沪教版数学高一下春季班：第十一讲 数列的概念 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十一讲
课题 数列的概念 单元 第七章 学科 数学 年级 十
学习 目标 1．理解数列的概念； 2．掌握数列通项与前项和的意义； 3．理解数列递推公式的意义.
重点 1．数列的概念及由计算数列的前若干项；2．通过归纳得出数列的通项公式；3．数列中函数的思想．
难点 数列中函数的思想．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30









一、数列及相关概念
1、定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，… ，第项，…
注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。
2、数列的一般形式可以写成：其中是数列的第项，是的序数，上面的数列可简单记作。
3、函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数。
函数与数列的联系与区别：
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即递增?对任意的都成立．类似地，有递减?对任意的都成立.
二、数列的表示方法
解析法、图像法、列举法、递推法.
三、数列的分类
有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；
1. 有穷数列:项数有限.
2. 无穷数列：项数无限.
3. 递增数列:对于任何,均有.
4. 递减数列:对于任何,均有.
5. 摆动数列:例如: -1,1,-1,1,-1,1, …….
6. 常数数列:例如:6,6,6,6,…….

四、数列的通项公式
定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是
，也可以是.





一、求数列通项公式
【例1】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）
（2）
（3）
（4）
【难度】★
【答案】（1）；
（2） ；
（3）
（4）
【解析】（1）联想数列2,4,8，16,32，······，即数列{},可得数列的通项公式；
（2）将原数列改写为分别观察分子分母，分母为1,2,3，4，5,......,分子为1,0，-1，0,1,0，......,呈周期性变化，可以用
（3）分子为正偶数列，分母为1X3,3X5,5X7，7X9,9X11，......,得数列通项公式；
（4）各项加1后，变为10,100,1000,10000，...，即数列{}

【例2】的一个通项公式是 。
【难度】★
【答案】
【解析】将原数列改写为则可得。

【例3】数列的一个通项公式是 。
【难度】★
【答案】
【解析】此为带分数数列，将其看作系数和一个真分数，真分数中分母与分子相差1，则可得。

【例4】数列的一个通项公式是 。
【难度】★
【答案】。
【解析】偶数项为负，要用-1的n次幂调符号，分子与分母相差1

【例5】已知数列中，，，通项是项数的一次函数，
①求的通项公式，并求；
②若是由组成，试归纳的一个通项公式.
【难度】★★
【答案】①；②
【解析】设,则,解得,
∴,∴.
又∵,,,,即为5,9,13,17,…,∴.

【例6】如果一个数列从第2项开始，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列。已知等和数列的第一项为2，公和为7，求这个数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】
【解析】

【巩固训练】
1.设数列，则是这个数列的（ ）
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
【难度】★★
【答案】C
【解析】都放入二次根号中，可得根号中的数字分别为2,5,8,11，......

2.观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论 .
【难度】★★
【答案】
【解析】左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n，则最后一项为3n-2，右边均为2n-1的平方。


3.根据下列数列的前若干项，写出它们各自的一个通项：
（1）（写出两个不同形式的通项公式）
（2）
（3）
（4）1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；
（5） 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）＝n＋
（5） ＝(－1)n(n＋1).
【解析】（1）此通项公式比较容易，主要需要学生明白一个数列的通项公式有时是不唯一的
（2）的通项公式，则通项公式
（3）将分子和分母分开开看，分母加1，一个立方，一个平方
（4） 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,
∴＝n＋；
（5）将数列变形为1×2, －2×3, 3×4, －4×5, 5×6,……，
∴ ＝(－1)n(n＋1).


二、已知数列通项公式，求某几项
【例7】根据下面数列的通项公式，写出前5项：
（1）
【难度】★
【答案】 （1）
(2)
【解析】前5项，即n=1,n=2,n=3,n=4,n=5

【例8】已知数列，，那么是这个数列的第 项.
【难度】★
【答案】10.
【解析】解方程，，负值舍掉

【例9】若数列满足则的值是
【难度】★★
【答案】.
【解析】。
∴数列是周期为3的数列，∴.

【例10】数列满足， ，求
【难度】★★
【答案】
【解析】此为年份类的题，可以写出前几项，找规律


【巩固训练】
1.已知数列的图像是函数图像上，当x取正整数时的点列，则其通项公式为 。
【难度】★
【答案】.
【解析】数列是离散的函数，它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点

2. 已知数列满足，，则 .
【难度】★★
【答案】
【解析】求第四项，已知通项公式，直接求
设数列的第项是二次函数，，求.
【难度】★★
【答案】65
【解析】设，由
，.

三、已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项,判断数列单调性
【例11】数列中，.
⑴是数列中的第几项？
⑵为何值时，有最小值？并求最小值.
【难度】★★
【答案】 ⑴是数列中的第项.
（2）或时，.
【解析】 ⑴由，解得， 是数列中的第项.
（2），或时，

【例12】数列中，,求数列的最小项
【难度】★★
【答案】
【解析】

【例13】已知是递增数列，且对任意，都有恒成立，则实数的取值范围是 。
【难度】★★
【答案】
【解析】∵{an}是递增数列，∴an+1＞an，
∵an=n2+λn恒成立，即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，
∴λ＞-2n-1对于n∈N*恒成立．
而-2n-1在n=1时取得最大值-3，
∴λ＞-3，

【例14】数列中，，求数列的最大项和最小项.
【难度】★★
【答案】数列的最小项为，没有最大项.
【解析】分子有理化，可得是递增数列，所以没有最大项，最小项为第一项。

【例15】已知数列中， ，求数列的最大项.
【难度】★★
【答案】第16项最大.
【解析】， 离散的函数，可以借助函数图像，函数没有最值，但是数列存在最大项和最小项。


【巩固训练】
1.数列中，，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是？
【难度】★★
【答案】最大项，最小项
【解析】


2.已知，试问数列中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
【难度】★★
【答案】有最大项
【解析】，

3.已知数列的通项公式为则
(1)数列中有多少项是负数？
(2)为何值时，有最小值？并求出最小值．

【难度】★★
【答案】（1）有两项是负数；
（2）当时，有最小值，其最小值为－2.
【解析】（1）解不等式，,1
4.给出下列数列的通项公式，取何值时，最小？
（1）=
（2）=
（3）=
【难度】★★
【答案】（1）4或5
（2）3
（3）11
【解析】借助二次函数，但它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点

5. 已知数列中，，则数列中数值最大的项是（ ）
A. 第12项 B. 第13项 C. 第12项或第13项 D. 无法确定
【难度】★★
【答案】 B
【解析】分子分母同时除以n，借助耐克函数



四、已知递推公式求某几项，并归纳通项公式
【例16】数列中，，求，并归纳出.
【难度】★★
【答案】 ，，，，
.
【解析】 ，
，，，，
由，可以归纳出.

【例17】已知数列满足，则=（ ）
A、0 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】 B
【解析】写出前几项，得依次为周期是3的周期数列

【例18】已知函数，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：数列是递减数列．
【难度】★★
【答案】
【解析】∵f（x）=，f（log2an）=-2n，
∴，
∴，解得，
∵an＞0，
∴，n∈N*；
（2）证明：，
∵an＞0，
∴an+1＜an，?
∴数列{an}是递减数列。

【例19】设，则数列从首项到第项的和最大，则的值是________．
【难度】★★
【答案】
【解析】

【例20】已知一次函数的图像关于直线对称的图像为C，且。若点()在图像C上，并有，。
（1）求f（x）的解析式及图像C对应函数的解析式；
（2）求数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】（1）f（x）=x-1 图像C对应函数的解析式；
。
【解析】（1）设f（x）=kx+b（k≠0），
则f[f（x）]=k（kx+b）+b=k2x+kb+b=x-2，同时可得图像C所对应的函数即为一次函数f(x)的反函数，联立方程可得k=1,b=-1;
(2)由（1）得f-1（n）=n+1，即

【例21】若数列是由确定，求数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】
【解析】





【巩固训练】
1.已知数列的递推公式为n∈N*,那么数列的通项公式为______。
【难度】★★
【答案】
【解析】写出前几项，归纳通项公式

2.数列满足，求。
【难度】★★
【答案】
【解析】写出前几项，归纳通项公式

3.已知定义在正整数集上的函数满足条件：，,
,则的值为（ ）
A．－2 B． 2 C．4 D．－4
【难度】★★
【答案】B．
【解析】年份题，写出前几项，有规律，函数值以6为周期出现。

4. 数列中，对所有的，都有求数列的通项公式。
【难度】★★
【答案】
【解析】写出前几项，归纳通项公式
5. 已知数列满足
1）求数列的通项公式；
2）证明数列是递增数列.
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）见解析
【解析】1）

2） 为递增数列。

五、已知,求
根据与之间的关系：=.
【例22】已知下列数列的前项和，分别求它们的通项公式.
1.
2.

【难度】★★
【答案】⑴.
⑵.
【解析】直接再写前（n-1）项的和，然后做差，最后必须检验首项。

【例23】已知数列的前项和为，数列的前项和，若，则实数 。
【难度】★★
【答案】32
【解析】分别求出数列和的通项公式，则求解。

【例24】已知数列前项和为，求通项；
（1）； （2）； （3）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；
（3）
【解析】直接再写前（n-1）项的和，然后做差，最后必须检验首项。

【例25】若数列前项和，则 ．
【难度】★★
【答案】51
【解析】求出数列的通项公式

【例26】若数列满足，则该数列的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】
，则做差可得通项公式，最后必须检验首项。

【例27】若数列满足，且对所有的都有，则当时，数列的通项公式为 ．
【难度】★★
【答案】．
【解析】数列相除，可得数列的通项公式。

【例28】有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首项、末项）后，余下的项的平均值是79．
求数列的通项；
求这个数列的项数，并回答抽取的是第几项．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）项数为39，抽取的是第20项．
【解析】（1）直接再写前（n-1）项的和，然后做差，最后必须检验首项；
（2）


【巩固训练】
1.数列的前项和为，且，则数列的首项为（ ）
A．或 B． C． D．或
【难度】★★
【答案】A
【解析】

2. 数列的通项其前项和为，则为（ ）
A. 470 B. 490 C. 495 D. 510
【难度】★★
【答案】A
【解析】其以3为周期。

3.数列中，.
⑴求这个数列的第10项；
⑵是否为该数列的项，为什么？
⑶求证：；
⑷在区间内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.
【难度】★★
【答案】⑴；
⑵不是该数列的项；
⑶见解析
（4）当时，在区间内有数列的项.
【解析】⑴，；
⑵令，无整数解，不是该数列的项.
⑶，，，
（4），得
，当且仅当时，在区间内有数列的项.




数列的概念命题以填空题居多，主要从四个方面考查：一是理解数列的定义及分类，能用函数的观点认识数列；二是会用通项公式写出数列的任意项，也要会根据给出数列的前几项归纳出数列的一个通项公式；三是会根据递推公式写出数列的前几项，并归纳出数列的通项公式；四是会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式．





1、已知数列的通项公式是，则47是数列的第 项．
【难度】★★
【答案】
【解析】解方程

2.已知数列满足，，则 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】直接根据递推公式，写出前几项

3、数列中，，，数列满足关系式，则 ．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据递推公式，写出前几项，归纳数列的通项公式，则可得。

4、无穷数列同时满足条件：1）对任意自然数都有；2）当为正偶数时，且；3）当时，．请写出一个满足条件的的通项公式： ．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】答案不唯一

5、若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ，数列中数值最小的项是第 项．
【难度】★★
【答案】，3．
【解析】直接再写前（n-1）项的和，然后做差，最后必须检验首项。

6、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按右图所示方式固定摆放．从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则 ； （答案用表示）．
【难度】★★
【答案】10，．
【解析】写出前几项，归纳通项公式

7.数列,则是该数列的第_____________________项.
【难度】★★
【答案】128
【解析】该数列中：分子、分母之和为2的有1项，为3 的有2项，为4的有3项，为5的有4项，...,则分子、分母之和为16的有15项，而分子、分母之和为17的有16项，是分子、分母之和为17的第8项。

8.有下列四个命题：
1）数列1,3，5,7,9，......,的一个通项公式是：；
2）（为常数）是一个常数列；
3）集合可以表示由正偶数按从小到大的次序排列所得的数列；
4）已知数列，从第6项起各项都是正数.
其中真命题的的序号是_______________.
【难度】★
【答案】4
【解析】数列的基本概念

9.设，那么为（ ）
A、 B、
C、 D、
【难度】★★
【答案】D
【解析】直接再写，然后做差

10.若数列前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】有由已知得数列以8为周期，k分别取1,2,3,4,5,6,7,8时，分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等。故选B

11.已知数列的前n项和为，则这个数列的通项公式为____________
【难度】★★
【答案】
【解析】直接再写前（n-1）项的和，然后做差，最后必须检验首项，若首项不满足，必须分段写数列的通项公式。
12.已知数列的前项和.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足,求的前10项和.
【难度】★★
【答案】

当时,也满足上式
所以
(2）由（1）得：

【解析】（1）直接再写前（n-1）项的和，然后做差，最后必须检验首项，若首项不满足，必须分段写数列的通项公式；（2）裂项相消，对于初学者可以以引入。






















数列的概念

知识梳理

例题解析

反思总结

课后练习






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