2.2等差数列的概念、通项公式、性质练习含答案

2.2　等差数列概念、通项公式、性质
第1课时　等差数列的概念及通项公式
题型一　等差数列的概念
例1　判断下列数列是不是等差数列？
(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；
(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；
(3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…；
(5)a，a，a，a，a，….
跟踪训练1　数列{an}的通项公式an＝2n＋5(n∈N＋)，则此数列(　　)
A．是公差为2的等差数列
B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列
D．是公差为n的等差数列
题型二　等差中项
例2　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列．


跟踪训练2　若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．


题型三　等差数列通项公式的求法及应用
例3　在等差数列{an}中，
(1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项．
(2)若a2＝11，a8＝5，求a10.


跟踪训练3　(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？



等差数列的判定与证明
典例1　已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n，且a1＝1.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．


典例2　已知数列{an}：a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)．
(1)判断数列{an}是否为等差数列？说明理由；
(2)求{an}的通项公式．



【课堂练习】
1．下列数列不是等差数列的是(　　)
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
3．已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　)
A．30° B．60° C．90° D．120°
4．若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}是(　　)
A．公差为1的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公差为－的等差数列 D．不是等差数列
5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是(　　)
A．92 B．47 C．46 D．45

1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.
【巩固提升】
一、选择题
1．设数列{an}(n∈N＋)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为(　　)
A．52 B．62 C．－62 D．－52
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为(　　)
A．52 B．51 C．50 D．49
4．若5，x，y，z，21成等差数列，则x＋y＋z的值为(　　)
A．26 B．29 C．39 D．52
5．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　)
A．15 B．22 C7 D．29
6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
7．一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于(　　)
A. B. C. D.
8．在数列{an}中，a2＝2，a6＝0，且数列是等差数列，则a4等于(　　)
A. B. C. D.
二、填空题
9．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为__________________．

10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．

11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是________．

12. 已知数列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N＋)，则a10＝________.

三、解答题
13．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0，求{an}的通项公式．



14．已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋)．
(1)证明：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．





已知数列{an}满足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N＋)，求数列{an}的通项公式．

2.2.1答案
例1.由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．
跟踪训练1 .A
例2. ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.
∴该数列为－1,1,3,5,7.
跟踪训练2　 解　由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.
又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.
两式相加，得3m＋3n＝18，即m＋n＝6.
所以m和n的等差中项为＝3.
例3　解　(1)因为解得
所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.
令2n＋5＝91，得n＝43.
因为43为正整数，所以91是此数列中的项．
(2)设{an}的公差为d，则解得
∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，
所以a10＝13－10＝3.
跟踪训练3　解　(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，
由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.
(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.
由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，
即－401是这个数列的第100项．
典例1　 (1)证明　由an＋1＝3an＋3n，两边同时除以3n＋1，
得＝＋，即－＝.
由等差数列的定义知，数列是以＝为首项，为公差的等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)×＝，
故an＝n·3n-1，n∈N＋.
典例2 解　(1)当n≥3时，an＝an－1＋2，即an－an－1＝2，
而a2－a1＝0不满足an－an－1＝2(n≥3)，
∴{an}不是等差数列．
(2)当n≥2时，an是等差数列，公差为2.
当n≥2时，an＝1＋2(n－2)＝2n－3，
又a1＝1不适合上式，
∴{an}的通项公式为an＝
课堂练习
DCBBC
巩固提升
1—8 DAACABCA
9. an＝＋1
10.
11. 　
12.
13. 解　设数列{an}的公差为d，
由已知得
解得
所以数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
14． (1)证明　由＝＝
＝＝＝＋，
得－＝，n∈N＋，
故数列是等差数列．
(2)解　由(1)知＝＋(n－1)×＝，
所以an＝，n∈N＋.
15.解　由an－an＋2＝2知，{an}的奇数项，偶数项
分别构成公差为－2的等差数列．
当n＝2k－1时，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)·(－2)＝12－2k，
∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n为奇数)．
当n＝2k时，a2k＝a2＋(k－1)·(－2)＝5－2k＋2＝7－2k.
∴an＝7－n(n为偶数)．
∴an＝






2.2第2课时　等差数列的性质
题型一　an＝am＋(n－m)d的应用
在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．


跟踪训练1　{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝________.


题型二　等差数列性质的应用
已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．


引申探究
1．在例2中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N＋，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？

2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.


跟踪训练2　在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．




题型三　等差数列的设法与求解
已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数．




跟踪训练3　三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为－24，求这三个数．





数列问题如何选择运算方法
典例　等差数列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.




【课堂练习】
1．在等差数列{an}中，已知a3＝10，a8＝－20，则公差d等于(　　)
A．3 B．－6 C．4 D．－3
2．在等差数列{an}中，已知a4＝2，a8＝14，则a15等于(　　)
A．32 B．－32 C．35 D．－35
3．等差数列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，则a2等于(　　)
A．3 B．－3
C． D．－
4．设公差为－2的等差数列{an}，如果a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99等于(　　)
A．－182 B．－78 C．－148 D．－82
5．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10＝________.


1．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
2．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　)
A．1 B．3 C．2 D．4
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8的值等于(　　)
A．45 B．75 C．180 D．300
3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
4．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21.则a7等于(　　)
A．7 B．10 C．20 D．30
5．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．－
6．已知数列是等差数列，且a3＝2，a15＝30，则a9等于(　　)
A．12 B．24 C．16 D．32
7．若a，b，c成等差数列，则二次函数y＝ax2－2bx＋c的图象与x轴的交点的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．1或2
8．已知{an}是公差为正数的等差数列，a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13的值为(　　)
A．105 B．120 C．90 D．75
二、填空题
9．在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，m，n∈N＋，则am＋n的值为________．
10．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为________．
11．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列.
第1列 第2列 第3列 …
第1行 1 2 3 …
第2行 2 4 6 …
第3行 3 6 9 …
… … … … …

那么位于表中的第n行第n＋1列的数是__________．
12．若等差数列{an}满足an＋1＋an＝4n－3，则{an}的通项公式为__________________．

三、解答题
13．在等差数列{an}中，
(1)若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，求a7－a8；
(2)已知a1＋2a8＋a15＝96，求2a9－a10.






14．已知{an}为等差数列，且a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24.
(1)求a20的值；
(2)若bn＝an－，试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.





15．已知两个等差数列{an}：5,8,11，…与{bn}：3,7,11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？

2.2.2答案
例1　在等差数列{an}中，已知a2＝5，a8＝17，求数列的公差及通项公式．
解　因为a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.
又因为an＝a2＋(n－2)d，所以an＝5＋(n－2)×2＝2n＋1.
跟踪训练1 . 8
例2 解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.
又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N＋；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N＋.
方法二　设等差数列的公差为d，
则由a1＋a4＋a7＝15，得
a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，
即a1＋3d＝5. ①
由a2a4a6＝45，
得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，
将①代入上式，得
(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，
即(5－2d)(5＋2d)＝9， ②
联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，
即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；
或an＝11－2(n－1)＝－2n＋13.
引申探究
1．解　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，
an＝a1＋(n－1)d，
ap＝a1＋(p－1)d，
aq＝a1＋(q－1)d，
ar＝a1＋(r－1)d，
as＝a1＋(s－1)d，
∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，
aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，
∵m＋n＋p＝q＋r＋s，
∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.
2．20
解析　∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20.
∵3＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，
∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7，
即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20.
跟踪训练2解　方法一　∵(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝3d，
(a3＋a6＋a9)－(a2＋a5＋a8)＝3d，
∴a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9成等差数列．
∴a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)
＝2×33－39＝27.
方法二　∵a1＋a4＋a7＝a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)
＝3a1＋9d＝39，
∴a1＋3d＝13， ①
∵a2＋a5＋a8＝(a1＋d)＋(a1＋4d)＋(a1＋7d)
＝3a1＋12d＝33.
∴a1＋4d＝11， ②
联立①②解得
∴a3＋a6＋a9＝(a1＋2d)＋(a1＋5d)＋(a1＋8d)
＝3a1＋15d＝3×19＋15×(－2)＝27.
例3. 解　设这三个数分别为a－d，a，a＋d，且d>0.
由题意可得
解得或
∵d>0，∴a＝6，d＝2.
∴这个数列是4,6,8.
跟踪训练3. 解　设这三个数分别为a－d，a，a＋d.
由题意可得
解得或
∴所求三个数为－2,2,6或6,2,－2.
典例　解　方法一　设{an}的公差为d.
则a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，
∴a10＝10.
课堂练习 BCAD　30
巩固提升
８CCBCDADA
９．０
１０.－２１
１１. n2＋n
１２. an＝2n－
１３．解　(1)a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，
∴a7－a8＝(2a7－a8)＝(a6＋a8－a8)＝a6＝8.
(2)∵a1＋2a8＋a15＝4a8＝96，∴a8＝24.
∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
1４．解　(1)因为a1＋a3＋a5＝18，a2＋a4＋a6＝24，
所以a3＝6，a4＝8，则公差d＝2，
所以a20＝a3＋17d＝40.
(2)由(1)得an＝a3＋(n－3)d＝6＋(n－3)×2＝2n，
所以bn＝×2n－＝3n－.
由bn>0，即3n－>0，得n>，
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
１５. 解　因为an＝3n＋2(n∈N*)，bk＝4k－1(k∈N*)，两数列的共同项可由3n＋2＝4k－1求得，
所以n＝k－1.而n∈N*，k∈N*，
所以设k＝3r(r∈N*)，得n＝4r－1.
由已知且r∈N*，可得1≤r≤25.
所以共有25个相同数值的项．