沪教版数学高一下春季班：第三讲两角和与差的余弦、正弦和正切 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第三讲
课题 两角和与差 单元 第五章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1．理解两角和与差的余弦、正弦和正切公式的推导；2．掌握两角和与差的余弦、正弦和正切公式的基本应用；3．掌握两角和与差公式的变形应用．
重点 两角和与差公式的推导；
难点 两角和与差公式的应用．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30







1．两角和与差的三角函数
；； 。
2. 辅助角公式




一、两角和与差的正余弦公式
【例1】利用两角和与差的余弦公式证明.
【难度】★
【答案】证明：




【例2】对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【难度】★★
【答案】C

【例3】已知锐角满足，求
【难度】★★
【答案】
【解析】∵为锐角且

由，得
又 ∴为锐角 ∴

【例4】已知且、、均为钝角，求角的值.
【难度】★★★
【答案】
【解析】 由已知，
①2+②2


【例5】已知，，，求：、.
【难度】★★
【答案】；
【解析】∵，∴，
又∵，，
∴，




【例6】化简:
【难度】★★★
【答案】
【解析】原式＝


【例7】证明： ，其中.
【难度】★
【答案】证明：（如图）
＝＝.












【例8】利用辅助角公式化简(1) (2)
(5)
【难度】★
【答案】（1），（2）（3）
（4）（5）

【例9】已知cos+sin=,则sin的值是 .
【难度】★
【答案】


【巩固训练】
1．利用特殊角的值求.
【难度】★
【答案】
【解析】
＝×－×＝－＝.

2．在中，如果，则为 （ ）
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形
【难度】★
【答案】A

3．下列四个命题中假命题是（ ）
A.存在这样的，使得
B.不存在无穷多个，使得
C.对于任意的，
D.不存在这样的，使得
【难度】★★
【答案】B

4．如果，且，那么（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A

5．已知，则的取值范围是__________.
【难度】★★
【答案】
【解析】令，① ，② 由①2+②2，得. ∴∈［-2,2］. ∴

6．已知，求的值.
【难度】★★
【答案】

7．已知：实数、满足，求证：。
【难度】★★
【答案】证明：∵，∴，同理.
设，；，
代入，得＝1，
即： ∵，，∴
因此∴.

8．函数的最大值是( )
A. B.17 C.13 D.12
【难度】★★
【答案】C
【解析】.
∴最大值为13.

9．求的值为__________.
【难度】★
【答案】


二、两角和与差的正切公式
【例10】利用两角和与差的正弦余弦公式证明tan（α＋β）＝
【难度】★
【答案】证明：tan（α＋β）＝＝＝.

【例11】求值
【难度】★★
【答案】

【例12】如果是方程的两根,则____________.
【难度】★★
【答案】
【解析】
则.

【例13】设，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】B

【例14】在中，求证：
【难度】★★
【答案】证明：,



【巩固训练】
1．若、为方程的两根，则= .
【难度】★
【答案】

2．已知,tan(α+β)=1,且α是第二象限角,那么tanβ的值等于_____________.
【难度】★
【答案】-7
【解析】∵,α是第二象限角,
∴.∴.∴tanβ=tan［(α+β)-α］.

3．已知，则的值为 ________
【难度】★★
【答案】

4．已知，且满足关系式，则=______.
【难度】★★
【答案】

5．已知为锐角，证明：的充要条件是
【难度】★★
【答案】证明：(先证充分性)
由即
得
∴ 又 ∴
(再证必要性)由整理得
说明：可类似地证明以下命题：
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则



二倍角与半角公式在

三角比的恒等变形中的作用：
① 并项与升次：

② 降次：，
2．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
3. 三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
4．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。






1.已知求的值.
【难度】★★
【答案】

2.的值是 (　　)
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】C
【解析】原式＝＝
＝＝.

3. 若，则下列各式中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D

4.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B等于 (　　)
A. B. C.或 D.
【难度】★★
【答案】B

5.已知，则__________.
【难度】★★
【答案】

6.____ _____
【难度】★★
【答案】1

7. 已知实数a,b均不为零,,且,则等于（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】 B
【解析】
∴故选B.

8.已知求的值.
【难度】★★
【答案】

9.已知，且，求的值.
【难度】★★★
【答案】
【解析】


10. 已知,,
(1)求的值; (2)求函数的最大值.
【难度】★★
【答案】（1）1；（2）
【解析】 (1)由,得，,
所以.
(2)因为，所以,,
.所以的最大值为.

11.已知 求的值
【难度】★★
【答案】
【解析】



12. 已知，，求
【难度】★★
【答案】
【解析】

,，




13.已知是一元二次方程的2个根,求的值。
【难度】★★
【答案】
【解析】因为 是一元二次方程的2个根
所以,


14．已知
(1)求的值；(2)求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)法一：因为， 所以，


法二：由题设得 即
又， 从而
解得或 因为， 所以
(2)因为 故
，
所以








两角和与差

知识梳理

例题解析

三角恒等式

例题解析

[（ ） ]
]

①
②

O

x

y

（a，b）

a

b



[（ ） ]
]

反思总结

课后练习






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