沪教版数学高一下春季班：第六讲正弦、余弦函数图像及其性质 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第六讲
课题 正弦、余弦函数图像及其性质 单元 第六章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1．理解正弦、余弦函数的概念以及图像； 2．掌握其奇偶性、单调性、值域及最值； 3．学会从研究函数的角度解决实际问题．
重点 掌握正余弦函数的各种性质及应用；
难点 学会从多个角度分析函数．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30









1、正弦线：设任意角的终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为，则有，向线段叫做角的正弦线.
2、用单位圆中的正弦线作正弦函数，的图象（几何法）：


3、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数，的图象中，五个关键点是：

4、正弦函数的图像：
把，的图象，沿着轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为，就得到的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知：
（1）定义域：
（2）值域： ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以， 即 ，也就是说，正弦函数的值域是亦可由正弦图像直接得出。
（3）奇偶性：奇函数
由可知：为奇函数，正弦曲线关于原点对称
（4）单调递增区间：；
（5）单调递减区间：；
（6）对称中心：（）；
（7）对称轴：
（8）最值：当且仅当取最大值；
当且仅当取最小值。
（9）最小正周期：
一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期
由此可知都是这两个函数的周期
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它的周期，最小正周期是

注意：
1.周期函数定义域，则必有, 且若，则定义域无上界；则定义域无下界；
2.“每一个值”只要有一个反例，则就不为周期函数;
3.往往是多值的（如中都是周期）周期中最小的正数叫做的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
5、余弦函数的图像：

（1）定义域：
（2）值域：
（3）奇偶性：偶函数
（4）单调递增区间：，
（5）单调递减区间：
（6）对称中心：（）
（7）对称轴：
（8）最值：当且仅当取最大值；
当且仅当取最小值。
最小正周期：；






一、正余弦函数的图像
【例1】画出下列函数在上的图象
（1） （2）
【难度】★
【答案】如图
【解析】(1) 第一步——列表（见下表）








第二步：描点、作图（见右上图）


第一步——列表（见下表）


第二步：描点、作图（见右上图）




【例2】利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的的集合：

【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）作出正弦函数的图像：
由图形可以得到，满足条件的的集合为：
（2）作出余弦函数的图像：
由图形可以得到，满足条件的的集合为：


【例3】定义函数，根据函数的图像与性质填空：
(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值；
(3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，.
【难度】★★
【答案】(1) ;(2) ; (3) ; (4)

【例4】函数的大致图像是（ ）．

【难度】★★★
【答案】C
分析：观察四个图像，A、D图像关于原点对称，是奇函数；B图像关于轴对称，是偶函数；C图像非奇非偶函数。那么该函数的大致图像便迎刃而解．




【巩固训练】
1．用五点作图法作函数在上的图象
【难度】★
【答案】如图
【解析】(1) 第一步——列表（见下表）
第二步：描点、作图（见右上图）

2．已知，则的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】D

3．函数的部分图像是( )

【难度】★
【答案】

4．同一坐标系中，函数的图像和直线的交点个数有___个
【难度】★★
【答案】两个，分别为

二、正余弦函数的定义域值域
1、正余弦函数的定义域
【例5】求下列函数的定义域
（1） （2） （3）
【难度】★
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由得：，结合数轴得：
所求函数的定义域为：.
（2） .
（3）因且，则.


【例6】（1）已知f（x）的定义域为［0，1），求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域．
【难度】★★★
【答案】见解析
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角．
解：（1）0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ（k∈Z）
∴所求函数的定义域为{x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z｝．
（2）由sin（cosx）＞02kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．
又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1．
故所求定义域为{x｜x∈（2kπ－，2kπ+），k∈Z｝．
点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线．

2、正余弦函数的值域与最值
【例7】（1）函数的值域是 .
（2）函数的值域是 .
【难度】★
【答案】（1）（2）
【解析】解：（1），由，
故，。
（2），由，
故，。
注：此类题型主要利用辅助角公式及三角函数的有界性来进行求解

【例8】已知函数，，求的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】的最大值为； 最小值为。
【解析】解： .
因为，所以. 当，即时，的最大值为；
当，即时，的最小值为。


【例9】函数的最大值、最小值分别为（ ）
. 2， .
. .
【难度】★★
【答案】

【例10】求下列函数的值域：.
【难度】★
【答案】
【解析】解：，
令，由，，则，
当，即时，. 当，即时，.
所以.
注：此类题型主要利用二次函数的知识以及三角函数的有界性综合考虑


【例11】求函数的定义域
【难度】★★
【答案】
【解析】解：令 ，则，
>0恒成立，所以函数的定义域为.

【例12】求下列函数的值域 ．
【难度】★★
【答案】方法依次是（1）先降幂，再用辅助角公式，最后化为一般三角函数式（考察重点）；（2）化为二次函数；（3）化为对勾函数、二次函数、一次函数或分式函数．
解：(1)
．
注：注意函数的定义域，注意．

【例13】求函数的值域．
【难度】★★
【答案】
【解析】解： ，即，所以解得函数的值域是


【巩固训练】
1．求函数的定义域，值域：
1) 2)
【难度】★★
【答案】（1）定义域，值域为；（2）定义域为 ，值域为．

2．函数的定义域是____________．
【难度】★★
【答案】



3．求下列函数的定义域
(1) ；(2)．
【难度】★★★
【答案】见解析
解：等价转化为求一个不等式组的解
(1)
(2)．
注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．

4．函数的最大值为_________．
【难度】★★
【答案】
【解析】
，由三角函数有界性得

5．函数的最大值 ，此时的值是
【难度】★★
【答案】，
【解析】
又，结合函数解析式，当且仅当时，

6．函数的最大值为 .
【难度】★
【答案】9
【解析】
又，结合函数解析式，当且仅当时，

7．求函数的值域．
【难度】★★
【答案】
【解析】解：
∵ =∵，
∴，∴．

8．求函数的最小值．
【难度】★★
【答案】
【解析】解：设则，
所以＝，当时，有最小值.

9．求函数的值域．
【难度】★★★
【答案】方法有两种：（1）利用斜率定义；（2）分母乘到y这边来，运用辅助角公式，利用三角函数的有界性解题．答案是

10．若函数能使得不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是______________．
【难度】★★
【答案】

11．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 ．
【难度】★★
【答案】，所以，最大值为.

12．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值称为函数的“下确界”，则函数的“下确界”为.
【难度】★★
【答案】

13．要在一个半径为的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，问应如何截取，并求出此矩形的面积.
【难度】★★
【答案】矩形面积的最大值为1，
【解析】设，则
矩形的长为，宽为.
从而，
，，则
因此，矩形面积的最大值为1，此时 .即 做角，过射线与半圆相交与点， 过点做边的垂线，交点为，过点做边的平行线，交半圆与点，过点做边的垂线，交点为，矩形即为所得.

14．已知函数，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【难度】★★

【答案】见解析
【解析】（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），
且
，即的取值范围是．


15．求函数的最大值和最小值．
【难度】★★★
【答案】见解析
解：原函数可化为：，
令，
则，∴．
∵，且函数在上为减函数，∴当时，即时，；当时，即时，．


三、正余弦函数的性质
1、正余弦函数的周期性
【例14】求下列函数的周期：
⑴； ⑵；
⑶；
【难度】★★
【答案】（1）；（2）（3）．

【例15】求下列函数的最小正周期．
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）（3）（4）．

【例16】求下列函数的周期：
（1）；（2）；（3）．
【难度】★★★
【答案】见解析
解：（1），
∴周期．
（2），故周期．
（3），故周期．
【例17】函数的最小正周期为（ ）．
A. B. C. D.
【难度】★★★
【答案】C

【例18】证明函数不是周期函数．
【难度】★★★
【答案】反证法


【巩固训练】
1．在下列四个函数中，周期为的偶函数为 （　 　）
. .
. .
【难度】★
【答案】B

2．函数的最小正周期是___________
【难度】★
【答案】
,故最小正周期为 .

3．求函数的最小正周期.
【难度】★★
【答案】由图得，最小正周期为


4．函数的最小正周期为_________．
【难度】★
【答案】
【解析】


5．函数的最小正周期为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】


6．已知函数的最小正周期为，则正实数= ．
【难度】★★
【答案】
【解析】由 得，

7．“”是函数的最小正周期为的 ( )
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
【难度】★
【答案】


2、正余弦函数的奇偶性与对称性
【例19】判断下列函数的奇偶性：
（1）；（2）；
（3）．
【难度】★★
【答案】（1）奇；（2）奇；（3）奇函数．

【例20】（1）函数的图像关于轴对称，则= _______________
（2）函数为奇函数，则
【难度】★★★
【答案】（1）.（2）

【例21】（1）函数的对称轴方程是
（2）若函数的图像关于对称，则
【难度】★
【答案】（1）， （2）


【巩固训练】
1．函数的奇偶性为 ．
【难度】★★
【答案】奇函数
【解析】函数的定义域为关于原点对称
，所以此函数为奇函数

2．函数图像的一条离直线最近的对称轴方程是 ．
【难度】★
【答案】
【解析】由得： ， 故而离直线最近的对称轴方程是

3．是 函数．
【难度】★
【答案】偶

3．若函数，则是（ ）．
A．周期为1的奇函数 B．周期为2的偶函数
C．周期为1的非奇非偶函数 D．周期为2的非奇非偶函数．
【难度】★★
【答案】B


4．判断下列函数的奇偶性
（1） （2）
【难度】★
【答案】（1）非奇非偶 （2）既是奇函数又是偶函数


3、正余弦函数的单调性
【例22】求列函数的单调增区间
（1） （2） （3） （4） .
【难度】★★
【答案】 (1) (2)
(3) （） (4)（）

【例23】求函数的单调递增区间.
【难度】★★
【答案】∵ 令 ∴
是的增函数 又 ∵
∴ 当为单调递增时为单调递减 且
∴
∴ ，
∴ 的单调递减区间是

【例24】已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
【难度】★★
【答案】（1）的最小正周期为（2）最大值为，最小值为．
【解析】解：（Ⅰ）．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，，
故函数在区间上的最大值为，最小值为．
解法二：作函数在长度为一
个周期的区间上的图象如下：由图象得函数在区间上的最大值为，最小值为．

点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决.

【例25】已知函数．
求：（I）函数的最小正周期；（II）函数的单调增区间．
【难度】★★
【答案】（1） （2）（）．
【解析】．
（I）函数的最小正周期是；
（II）当，即（）时，函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．

【例26】已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．（2）求函数的单调递增区间．
【难度】★★★
【答案】见解析
【解析】（1）由题设知．因为是函数图象的一条对称轴，所以，即（）．所以．当为偶数时，，当为奇数时，．
（2）
．
当，即（）时，
函数是增函数，故函数的单调递增区间是（）．


【巩固训练】
1．求下列函数的单调递增区间：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）；
（4）．

2．函数的单调增区间是（ ）．
A． B．
C． D． ．
【难度】★★
【答案】A

3．函数的单调递减区间是（ ）．
A． B．
C． D．．
【难度】★★
【答案】C

4．设函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若函数与的图像关于直线对称，求当时，的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）函数的最小正周期为
（2）函数的最大值为




三角函数是高中重要知识点，亦是高考中考查的热点内容，本章学习过程中学生应理解正弦、余弦函数的概念以及会用“五点法”作图；掌握其奇偶性、单调性、值域及最值；其中对三角函数图像的直观反映是学生研究三角函数及其性质的重要工具，对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。






1、函数的值域为（　　）

【难度】★★
【答案】

2、若函数的最小正周期为，那么正数的值是( )

【难度】★★
【答案】4

3、函数的一个单调增区间是( )

【难度】★★
【答案】

4、函数的最小正周期是_______.
【难度】★★
【答案】

5、函数的最小正周期是_______
【难度】★★★
【答案】

6、已知函数，的值域是_______．
【难度】★★
【答案】

7、函数的最小正周期是___________
【难度】★★
【答案】

8、函数的最小正周期为___________，单调增区间为___________.
【难度】★★
【答案】，,

9、在同一平面直角坐标系中，的图象和直线的交点个数是( )
2 4
【难度】★★
【答案】


10、已知函数为偶函数，其图象与直线相邻的两个交点的横坐标分别为，，且，则( )

【难度】★★★
【答案】

11、是定义在上的以3为周期的奇函数且，则方程在区间内解的个数的最小值是( )

【难度】★★

【答案】7

12、函数在区间上恰好有个最大值，则的取值范围是 .
【难度】★★★
【答案】

13、函数对于任意实数，在区间上的值出现的次数不少于次且不多于次，试求的值.
【难度】★★★
【答案】2或3


14、已知函数，
⑴讨论函数的奇偶性
⑵求当取最大值时，自变量的取值集合.
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）若，则函数是偶函数，若则函数既不是奇函数也不是偶函数
若，则函数的最大值为，此时
若，则函数的最大值为，此时

15、设函数，则（ ）
A．在区间上是增函数 B．在区间上是减函数
C．在区间上是增函数 D．在区间上是减函数
【难度】★★
【答案】


16、设函数，则为( )
A．周期函数，最小正周期为 B．周期函数，最小正周期为
C．周期函数，最小正周期为 D．非周期函数
【难度】★★
【答案】


17、函数，的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则的取值范围是 ．
【难度】★★
【答案】


18、函数的值域为_______
【难度】★★
【答案】

19、函数的值域是（ ）
A B C D
【难度】★
【答案】

20、根据正弦函数的图像得使不等式成立的的取值集合为（ ）
A B
C D
【难度】★
【答案】

21、函数的单调递增区间是_________。
【难度】★★
【答案】


22、函数在区间上恰好取得最大值，则实数的取值范围是 .
【难度】★★
【答案】

23、设函数,若对任意,都有成立,则的最小值( )
A. B. C. D.
【难度】★★★
【答案】


24、函数图像的一条对称轴方程是（ ）
A B C D
【难度】★
【答案】


25、若函数的最大值是，最小值是，求函数的最大值与最小值及周期。
【难度】★
【答案】最大值为2，最小值为-2

26、已知函数，
（1）求的最小正周期及单调区间；
（2）求的图像的对称轴和对称中心。
【难度】★
【答案】见解析
【解析】（1），增区间为；减区间为

（2）对称轴为，对称中心为


27、已知函数，，若有个互不相等的正数满足，且，求的值
【难度】★★
【答案】

28、设函数的图象与直线，及轴围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数在上的面积为，
⑴在上的面积为 ；
⑵在上的面积为 ．
【难度】★★★
【答案】（1） （2）

29、已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立.
⑴函数是否属于集合.说明理由.
⑵设函数(且)的图象与的图象有公共点，证明
⑶若函数，求实数的取值范围.
【难度】★★★
【答案】（1）
（2）提示：两函数图像有交点得出，存在非零常数，成立。
（3）

30、若函数对任意实数都有．
（1）求的值；（2）求的最小正值；
（3）当取最小正值时，求在上的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】（1） （2） （3）1，-2


31、已知 ，
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）若，求的最大值及取得最大值时对应的的取值．
【难度】★★
【答案】（1）（2）
【解析】（1）因为
所以，即函数的最小正周期为
因为，
所以的单调递减区间为
（2）因为，得，
所以有，由，
即
所以，函数的最大值为1.
此时，因为
所以，，即.

32、设
⑴求当时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．
⑵求最小正整数，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】（1）， （2）



















正弦、余弦函数的图像与性质


知识梳理

例题解析

y

x

o

1

-1





2

3

-

y

x

O

















反思总结

课后练习






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