简单线性规划问题的类型与解法（Word版 学案 练习无答案）

简单线性规划问题的类型与解法
简单线性规划问题就是在线性约束条件下，求目标函数最优解的数学问题。纵观近几年的高考，简单线性规划问题是高考的热点问题，基本上每卷都有一个五分小题。归结起来简单线性规划问题主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型，各种类型具有各自的结构特征，简单方法也各不相同，那么在实际解答解答线性规划问题时，如何抓住问题的结构特征，快捷、准确地实施解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、设变量x、y满足约束条件x+2y-5≤0 则目标函数Z=2x+3y+1的最大值为（ ） x-y-2≤0
A 11 B 10 X≥0 C 9 D 8.5
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由 x+2y-5=0，得到 x=3，A（3，1），B（2，0）， 3 x-y-2=0
x-y-2=0， y=1, C（5，0）， 2 x+2y-5=0
当目标函数z=2x+3y+1经过点C（5，0）时， 1 A C
z=25+30+1=10+1=11为最大，A正确， 0 1 2B 3 4 5 x
选A。 -1
x-y+1≤0 -2
2、实数x、y满足 x＞0 (1)若z=，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
y≤2 （2）若z= ，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围。
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法分别求出最大值和最小值，就可得出目标函数的取值范围。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由 x-y+1=0，得到 x=1，A（0，2），B（1，2）， 3 x-y+1=0
y-2=0， y=2, C（0，1）， 2 A B y-2=0
（1）当目标函数z=经过点B（1，2）时，z= 1 C
=2为最小值，目标函数无最大值，目标函数z的 -1 0 1 2 x
取值范围是[,2，+）；（2）当目标函数z=经过点C（0，1）时，z=0+1=1为最小值，当目标函数z=经过点B（1，2）时，z=1+4=5为最大值，的取值范围是[1，5]。
3、设实数x、y满足约束条件x+y≤1 则目标函数Z=3x+y的最小值为（ ）
y≤x
A 7 B 2 y≥-2 C -6 D - 8
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由 x+y=1，得到 x=，x+y=1，得到 x=3， y=x， 3
y=x， y=, y=-2， y=-2，y=-2， 2 y=x
得到 x=-2，A（，），B（-2，-2），C（3，-2） 1 A
y=-2，当目标函数z=3x+y经过点B（-2，-2） 0 1 2 x
时，z=3(-2)+1(-2)=-6-2=-8为最小，D正确， -1 x+y=1
选D。 B -2 C y=-2
『思考题1』
（1）【典例1】是在线性约束条件下求目标函数的最值问题，这类问题包括：①目标函数是线性函数；②目标函数是非线性函数两种类型；
（2）求解目标函数是非线性函数的最值问题一般要结合给定代数式的几何意义来完成；常见代数式的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；②表示点（x，y）到最小Ax+By+C=0的距离；③表示点（x，y）与点（a，b）的距离；④表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率；⑤表示点（x，y）与点 （a，b）连线的斜率。
〔练习1〕解答下列问题： x+2y-5≥0
1、设实数x、y是满足不等式组 2x+y-7≥0,若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（ ）
x≥0,y≥0
A 14 B 16 C 17 D 19
2、若变量x、y满足约束条件 3≤2x+y ≤9,则Z=x+2y的最小值为 ；
x≥0 6≤x-y≤9
3、实数x，y满足 x-y+1≤0, ①若z= ，求z的取值范围；②若z=+-2x-2y+3，
y≤2，求z的最大值与最小值。
【典例2】解答下列问题 ： y≥1
1、已知实数x、y满足约束条件 y≤2x-1,如果目标函数Z=x-y的最小值是-1，则实数m等于（ ）（2008全国高考陕西卷）x+y≤m
A 7 B 5 C 4 D 3
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④一元一次方程的定义与解法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数n的方程，求解方程得出实数n的值就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由 x+y=n，得到 x=， y=2x-1, 得到x=1， 2 y=2x-1
y=2x-1， y=, y=1， y=1， 1 C B y=1
x+y=n，得到 x=n-1，A（，），B（1，1）， -1 0 1 2
y=1， y=1，C（n-1，1），当目标函数z=x -1 x+y=n
-y=经过点A（，）时，z=-=，当目标函数z= x-y=经过点B（1，1）时，z=1-1=0，当目标函数z= x-y=经过点,C（n-1，1）时，z=n-1-1=n-2， n-2-
=，①若n1，n-2-=0，目标函数z的最小值为=-1，n=5；②
若n<1，n-2-=<0，目标函数z的最小值为n-2=-1，n=1，此时无解，综上所述，当目标函数z=x-y的最小值是-1时，实数n=5，B正确，选B。
=2为最小值，目标函数无最大值，目标函数z的
2、若变量x、y满足约束条件 x-y≥-1,目标函数Z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小
值，则a的取值范围是（ ） 2x-y≤2,
A （-1，2） x+y≥1, B （-4，2） C （-4，0〕 D 〔-3,4）
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④一元一次不等式组的定义与解法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数a的一元一次不等式组，求解这个不等式组，得出实数a的取值范围就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y A x-y=-1
由 x-y=-1，得到 x=3， x-y=-1, 得到x=0， 2 2x-y=2
2x-y=2， y=4， x+y=1, y=1, 1
2x-y=2，得到 x=1，A（3，4），B（0，1）， -1 0 1 2 x
x+y=1， y=0，C（1，0），当目标函数z= -1 x+y=1
ax+2y经过点A（3，4）时，z=3a+8；当目标函数 -2
z=ax+2y经过点B（0，1）时，z=0+2=2；当目标函数z=ax+2y经过点C（1，0）时，z=a+0=a，
目标函数Z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值，a< 3a+8 -4选B。
3、若实数x、y满足不等式组 x+3y-3≥0,且x+y的最大值是9，则实数m=（ ）
2x-y-3≤0
A -2 B -1 x-my+1≥0 C 1 D 2
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④分式方程的定义与解法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数n的分式方程，求解分式方程得出实数n的值就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y x-ny+1=0
由 2x-y-3=0，得到 x= ，x+3y-3=0, 得到 2 A 2x-y-3=0
x-ny+1=0， y=， x-ny+1=0, 1 B C x+3y-3=0
x=， 2x-y-3=0，得到 x= ，A（， -1 0 1 2 3 x
y=， x+3y-3=0， y=，），B -3
（，），C（，），当目标函数z=x+y经过点A（，）时，
z=+=，当目标函数z=x+y经过点B（，）时，z=
+= ，当目标函数z=x+y经过点C（，-）时，z=-=9，若
=9，n=1；若=9，n=-，C正确，选C。
『思考题2』
（1）【典例2】是含参数的线性规划问题，这类问题包括：①条件不等式中含有参数；②目标函数中含有参数两种类型；
（2）求解含有参数简单线性规划问题的基本方法是：①将参数视为常数，根据线性规划问题求出最优解，代入目标函数确定最值构造含参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式）；②先分离含有参数的式子，再通过观察确定含参数的式子所满足的条件。
〔练习2〕解答下列问题：
1、设m＞1，在约束条件y≥x下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为
（ ） y≤mx
A（1，1+ ） x+y≤1 B（1+ ，+∞） C（1，3） D（3，+∞）
2、已知a＞0，x，y满足约束条件 x+y≤3,若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
x≥1
A B y≥a(x-3) C 1 D 2
【问题3】解答下列问题
1、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对甲项目的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得利润0.4万元，对项目乙投资每1万元可获得利润0.6万元，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是（ ）
A 36万元 B 31.2万元 C 30.4万元 D 24万元
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④求解应用问题的基本方法。
【解题思路】设该公司投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，根据问题条件得到线性约束条件和目标函数，运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。
【详细解答】设该公司投资甲项目x万元，投资乙项目y万 y x=5
元，由题意得： x+y≤60，目标函数z=0.4x+0.6y，作出约 60
x≥y，束条件的可行域如图所示，由 50 x=y
x≥5, x+y=60，得 x=24， x+y=60， 40 A
x≥5, x=y， y=36， y=5， 30 x+y=60
得 x=55, x=y，得 x=5， x=5， 20 C
y=5, x=5， y=7.5, y=5， 10 D B
A（24，36），B（55，5），C（5，7.5），D（5，5）， 0 10 20 30 40 50 60x
当目标函数z= 0.4x+0.6y经过点A（24，36）时，
z=0.4 24+0.636=9.6+21.6=31.2为最大，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共
可获得的最大利润是31.2万元，B正确，选B。
2、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（ ）
A 12 万元 B 20万元 C 25万元 D 27万元
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④求解应用问题的基本方法。
【解题思路】设该企业生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，根据问题条件得到线性约束条件和目标函数，运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。 y
【详细解答】设该企业生产甲产品x吨，生产乙产品y吨， 20
由题意得： 3x+y≤13，目标函数z=5x+3y，作出约束条件 15
2x+3y≤18，的可行域如图所示，由3x+y=13，10 3x+y=13
x≥0, x=3, 2x+3y=18，5 A
y≥0,得 y=4，A（3，4），当目标函数 0 5 10 15 20 x
z=5x+3y经过点A（3，4）时， z= 53+34=15+12=27为 2x+3y=18
最大，该企业可获得的最大利润是27万元，D正确，选D。
3、某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A甲车间加工原料10箱乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱乙车间加工原料55箱
C甲车间加工原料18箱乙车间加工原料52箱D甲车间加工原料40箱乙车间加工原料30箱
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④求解应用问题的基本方法。
【解题思路】设该加工厂甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，根据问题条件得到线性约束条件和目标函数，运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。 y
【详细解答】设该加工厂甲车间加工原料x箱，乙车间 y
加工原料y箱，由题意得：x+y≤70，目标函数z=280x+ 70 x+y=70
10x+6y≤480, 200y，作出约 60 A
x≥0, 束条件的可行 50
y≥0,15 域如图所示， 40
由 x+y=70，得 x=15，A（15，55），当目标 30
10x+6y=480, y=55， 函数经过点A（15，55） 20
时，z= 28015+20055=4200+11000=15200为最大， 10 10x+6y=480
当甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱时，甲， 0 10 20 30 40 50 60 70 x
乙两车间每天获利最大，B正确，选B。
『思考题3』
（1）【典例3】是线性规划的实际应用问题，主要包括两：①给定一定数量的人力，物力资源，求怎样利用这些资源可以使完成的工作量最大，获取的利润最大；②给定一项任务，求怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力，物力资源最小；
（2）解答线性规划应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，确定影响问题的未知变量并设出未知变量；②确定影响问题的约束条件，列出二元一次不等式（或不等式组）；③根据条件写出目标函数（关于未知变量的解析式）；④作出约束条件所表示的平面区域；⑤确定最优解（若问题要求最优解是整数，按线性规划问题求得的最优解不是整数时，需作适当的调整，基本方法是：1》求出可行域中的所有整数点，2》利用点到直线的距离公式求出到目标函数距离最小的整数点为最优解），把最优解代入目标函数求出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需运往A地至少72吨货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用的两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ）
A 4650元 B 4700元 C 4900元 D 5000元
2、某公司生产甲、乙两种幅袋产品，已知生产甲产品一幅需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品一幅需耗A原料2千克，B原料1千克。每幅甲产品的利润是300元，每幅乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B两种原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 1800元 B 2400元 C 2800元 D 3100元