2019-2020学年九年级数学下册30.2二次函数的图像和性质教学课件（3课时101张ppt）新版冀教版

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教学课件

数学 九年级下册 冀教版
第三十章 二次函数

30.2二次函数的图像和性质
第1课时 二次函数y=ax?的图像和性质
学习目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点）
2.会用描点法画出二次函数y=ax?的图像，概括出图像的特点.（难点）
3.掌握形如y=ax?的二次函数图像的性质，并会应用.（难点）
情境引入
例1 画出二次函数y=x2的图像.
9
4
1
0
1
9
4
典例精析
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图像．
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图像如下：
x
y
二次函数y=x2的图像形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
练一练：画出函数y=-x2的图像.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
根据你以往学习函数图像性质的经验，说说二次函数y=x2的图像有哪些性质，并与同伴交流.
x
o
y=x2
议一议
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图像开口向上;
3.图像关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图像有最低点．
y
说说二次函数y=-x2的图像有哪些性质,与同伴交流.
o
x
y
y=-x2
1.y＝-x2是一条抛物线;
2.图像开口向下;
3.图像关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）;
5.图像有最高点．
1. 顶点都在原点;
3.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
二次函数y=ax2 的图像性质：
知识要点
2. 图像关于y轴对称;
观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
x
y
O
y=ax2
y=-ax2
交流讨论
二次函数y=ax2的性质
问题1：观察图形，y随x的变化如何变化？
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
知识要点
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
知识要点
解：分别填表，再画出它们的图像，如图.
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
当a>0时，a越大，开口越小.
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
···
···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识要点
y＝ax2 a>0 a<0
图像







例1 已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=－x2的图像上吗？
典例精析
（1）判断点A（2，4）在二次函数图像上吗？
解：（1）当x=2时，y=x2=4，
所以A（2，4）在二次函数图像上；
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的坐标；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？在二次函数y=－x2的图像上吗？
当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图像上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图像上；
当x=－2时，y=－x2=－4，
所以D点在二次函数y=－x2的图像上．
解得 k=2
2
练一练
例3. 已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图像上，则y1_____y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图像经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的图像上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
<
分析：(1)把两点的横坐标代入二次函数表达式求出纵坐标，再比较大小即可得解；
(2)由于函数图像经过点B，根据点B的横坐标为2，代入表达式可求出点C的纵坐标，再根据二次函数图像关于y轴对称求出OA＝OB，即图像左边部分与右边部分对称，两个阴影部分面积相加等于右边第一象限内的矩形面积．
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图像经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数y＝ax2的图像关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图像中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图像中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
方法总结
1.函数y=2x2的图像的开口 ,
对称轴 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧，y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
2.函数y=-3x2的图像的开口 ,
对称轴是 ,顶点是 ;
在对称轴的左侧, y随x的增大而 ,
在对称轴的右侧, y随x的增大而 .
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
减小
减小
增大
增大
x
x
y
y
O
O
3、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图像,则k的取值范围是 .
k>1
4、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
O





5.若抛物线y=ax2 （a ≠ 0），过点（-1，2）.
（1）则a的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 .
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 值 .
抛物线在x轴的 方（除顶点外）.
(4) 若A（x1,y1),B(x2,y2)在这条抛物线上，且x1 则y1 y2.
2
y轴
向上
（0,0）
小
上
>
6.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．
解：∵二次函数y=x2，
∴当x=0时，y有最小值，且y最小值=0，
∵当x≥m时，y最小值=0，
∴m≤0．
7.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
解：由题意得

解得

所以此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝ CO·4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2，
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
二次函数y=ax2的图像及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图像
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
第2课时 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画出y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图像的性质并会应用.(重点）
3.理解二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)与y=ax2 (a ≠0)之间的联系.（难点）
复习引入
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1 说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图像的特征.
a,c的符号 a>0,c>0 a>0,c<0 a<0,c>0 a<0,c<0
图像
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
问题2 二次函数 y=ax2+c（a≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 的图像有何关系？
答：二次函数y=ax2+c（a ≠ 0）的图像可以由 y=ax2（a ≠ 0）的图像平移得到：
当c > 0 时，向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时，向下平移-c个单位长度得到.
答：应该可以.
例1 画出二次函数 的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
-2
-4.5
-2
0
0
-2
-2
-4.5
0
x
y
-8
-8
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
向下
直线x=-1
( -1 , 0 )
直线x=0
直线x=1
向下
向下
( 0 , 0 )
( 1, 0)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标



a＞0时，开口 , 最 ____ 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 ____ 点是顶点;
对称轴是 ，
顶点坐标是 .
向上
低
向下
高
直线 x = h
( h,0 )
知识要点
二次函数y=a（x-h)2 的特点
练一练
y2＜y3＜y1
向右平移
1个单位
想一想
抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
向左平移
1个单位
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系
可以看作互相平移得到.
左右平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
知识要点
例2. 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图像向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
将二次函数y＝－2x2的图像平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图像，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图像向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图像．故选C.
练一练
C
例3 画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
探究归纳
解: 先列表
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
再描点、连线
直线x=－1
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)
试一试
画出函数y= 2（x+1）2-2图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)
知识要点
二次函数y=a（x-h)2 +k的特点
a＞0时，开口 , 最 点是顶点;
a＜0时，开口 , 最 点是顶点;
对称轴是 ， 顶点坐标是 .
向上
低
向下
高
直线x=h
(h,k)
顶点式
例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图像如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图像可能是(　　)
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图像经过第一、二、三象限．故选A.
典例精析
A
例5. 已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图像经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图像上的两点，当y1＝y 2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图像的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图像上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
例6 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴ 0=a(3－1)2＋3.
解得
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
向左平移
1个单位
探究归纳
平移方法1
向下平移
1个单位
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
要点归纳
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
练一练
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .
2.二次函数y=2(x- )2图像的对称轴是直线_______，顶点是________.
3 .若（- ，y1）（- ，y2）（ ，y3）为二次函数y=(x-2)2图像上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1 ＞y2 ＞ y3
4.指出下列函数图像的开口方向,对称轴和顶点坐标.
向上
直线x=3
( 3, 0 )
直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2, 0 )
( 1, 0)
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标



5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图像，分别指出两个图像之间的相互关系．
解：图像如图.
函数y=2(x-2)2的图像由函数y=2x2的图像向右平移2个单位得到.

y = 2x2


2
6.已知一个二次函数图像的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
y=a(x-h)2+k
课堂小结
二次函数y=a(x-h)2的图像及性质
图像性质
对称轴是直线x=h;
顶点坐标是（h,0)
a的符号决定开口方向.
左右平移
平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质
图像特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是直线x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
第3课时 二次函数y=ax?+bx+c的图像和性质
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.(难点）
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.（重点）
复习引入
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值

(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3
?
?
?
?
?
?
顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
探究归纳
配方可得
配方
你知道是怎样配方的吗？

(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图像？
解: 先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
O
然后描点画图，得到图像如图.
问题5 结合二次函数 的图像，说出其性质.
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
典例精析
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
y ··· ···
然后描点、连线，得到图像如下图.
由图像可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
求二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图像的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
练一练
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax?+bx+c
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
(1)
(2)
如果a>0,当x< 时，y随x的增大而减小；当x> 时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x< 时，y随x的增大而增大；当x> 时，y随x的增大而减小.
例2 已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ）
A．b≥－1 B．b≤－1
C．b≥1 D．b≤1
D
填一填
(1,3)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
顶点坐标 对称轴 最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
合作探究
问题1 一次函数y=kx+b的图像如下图所示，请根据一次函数图像的性质填空：
＞
＞
＜
＜
＜
＞
问题2 二次函数 的图像如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
＞
＞
＞
＞
＜
＝
x=0时，y=c.
＜
＝
＞
＜
＞
＜
x=0时，y=c.
二次函数y=ax2+bx+c的图像与a、b、c的关系
向上
向下
y
左
右
正
负
知识要点
字母符号 图像的特征
a＞0 开口_____________________
a＜0 开口_____________________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
例3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
由图像上横坐标为 x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图像上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图像上x＝－1的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得 c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
练一练
解析：由二次函数的图像得知：a＜0，b＞0.故反比例函数的图像在二、四象限，正比例函数的图像经过一、三象限.即正确答案是C.
C
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
A.y轴 B.直线x=
C. 直线x=2 D.直线x=
则该二次函数图像的对称轴为( )
D
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3） 4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
4.根据公式确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x= 0.5
课堂小结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法