高中数学苏教版必修四：2．4．1 平面向量数量积的物理背景及其含义 （共34张PPT）

(共34张PPT)
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
回忆向量夹角概念
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
向量的数量积概念：
已知非零向量 与 ，我们把数量
叫作 与 的数量积（或内积），记作 ，即规定：
投影：
向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
投影也是一个数量，不是向量；
当?为锐角时投影为正值；
当?为钝角时投影为负值；
当?为直角时投影为0；
由向量数量积的定义，试完成下面问题：
0
≤
证明向量
垂直的依据
解：
数量积的几何意义：
数量积的运算规律：
数量积的运算规律：
不成立
注意：两个向量的数量积与数的乘法有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
解：
解：
（1）
（2）
变式训练：（1）已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,
|a+b|=4,求|a-b|.

解因为|a+b|=4,所以|a+b|2=42,
所以a2+2a·b+b2=16.①
因为|a|=2,|b|=3,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= .
（2）
解：
即
-
变式训练：(1)若非零向量a,b满足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与a-b的夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解;(2)可采用数形结合的方法构成平面图形求解.
(1)解析因为(2a+b)⊥b,所以2(a+b)·b=0,
所以2a·b+|b|2=0.设a,b的夹角为θ,
则2|a||b|cos θ+|b|2=0.
又|a|=|b|,所以2|b|2cos θ+|b|2=0,
因此cos θ=- ,从而θ=120°.选C.
答案C
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b的夹角及a与
a-b的夹角.
反思感悟求平面向量夹角的方法:
(1)求向量的夹角,主要是利用公式 求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解.
(2)求向量的夹角,还可结合向量线性运算、模的几何意义,利用数形结合的方法求解.
2.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则|a|=(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12


解析因为(a+2b)·(a-3b)=-72,
所以a2-a·b-6b2=-72,
即|a|2-|a||b|cos 60°-6|b|2=-72,
所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6.
答案C

１、数量积的概念
小结
２、数量积几何意义
３、重要性质
４、运算律