沪教版数学高二下春季班：第三讲平面及空间中的直线 同步学案（教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台


沪教版数学高二下春季班第三讲
课题 平面及空间中的直线 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．知道平面的含义，理解平面的基本性质，会用文字语言、图形语言、集合语方表述平面的基本性质； 2．掌握确定平面的方法，并能运用于确定长方体的简单截面； 3．掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系，并能用图形、符号和集合语言予以表示．
重点 1．平面的基本性质，平行线的传递性； 2．空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法．
难点 空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及其表示方法．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30








1、平面表示方法
平面用平行四边形表示，常用表示方法：①一个大写字母，②一个小写希腊字母，③三个或者三个以上的字母．
2、平面的基本性质
公理1、如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
推理模式： 如图示：
应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．
公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．
公理2、如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
推理模式：且且唯一 如图示：
应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上
公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．
公理3、经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推理模式：不共线存在唯一的平面，使得
应用：①确定平面；②证明两个平面重合
“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
推论1、经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面．
推理模式：存在唯一的平面，使得，
推论2、经过两条相交直线有且只有一个平面．
推理模式：存在唯一的平面，使得
推论3、经过两条平行直线有且只有一个平面．
推理模式：存在唯一的平面，使得
公理4、平行于同一条直线的两条直线互相平行．
推理模式：，
3、空间两直线的位置关系
（1）相交——有且只有一个公共点；
（2）平行——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点．
4、异面直线
（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．
（2）异面直线画法：

（3）异面直线证法：反证法，即证明两直线既不平行也不相交．
（4）求异面直线所成的角
异面直线所成的角是指过空间任意一点O分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角（或直角）。它的取值范围为．
辨析：异面直线所成的角的取值范围是；向量所成的角的取值范围是．
所以，用向量方法求异面直线所成的角时，如果得出的是钝角，还要修正为锐角．
异面直线所成的角求法：
① 几何法：通过直线搬动，具体搬动一条直线还是两条都搬动，要看实际情况；
② 代数法：采用向量运算．




1、平面及其基本性质
【例1】判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）可画一个平面，使它的长为，宽为； （ ）
（2）一个平面的面积为； （ ）
（3）光滑的桌面就是一个平面； （ ）
（4）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分； （ ）
（5）若一条直线和一个平面仅有一个公共点，则称该平面经过这条直线； （ ）
（6）若一条直线上有两个点在一个平面内，则称该平面经过这条直线； （ ）
（7）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面； （ ）
（8）空间两个平面可将空间分成四部分． （ ）
【难度】★
【答案】1．╳ 2．╳ 3．╳ 4．√ 5．╳ 6．√ 7．√ 8．╳


【例2】看图填空：
（1）点 平面；
（2）直线___________；
（3）直线 平面= ；
（4）直线 平面；
（5）直线___________．
（6）平面平面___________；
（7）平面平面___________；
（8）平面平面平面___________．
【难度】★
【答案】；；，；//；；；；

【例3】下列命题中，正确命题的序号是 ．
（1）四边相等四边形为菱形；
（2）若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
（3）“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；
（4）若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．
【难度】★★
【答案】（3）（4）

【例4】下列命题正确的个数是 （ ）
若共面，共面，则共面；
若共面，共面，则共面；
若共面，共面，共面，则共面；
若不共面，不共面，则不共面．
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★★
【答案】A

【例5】下列说法正确的为 （ ）
A．平面和只有一个公共点 B．两两相交的三条直线共面
C．不共面的四点中，任何三点不共线 D．有三个公共点的两平面必重合
【难度】★★
【答案】C




【例6】正方形中，M是中点，过、M、C作一个平面，画出这个平面截正方体所得的截面．
【难度】★★
【答案】









【例7】已知直线，直线与分别相交于，求证：四线共面．
【难度】★★
【解析】因为，由推论3，存在平面，使得。
又因为直线与分别相交于，由公理1，；
同理存在平面，使得。因为，
所以重合。故四线共面。

【例8】已知 三边所在直线分别与平面交于三点，求证：三点共线．
【难度】★★
【解析】∵是不在同一直线上的三点，∴由确定一个平面。又因为，且，所以点既在内，又在内。设，则。同理可证。所以三点共线。

【例9】在棱长为4的正方体中，、分别是的中点，设过、、三点的平面与交于，求的值．
【难度】★★
【答案】延长DN，D1C1交于S，连接MS交B1C1于P，
N为CC1的中点，从而SC1=CD，又M为A1B1的中点，
所以SC1=2MB1C1P：B1P=2：1，所以，



【例10】四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3.求证：EF、GH、BD交于一点．

【难度】★★
【解析】连结GE、HF，
∵E、G分别为BC、AB的中点，∴GE∥AC.
又∵DF∶FC=2∶3，DH∶HA=2∶3，∴HF∥AC.∴GE∥HF.
故G、E、F、H四点共面.
又∵EF与GH不能平行，∴EF与GH相交，设交点为O.
则O∈面ABD，O∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD=BD.∴EF、GH、BD交于一点．

【巩固训练】
1．已知点，直线和平面．下列正确运用集合符号表示的是 ．
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）若，则； （6）直线平面．
【难度】★
【答案】（2）（3）（5）（6）

直线与平面 _____ 时，称直线与平面相交于点，记作： _________ ．
直线与平面 时，称直线平行于平面，记作： 或__________．
【难度】★
【答案】只有一个公共点，；没有公共点，，

3．在空间中，下列命题正确的是 （ ）
A．对边相等的四边形一定是平面图形 B．四边相等的四边形一定是平面图形
C．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形 D．有一组对角相等的四边形是平面图形
【难度】★★
【答案】C

4．下面是一些命题的叙述语(表示点，表示直线，表示平面)。其中命题和叙述方法都正确的是 （ ）
A．∵，∴ B．∵，∴
C．∵，∴ D．∵，∴
【难度】★★
【答案】C


5.三个互不重合的平面把空间分成6个部分时，它们的交线有 条.
【难度】★★
【答案】1或2

6．给出下列四个命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线 ②空间四点不共面，则其中任何三点不共线
③空间四点中存在三点共线，则此四点共面 ④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面
其中正确的有（ ）
A.②和③ B.①②③ C.①和② D.②③④
【难度】★★
【答案】A

7．正方体中，对角线与平面交于点O，交于点M，求证：点共线．
【难度】★★
【解析】∵与截面交于点，、交于点
∴OM为平面与平面的交线
∵
∴在OM上，即三点共线.

2、空间中的直线
【例11】判断下列命题是否正确：
（1）若直线，则直线共面； （ ）
（2）经过直线的平面有无数个； （ ）
（3）梯形的对角线一定共面； （ ）
（4）空间四边形的对角线所在直线异面； （ ）
（5）在空间一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； （ ）
（6）分别在两个平面内的两条直线异面； （ ）
（7）在空间一个角的两边与另一个角的两边分别垂直相交，则这两个角相等． （ ）
【难度】★
【答案】1．╳ 2．√ 3．√ 4．√ 5．╳ 6．╳ 7．╳





【例12】以下四个结论：
（1）若，则为异面直线；
（2）若，不真包含于，则为异面直线；
（3）没有公共点的两条直线是平行直线；
（4）两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数为 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【难度】★
【答案】C

【例13】已知直线和平面，，，，在内的射影分别为直线和，则的位置关系是（ ）
A．相交与平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
【难度】★★
【答案】D
【例14】下列各图中，是正方体的顶点，是所在棱的中点，则直线与异面的图形的序号是 ．





（1） （2） （3） （4）
【难度】★★
【答案】（2）（3）

【例15】一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：（1）；（2）与成；（3）与是异面直线；（4），其中正确的是（ ）
A．（1）（2） B．（3）（4）
C．（2）（3） D．（1）（3）
【难度】★★
【答案】D

【例16】对于四面体ABCD，下列命题正确的是 ．
（1）相对棱、AB与CD所在的直线异面；
（2）由顶点A作四面体的高，其垂足是的三条高线上的交点；
（3）若分别作和的边AB上的高，则这两条高所在的直线异面；
（4）分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
（5）最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
【难度】★★
【答案】（1）（4）（5）

【例17】已知平面平面，，，，且．
用反证法证明：是异面直线．
【难度】★★
【答案】假设b与c共面, ,b∩a=A ,,设b∩c=B,
又而c不在内,不可能有两个交点,与已知矛盾，所以是异面直线

【例18】如图所示，正方体ABCD - A1B1C1D1中，点M、N分别是直线A1B1、B1C1中点，问：
（1）AM和CN是否为异面直线？说明理由；
（2）D1B和C1C是否是异面直线？说明理由．
【难度】★★
【答案】（1）不是异面直线．
∵ 点M、N分别是直线A1B1、B1C1中点，∴MN∥A1C1.
∵A1A∥C1C，且 A1A = C1C，所以A1ACC1为平行四边形，∴A1C1= AC．
因为MN∥AC，所以A、M、N、C在同一平面内，
∴直线AM和CN共面．。
（2）是异面直线，下面用反证法证明：
假设D1B和C1C在同一平面D1CC1内，
则B∈平面D1CC1，C∈平面D1CC1，
推得BC平面D1CC1，与BC是正方体的棱矛盾．
∴假设不成立，D1B和C1C是异面直线．

【例19】在正方体中，分别是棱的中点．求：
（1）异面直线与所成的角；
（2）异面直线与所成的角．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．

【例20】已知四面体中，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角大小为，求的长．
【难度】★★
【答案】4
【解析】过引的平行线，交的延长线于，连结，则是异面直线与所成的角。
∴。∵是的中点，∴是的中点，。
设，则，又，所以。
中，由余弦定理，，即的长为4。

【例21】是正三角形所在平面外一点，且∠=∠=∠=，、分别是、的中点，求异面直线SM与所成的角．
【难度】★★★
【答案】取CM中点P，则NP//SM，
从而∠PNB为SM与BN所成的角．
设SA=SB=SC=a,则AB=BC=AC=a,所以
又
所以．
∴异面直线与所成的角是．

【例22】长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：
（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C；
（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故AB与CC1的距离为b.
AA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故AB与A1C1的距离为c.
过B作BE⊥B1C，垂足为E，则BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE==，即AB与B1C的距离为．
（2）解法一：连结BD交AC于点O，取DD1的中点F，连结OF、AF，则OF∥D1B，∴∠AOF就是异面直线D1B与AC所成的角．
∵AO=，OF= BD1=，AF=，
∴在△AOF中，cos∠AOF==．
解法二：如下图，在原长方体的右侧补上一个同样的长方体，连结BG、D1G，则AC∥BG，∴∠D1BG（或其补角）为D1B与AC所成的角．

BD1=，BG=，D1G=，
在△D1BG中，cos∠D1BG=
=－，故所求的余弦值为．

【例23】在空间四边形ABCD中，AD=AC=BD=BC=a，AB=CD=b，E、F分别是AB、CD的中点．
⑴求证：EF是AB和CD的公垂线；
⑵求AB和CD间的距离．
【难度】★★
【答案】

【例24】长方体中，分别是和的中点，求：（1）与所成的角；（2）与之间的距离；（3）与所成的角．
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）；（3）．

【巩固训练】
1．判断下列命题是否正确：
（1）若直线，与异面，则直线与异面； （ ）
（2）若平面，直线，则与异面； （ ）
（3）若直线，直线，且，则与异面； （ ）
（4）若直线，则； （ ）
（5）若，且，则． （ ）
【难度】★
【答案】1．╳ 2．╳ 3．√ 4．╳ 5．√

2．若直线上有两个点在平面外，则 （ ）
A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内
【难度】★★
【答案】D

3．设为空间四点，命题甲：点不共面；命题乙：直线和不相交，那么甲是乙的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
【难度】★★
【答案】A

4．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 平面的图形的序号是（ ）

A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④
【难度】★★
【答案】B

5．右图是一个正方体的展开图，将它还原为正方体后，直线与的位置关系是 ．
【难度】★★
【答案】平行

6．设空间四边形，分别是的中点，若，，且四边形的面积为，则与所成角为 .
【难度】★★
【答案】60o

7．空间四边形中，四条边和两条对角线构成了 对异面直线
【难度】★
【答案】3

8．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是___________
【难度】★
【答案】相交或异面

9．教室内有一直尺，无论如何放置，地面总有直线与直尺所在直线 （ ）
A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面
【难度】★
【答案】B

10．若是异面直线，则只需具备的条件是 （ ）
A．，平面，与不平行
B．，平面，，与无公共点
C．直线，，与不相交
D．平面，是的一条斜线
【难度】★
【答案】C

11．正方体中，下列各组异面直线所成的角最小的一组是 （ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【难度】★★
【答案】D

12．正方体中。
（1）异面直线与所成的角为： ；
（2）异面直线与所成的角为： ；
（3）异面直线和所成的角为： ______．
【难度】★★
【答案】；；


13．如图所示，已知：E、F、G、H分别是正方体ABCD - A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明：FE、HG、DC三线共点．
【难度】★★
【解析】连接C1B，由题意知HC1∥EB，且HC1=EB，
∴四边形HC1BE是平行四边形，
∴HE∥C1B。又C1G=GC，CF=BF，故2GF=C1B且GF∥C1B，∴GF∥HE，且GF≠HE，
∴HG与EF相交，设交点为K，则K∈HG，HG面D1C1CD.因为K∈EF，EF面ABCD，
∴K∈面ABCD. ∵面D1C1CD面ABCD=DC，∴K∈DC，
∴EF、HG、DC三线共点．

14．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，MN分别为A1B1、BB1的中点，求AM、CN所成的角．
【难度】★★
【答案】

15．在正方体中，分别是棱的中点．
则下面直线的位置关系是：
（1）与： ；
（2）与： ；
（3）与： ；
（4）与： ．
【难度】★
【答案】异面，平行，相交，异面

16．如图，分别为空间四边形的边上的点，且，分别为上的点，且，则四边形的形状一定为 ．
【难度】★★
【答案】梯形








1．用集合符号表示以下各概念：
（1）点在直线上：________；点不在直线上： ．
（2）点在平面内：______；点不在平面内：_____________；
（3）直线在平面内：_________。平面经过直线： ．
【难度】★
【答案】，；，；，．

2．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”
（1）空间三点可以确定一个平面； （ ）
（2）两条直线可以确定一个平面； （ ）
（3）两条相交直线可以确定一个平面； （ ）
（4）一条直线和一个点可以确定一个平面； （ ）
（5）三条平行直线可以确定三个平面； （ ）
（6）两两相交的三条直线确定一个平面； （ ）
（7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合； （ ）
（8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线． （ ）
【难度】★
【答案】1．╳ 2．╳ 3．√ 4．╳ 5．╳ 6．╳ 7．╳ 8．√

3．已知顺次为空间四边形中边的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）如果，那么四边形是什么四边形？
（3）如果，那么四边形是什么四边形？
（4）如果，且，那么四边形是什么四边形？
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形．

4．能够确定一个平面的条件是： ； ； ； ．
【难度】★
【答案】不共线的三点，一条直线和线外一点，两条平行直线，两条相交直线．

5．⑴三条直线两两相交，则由这三条直线可以确定 个平面；
⑵三条互相平行的直线可以确定 个平面；
⑶三条直线相交，仅有两个交点时可以确定的平面个数是 ；
⑷空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是__________．
【难度】★
【答案】，，，

6．空间有五个点，其中共面，且也共面，那么这五个点是否共面： ．
【难度】★
【答案】不一定

7．⑴若直线既不平行也不相交，则直线的位置关系是 ________；
⑵直线确定一个平面，则的位置关系为 ________．
【难度】★
【答案】异面，相交或平行

8．是异面直线，直线分别与都相交，则的位置关系为 ．
【难度】★
【答案】相交或异面

9．若直线与直线都相交成角，则的位置关系是______．
【难度】★
【答案】平行、相交或异面

10．将正方体表面正方形的对角线称为面对角线．若是两条异面的面对角线，则它们所成的角大小可能为__________．
【难度】★
【答案】

11．梯形中，，平面，平面，则直线与平面内的直线的位置关系只能是_________________．
【难度】★
【答案】平行或异面

12．在长方体中，，则异面直线与所成的角的余弦值为_________．
【难度】★
【答案】

13．已知a、b为不垂直的异面直线，α 是一个平面，则a、b在α 上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）
【难度】★★
【答案】①②④

14.在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线. 用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异面直线的充分条件： ．
【难度】★★
【答案】一组相交，一组平行




15．给定下列三个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②垂直于同一直线的两条直线相互平行；③过空间一点，存在一个平面，使得异面直线都与垂直；其中真命题的个数是（ ）
（A） （B） （C） (D)
【难度】★★
【答案】A

16．已知，、、不在同一平面内，，求证：和是异面直线．
【难度】★★
【答案】反证法．
若AD与BC不是异面直线，从而确定一个平面，设A、B、C确定的平面为α．
又，确定一个平面β，又，所以A、B、C β，
所以α与β重合，即，同理，这与、、不在同一平面内矛盾．
所以，和是异面直线．

17．如图，在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，异面直线AB、CD所成角大小是，求线段MN的长．
【难度】★★
【答案】取棱AD的中点，连结MP、NP，
则MP，PN，
若，则，
若，则，
∴．

18．已知条互相平行的直线分别与直线l相交于点，求证：与l共面．
【难度】★★
【答案】略




19．在四棱锥中，底面是一直角梯形，，，，，且底面，与底面成角．
⑴若，为垂足，求证：；
⑵求异面直线与所成角的余弦值．
【难度】★★★
【答案】（1）略；（2）．





















平面与空间中的直线

知识梳理























例题解析

D

B1

C1

A1

D1

O1

B

C

A

O

A

D

C

B


A1

D1

C1

B1

M

A

D

C

B


A1

D1

C1

B1

M

a

b

c

d

A

B

C

A

B

C

P

Q

R



A

B

C

D









O

M

A

B

N

M

B

M

N

A

N

B

M

A

N

M

A

B

A

a

b

c





B1

C1

C

B

D

A1

D1

A

E

F

A

B

C

D

E





B

A

N

M

B1

C1

C

B

D

A1

D1

A

B1

C1

C

B

D

A1

D1

A

E

F

A

B

C

D

M

N

Q

P

课后练习






21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）



HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)