沪教版数学高二下春季班：第四讲空间中的直线与平面1 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第四讲
课题 空间中的直线与平面1 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．掌握直线与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题； 2．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理与性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关问题
重点 1．理解掌握线线平行、线面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2．证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现，而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理．
难点 证明垂直问题常常通过“线线垂直”与“线面垂直”之间的转化来实现，而证明“线线垂直”常常利用三垂线定理．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30




1、直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）

2、线面平行
（1）判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
（2）性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

3、线面垂直
（1）判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
（2）性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．





1、直线与平面平行
【例1】判断真假：
（1）平行于同一直线的两直线平行（ ）；
（2）平行于同一直线的两平面平行（ ）；
（3）平行于同一平面的两直线平行（ ）；
（4）平行于同一平面的两平面平行（ ）；
（5）垂直于同一平面的两直线平行（ ）；
（6）垂直于同一平面的两平面平行（ ）；
（7）垂直于同一直线的两直线平行（ ）；
（8）垂直于同一直线的两平面平行（ ）；
（9）一个平面上不共线的三点到另一个平面距离相等，则这两个平面平行（ ）；
（10）与同一条直线成等角的两个平面平行（ ）．
【难度】★★
【答案】1．√ 2．╳ 3．╳ 4．√ 5．√ 6．╳ 7．╳ 8．√ 9．╳ 10．╳

【例2】判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）若平面内的两条直线分别与平面平行，则与平行；
（2）若平面内有无数条直线分别与平面平行，则与平行；
（3）平行于同一直线的两个平面平行；
（4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；
（5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面．
【难度】★★
【答案】不正确，不正确，不正确，正确，不正确
【例3】在正方体中，分别是棱、、的中点．
求证：（1）直线；
（2）直线．
【难度】★
【答案】（1）连接，是正方体，分别是棱、、的中点，
，
，且
四边形是平行四边形

（2）连接，，
，



【例4】已知分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱的中点，
求证：∥平面.
【难度】★
【答案】

【例5】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q在BD上，
点P在D1A，且AP＝BQ，求证：PQ∥平面AA1B1B.
【难度】★★
【答案】作PF⊥AD,连结QF，在△ADD1中,AP：AD1=AF：AD
又因为AP=BQ,AD1=BD所以AF：AD=BQ：BD
由此得QF⊥AD,因为AD⊥PF所以AD⊥平面PFQ
又因为AD⊥平面CC1DD1
所以平面PFQ‖平面CC1DD1
因为PQ在平面PFQ内,所以PQ‖平面CC1DD1

【例6】如图，正方体中，E为的中点，试判断与平面AEC的位置关系，并说明理由．
【难度】★★
【答案】连接BD、AC交于点F
EF是面AEC内的直线
同时EF也是三角形BDD'的中位线
有BD1平行于EF
所以有BD1平行于面AEC



【例7】E，F分别是空间四边形ABCD的AC，BD的中点，过E，F且平行于AD的平面分别交AB，CD于G，H．求证：BC平面EGFH．
【难度】★★
【答案】

同理，，
又因为EF分别为AC，BD中点，GF、EH分别为所在三角形中位线
，
可知G、H为AB、CD中点，可知


【例8】ABCD是空间四边形，E、F、G、H分别是四边上的点，并且//面，//面，当是菱形时，____________________．
【难度】★
【答案】

【例9】已知异面直线、都平行于平面，且、在的两侧，若、与分别交于、两点，求证：；

【难度】★
【答案】连AD交于P，连MP、PN
∵CD∥，平面ACD∩=MP
∴CD∥MP
∴,同理可得,∴

【例10】如下图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PD上的点，且=，求证：直线MN∥平面PBC．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】：要证直线MN∥平面PBC，只需证明MN∥平面PBC内的一条直线或MN所在的某个平面∥平面PBC.
证法一：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意得====NR=MB.∵NR∥DC∥AB，∴四边形MNRB是平行四边形.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.
证法二：过N作NR∥DC交PC于点R，连结RB，依题意有==，∴=，=+ + =.∴MN∥RB.又∵RB平面PBC，∴直线MN∥平面PBC.
【说明】 1：要证明直线与平面平行根据判定定理应该找平行线；但找平行线又根据性质定理的思想关键是找一个平面，借此可充分领会平行链的作用.
2．找平行线经常会用到平行线分线段成比例的性质.
3．鼓励学生一题多解,
【说明】本题重点考查直线与平面平行的性质.


【例11】两条异面直线、分别在平面、内，且=c，则直线 （ ）
A．一定与，都相交 B．至少与，中的一条相交
C．至多与，中的一条相交 D．一定与，都不相交
【难度】★★
【答案】B


【例12】如图，在正方形ABCD外有一点S到A、B、C、D四点距离相等，底面ABCD的边长为，SA=SB=SC=SD=2，P、Q分别在BD和SC上，且BP : PD=1 : 2， PQ∥平面SAD，求线段PQ的长．
【难度】★★★
【答案】


【巩固训练】
1．如果平面外一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，则这条直线与平面关系是________．
【难度】★
【答案】平行，相交

2．若直线平面，则直线与平面内的直线的位置关系是 ．
【难度】★
【答案】平行、异面

3．用表示一个平面，l表示一条直线，则平面内至少有一条直线与l（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．垂直
【难度】★
【答案】D

4．正方体中，点分别是正方形的中心．
（1）直线平面的位置关系是 ；
（2）直线与所成的角为 ；
（3）平面与平面的位置关系是 ．
【难度】★
【答案】平行，，平行

5．直线与平面平行的充要条件是 （ ）
A．直线与平面内的一条直线平行
B．直线与平面内的两条直线不相交
C．直线与平面内的无数条直线平行
D．直线与平面内的任意直线都不相交
【难度】★
【答案】D

6．如果直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和这两个相交平面的交线的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上情况都有可能
【难度】★
【答案】A

7．已知直线平面，则直线与平面的位置关系是__________。
【难度】★
【答案】或

8．若直线平面，则下列命题中正确的是 （ ）
A．平行于内所有直线 B．平行于过的平面与的交线
C．平行于内的任一直线 D．平行于内唯一确定的直线
【难度】★★
【答案】B

9．已知直线和平面，那么的一个必要不充分条件是 （ ）
A． B． C． D．与成等角
【难度】★★
【答案】D

10．表示两个平面，表示两条直线，则的一个充分条件是 （ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】D

11．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．
【难度】★★
【答案】平面MNH // 平面BCE,则平面MNH 上任一直线‖平面BCE,则得证




12．设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与AB交于点P，求证：P是MN的中点．
【难度】★★
【答案】证明：连接AN，交平面α于点Q，连接PQ．
∵b∥α，b平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点．∵a∥α，a平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P为MN的中点．

2、直线与平面垂直
【例13】判断正误：
（1）若直线垂直于平面内两条直线，则； （ ）
（2）过一定点与已知平面垂直的直线有无数条； （ ）
（3）过一定点与已知直线垂直的直线都在同一平面内； （ ）
（4）若直线，，则； （ ）
（5）若，直线，则； （ ）
（6）若，，且，则线段的长度是直线与平面的距离．（ ）
【难度】★★
【答案】1．╳ 2．╳ 3．√ 4．√ 5．╳ 6．╳

【例14】已知RtABC中，，PA平面ABC，AEPC于E，求证：AE平面PBC．

【难度】★★
【答案】


【例15】 P是△ABC所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影是O，①若PA=PB=PC，则O是△ABC的外心；②若P到△ABC的三边所在直线的距离相等，且O在△ABC内，则O是△ABC的内心；③若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心；④若PA=PB=PC，且O在边AB上，则△ABC是直角三角形。正确的命题是 ．
【难度】★★
【答案】①②③④




【例16】直角梯形ABCD中,，，，平面．求证：(1)；(2)．

【难度】★★
【答案】（1）（2）


【例17】如图，在四面体ABCD中，CD⊥BD，CD⊥AD，过△ABC内一点P画一直线与CD垂直，应如何画？说明理由．
【难度】★★
【答案】在AB边上任取一点M,连接CM,DM,使P在CM上,作PQ∥DM交CD于点Q,则PQ就是要画的直线.
证明：因为CD⊥BD,CD⊥AD,所以CD⊥平面ABD,所以CD垂直平面ABD内任何直线,所以CD⊥DM,在平面CDM中,PQ∥DM,所以PQ⊥CD.

【例18】在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的各面的对角线的条数是 ．
【难度】★★
【答案】6

【例19】正四棱柱中，，点在上且． 证明：平面；
【难度】★★
【答案】依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，． 在平面内，连结交于点，
由于，故，，
与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面．

【例20】已知PD垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AD、PB的中点（如图），求证：MN⊥AD．
【难度】★★
【答案】连接BD,过N点作PD的平行线NQ,Q点落在BD上且平分BD,三角形PDB的中位线NQ垂直于BD,也垂直于矩形ABCD,所以NQ垂直于AD,连接MQ,中位线MQ平行于AB且垂直于AD ,所以AD就垂直于三角形MNQ,就得到AD垂直于MN.

【例21】已知直线a⊥平面，直线b⊥平面，O、A为垂足．求证：a∥b．
【难度】★
【答案】略

【例22】已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC．
【难度】★★
【答案】证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC．
又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE．
∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC

【例23】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥平面ABC，AE⊥BD于E，AF⊥CD于F，求证：BD⊥平面AEF．
【难度】★★
【答案】因为AB是直径,所以BC⊥AC；又AD⊥面ABC,所以BC⊥AD,于是知BC⊥面ACD,可知BC⊥AF.又AF⊥CD,且AF⊥BC,所以AF⊥面BCD,即知AF⊥BD.又BD⊥AE,所以BD⊥平面AEF


【例24】正方形ABCD的边长是，为其中心．平面ABCD外一点P到正方形各顶点的距离都是，M、N分别是PA、BD上的点，且；
求证：（1）平面ABCD ；（2）平面．
【难度】★★
【答案】
（1）连接AC、BD，可知交点为O，连接PO，可知为等腰三角形，，同理，
（2）证明：连结AN并延长和BC交于E点，由PM：MA=BN：ND，可得EN：NA=BN：ND=MP：MA，即?
∴MN∥PE，而MN?平面PBC，PE?面PBC，∴MN∥平面PBC

【例25】如图1所示，为正方形，⊥平面，过且垂直于的平面分别交于．求证：，．
【难度】★★★
【答案】∵SA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥SA，
∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB，
∵AB、SA是平面SAB内的相交直线，∴BC⊥平面SAB．
∵AE?平面SAB，∴BC⊥AE．
∵SC⊥平面AEFG，AE?平面AEFG，∴SC⊥AE，
∵BC、SC是平面SBC内的相交直线，∴AE⊥平面SBC．
∵SB?平面SBC，∴AE⊥SB．
同理可证AG⊥SD．

【例26】如图2，在三棱锥中，，，作，Ｅ为垂足，作于．求证：．
【难度】★★★
【答案】取AB中点F，连接CF，DF；
∵BC=AC，AD=BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF，CF∩DF=F；
∴AB⊥平面CDF，CD?平面CD；
∴CD⊥AB，CD⊥BE，BE∩AB=B；
∴CD⊥平面ABE，AH?平面ABE；
∴CD⊥AH，即AH⊥CD，又AH⊥BE，BE∩CD=E；
∴AH⊥平面BCD．




【例27】如图：斜边为AB的与PB交于Ｅ，
求证：平面．




【难度】★★★
【答案】BC⊥PC,?BC⊥AC,?∴BC⊥PAC,?PBC⊥PAC,（BC∈PBC）.又AF⊥PC（交线）
?∴AF⊥PBC,?AF⊥PB,又AE⊥PB,∴AEF⊥PB,EF⊥PB.∴PB⊥平面AEF


【例28】下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

【难度】★★★
【答案】①④

【巩固训练】
13．“直线垂直于平面内的无数条直线”是“”的_______条件．
【难度】★
【答案】必要非充分

14．若直线与平面不垂直, 那么平面内与直线垂直的直线有_________条．
【难度】★
【答案】无数

15．直线与平面斜交，那么在内与垂直的直线　　　　　（　　）
A．没有　　　　　　　　　　　B．有一条　　
C．有无数条　　　　　　　　　D．有条（为大于１的整数）
【难度】★
【答案】C

16．如果直线平面，直线，直线与的位置关系是 （ ）
A． B． C．一定异面 D．一定相交
【难度】★
【答案】B

17．（1）如图7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，判断下列结论是否正确：
①AC⊥面CDD1C1 ②A A 1⊥面A1B1C1D1
③AC⊥面BDD1B1 ④ EF⊥面BDD1B1
⑤AC⊥BD1
（2）将（1）中正方体改成长方体呢，以上结论是否正确？
【难度】★★
【答案】②③④⑤,不正确

18．若平面，中，，则的形状是 ．
【难度】★
【答案】直角三角形


19．直线垂直于平面内的两条直线，则直线与平面的关系是　　（ ）
A．垂直 B．平行 C．相交 D．都有可能
【难度】★
【答案】D

20．直线不垂直于平面，则内与垂直的直线共有 （ ）
A．0条 B．1条 C．无数条 D．内所有直线
【难度】★
【答案】C

21．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，，连接，求证:．
【难度】★★
【答案】略

22．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证:．
【难度】★★
【答案】证明：连接FO．
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1．
又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．
∵tan∠AA1O=,tan∠FOC=,∴∠AA1O=∠FOC，
则∠A1OA+∠FOC=90°．∴A1O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A1O⊥平面FBD．

23．如图：正方体ABCD－ABCD中，S，Ｔ分别为棱上的点，
如果，那么是（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上都有可能
【难度】★★
【答案】B

24．如图：P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC．若O和Q分别是ABC和PBC的垂心．求证：OQ平面PBC．






【难度】★★★
【答案】证明：∵O是△ABC的垂心，∴BC⊥AE．∵PA⊥平面ABC，根据三垂线定理得BC⊥PE．
∴BC⊥平面PAE．∵Q是△PBC的垂心，故Q在PE上，则OQ?平面PAE，∴OQ⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，BF?平面ABC，∴BF⊥PA，又∵O是△ABC的垂心，
∴BF⊥AC，故BF⊥平面PAC．因而FM是BM在平面PAC内的射影．
因为BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理，FM⊥PC，
从而PC⊥平面BFM．又OQ?平面BFM，所以OQ⊥PC．
综上知OQ⊥BC，OQ⊥PC，
所以OQ⊥平面PBC






1．判断正误：
（1）若直线，，则；（ ）
（2）若直线，，且都在平面内，则；（ ）
（3）若直线，，则直线；（ ）
（4）若平面，直线，则直线；（ ）
（5）直线，平面，则直线；（ ）
（6）平面，平面，则直线；（ ）
（7）若平面直线，直线，且和没有公共点，则．（ ）
【难度】★
【答案】1．╳ 2．√ 3．╳ 4．╳ 5．╳ 6．√ 7．√

2．如果直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④若，则．上述判断正确的是： （ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④
【难度】★★
【答案】B

3．关于直线以及平面，下列说法正确的是 （ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【难度】★★
【答案】D

4、如图，三棱柱中，侧棱，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是（　　）
A．与是异面直线
B．平面
C．，为异面直线，且
D．平面
【难度】★★
【答案】C

5、如图，在正四棱锥中，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③面；④面．中恒成立的为（　　）

①③ B．③④ C．①② D．②③④
【难度】★★
【答案】A

6、已知一条直线与一个平面内的两条直线垂直．则该直线与这个平面的位置关系为（　　）
A．平行 B．相交 C．在平面内 D．都有可能
【难度】★★
【答案】D

7、如图，直线平面，垂足为，已知边长为的等边三角形在空间做符合以下条件的自由运动：①，②，则两点间的最大距离为（　　）

B． C． D．
【难度】★★★
【答案】C

8、已知矩形，，，沿着对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A. 存在某个位置，使得直线与垂直；
B. 存在某个位置，使得直线与垂直；
C. 存在某个位置，使得直线与垂直；
D. 对任意位置，三直线“与”、“与”、“与”均不垂直.
【难度】★★★
【答案】B

9．点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD. 求证：PO⊥平面ABCD．
【难度】★★
【答案】∵PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD
平面PAC交平面PBD于PO,所以PO⊥平面ABCD

10．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
【难度】★★
【解析】(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则，若ACα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα，∴AC∥α，
又AC α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．











空间中的直线与平面1

知识梳理

























































例题解析

C

B

D

A

B1

C1

A1

D1

E

F

M

C

B

D

A

B1

C1

A1

D1

E

F

M

D

B1

A

C1

B

C

A1

D1

E

F





















E

B

C

D

A

F

GF\

H

E

B

C

D

A

F

GF\

H

M

N



















A

B

C

D

E

A1

B1

C1

D1





图7

C

D

A

B1

B

D1

A1

C1

E

F

A





C

B

P

A





































Ｓ

Ｔ









Q




M

F



课后练习

B

A

D

C

P

N

Q

M








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