北师大版数学七年级下册 4.3探究三角形全等的条件 同步练习（含答案）

北师大版数学七年级下4.3探究三角形全等的条件 习题及答案
选择：
1． 如图，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则根据“SSS”能直接判定（ ）
A． △ABD≌△ACD B． △ABE≌△ACE C． △BDE≌△CDE D． 以上均不对

2． 如图，AC＝AD，BC＝BD，∠1＝25°，∠2＝60°，则∠C的度数为（ ）
A． 65° B． 75° C． 85° D． 95°
3． 如图，给出下列条件，其中能运用“ASA”证明△AOB≌△DOC的是（ ）

A． AO＝DO，∠A＝∠D B． AO＝DO，∠B＝∠C
C． AO＝DO，BO＝CO D． AO＝DO，AB＝CD
4． 如图所示，AB，CD交于点O，且互相平分，则图中全等的三角形有（ ）
A． 2对 B． 3对
C． 4对 D． 5对

5． 如图，EA⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，EA＝AB＝2BC，D为AB的中点，那么下列式子不能成立的是（ ）
A． ED＝AC B． DE⊥AC
C． AF＝BC D． ∠EAF＝∠ADF
6．如图，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）

A． ∠A＝∠C B． AD＝CB
C． BE＝DF D． AD∥BC
7． 在△ABC与△A1B1C1中，下列不能判断△ABC≌△A1B1C1的是（ ）
A． AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠B＝∠B1 B． AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠C＝∠C1
C． AB＝A1B1，BC＝B1C1，AC＝A1C1 D． ∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，BC＝B1C1
8． 如图，E是BC上一点，AB⊥CB于B，CD⊥CB于C，AB＝CB，∠A＝∠CBD，AE与BD相交于O，则下列结论中，正确的有（ ）
①AE＝BD；②AE⊥BD；③EB＝CD；④△ABO的面积等于四边形CDOE的面积．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE. 则说明这两个三角形全等的依据是（ ）

A． SAS B． ASA C． AAS D． SSS
10． 如图1，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连结BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连结BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连结BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依此规律，第n个图形中有全等三角形的对数是（ ）

A． n B． 2n-1 C． D． 3（n+1）
如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点；再分别以点E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H.若∠C＝140°，则∠AHC的度数是（ ）

A． 20° B． 25° C． 30° D． 40°
填空：
1． 建筑工人在做门框时，往往在门框的上方斜着钉一根木条，从而起到固定门框的作用，这是利用了三角形的____________．
2． 如图，在△ABC中，BD+DC=10cm，DE是AB的中垂线，则AC的长为____________cm．

3． 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，需添加一个条件是________________________． （只需添加一个条件即可）
4．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连结BF，CE.有下列说法：①CE＝BF；②AE＝DF；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE；⑤△ABD和△ACD面积相等．其中正确的说法有____________个．

5． 如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要证明△ABC≌△DEF.

（1）若以“ASA”为依据，则还缺一个条件：____________；
（2）若以“AAS”为依据，则还缺一个条件：____________.
6． 已知△ABC的六个元素如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是____________．

7． 如图，AB＝AD，BC＝DC，若∠B＝38°，则∠D＝____________．

8． 如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°，则∠CED的度数为____________．
9． 如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD=8，则点P到BC的距离是____________．

10． △ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点），则图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形（不含△ABC）的个数是____________个．

11． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝6，AC＝4.若△ABD的面积等于9，则△ACD的面积为____________.
解答：
1． 已知：如图，BC＝DE，BE＝DC.求证∠CBE＝∠EDC.小明是这样想的，请你给小明的每个想法填上依据（填在括号中）．
在△BCD和△DEB中，
∵BC=DE（ ），DC=BE（ ），BD=BD（ ），
∴△BCD≌△DEB（ ）．
∴∠CBD＝∠EDB，∠CDB＝∠EBD
（ ）．
∴∠CBE＝∠EDC.
2． 如图，AD＝CB，E、F是AC上两点，且有DE＝BF，AF＝CE.
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：AD∥BC.

3． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，过点A作AE⊥l3于点E，求BE的长．

4． 问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；
拓展应用：如图4，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为____________．


5． 如图所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC，请将下列说明△ACD≌△AEB的理由的过程补充完整．

证明：∵∠DAB＝∠EAC（已知），
∴∠DAB＋____________＝∠EAC＋____________，即____________＝____________在△ACD和△AEB中，
∵
∴△ACD≌△AEB（SAS）．
6． （重庆中考）如图，△ABC和△EFD分别在线段AE的两侧，点C，D在线段AE上，AC＝DE，
AB∥EF，AB＝EF.
求证：BC＝FD.

7． 如图，在△ABC中，E为边AB的中点，ED⊥AB，交BC于点D，且∠CAD＝6°，∠B＝48°，则∠BAC＝____________．

8． 在新建的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊ABCD，如图所示，其中∠B＝∠C，在AB，BC，CD三条绿色长廊上各修建一座小凉亭E，M，F，且BE＝CF，M是BC的中点，在凉亭M与F之间有一水池，不能直接到达，但要想知道M与F之间的距离，应该怎么办？说说你的做法及理由．

9． 如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD.
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．



10． 如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t（s），当t为何值时，△ABP和△DCE全等？






参考答案
一、选择：
1-5 BDACC 6-10 BBDDC 11 A
二、填空：
1. 稳定性
2. 10
3. ∠D=∠B（答案不唯一）
4. 4
5. （1）∠A＝∠D （2）∠ACB＝∠F
6. 乙、丙
7. 38°
8. 100°
9. 4
10. 4
11. 6
三、解答：
1. 已知 已知 公共边 SSS　 全等三角形对应角相等
2. （1）
∵AF＝CE，
∴AF＋EF＝CE＋EF，
∴AE＝CF.
∵在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SSS）．

∵△ADE≌△CBF（已证），
∴∠A＝∠C，
∴AD∥CB（内错角相等，两直线平行）．
解：过点C作CF⊥l3于点F.
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，AE⊥l3，CF⊥l3，
∴CF＝3，∠AEB＝∠BFC＝90°.
∴∠EAB＋∠ABE＝90°.
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABE＋∠FBC＝90°.
∴∠EAB＝∠FBC.

在△AEB和△BFC中，
∵
∴△AEB≌△BFC（AAS）．
∴BE＝CF＝3.
4. 特例探究：∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，∴∠BDA=∠AFC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，∵∴△ABD≌△CAF（AAS）；
归纳证明：∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∵∴△ABE≌△CAF（ASA）；
拓展应用：∵△ABC的面积为15，CD=2BD，∴△ABD的面积是：×15=5，由上题易得△ABE≌△CAF，∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积是5．
5. ∠BAC ∠BAC ∠DAC ∠EAB ∠DAC
∠BAE AC AE
证明：∵AB∥EF，
∴∠A＝∠E.
在△ABC和△EFD中，
∴△ABC≌△EFD.
∴BC＝FD.
7. 54°
8. 测出ME的长度，就是M与F之间的距离． 理由略
9. （1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE. 又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD⊥CE.证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E. ∵∠DAE＝90°，∴∠E＋∠ADE＝90°，∴∠ADB＋∠ADE＝90°，即∠BDE＝90°. ∴BD⊥CE.
10. ∵AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABP≌△DCE或△BAP≌△DCE. 当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝2，此时2t＝2，解得t＝1. 当△BAP≌△DCE时，AP＝CE＝2，此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋（DA－AP）＝6＋4＋（6－2）＝14，即2t＝14，解得t＝7. ∴当t＝1或7时，△ABP和△DCE全等．