的判定推论．
例题精讲
【例1】如图，在△中，如果与不平行，那么下列条件中，不能判断△∽△的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【正确答案】．
【例2】如图，△在边长为1个单位的方格纸中，它的顶点在小正方形顶点位置，其中点、 、 、也是小正方形的顶点，那么与△相似的是（ ）
．以点、 、 为顶点的三角形；
．以点、 、 为顶点的三角形；
．以点、 、 为顶点的三角形；
．以点、 、 为顶点的三角形．
【正确答案】
【例3】如图，四边形的对角线、相交于点，且将这个三角形分成
①、②、③、④四个三角形，若∶=∶，则下列结论中一定正确的是（ ）
．①和②相似； ．①和③相似； ．①和④相似； ．②和④相似．
【参考答案】．
【例4】如图，已知：在中，,， 是边的中点，分别是边、上的一点，,与的延长线相交于点，
（1）在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对；
（2）联结结，当 时，求的长．
【参考答案】
（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA， 2分
以下证明△AEM∽△BMG
证明: ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，
∴∠A＝∠B=45° 1分
∵∠EMB＝∠EMG＋∠GMB＝∠A＋∠AEM ∠EMG＝45°
∴∠AEM＝∠BMG， 1分
∴△AMF∽△BGM． 2分
（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=4
∴AB= 1分
∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝
∵△AMF∽△BGM ，∴
∴ 2分
∴， 2分
∴ 1分
【例5】
如图8：四边形对角线与相交于点，，．
（1）求证：∽；
（2）点在线段上，若∥，求证：．
【参考答案】
证明：
（1） ∵，，
∴. 2分
又， 2分
∴∽. 2分
（2）由（1）得：∽.
∴. 1分
∵∥，
∴. 1分
∴. 1分
∵，
∴∽. 1分
∴. 1分
∴. 1分
【例6】已知：如图，在△中，，点、分别在边、上，，与相交于点，∠ =∠．
求证：（1）；
（2）．
【答案】证明：（1）∵，
∴ =， 2分
∵=，
∴180?- =180?-，
即 =． 2分
∵，
∴≌． 1分
∴． 1分
（2）∵≌，
∴． 1分
∵ =，=，
∴∽． 2分
∴． 1分
∴． 1分
∵，，
∴．
【例7】如图，△中，点、分别在和上，点是边上一点，且，联结．
（1）求证：；
（2）求证：．
【参考答案】
（1）证明：∵，，
∴△∽△．
∴．
∴．
（2）证明：∵，，
∴∽．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
7 相似三角形的性质
知识梳理
当我们知道两个三角形是相似的，我们能得到什么结论呢？
根据相似三角形的定理，我们可以直接得到相似三角形最基本的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
【思考】 我们一般从哪些角度来讨论一个三角形？
我们一般从角和边两方面出发来讨论三角形，当我们知道边角的对应关系之后，那么相关的对应高、对应中线、对应角平分线的比，分别与相似比有什么关系呢？
【总结】
我们由相似三角形的对应角相等，对应边成比例可以联想到它们对应的特殊线段及周长、面积，这样就形成了对于“对应特殊线段的比”、“周长比”、“面积比”分别与相似比之间的关系进行研究探索的三个问题.整个相似三角形性质的学习内容，就是围绕这些问题展开.
【注意】
“相似比”是揭示相似三角形本质特征与重要性质的一个基本概念，也是有关几何证明与计算中经常运用的一个数值．
2. 我们利用相似三角形的判定和相似三角形的基本性质可以得到：
相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比.
三角形的周长是三边之和，面积可用一边及这边上的高来表示，可见两个相似三角形的周长比、面积比与相似比之间有直接关系：
相似三角形性质定理2 相似三角形的周长之比等于相似比.
相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
【总结】
全等三角形的性质 相似三角形的性质
全等三角形的对应角相等，对应边相等． 全等三角形对应高、对应中线的和对应角平分线都相等 全等三角形的周长相等. 全等三角形的面积相等. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 相似三角形对应高的比、对应中线的和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形的周长之比等于相似比. 相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
例题精讲
【例1】如果两个相似三角形的周长之比是2∶3，其中小三角形一角的角平分线长是6，那么大三角形对应角的角平分线长是 ．
【参考答案】9．
【例2】已知△和△相似，且△的三边长为3、4、5，如果△的周长为6，那么下列不可能是△一边长的是（ ）
．1.5； ．2； ．2.5； ．3．
【参考答案】．
【例3】如图，、、、是△边上的点，且∥∥，，将△分成三个部分，它们的面积比为，那么 ．
【参考答案】1∶∶
【例4】如图，已知在中，边，高，正方形的顶点在边上，顶点分别在边和上，那么这个正方形的边长等于（ ）
．3；
．2.5；
．2；
．1.5.
【参考答案】．
【例5】
将△绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍得△，即如图①，∠，，我们将这种变换记为．如图②，在△中，∠＝90°，将△绕点旋转，作变换得△，如果点、、恰好在同一直线上，那么 ．
【参考答案】．
【例6】已知：如图，点、、分别在、、上，且∥，∥，，四边形的面积比三角形的面积大17．
（1）求证：∥；
（2）求：三角形的面积．
【参考答案】
(1)证明：∵∥
∴ 1分
∵∥ ∴ 1分
∴ 1分
∴∥ 1分
(2) ∵∥ ∴∽ 1分
∴ 1分
由题意设，则； 且
∴ 1分
∴ 1分
∴三角形的面积是25． 1分
8 向量的有关概念
知识梳理
1．规定了方向的线段叫做有向线段．有向线段的方向是从一点到另一点的指向，这时线段的两个端点有顺序，我们把前一点叫做起点，另一点叫做终点，画图时在终点处画上箭头表示它的方向．
【思考】我们知道线段与线段是一样的，那么有向线段与有向线段一样吗？如果不一样，那么它们有什么差别？
2．既有大小、又有方向的量叫做向量．向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）．
【思考】在数学中，时间和速度都是向量吗？
3．向量的表示
（1）向量可以用有向线段表示，有向线段的长度就表示向量的长度，有向线段的方向就表示向量的方向．如果有向线段表示一个向量，通常就直接说向量．这个向量的长度记作，它是一个数量；
（2）向量还可以用一个小写的英文字母在上方加箭头表示，如、、、……．向量的长度记作．
【注意】
（1）用有向线段表示向量时，通常与有向线段的位置无关，我们把有向线段的起点和终点称为它所表示的向量的起点和终点；
（2）两条不同的有向线段分别表示的向量，我们就说是“两个向量”．
例题精讲
【例1】化简： ．
【参考答案】．
【例2】已知非零向量，，，下列条件中，不能判定∥的是（ ）
．； ．；
．∥，∥； ．，．
【参考答案】．
【例3】下列命题正确的是（ ）
．长度相等两个非零向量相等；
．平行向量一定在同一直线上；
．与零向量相等的向量必定是零向量；
．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点．
【参考答案】．
【例4】若是非零向量，则下列等式正确的的是（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例5】下列命题中是假命题的是（ ）
．若，，则； ．；
．若，则∥； ．若，则
【参考答案】．
9 向量的线性运算
知识梳理
1．方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量．
2．方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量．向量的相反向量用表示．
3．方向相同或相反的两个向量叫做平行向量．
【思考】向量与是什么关系？
4．一般地，我们把长度为零的向量叫做零向量，记作．
规定的方向可以是任意的（或者说不确定）；．
5．长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则．
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作，则，．
【注意】
（1）表示一个向量，0表示一个数量，它们是不一样的；
（2）单位向量有无数个，不同的单位向量是指它们的方向不同．
知识延伸※
1．零向量的方向是任意的，与任何向量都平行．
2．平行向量
（1）平行向量不具有传递性，即根据∥，∥，只有在时才可以得到∥；
（2）方向相同或相反的两个向量叫做平行向量，也可以叫做共线向量；
（3）当向量∥时，直线与直线的位置关系有两种：平行或共线．
例题精讲
【例1】若与的方向相反，且，则的方向与的方向 ．
【参考答案】相同．
【例2】、如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么向量用单位向量表示为（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例3】计算： ．源:学*科*网]
【参考答案】．
【例4】如图，点是△的重心，∥， ，，用、表示 ．
【参考答案】．
【例5】已知△中，是中线，点是△的重心，，
如果用向量表示向量，那么 ．
【参考答案】．
【例6】如图，已知在平行四边形中，向量在向量、方向上的分向量分别是（ ）
．、； ．、；
．、； ．、．
【参考答案】．
【例7】如图，已知点是△边上一点，设，．
（1）当时，= ；（用与表示）
（2）当时， ；（用、与表示）
（3）当时， ．
【参考答案】
（1）；
（2）；
（3）．
【例8】已知：如图，是△的中位线，设，．
（1）求向量、（用向量、表示）；
（2）在图中求作向量在、方向上的分向量．（不要求写作法，
但要指出所作图中表示结论的向量）
【参考答案】
（1）、；
（2）取边中点，、是在、方向上的分向量．
过关演练
一、选择题
1．（2019?长宁区一模）在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠BAC＝90°，AB2＝BD?BC，那么AD⊥BC
B．如果AD⊥BC，AD2＝BD?CD，那么∠BAC＝90°
C．如果AD⊥BC，AB2＝BD?BC，那么∠BAC＝90°
D．如果∠BAC＝90°，AD2＝BD?CD，那么AD⊥BC
【答案】解：A、∵AB2＝BD?BC，
∴，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BDA＝∠BAC＝90°，即AD⊥BC，故A选项说法正确，不符合题意；
B、∵AD2＝BD?CD，
∴，又∠ADC＝∠BDA＝90°，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠BAD＝∠C，
∵∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠BAC＝90°，故B选项说法正确，不符合题意；
C、∵AB2＝BD?BC，
∴，又∠B＝∠B
∴△BAD∽△BCA，
∴∠BAC＝∠BDA＝90°，即AD⊥BC，故C选项说法正确，不符合题意；
D、如果∠BAC＝90°，AD2＝BD?CD，那么AD与BC不一定垂直，故D选项错误，不符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
2．（2019?松江区一模）如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：∵DE∥BC，EF∥CD
∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，
∴，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．
3．（2019?静安区一模）如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且DE与BC不平行．下列条件中，能判定△ADE与△ACB相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：在△ADE与△ACB中，
∵，且∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
故选：A．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
4．（2019?黄浦区一模）如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC上的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：∵EF∥BC，
∴，，，
∴选项A，C，D正确，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2019?闵行区一模）已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．
6．（2019?青浦区一模）如图，已知△ABC，D、E分别在边AB、AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（ ）
A．∠AED＝∠B B．∠BDE+∠C＝180°
C．AD?BC＝AC?DE D．AD?AB＝AE?AC
【答案】解：A、由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
B、由∠BDE+∠C＝180°，∠ADE+∠BDE＝180°，得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB；
C、由AD?BC＝AC?DE，得不能判断△ADE∽△ACB；
D、由AD?AB＝AE?AC得，∠A＝∠A，故能确定△ADE∽△ACB，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
填空题
1．（2019?杨浦区三模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，将矩形绕着点D顺时针旋转，当点C落在对角线BD上的点E处时，点A、B分别落在点G、F处，那么AG：BF：CE＝ 12：13：5 ．
【答案】解：作GH⊥AD于H，CN⊥DE于N，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝12，AB＝CD＝5，∠BCD＝90°，
由旋转得：AD＝DG＝EF＝12，CD＝DE＝5，∠BEF＝90°，
∴BD13，
∴BE＝BD﹣DE＝13﹣5＝8，
∴BF4，
∵∠GDE＝∠CDA＝90°，
∴∠CDB＝∠HDG，sin∠CDB，
∴sin∠HDG，
∴GH，cos∠HDG，
∴DH12，
∴AH＝AD﹣DH，
∴AG，
同理：CN＝CD×sin∠CDB＝5，DN＝CD×coos∠CDB＝5，
∴EN＝DE﹣DN＝5，
∴CE，
∴AG：BF：CE＝12：13：5；
故答案为：12：13：5．
【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、三角函数、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质是解题的关键．
2．（2019?浦东新区二模）在四边形ABCD中，向量、满足，那么线段AB与CD的位置关系是 平行 ．
【答案】解：∵，
∴与是共线向量，
由于与没有公共点，
∴AB∥CD，
故答案为：平行．
【点睛】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型．
3．（2019?浦东新区二模）已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米．
【答案】解：梯形的中位线长（5+9）＝7（厘米）
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．
4．（2019?静安区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F是AB的三等分点，点G是AD的中点，联结EC、FG交于点M．已知，，那么向量 ．（用向量，表示）．
【答案】解：如图，延长FG交CD的延长线于H．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CH，
∴1，
∴AF＝DH，
设AE＝EF＝FB＝a，则AB＝CD＝3a，AF＝DH＝2a，CH＝5a，
∵EF∥CH，
∴，
∴CMCE，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型．
解答题
1．（2019?宝山区一模）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，∠EAF＝∠B．求证：BF?CE＝AB2．
【答案】证明：∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠EAF+∠BAE＝∠BAF，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△ABF∽△ECA，
∴AB：CE＝BF：AC，
∴BF?EC＝AB?AC＝AB2．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△ABF∽△ECA是解此题的关键．
2．（2019?青浦区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边BC、AB于点D、E，联结AD．
（1）如果∠CAD：∠DAB＝1：2，求∠CAD的度数；
（2）如果AC＝1，tan∠B，求∠CAD的正弦值．
【答案】解：
（1）∵∠CAD：∠DAB＝1：2
∴∠DAB＝2∠CAD
在Rt△ABC中，∠CAD+∠DAB+∠DBA＝90°
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴∠DAB＝∠DBA
∴∠CAD+∠DAB+∠DBA＝∠CAD+2∠CAD+2∠CAD＝90°
解得，∠CAD＝18°
（2）在Rt△ABC中，AC＝1，tan∠B，
∴BC＝2
由勾股定理得，AB
∵DE垂直平分AB交边BC、AB于点D、E
∴BE＝AE
∵∠DAE＝∠DBE
∴在Rt△ADE中
tan∠B＝tan∠DAE
∴DE
∴由勾股定理得
AD
∴cos∠CAD
∴sin∠CAD
则∠CAD的正弦值为
【点睛】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，关键要运用锐角三角函数的概念及比正弦和余弦的基本关系进行解题．
3．（2019?青浦区二模）如图，一座古塔AH的高为33米，AH⊥直线l，某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB的高，在直线l上选取了点D，在D处测得点A的仰角为26.6°，测得点B的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB的高．（精确到0.1米）【参考数据：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.5，sin22.8°＝0.39，cos22.8°＝092，tan22.8°＝0.42】
【答案】解：∵AH⊥直线l，
∴∠AHD＝90°，
在Rt△ADH中，tan∠ADH，
∴DH，
在Rt△BDH中，tan∠BDH，
∴DH，
∴，
解得：AB≈5.3m，
答：该古塔塔刹AB的高为5.3m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确的解直角三角形是解题的关键．
4．（2019?浦东新区二模）如图1，一辆吊车工作时的吊臂AB最长为20米，吊臂与水平线的夹角∠ABC最大为70°，旋转中心点B离地面的距离BD为2米．
（1）如图2，求这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）；
（2）一天，王师傅接到紧急通知，要求将这辆吊车立即开到40千米远的某工地，因此王师傅以每小时比平时快20千米的速度匀速行驶，结果提前20分钟到达，求这次王师傅所开的吊车速度．
【答案】解：（1）根据题意，得AB＝20，∠ABC＝70°，CH＝BD＝2，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，
∴AC＝AB?sin70°＝20×0.94＝18.8，
∴AH＝20.8．
答：这辆吊车工作时点A离地面的最大距离AH为20.8米；
（2）设这次王师傅所开的吊车的速度为每小时x千米，由题意，得
，
解得，x1＝60，x2＝﹣40，
经检验：x1＝60，x2＝﹣40都是原方程的解，但x2＝﹣40符合题意，舍去，
答：这次王师傅所开的吊车的速度为每小时60千米．
【点睛】本题是解直角三角形与分式方程应用的综合题，主要考查了解直角三角形，列分式方程解应用题，（1）题的关键是解直角三角形求出AC，（2）小题的关键是找出等量关系列出分式方程．
5．（2019?长宁区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，CF⊥BD，垂足为点F，延长CF与边AB交于点E．求：
（1）∠ACE的正切值；
（2）线段AE的长．
【答案】解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCE＝90°，
又∵CF⊥BD，
∴∠CFB＝90°，
∴∠BCE+∠CBD＝90°，
∴∠ACE＝∠CBD，
∵AC＝4且D是AC的中点，
∴CD＝2，
又∵BC＝3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°．
∴tan∠BCD，
∴tan∠ACE＝tan∠CBD；
（2）过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
在Rt△EHA中，∠EHA＝90°，
∴tanA，
∵BC＝3，AC＝4，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴tanA，
∴，
设EH＝3k，AH＝4k，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴AE＝5k，
在Rt△CEH中，∠CHE＝90°，
∴tan∠ECA，
∴CHk，
∴AC＝AH+CHk＝4，
解得：k，
∴AE．
【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
6．（2019?松江区一模）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；
（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．
【答案】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BEBP；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，
∴EF＝8，
∴，
∴，
∴，
设CP＝k，则PA＝3k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝3k
∴BC＝2k，
∴AB＝2k，
∵AC＝4k，
∴cosA；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BDAB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD?CD＝BD?AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE?DC，
∵DE＝3，DC＝5，
∴PD．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
A
M
B
第23题图
C
E
F
G
D
A
B
C
O
E
图8
A
B
C
D
E
F
图10
A
B
C
E
F
图7
PAGE
第八章 圆
考点解读
模块 考点 水平层级
数据整理与概率统计 圆周、圆弧、扇形等概念，圆的周长和弧长的计算，圆的面积和扇形面积计算 Ⅱ
圆心角、弦、弦心距的概念 Ⅱ
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 Ⅲ
垂径定理及其推论 Ⅲ
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及相应的数量关系 Ⅱ
正多边形的有关概念和基本性质 Ⅱ
画正三、四、六边形 Ⅱ
备注 理解性理解水平（记为Ⅱ）
探究性理解水平(记为Ⅲ)
1 圆和扇形
知识梳理
1．用字母表示圆的周长，表示直径长，表示半径长，那么．
2．圆上任意两点之间的部分叫做弧．
3．设圆的半径长为，圆心角所对的弧长是，那么．
4．设圆的半径长为，面积为，那么．
5．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
6．设组成扇形的半径长为，圆心角度数为，弧长是，那么．
例题精讲
【例1】在半径为5的圆中，30°的圆心角所对弧的弧长为 （结果保留）．
【参考答案】．
【例2】如图，边长为1的菱形的两个顶点、恰好落在扇形的上时，的长度等于 （结果保留）．
【参考答案】．
【例3】如图，半径为1且相外切的两个等圆都内切于半径为3的圆，那么图中阴
影部分的周长为 ．
【参考答案】．
2 圆的基本性质
知识梳理
一、圆的确定：
（一）相关定义：
1．圆是平面上到一个定点的距离等于定长的所有点所成的图形．
这个定点是圆心．
联结圆心和圆上任意一点的线段是圆的半径．
这个定长是圆的半径长．
2．在圆所在的平面上，以圆周为分界线，含圆心的部分叫做圆的内部（简称圆内）；
不含圆心的部分叫做圆的外部（简称圆外）．
【总结】
圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称中心为圆心，对称轴为过圆心的直线．
（二）点与圆的位置关系：
1．一般来说，对于给定的一个圆，平面上的点与这个圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外．
2．设一个圆的半径长为，点到圆心的距离为，则
点在圆外；
点在圆上；
点在圆内．
（三）圆的确定：
1．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
2．三角形的三个顶点确定一个圆．
经过一个三角形各顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．
3．如果一个圆经过一个多边形的各顶点，那么这个圆叫做这个多边形的外接圆，这个多边形叫做这个圆的内接多边形．
二、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：
（一）相关定义：
1．圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．
2．联结圆上任意两点的线段叫做弦．
过圆心的弦就是直径．
3．以圆心为顶点的角叫做圆心角．
4．圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
5．大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
6．圆心到弦的距离叫做弦心距．
（二）相关定理：
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个同心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所应的其余三组量也分别相等．
三、垂径定理：
1．垂径定理：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧．
2．垂径定理推论1：如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分
这条弦所对的弧．
3．垂径定理推论2：如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦．
4．垂径定理推论3：如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的
弧．
5．垂径定理推论4：如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条
弦．
6．垂径定理推论5：如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且
平分这条弦．
例题精讲
【题型一·圆的确定】
【例1】下列说法中，结论错误的是（ ）
．直径相等的两个圆是等圆；
．长度相等的两条弧是等弧；
．圆中最长的弦是直径；
．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧．
【参考答案】．
【例2】已知两个同心圆的圆心为，半径分别是2和3，且，那么点在
（ ）
．小圆内； ．大圆内； ．小圆外大圆内； ．大圆外．
【参考答案】．
【例3】在△中，，，，、分别是上的
高和中线，如果圆是以点为圆心，半径长为2的圆，那么下列判断正确的是（ ）
．点、均在圆内； ．点、均在圆外；
．点在圆内，点在圆外； ．点在圆外，点在圆内．
【参考答案】．
【例4】如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的值等于 ．
【参考答案】．
【例5】如图，弧所在的⊙的半径长为5，正三角形的顶点、分别在半径、上，点在弧上，．如果，那么这个正三角形的边长为 ．
【参考答案】．
【题型二·圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系】
【例1】在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（ ）
．这两条弦所对的弦心距相等； ．这两条弦所对的圆心角相等；
．这两条弦所对的弧相等； ．这两条弦都被垂直于弦的半径平分．
【参考答案】．
【例2】如图，若，那么与 相等（填“一定”、“一定不”、“不一定”）．
【参考答案】一定．
【例3】
已知⊙的直径是4，⊙上两点、分⊙所得劣弧与优弧之比为1：
3．则弦的长为 ．
【参考答案】．
【例4】
如图，已知是⊙的弦，半径、与分别交于点、，且．
求证：．
【参考答案】
证明：取中点，联结并延长与⊙交于．
∵是圆心，且是弦的中点，
∴,．
∵且，
∴．
∵，平分，
∴．
∴平分．
∴．
又∵过圆心，
∴．
∴．
即．
【题型三·垂径定理】
【例1】如图，⊙的半径为5，弦，于点，则的长等于 ．
【参考答案】3．
【例2】如图，矩形与圆心在上的圆交于点、、、，，，那么 ．
【参考答案】3．
【例3】一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，那么管内污水深度为 米．
【参考答案】0.8或0.2．
【例4】
如图，已知是⊙的弦，点在线段上，，．求⊙的半径．
【参考答案】
解：联结，过点作⊥，垂足为点．
∵，，
∴．
∵⊥，
∴，
∴．
在△中，，，，
∴．
在△中，，，，
∴．
∴⊙的半径是．
【题型四·圆的基本性质综合运用】
【例1】在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合” ．由此说明：
．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心；
．圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
．圆的直径互相平分；
．垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧．
【参考答案】．
【例2】下列命题中，假命题是（ ）
．如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外；
．如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点；
．边数相同的正多边形都是相似图形；
．正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【参考答案】．
【例3】
己知⊙的半径是．弦．
（1）求圆心到的距离；
（2）弦两端在圆上滑动，且保持，的中点在运动过程中构成什么图形，请说明理由．
【参考答案】
解：(1)联结，过点 作于点．
则长即圆心到弦的距离．
在⊙中，，
∴是弦的中点．
在△中，，，，
∴．
∴圆心到弦的距离为3．
(2)由(1)知：是弦的中点，
中点在运动过程中始终保持，
∴据圆的定义，在运动过程中，点轨迹是以为圆心，半径长为4的圆．
【例4】
如图是地下排水管的截面图（圆形），小敏为了计算地下排水管的直径，在圆形弧上取了，两
点，并连接，在劣弧上取中点，连接．经测量米，．根据这些数据，请你计算出地下排水管的直径（精确到0.1米）．（参考数据：，，）
【参考答案】
解：设圆心为，连接、交于．
∵点是弧的中点，是半径．
∴，．
在△中，，，米，
∴米．
米．
设圆的半径为 米，则米．
在△中，，米，米，米，
∴．
解得，则米．
答：地下排水管的直径约为2.1米．
3 直线和圆的位置关系
知识梳理
一、基础定义：
1．当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
2．当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，
这时直线叫做圆的切线．
唯一的公共点叫做切点．
3．当直线与圆有两个公共点（即交点）时，叫做直线与圆相交．
这时直线叫做圆的割线．
4．根据直线与圆公共点个数的情况，相应得到直线与圆的位置关系有三种：相离，相切，相交．
二、直线与圆位置关系用数量关系描述：
如果的半径长为，圆心到直线的距离为
直线与⊙相交；
直线与⊙相切；
直线与⊙相离.
三、相关定理：
1．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
例题精讲
【例1】已知半径为4的圆与直线没有公共点，那么圆心到直线的距离满足（ ）
．； ．； ．； ．．
【参考答案】．
【例2】已知⊙的直径为6，点在直线上，且，那么直线与⊙的位置关系是 ．
【参考答案】相交或相切．
【例3】在△中，，，．如果以点为圆心，为
半径的圆与斜边只有一个公共点，那么半径的取值范围是 ．
【参考答案】3< r≤4或．
【例4】已知⊙的半径为2，圆心在抛物线上运动，当 ⊙与轴相切时，圆心的横坐标为 ．
【参考答案】或0．
【例5】
如图，在⊙中，直径与弦垂直，垂足为，连接，将△沿翻折得到△，直线与直线相交于点．
（1）证明：直线与⊙相切；
（2）若，求证：四边形是菱形．
【参考答案】
解：（1）连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
由翻折得，，．
∴．
∴∥．
∴，即垂直直线．
∵点在圆上，
∴直线与⊙相切．
（2）【解法一】在△中，，
∴，
∵直径垂直弦，
∴
∴
∵
∴．
∴四边形是菱形．
【解法二】在△中，，
∴，
∵，
∴．
∵垂直于弦，
∴．
∵直径垂直弦，
∴．
∴四边形是平行四边形
∵垂直于弦，
∴四边形是菱形．
4 圆和圆的位置关系
知识梳理
一、相关定义：
1．外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外离．
2．外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做这两个圆外切．这个唯一的公共点叫做切点．
3．相交：两个圆有两个公共点，叫做这两个圆相交．
4．内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做
这两个圆内切，这个唯一的公共点叫做切点．
5．内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做这两个圆内含.当两个圆的圆
心重合时，称它们为同心圆．
6．圆心距：两个圆的圆心之间的距离叫做圆心距．
7．连心线：经过两个圆的圆心的直线叫做连心线．
二、两圆位置关系：
1．半径不等的两圆的位置关系：
半径不等的两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系可用、和之间的
数量关系表达，具体表达如下：
①两圆外离；
②两圆外切；
③两圆相交；
④两圆内切；
⑤两圆内含．
2．半径相等的两圆的位置关系有：外离、外切、相交、重合．
【总结】
1．半径不等两圆的位置关系用数轴表示：
2．从两圆公共点个数考虑：
交点个数 半径不等 半径相等
两圆无交点 两圆外离 两圆内含（同心圆） 两圆外离
两圆有一个交点 两圆外切两圆内切 两圆外切
两圆有两个交点 两圆相交 两圆相交
两圆有无数个交点 —— 两圆重合
三、相关定理：
1．相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
2．相切两圆的连心线经过切点．
【结论】
两圆的连心线是两圆的公共对称轴．
例题精讲
【例1】⊙与⊙的半径分别为l和3，那么列四个叙述中，错误的是（ ）
．当时，⊙与⊙有两个公共点； ．当⊙与⊙有两个公共点时，；
．当时，⊙与⊙没有公共点； ．当⊙与⊙没有公共点时，．
【参考答案】．
【例2】已知⊙的半径长为2，若⊙（与不重合）上的点满足，则下列位置关系中，⊙与⊙不可能存在的位置关系是（ ）
．相交； ．内切； ．外切； ．外离．
【参考答案】．
【例3】在△中，，且两边长分别为4和5，若以点为圆心，3
为半径作⊙，以点为圆心，2为半径作⊙，则⊙和⊙位置关系是（ ）
．只有外切一种情况； ．只有外离一种情况；
．有相交或外切两种情况； ．有外离或外切两种情况．
【参考答案】．
【例4】相切两圆的半径分别是4和6，那么这两个圆的圆心距为 ．
【参考答案】2或10．
【例5】两个圆的半径分别是8和，圆心距为5，如果两圆内切，则的值是 ．
【参考答案】3或13．
【例6】已知半径均为1的两圆外切，那么半径为2且与这两个圆都相切的圆有 个．
【参考答案】5．
【例7】已知⊙与⊙相交于、两点，如果⊙、⊙的半径分别为10厘米和17厘米，公共弦的长为16厘米，那么这两圆的圆心距的长为 厘米．
【参考答案】9或21．
【例8】如图，正方形中，是边上一点，以为圆心、为半径的半圆与以为圆心，为半径的圆弧外切，则S四边形ADCE∶S正方形ABCD的值为 ．
【参考答案】．
【例9】
如图，已知⊙与⊙相交于、，点是两圆连心线上的一点，分别联结、交⊙于、两点，并延长交⊙与、两点．求证：．
【参考答案】
证明：联结，过点作, ，垂足分别为、．
∵是连心线，是公共弦．
∴垂直平分，
∴．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
5 正多边形和圆
知识梳理
1．各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
2．有条边的正多边形（是正整数，且）就称作正边形．
3．正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心．
4．正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径．
5．正多边形的内切圆的半径长叫做正多边形的边心距．
6．正多边形一边所对的关于外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
【总结】
1．正边形，若是奇数，则正边形是轴对称图形；
若是偶数，则正边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
2．正边形的条对称轴交于一点，其外接圆和内切圆的圆心都是这个正边形的对称轴的交点．这个交点到正边形的各顶点的距离相等，到正边形各边的距离也相等．
例题精讲
【例1】正多边形的中心角为72度，那么这个正多边形的内角和等于 度．来源:学.
【参考答案】540．
【例2】正六边形绕其中心至少旋转 度可以与其自身完全重合．
【参考答案】60．
【例3】正六边形的边长为，面积为，那么关于的函数关系式是 ．
【参考答案】．
【例4】对于平面图形，如果存在一个圆，使图形上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形被一个半径长为的圆“覆盖”，那么的取值范围为 ．
【参考答案】．
过关演练
圆
一、选择题
1. 在Rt△ABC中，∠C=90?，AC=12cm，BC=16cm，则它的外心O到直角顶点C的距离是
（ ）
A.8cm B.10cm C.12cm D.14cm
2. 在直角坐标系中，以O(0,0)为圆心，以13为半径画圆，则点P(-5,12)的位置在（ ）
A.⊙O内 B. ⊙O外 C. ⊙O上 D. 不能确定
3.半径为R和r(R＞r)的两圆外切.作两圆的外公切线和内分切线，则夹在外公切线间的内公切线长为 ( )
A. R＋r B.R－r C. D. [来源:Zxxk.Com]
4. Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，G为CD上一点，AG的延长线和△ABC的外接圆相交于H，则 ( )
A.AC·AH=GC·HC B.AG·GC=AH·HC
C.AG·HC=AH·GC D.AC2=AG·AH
5. 如图，ABCD为圆的内接正方形，AD=4，弦AE平分BC交BC于M，则CE的长为( )
A.2 B. C. D.
第5题 第6题 第7题
6. 如图，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=36°，那么∠ ABC的度数是 ( )
A.36° B.54° C.64° D.44°
7.如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AC是⊙O2的切线交⊙O1于C，AD是⊙O1 的切线交⊙O2于D，则 ( )
A.AB2=BC·BD B.AB·BC=BD·AD
C.AB·AD=AC·BC D.AC2=AB·AD
二、填空题
8. 如图，⊙O的半径为5，点P是弧AB的中点，OP交AB于点H，如果PH=1，那么弦AB的长 。
9. 如图，已知在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果∠BAD=30°，OE=2，那么弦CD的长 。
第8题 第9题 第11题
10.圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P.已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA·PC= .
11.如图，△ABC的高为AH，BC=30cm，DE∥BC，以DE为直径的半圆与BC相切于F，若此半圆的面积是18πcm2,则AH= .
12.从圆外一点向圆引两切线，两切点和该点是等边三角形的三个顶点，如果两切点的距离为a,那么圆的半径为 .
14.如下左图，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D、E，AB=6cm,AO=10cm,AD=3cm,则小圆的半径为 .[来源:学|科|网]
15.如上右图，PT是⊙O的切线，切点是T，M是⊙O内一点，PM交⊙O于B、C，BM=BP=2，PT=2，OM=3，那么⊙O的半径为 .[来源:学科网]
参考答案
一、
1.B 2. C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A
二、
8. 6
9.
10. 提示：证△ABP∽△DCP∽△DBA[来源:Z&xx&k.Com]
11. 10
12.
13.
14.
[来源:圆的位置关系及正多边形
一、选择题
1. 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB=1，BC=2，CD =4，DA=3，则分别以AD，BC为直径的⊙P与⊙Q的位置关系是 （ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
第1题 第4题 第5题
2. 下列命题中，假命题是 （ ）
A. 没有公共点的两圆叫做两圆相离； [来源:学.科.网]
B. 相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称
C 联结相切两圆圆心的直线必经过切点;
D. 内含的两个圆的圆心距大于零
3. 已知⊙O1的半径长为3，⊙O2的半径长为r（r>0），如果O1 O2=3，那么⊙O1与⊙O2不可能存在的位置关系是 （ ）
A. 两圆内含 B. 两圆内切 C. 两圆相交 D. 两圆外切
4. 如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，联结BC，若∠A=36°，则∠C等于 （ ）
A. 36° B. 54° C. 60° D. 27°
5. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点O1为矩形对角线的交点，，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现 （ ）
A．3次 B．4次 C．5次 D．6次
二、填空题
6. 某学校需修建一个圆心角为60°，半径为12米的扇形投掷场地，则扇形场地的面积约为 米2（结果保留）。
7. 正八边形的一个内角是 度。
8. 直线l与⊙O相交，若⊙O的半径为4cm，则圆心O到直线l的距离d 4cm，（选填“<”、”>”、或“=”）。
9. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙C与斜边AB相切，则⊙C的半径为 。
10. ⊙A和⊙B内切，圆心距AB=3cm，⊙A的半径为5cm，则⊙B的半径为 。
11. 当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”．如果⊙O1、⊙O2半径分别3和1，且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距d的取值范围是
．
12. 相交两圆的公共弦长为16cm，两圆半径长分别为10cm和17cm，则圆心距为 。
13. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，⊙C与斜边AB相切，则⊙C的半径为 。
三、解答题
14. 如图，已知在等腰△ABC中，AC=AB =5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与点B重合），过点D作射线DE 交AB于点E，∠BDE=∠A，以点D为圆心，DC的长为半径作⊙D. [来源:学科网]
（1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）当⊙D与边AB相切时，求BD的长；
（3）如果⊙E是以E为圆心，AE的长为半径的圆，那么当BD 为多少长时，⊙D与⊙E相切？
[来源:学,科,网Z,X,X,K
参考答案
1. B 2. D 3. D 4. D 5. B
6.
7. 135°
8. <
9．
10. 2cm或8cm
11.
12. 21cm[来源:Zxxk.Com]
13.
14．解：（1）如图，∵∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∵AB=AC=5，BC=6，BD=x，AE=y，
∴，
即
∵0＜x≤6，且0＜y≤5，
∴
综上所述，y关于x的函数关系式及其定义域为：（）
（2）如图，假设AB与⊙D相切于点F，连接FD，则DF=DC，∠BFD=90°．
过点A作AG⊥BC于点G，则∠BGA=90°．
∴在△BFD和△BGA中，∠BFD=∠BGA=90°，∠B=∠B，
∴△BFD∽△BGA，
∴．
又∵AB=AC=5，BC=6，AG⊥BC
∴BG==3，AG==4，
∴，解得BD=；
（3）∵由（1）知，△BDE∽△BAC，
∴，即，
∴BD=DE．
如图2，当⊙D与⊙E相外切时．
AE+CD=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是
∴，解得，，符合0＜x＜，
∴BD的长度为．
如图3，当⊙D与⊙E相内切时．CD-AE=DE=BD，
∵由（1）知，BD=x，AE=y，y关于x的函数关系式是
∴，解得，，符合0＜x＜，
∴BD的长度为．
综上所述，BD的长度是或．
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