沪教版数学高一下春季班：第四讲倍角半角万能公式 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第四讲
课题 倍角半角万能公式 单元 第五章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1．熟练掌握正弦、余弦、正切两角和以及二倍角和半角公式以及简单的公式运用；2．能够灵活的运用公式进行化简求值和证明三角式．
重点 二倍角和半角公式；
难点 灵活的运用公式进行综合求值化简

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30









1．二倍角公式
；；
。
2．半角公式
；；
（）
3. 万能公式





一、二倍角公式
【例1】已知，求的值
【难度】★
【答案】；；
【解析】∵ ∴
∴

【例2】=____________.
【难度】★★
【答案】

【例3】已知为第三象限角,且,求的值。
【难度】★★
【答案】
【解析】
解得,;又因为为第三象限角,
所以;所以

【例4】在中，角满足，求角的度数.
【难度】★★
【答案】
【解析】在中，，由
得，所以.
于是.

【例5】（1）已知，求的值；
（2）已知，求：的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（2）∵ ，∴ ．
于是，原式．

【例6】若,求的值
【难度】★★
【答案】
【解析】且,所以是钝角
由得
所以

所以,
所以,

【例7】已知，化简：=________
【难度】★★
【答案】

【例8】化简，求值
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）-2；（5）2
【解析】（1）原式

（2）原式

（3）原式
（4）原式

（5）原式


【巩固训练】
1.已知,则的值为（ ）
A. B. C.4 D.8
【难度】★★
【答案】D
【解析】∵, ∴.

2.已知角α在第一象限且,则等于（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】C
【解析】∵角α在第一象限且,
∴.∴
故选C.

3.求值：_________.
【难度】★★
【答案】

4.已知，，求的值．
【难度】★★
【答案】

5.若tan = 3，求sin2 cos2 的值
【难度】★★
【答案】
【解析】sin2 cos2 =

6.已知，，求和的值
【难度】★
【答案】
【解析】因为，所以
所以；


7.求值：
【难度】★★
【答案】2

8.已知
(1)求的值
(2)求的值.
【难度】★★
【答案】(1) ,;(2)
【解析】(1)由题意得，即，，
又，，
，
于是
又
又



二、半角公式和万能公式
【例9】证明sin ＝±
【难度】★
【答案】证明： sin2 α＝，sin2 ＝，sin ＝±.

【例10】已知，，求和的值.
【难度】★★
【答案】；
【解析】∵ ∴
化简得： ∴
∵ ∴ ∴ ，即


【例11】设，求的值；
【难度】★★
【答案】

【例12】若，则的值为 　
【难度】★★
【答案】2013


【巩固训练】
1.若为第二象限角，当时，角为第______象限角
【难度】★★
【答案】一

2.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【难度】★
【答案】B

3.若，则= （ ）
A.3 B. C.–3 D.–
【难度】★★
【答案】B

4.已知 为第二象限角，则=__________
【难度】★★
【答案】


三、综合化简证明问题
【例13】化简
【难度】★★
【答案】
【解析】原式



【例14】化简：(1); (2).
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
【解析】(1)原式
=



(2)原式=

【例15】化简，
【难度】★★
【答案】
【解析】∵

∴ 原式=
∵ ∴ ∴
当时， ∴ 原式=
当时， ∴ 原式=
∴ 原式=

【例16】证明：
【难度】★★
【答案】证明：


【例17】证明：
【难度】★★
【答案】证明：左

所以原式得证

【例18】证明：(1)；
(2)；(3).
【难度】★★
【答案】证明：(1)左边=
=右边
(2)左边=
=右边
(3)左边=



【例19】已知且都是锐角，求证：
【难度】★★
【答案】 证明：由 得 ……①
由得……② 都是锐角
①②得
即 又 所以

【例20】为何值时，函数的定义域为一切实数？
【难度】★★★
【答案】
【解析】令



令，则：上式化为，
于是，只要在时，即可.
∴，
则：当时，函数的定义域为一切实数。


【巩固训练】
1. 已知，化简2＋＝ 。　
【难度】★★
【答案】

2. 若270°<α<360°，则三角函数式的化简结果是( )
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D

3. 若，化简：
【难度】★★
【答案】
【解析】因为,所以,即为第三象限的角
又因为

4. 化简：
【难度】★★
【答案】
【解析】原式=

5. 化简: ；
【难度】★★
【答案】
【解析】 原式＝

6. 求证：
【难度】★★
【答案】证明：原式等价于：
左边

右边= ∴左边=右边 ∴原式得证


7. 证明：(1)求证：；
(2)求证：;
【难度】★★
【答案】证明：(1)左边=

=右边
(2)左边=
=右边

8.证明：
【难度】★★
【答案】证明：左=

所以原式得证

9. 证明：(1)求证：
(2)在中，，求证：
【难度】★★
【答案】证明： (1)左边=
=右边
(2)① ②
①，②两式相等，因此有
化简，得 即






二倍角与半角公式在

三角比的恒等变形中的作用：
① 并项与升次：

② 降次：，
2．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
3. 三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
4．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。








1.
【难度】★
【答案】

2. 已知，则
【难度】★
【答案】

3.=
【难度】★
【答案】
【解析】

4. 若是△的一个内角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D

5.若△ABC的内角A满足,则等于（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】A
【解析】由，可知A为锐角，所以
又,故选A.

6.若sin2θ=a,θ∈(,),则sinθ+cosθ等于（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】D
【解析】依题意,可得.

7.若,则cosα+sinα的值为（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】C
【解析】∵
，∴.故选C.

8.若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】A

9.若是△的一个内角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D

10.已知,则_________.
【难度】★★
【答案】1
【解析】由已知,得,
∴.

11.已知，则= 。
【难度】★★
【答案】

12.已知，求的值.
【难度】★★
【答案】
【解析】


13.已知
（1）求的值； （2）求的值 .
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)由得，
即，
又，所以为所求.
(2)


14．已知
(1)求的值；(2)求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】 (1)法一：因为， 所以，


法二：由题设得 即
又， 从而
解得或 因为， 所以
(2)因为 故
，
所以







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知识梳理

例题解析

三角恒等式

例题解析

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反思总结

反思总结

课后练习






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