沪教版七年级下册：三角形角度计算之八字型与飞镖模型（28张PPT）

(共28张PPT)
8字型与飞镖模型

模型一：角的8字模型

如图所示，AC,BD相交于点O,连接AD、BC
结论：∠A+∠D=∠B+∠C.
证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，
∴∠A+∠D=∠AOB
∵∠AOB是△BOC的外角
∴∠B+∠C=∠AOB
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
证法二：∵∠A+∠D+∠AOD=180°
∴∠A+∠D=180°-∠AOD
∵∠B+∠C+∠BOC=180°
∴∠B+∠C=180°-∠BOC
又∵∠AOD=∠BOC
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
以上两种证明方法都比较常用，因为这个图形像数字8，所以我们把这个模型称为8字模型。
例题讲解：

观察下列图形，计算角度：
（1） 如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
（2） 如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

解析：解法一：（1）利用角的8字模型，如图③，连接CD，
∵∠BOC是△BOE的外角，
∴∠B+∠E=∠BOC
∵∠BOC是△COD的外角，
∴∠1+∠2=∠BOC
∴∠B+∠E=∠1+∠2（角的8字模型）
∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E
=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2
=∠A+∠ACD+∠ADC=180°

解法二：如图④，利用三角形外角和定理，
∵∠1是△FCE的外角
∴∠1=∠C+∠E
∵∠2是△GBD的外角，
∴∠2=∠B+∠D
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=∠A+∠1+∠2=180°

（1） 解法一：利用角的8字模型，如图⑤
∵∠AOP是△AOB的外角
∴∠A+∠B=∠AOP
∵∠AOP是△OPQ的外角
∴∠1+∠3=∠AOP
∴∠A+∠B=∠1+∠3
同理可得：∠C+∠D=∠1+∠2
∠E+∠F=∠2+∠3.

解法二：利用角的8字模型
如图⑥，连接DE,
∵∠AOE是△AOB的外角
∴∠A+∠B=∠AOE
∵∠AOE是△OED的外角
∴∠1+∠2=∠AOE
∴∠A+∠B=∠1+∠2（角的8字模型）
∴∠A+∠B+∠C+∠ADC+∠FEB+∠F=360°

模型2：角的飞镖模型

如图所示，∠D=∠A+∠B+∠C



解法一，如图①，作射线AD
∵∠3是△ABD的外角
∴∠3=∠B+∠1
∵∠4是△ACD的外角
∴∠4=∠C+∠2
∴∠BDC=∠3+∠4
∴∠BDC=∠B+∠1+∠2+∠C∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C


解法二：如图②，连接BC
∵∠2+∠4+∠D=180°
∴∠D=180°-（∠2+∠4）
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°
∴∠A+∠1+∠3=180°-（∠2+∠4）
∴∠D=∠A+∠1+∠3

例题讲解：

如图，在四边形ABCD中，AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M,探究∠AMC与∠B∠D之间的数量关系.
利用角的飞镖模型
如图所示，连接DM并延长，
∵∠3是△AMD的外角，
∴∠3=∠1+∠ADM
∵∠4是△CMD的外角
∴∠4=∠2+∠CDM
∵∠AMC=∠3+∠4
∴∠AMC=∠1+∠ADM+∠CDM+∠2
∴∠AMC=∠1+∠2+∠ADC(角的飞镖模型)|
利用四边形的内角和，以及AM,CM分别平分∠DAB和∠DCB就可以得出2∠AMC+∠B-∠ADC=360°.

模型三：边的8字模型

如图所示，AC,BD相交于点O
连接AD,BC结论：AC+BD＞AD+BC

模型分析：
∵OA+OD＞AD
OB+OC＞BC
以上两式进行相加即可得到
OA+OD+OB+OC＞BC+AD
即AC+BD＞AD+BC

例题讲解：

如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O
求证：（1）AB+BC+CD+AD＞AC+BD
（2）AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD.

解析：（1）∵AB+BC＞AC
CD+AD＞AC
AB+AD＞BD
BC+CD＞BD
以上式子相加即可得到AB+BC+CD+AD＞AC+BD
（2）∵AD＜OA+OD
BC＜OB+OC
两式相加即可得到AD+BC＜OA+OD+OB+OC
∴AD+BC＜AC+BD(边的8字模型)
同理可证：AB+CD＜AC+BD
∴AB+BC+CD+AD＜2AC+2BD

模型四：边的飞镖模型

如图所示，AB+AC＞BD+CD

解析：如图，延长BD交AC于点E
∵AB+AC=AB+AE+EC
AB+AE＞BE
∴AB+AC＞BE+EC
∵BE+EC=BD+DE+EC
DE+EC＞CD
∴BE+EC＞BD+CD
综上：AB+AC＞BD+CD

经典例题练习：

1、 如图1，求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
如图2，求：∠CAD+∠B+∠AC+∠D+∠E=

解析：
如图，连接DE
∠C+∠CAD=∠1+∠2
∠CAD+∠B+∠C+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°
如图，连接DE
∠ACE+∠CAD=∠1+∠2
∠CAD+∠B+∠ACE+∠ADB+∠BEC=∠B+∠BEC+∠BDA+∠1+∠2=180°

1、如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=

解析：如图，连接GH,CD
∠E+∠B=∠1+∠2
∠A+∠F=∠3+∠4
∠A+∠B+∠FCH+∠ADG+∠E+∠F+∠DGB+∠EHC
=∠1+∠2+∠3+∠4+∠GDA+∠FCH+∠DGB+∠EHC=360°

如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=

解析：
∠C+∠E+∠D=∠EOC=115°
∠A+∠B+∠F=∠BOF=115°
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115°+115°=230°

如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=

解析：如图所示，连接BD
∠AED=∠A+∠3+∠1
∠BFC=∠2+∠4+∠C
∠A+∠ABF+∠C+∠CDE
=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220°

4、 如图，点O为△ABC内部一点
求证：（1）2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;
（2）AB+BC+AC＞AO+BO+CO

解析：（1）∵OA+OB＞AB ①
OB+OC＞BC ②
OC+OA＞AC ③
由①+②+③可得
2(AO+BO+CO)＞AB+BC+AC;
（2）如图，延长BO交AC于点E
∵AB+AC=AB+AE+EC
AB+AE＞BE
∴AB+AC＞BE+EC ①
∵BE+EC=BO+OE+EC
OE+EC＞CO
∴BE+EC＞BO+CO ②
由①②可得AB+AC＞BO+CO ③(边的飞镖模型)
同理可得AB+BCD＞OA+OC④
BC+AC＞OA+OB⑤
由③+④+⑤得AB+BC+AC＞AO+BO+CO

如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE,求证：AB+AC＞AD+AE

解析：如图，将AC平移至BF,AD延长线于BF相交于点G,连接DF
由平移可得AC=BF
∵AC∥BF
∴∠ACE=∠FBD
∵BD=CE
∴△AEC≌△FDB
∴DF=AE
如图，延长AD交BF于点G
∵AB+BF=AB+BG+GF
∵AB+BG＞AG
∴AB+BF＞AG+GF ①
∵AG+GF=AD+DG+GF
∵DG+GF＞DF
∴AG+GF＞AD+DF ②
由①②可得
AB+AC=AB+BF＞AD+DF=AD+AE
∴AB+AC＞AD+AE.