沪教版数学高二下春季班：第一讲复数的概念与运算 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第一讲
课题 复数的概念与运算 单元 第十三章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1、理解复数及其概念；掌握复数的坐标表示、复数的模、共轭复数、相等复数等概念2、掌握复数的四则运算和乘方以及复数的积和商的模的运算3、理解复数的模的几何意义，体会数形结合的思想
重点 复数的概念和运算复数模的几何意义
难点 复数模的几何意义

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30








1、理解复数的有关概念
（1）虚数单位:它的平方等于-1，即.
（2）复数的定义与表示：
形如的数叫复数，叫复数的实部，记作；叫复数的虚部，
记作；全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示.
复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即，把复数表示成的形式，叫做复数的代数形式.
（3）复数的分类以及复数与实数、虚数、纯虚数及的关系：
对于复数，当且仅当时，复数是实数，；
当时，复数叫做虚数；当且时，叫做纯虚数；
当且仅当时，就是实数0.


（4）两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.
这就是说，如果、、、，那么





（5）复数集与其它数集之间的关系：.



（6）共轭复数：
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做共轭复数，也称这两个复数互相共轭.复数的共轭复数用表示，也就是当时，.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
　.









（7）复数的模：
复数在复平面内所对应的点到坐标原点的距离叫做复数的模，记作.
由模的定义，可知.


2、理解复数的有关运算及性质
（1）复数的四则运算：设，则
①加减：；
②乘法：；
③除法：.
（2）共轭复数的运算：
　　①； ② ；　③； ④；
　　 ⑤； ⑥； 　⑦若z为纯虚数；⑧.
（3）模的运算：
　　① ； ②； ③； ④；
　　⑤（当z≠0时，）； 　*⑥；
　　⑦；
　 ⑧非零复数，，
对应向量（矩形的对角线相等）.
　





（4） 重要结论：
①对复数和自然数有；
② ，，，；，，，；
③ ，；④ ；
⑤ 1的立方根是； 的立方根是.













3、理解复数的几何意义
(1)复平面的有关概念：实轴是轴,虚轴是轴；与复数 一一对应的点是； 非零复数与复平面上自原点出发以点为终点的向量一一对应；复数模的几何意义是:复数对应复平面上的点到原点的距离.










(2)另外，要熟悉如下复数式的几何意义：
①两点间的距离公式：；　 　
②线段的中垂线：； 　　
③圆的方程：（以点为圆心，为半径）； 　
④圆的内部：（以点为圆心，为半径）； 　
⑤闭圆环：（以点为圆心，为半径）；
⑥椭圆： （为正常数，）；

线段: （为正常数，）；
无轨迹:（为正常数，）；
⑦双曲线：（为正常数，）；
射线: （为正常数，）；
无轨迹: （为正常数，）.





复数的概念
【例1】判断下列结论是否正确：
（1）,则是虚数；
（2），则是纯虚数；
（3）不是虚数；
（4）是虚数.
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3）错，（4）对.

【例2】实数m取什么数值时，复数是：
（1）实数；
（2）虚数；
（3）纯虚数.
【难度】★
【答案】（1）（2）（3）.


【巩固训练】
1．判断下列命题的真假
命题1：若则
命题2：若则
命题3：若是纯虚数
命题4：若
【难度】★
【答案】命题1，命题2，命题3均为假命题，命题4为真命题．

2．取何值时，复数.
（1）是实数；
（2）是虚数；
（3）是纯虚数.
【难度】★
【答案】（1）； (2) 且 (3) 或.


复数的相等
【例3】已知，求实数，.
【难度】★★
【答案】，.

【例4】下列类比推理命题（其中为有理数集，为实数集，为复数集）：
①“若，则”类比推出“若，则”；
②“若，则复数”类比推出“若，则”；
③“若，则”类比推出“若，则”．[来源:学§科§网Z§X§X§K][来源:Zxxk.Com]
其中类比结论正确的个数是（ ）.
A．0 B．1 C． 2 D． 3[来源:学。科。网]
【难度】★★
【答案】C

【巩固训练】
1．已知 其中都是实数，求复数
【难度】★★
【答案】有四种情况：3-3i,3+i,-1-3i,-1+i

2．对于任意两个复数.定义运算“”为：.设非零复数、在复平面内对应的点分别为、，点为坐标原点，如果，那么在中，的大小为
【难度】★★
【答案】

复数的运算
【例5】 设、、、，若为实数，则 ( )
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】C

【例6】
【难度】★★
【答案】

【例7】求同时满足下列两个条件的所有复数；
（1） (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，且 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)；（2）的实部与虚部都是整数
【难度】★★
【答案】设 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
则 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??) (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??) (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
因为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。
当 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)时， (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，又 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，而 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以在实数范围内无解。
当 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)时，则 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。由 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
因为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为正整数，所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)的值为 1，或2，或3。
当 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)当 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)；当 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。
则 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。

【巩固训练】
1．求值：______________．
【难度】★
【答案】
2．计算：= .
【难度】★
【答案】

3．已知 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为复数， (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为纯虚数， (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，且 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．求复数 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．
【难度】★
【答案】设 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，则 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)= (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为纯虚数，所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，
因为 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)；又 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．解得 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??) 所以 (?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．

复数的模及其运算
【例8】已知复数是 实数，则=___________.
【难度】★
【答案】

【例9】复数=
【难度】★
【答案】2


【巩固训练】
1．已知复数， ， ，
求：（1）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）若,且,求的值．
【难度】★★
【答案】(1)∵，
∵，
，
∴.
(2)∵,,由（1）得,
∴. 又,∴.
∴
=×．

2．已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．
【难度】★★
【答案】
，
由得 解得

复数的坐标表示及其几何意义
【例10】已知复数满足，则的最小值是（ ）
A、18 B、6 C、 D、
【难度】★★
【答案】 B

【例11】设复数满足｜＋1－2｜＝3，复数＝4－＋1，求在复平面上对应点P的轨迹方程．
【难度】★★
【答案】设＝＋，＝＋、、、∈R．
∵｜＋1－2｜＝3，∴．
∵＝4－＋1，∴＋＝4＋1＋，
得：＝144．

【例12】设复数在复平面上对应的点是一个定点，复数在复平面上对应的点是一个动点，其轨迹方程为，复数z在复平面上对应的点是另一个动点，满足 ，则复数z在复平面上对应的点的轨迹形状是（ ）
A、一条直线 B、以为圆心，为半径的圆（原点除外）
C、焦距为的双曲线 D、以上均不对
【难度】★★
【答案】B

【例13】设复数（为虚数单位），若对任意实数，，则实数的取值范围为 ．
【难度】★★
【答案】

【例14】设为坐标原点，复数z1、z2在复平面内对应的点分别为P、Q，则下列结论中不一定正
确的是 （ ）
A． 　　 B．
C． D．
【难度】★★
【答案】D

【巩固训练】
1．在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为 .（结果反三角函数值表示）
【难度】★★
【答案】

2．若复数满足，则的最小值是 .
【难度】★★
【答案】1

3．已知复数满足（i是虚数单位），若在复平面内复数z对应的点为Z，则点Z的轨迹为　　 　　　　　 　　 　　　 （ ）
A．双曲线的一支 B．双曲线 C．一条射线 D．两条射线
【难度】★★
【答案】C

4．若复数满足.则在复平面上对应点集合的面积为
【难度】★★
【答案】

5．设O为坐标原点，已知向量、分别对应复数、，，
是实数，求的值。
【难度】★★
【答案】由,
又分母不为零，　.

复数的综合应用
【例15】将复数对应的向量按顺时针方向旋转，再把它的模变为原来的倍，则与所得到的向量对应的复数是
【难度】★★★
【答案】

【例16】定义:复数是的转置复数,记为;复数是的共轭复数,记为.给出下列三个命题:①;②;③;其中真命题的个数为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】C
【解析】,①正确;
,②正确;=
,=
,∴,③错,故选C.

【例17】在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中真命题的序号为 ( )
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【难度】★★
【答案】B

【例18】已知复数．
(1) 求的最小值；
(2) 设，记表示复数z的虚部). 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像. 试求函数 的解析式．
【难度】★★
【答案】(1)∵，
∴.
∴当，即时，.
(2)∵，∴.
∴.
将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是.
把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数是．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴.


【巩固训练】
1．已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．
（1）求角的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【难度】★★
【答案】（1）∵ ∴----①,----②
由①得------③
在△ABC中,由正弦定理得

∵ ∴ ∴,∵ ∴
（2）∵,由余弦定理得,--④
由②得-⑤ 由④⑤得，∴=.

2．对于非零实数，以下四个命题都成立：
① ； ② ；
③ 若，则； ④ 若，则．
那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．
【难度】★★
【答案】②④

3．已知，则
【难度】★★
【答案】1

4．已知为虚数，且?为实数， 若(为虚数单位，) 且虚部为正数，，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】设
由，又

又
∵ z虚部为正数，??? ∴，???
∴???????∴，????????
∴

【解析】


复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式．
1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数Z与点Z(a，b)相对应。
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)＝b－ai；
(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).

3．复数的基本概念如实、虚部，共轭复数，模的几何意义，i的周期性是易错点．







1、【2017上海卷，5】已知复数满足，则________
【答案】
【解析】 由复数满足，则，所以，所以.
【名师点睛】分式形式的复数，分子分母同乘分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
2、【2016上海卷，1】设，其中为虚数单位，则=_____________．
【答案】?3
【解析】试题分析：
【考点】复数的运算、复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必得分的题目之一.
3．【上海市崇明区2018届高三4月模拟】若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
则： ，
整理可得： ，
据此有： ，
求解方程组可得： .
本题选择C选项.
4．【上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）】已知为虚数单位，若复数为正实数，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. -1
【答案】D
【解析】，因为复数为正实数， ，即实数的值为 ，故选D.
5.【上海市杨浦区2018届高三下学期质量调研（二模）】若复数满足，则的最大值是________
【答案】2
【解析】设



当时，
6．【上海市徐汇区2018届高三一模】在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为_____
【答案】（4，-5）
【解析】 对应的点的坐标为（4，-5）
7．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知是虚数单位，复数满足，则________
【答案】
【解析】∵
∴
∴
故答案为：
点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
8．【上海市交通大学附属中学2018届高三上学期开学摸底考】已知是虚数单位，则的平方根是__________．
【答案】
【解析】 设复数，则，
即，解得，所以.








知识梳理

复数的概念与运算

【注意】
一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，只有当两个复数全是实数时才能比较大小.


【注意】
共轭复数的几何与代数特征:
（1）几何特征：
非零复数互为共轭复数对应点（或对应向量，）关于实轴对称.
（2）代数特征：①为纯虚数或零； 　　②.

【注意】
(1)性质⑥通常叫做三角形不等式，其几何意义为三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（不作要求）；
(2)性质⑦的几何意义为平行四边形两对角线平方和等于四条边的平方和.

【特别提醒】
（1）对于代数形式的四则运算法则，要特别注意除法可以用“分母实数化”理解；
　　（2）复数的加减法满足交换律、结合律；
　　（3）复数的乘除法满足交换律、结合律及对加法的分配律；
　　（4）复数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的；
（5）复数加、减法几何意义，即是向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则；.
（6）开平方运算：的平方根是，可由利用复数相等的充要条件转化为解实方程组.


【特别提醒】
(1)虚轴上的原点对应的有序实数对为， 它所确定的复数是表示是实数故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
(2)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，这就是复数的一种几何意义,也是复数的另一种表示方法，即几何表示法.


例题解析

反思总结

课后练习






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