沪教版数学高二下春季班：第二讲复数的方根与实系数一元二次方程 同步学案（教师版）

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沪教版数学高一下春季班第二讲
课题 复数的方根与实系数一元二次方程 单元 第十三章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．掌握待定系数法求解复数的平方根和立方根；掌握1的立方根的相关性质，并能利用其进行化简与求值2．掌握实系数一元二次方程的解法，并会结合根的情况加以讨论3．理解复数模的几何意义，熟悉常见几何图形的复数表达式
重点 1．方根的求解与化简求值； 2．实系数一元二次方程的解法与根的情况分析．
难点 实系数一元二次方程的解法与根的情况分析

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30







一、复数的平方根与立方根
1．复数的平方根的定义
若复数，满足，则称是的平方根．
2．复数的平方根的求法

即利用复数相等，把复数平方根问题转化为实数方程组来求．


3．复数的平方根的性质
复数总有两个平方根，，且（见图1）．
4．复数的立方根的定义
类似的，若复数，满足，则称是的立方根．
5．1的立方根
设复数，则都是1的立方根．
6．的性质
①，
②，
③．
可运用这些性质化简相关问题（见图2）．
7．其他有用结论
，
二、实系数一元二次方程
实系数一元二次方程中的为根的判别式，那么
（1）方程有两个不相等的实根；
（2）方程有两个相等的实根；
（3）方程有两个共轭虚根，
在（3）的情况下，方程的根与系数关系（韦达定理）仍然成立．
求解复数集上的方程的方法：
（1）设化归为实数方程来解决（化归思想）．
（2）把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形（整体思想）．
（3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式（公式法）．






















三、常见几何图形的复数表达式
复数，为定值，且．
（1）线段的中垂线方程：；
（2）以为圆心，半径为的圆方程：；
（3）以、为焦点，长轴长为的椭圆方程：
（其中）；
（4）以、为焦点，实轴长为的双曲线方程：
（其中）．






1、复数的平方根与立方根
【例1】求及的平方根．
【难度】★
【答案】的平方根为或；的平方根为或
【例2】计算：（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）513；（2）

【例3】记，求，．
【难度】★★
【答案】，

【例4】已知等比数列，其中，，（）．
（1）求的值；
（2）试求使的最小正整数；
（3）对（2）中的正整数，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）．


【巩固训练】
1．复数的平方根是 ．
【难度】★
【答案】

2．计算：（1） ．
（2） ．
【难度】★
【答案】（1）；（2）0

3．已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
【难度】★★
【答案】（1）；0；4；（2）略；（3）

2、复数中的代数式和方程
【例5】在复数范围内分解因式：
【难度】★
【答案】


【例6】复数满足方程，求的值
【难度】★★
【答案】由得，
所以原式

【巩固训练】
1．若虚数z满足，则的值为 ．
【难度】★★
【答案】

2．，，求的值.
【难度】★★
【答案】时，原式；时，原式；

3、实系数一元二次方程
【例7】已知方程，求方程的解．
【难度】★
【答案】
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，．

【例8】已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求的值．
【难度】★★
【答案】∵，∴，即
∴
【例9】已知是实系数方程的两个根，且满足，求实数的值．
【难度】★★
【答案】，
（1）当时，即时，是实根，∴，即；
（2）当时，即时，是共轭虚根，设，则，
∴，由，得．从而．
综上，或．

【例10】已知是实系数一元二次方程的两个根，求的值．
【难度】★★
【答案】，
（1）当时，即或时，，∴；
（2）当时，即时，．

【例11】已知复数满足，，，求．
【难度】★★
【答案】，
∴，
∴，
∴．
令，则，
∴，
∴，即．

【例12】（1）方程有一个根为，求实数的值；
（2）方程有一个根为，求的值．
【难度】★
【答案】（1）由题意：另一个根为，∴；
（2）由题意．

【例12】关于的方程有实根，且一个根的模是2，求实数、的值．
【难度】★★
【答案】设是方程的一实根，则．则
（1）当时，此方程为．
①有实根，即或．
当根为2时，．得．
当根为时，．得．
②有一对共轭虚根即．模为2，即有（舍）．
（2）当时，则，此时．又因为模为2，所以．
所以或或或


【巩固训练】
1．下列命题在复数集中是否正确？为什么？
（1）若，，且，则方程有两个实数根；
（2）若，，且是方程的两个根，则，；
（3）若，，且是方程的两个根，则；
（4）若，，且是方程的根，则也是方程的根．
【难度】★★
【答案】（1）、（2）、（4）正确，（3）不正确

2．若为方程的两个根，则 ．
【难度】★★
【答案】27

3．已知且，求的值.
【难度】★★
【答案】

4．关于的方程的两根为，且，求实数的值．
【难度】★★
【答案】或

5．设为方程，（）的两个根，，
（1）求的解析式；
（2）证明关于的方程，当时恰有两个不等的根，且两根之和为定值．
【难度】★★
【答案】（1）
（2）证明：函数的图像关于直线对称（证略）
当时，为增函数，且；
当时，为减函数，且．
所以当，方程在区间上有唯一解，在区间上也有唯一解，
则．


4、复数方程综合问题
【例13】关于的二次方程中，，，都是复数，且，设这个方程的两个根、满足，求的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】根据韦达定理有
∵
∴．
∴，即，
这表明复数在以为圆心，7为半径的圆周上，
∴，．

当即．

【例14】已知，试求的值。
【难度】★★★
【答案】令，可得，再令可得：
，
令，结合复数相等的意义综合可得：，最值可得。

【例15】设复数满足条件（其中，），当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程
【难度】★★★
【答案】方法1：①当为奇数时，，常数），
轨迹为双曲线的一支，其方程为；
②当为偶数时，，常数），
轨迹为椭圆，其方程为；
依题意得方程组解得，
因为，所以，
此时轨迹为与的方程分别是：，.
方法2：依题意得
轨迹为与都经过点，且点对应的复数，代入上式得，
即对应的轨迹是双曲线，方程为；
对应的轨迹是椭圆，方程为.

【例16】设虚数满足（为实常数，且，为实数）．
（1）求的值；
（2）当，求所有虚数的实部和；
（3）设虚数对应的向量为（为坐标原点），，如，求的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1），
（或）
（2）是虚数，则，的实部为；
当
当
（3）解：
① ，恒成立，
由得，当时，；当时，．
② ，如，则，
当即，
当即．


【巩固训练】
1．若复数满足，试判断复数在复平面上对应的点的轨迹图形，并求使最大时的复数．
【难度】★★
【答案】设，．
复数在复平面上的对应点的图形是以为圆心，为半径的圆．
，此时

2．已知，试求的值。
【难度】★★
【答案】令，
，分别将代入等式，可得以下方程：
，解得。

3．考虑复平面上的正方形，它的四个顶点所对应的复数恰好是某个整系数一元四次方程的四个根，求这种正方形面积的最小值。
【难度】★★
【答案】我们知道，在复数域有个方根，这个复数对应的点平分以原点为圆心，为半径的圆，这些点连接构成一个圆内接正边形，反之，复平面内某圆内接正多边形各个顶点对应的复数也必是某个复数的方根。本题中假设正方形的中心为复数，结合图形的平移知识可知四个顶点对应复数是方程的4个4次方根，该正方形的外接圆半径为，将展开为：，与原方程对比可知
由于都是整数，①②消去可得，只有是4的倍数才可以确保是整数，从而必然是整数，由④可知也是整数，，数形结合可知圆直径是正方形的对角线，可知正方形面积最小值为。

4．设复数与复平面上点对应．
（1）若是关于的一元二次方程（）的一个虚根，且，求实数的值；
（2）设复数满足条件（其中、常数
），当为奇数时，动点的轨迹为．当为偶数时，动点的轨迹为． 且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹上存在点，使点与点的最小距离不小于，求实数的取值范围．
【难度】★★★
【答案】（1）是方程的一个虚根，则是方程的另一个虚根，则，所以
（2）①当为奇数时，，常数），
轨迹为双曲线，其方程为；
②当为偶数时，，常数），
轨迹为椭圆，其方程为；
依题意得方程组解得，
因为，所以，
此时轨迹为与的方程分别是：，．
（3）由（2）知，轨迹：，设点的坐标为，
则
，
当即时，
当即时，，
综上，或．






（1）求解复数的平方根或立方根可以利用待定系数法．
（2）对于实系数一元二次方程的问题，第一考虑方程的根的判别式，第二考虑韦达定理，第三考虑已知条件；对于已知条件中有两数和、两数积的条件，可以构造相应的方程，从而求解．






1．满足+=2n的最小自然数为( ）
A． 1 B．2 C．3 D．4
【难度】★★
【答案】C
2．已知复数满足，且，则复数＝
【难度】★★
【答案】由已知可得，得，数形结合可知
3．设复数满足，则 .
【难度】★★
【答案】，同理得
，两式相加，再结合，得，得，，求得，所以所求原式


4．设，已知，，，求的值.
【难度】★★
【答案】
同理，
所以，
故，。

5．若关于的方程至少有一个模为1的根，求实数的值．
【难度】★★
【答案】或

6．设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则 ．
【难度】★★
【答案】


7．若关于的方程有纯虚数根，求的最小值．
【难度】★★
【答案】将代入原方程，整理得：，


8．在复数范围内解方程．
【难度】★★
【答案】把原方程化为，
，解得，，．

9．关于的二次方程中，均是复数，且，设这个方程的两个根满足，求的最大值和最小值。
【难度】★★
【答案】，
化简得，动点轨迹是复平面上以为圆心，以为半径的圆，数形结合可知

10．已知△顶点为直角坐标分别为，，．若虚数（）是实系数一元二次方程的根，且是钝角，求的取值范围．

【难度】★★
【答案】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根，所以
，解得，，则、的坐标为，，
所以，，因是钝角，故，
又当，共线时，．所以的取值范围是．

11．已知复数，满足条件，，是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【难度】★★★
【答案】据题意，得，即，故，是方程的两个根．
（1）当△即且时，，，记，
则，，解得．
（2）当△，即时，、为一对共轭虚数，则，由，得，所以．
综上，当或时，和同时成立．

12．给定实数，已知复数满足：，
求的值。
【难度】★★★
【答案】显然，，故设，
则
，虚部应为0，得：
即
即，即，
即，若，代入得，
此时。
同理可得当时，，
时，。












复数的方根与实系数一元二次方程

知识梳理

图1

图2

【注意】
（1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅
在实数集上有效；
（2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现；
（3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；（不作要求）
（4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数）
　　①判别式判断实根情况失效；　　②虚根成对出现的性质失效；
　 如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用.


例题解析

反思总结

课后练习






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