沪教版数学高二下春季班：第五讲空间中的直线与平面2 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第五讲
课题 空间中的直线与平面2 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法； 2．掌握空间中各种距离的概念，能运用这些概念进行论证和解决有关问题．
重点 1．掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”，思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法； 2．空间距离向平面距离的转化过程中，重点是确定垂足，作出辅助图形解三角形．
难点 空间距离向平面距离的转化过程中，重点是确定垂足，作出辅助图形解三角形

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30











∥
1．平面的斜线
当直线与平面相交且不垂直时，叫做直线与平面斜交，叫做平面的斜线.
斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段．
2．射影
设直线与平面斜交于点，过上任意点，作平面的垂线，垂足为，我们把点叫做点在平面上的射影，直线叫做直线在平面上的射影．
射影长定理：
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短．
3．直线和平面所成角
如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角．

定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角.














直线与平面所成角求解方法：
第一步：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与射影所成的角；
第二步：解含的三角形，求出其大小．
4．距离定义：
（1）点和平面的距离：过点作平面的垂线，垂足为，我们把点到垂足之间的距离叫做点和平面的距离．
（2）直线和平面的距离：设直线平行于平面．在直线上任取一点，我们把点到平面的距离叫做直线和平面的距离．
（3）设平面平行平面，在平面上任取一点，我们把点到平面的距离叫做平面和平面的距离．
（4）异面直线和的距离：设直线和是异面直线，当点、分别在和上，且直线既垂直于直线，又垂直于直线时，我们把直线叫做异面直线和公垂线，，垂足、之间的距离叫做异面直线和的距离．





1、直线与平面所成角
<1>直接法：关键是作垂线，找射影 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 可利用面面垂直的性质；
<2>平移法：通过三角形的中位线或平行四边形的对边平移，计算其平行线与平面所成的角（也可平移平面）。
<3>通过等体积法求出斜线任一点到平面的距离，计算这点与斜足之间的线段长，则.

【例1】判断正误：
（1）若直线，则直线与平面所成的角相等； （ ）
（2）若直线与平面所成的角相等，则直线； （ ）
（3）若两条直线在平面上的射影重合，则直线共面； （ ）
（4）若都是平面的斜线段，且，则它们在平面上的射影长相等；（ ）
（5）若在平面内，，且与平面成等角，则； （ ）
（6）过一定点作与平面所成角等于定值的直线有无数条． （ ）
【难度】★★
【答案】1．√ 2．╳ 3．√ 4．╳ 5．√ 6．╳






【例2】四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB的中点，
求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
【难度】★★
【答案】（1），（2）
【解析】SC垂直于面SAB，所以C点在平面SAB上的射影恰好是S点，所以所成角就是，SC与平面ABC不是垂直的，因此S点在平面上的射影直接是看不出来的，那要做垂线的话也不知道射影的位置，考虑到底面SAB是一个等腰直角三角形，所以取AB的中点M，连接SM,CM，得到AB垂直于平面SCM，因此要找S点在平面ABC中的射影，只需要过S做CM的垂线即可，所成角就是，设SB=1，,


【例3】已知长方体，点E在是棱的中点，与底面ABCD所成的角为，AB＝AD=1．
（1）求证：∥平面EAC；
（2）求异面直线与AC之间的距离；
（3）求与平面AEC所成的角．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）；（3）


【例4】如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成角为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

【难度】★★
【答案】B


【例5】在棱长为1的正方体中，是侧棱上的一点，。
（Ⅰ）试确定，使直线与平面所成角的正切值为；
（Ⅱ）在线段上是否存在一个定点，使得对任意的，在平面上的射影垂直于，并证明你的结论。
【难度】★★
【答案】（１）
故。所以。
又.故
在△，即.
故当时，直线。
（Ⅱ）依题意，要在上找一点，使得.可推测的中点即为所求的点。
因为，所以又,故。
从而

【巩固训练】
1．若直线与平面所成的角为，则的取值范围是 ．
【难度】★
【答案】

2．两点相距，且与平面的距离分别为和，则与平面所成的角的大小是 （ ）
A． B． C．或 D．或或
【难度】★★
【答案】C


3．是从点引出的三条射线，每两条夹角都是，那么直线与平面所成角的余弦值是___________．
【难度】★★
【答案】
4．若是边长等于1的正三角形，点在平面外，且，是中点．（1）求与平面所成的角；（2）求与平面所成的角．


【难度】★★
【答案】（1）；（2）。



5．如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分是上的点，且，过点作的平行线交于．求与平面所成角的正弦值；
【难度】★★
【答案】（1）在中，，,而PD垂直底面ABCD，
，中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即

2、距离问题
1.空间中的距离主要指以下七种 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(1)两点之间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(2)点到直线的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(3)点到平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(4)两条平行线间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(5)两条异面直线间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(6)平面的平行直线与平面之间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(7)两个平行平面之间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
求点到平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)体积法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)向量法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
求异面直线的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)定义法，即求公垂线段的长 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (2)转化成求直线与平面的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (3)函数最值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

【例6】判断正误：
（1）若直线垂直于平面内两条直线，则； （ ）
（2）过一定点与已知平面垂直的直线有无数条； （ ）
（3）过一定点与已知直线垂直的直线都在同一平面内； （ ）
（4）若直线，，则； （ ）
（5）若，直线，则； （ ）
（6）若，，且，则线段的长度是直线与平面的距离．（ ）
【难度】★★
【答案】1．╳ 2．╳ 3．√ 4．√ 5．╳ 6．╳

【例7】若正四面体的各条棱长均为，平面于．
（1）求证：是的中心；
（2）求点到平面的距离；
（3）求异面直线和的距离．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）；（3）

【例8】把边长为正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) (1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】（1）（2）


【例9】如图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________ (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】a
【解析】以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB,
同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=a

【例10】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,
∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★★
【答案】 (1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE为所求 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)

【巩固训练】
1．已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别是1和3，则线段AB中点到平面α的距离是 .
【难度】★★
【答案】2或

2．三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )
A (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) B (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) C (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 2.6 D (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 2.4
【难度】★★
【答案】C
【解析】交线l过B与AC平行，作CD⊥l于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,Rt△C1CD中易求得C1D==2.6

3．已知△ABC中，AB=9，AC=15，∠BAC=120°，△ABC所在平面外一点P到此三角形三个顶点的距离都是14，则点P到平面ABC的距离是 ．
【难度】★★
【答案】7

4．在ΔABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为平面ABC外的一点，且PA＝PB＝PC＝7，求点P到平面ABC的距离．
【难度】★★
【答案】2

5．直角三角形ACB所在的平面外有一点P，已知P点到直角顶点C的距离是24，到两条直角边的距离都是，求点P到平面的距离．
【难度】★★★
【答案】12



6．如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★★
【答案】(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1
∴BB1⊥平面A1EF
即面A1EF⊥面BB1C1C
在Rt△A1EB1中，
∵∠A1B1E=45°，A1B1=a
∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a
同理A1F=a,又EF=a
∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°
过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1
即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离
∴A1N=
又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为
∴a=2，∴所求距离为2
(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N
∴B1C1⊥平面ADD1A1
∴BC⊥平面ADD1A1
得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，
若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°
∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)




1、无论是求角还是求距离，其方法大致可以分为两类：一类是直接法，即作出所求的角和距离；另一类是转化法；
2、异面直线的距离，除求公垂线段外，通常划归为线面距离、面面距离；而线面距离、面面距离通常转化为点面距离。




1．两条相等的平行线段在同一平面内的射影长 ．
【难度】★
【答案】相等

2．给出下列四个命题：
①夹在两个平行平面间的线段中,较长的线段与平面所成的角较小；
②夹在两个平行平面间的线段相等,则它们与两个平面所成的角相等；
③夹在两个平行平面间的线段相等,则这两线段必平行；
④夹在两个平行平面间的平行线段必相等.
其中正确的命题有（ ）
A. ①②④ B. ②③④ C. ①③ D. ④
【难度】★★
【答案】A

3．如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________.
【难度】★★
【答案】以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=a


4．如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD的距离为_________.
【难度】★★
【答案】显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF∥平面ABCD.
∴FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.

5．已知正方体中的棱长为，
（1）求直线和平面所成的角；
（2）求直线和平面所成的角；
（3）求直线和平面所成的角．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）.
6．如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。
（Ⅰ）证明⊥；
（Ⅱ）若，求与平面ABC所成角的余弦值。
【难度】★★
【答案】(Ⅰ)由已知l2⊥MN, l2⊥l1 , MN∩l1 =M, 可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且AN⊥NB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB, ∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,因此△ABC为正三角形.∵Rt△ANB≌Rt△CNB, ∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H
是正三角形ABC的中心,连结BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH= = = .
7．如图, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，和的长分别为和.
（1）求点和点的距离；
（2）求点到棱的距离；]
（3）求棱和平面的距离；
（4）求异面直线和的距离．
【难度】★★
【答案】，5，3，3

8．如图，已知在平面内，，，求证：点在平面上的射影在的平分线上．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】：作，，垂足分别为，连结，
∵ ，
，
又∵，∴平面，∴．同理．
在和，，
∴，∴，
即点在平面上的射影在的平分线上．
【说明】：本题给出了一个很重要的结论：平面的一条斜线，如果和这个平面内斜线为顶点的角的两边成等角，那么这条斜线在这个平面上的射影是这个角的平分线所在的直线，这个结论在解答一些问题时常常用到.
9．如图：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AB=AC，F为棱BB1上一点，BF∶FB1=2∶1，BF=BC=2a。
(1). 若D为BC的中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，证明EF⊥FC1；
(2) .试问：若AB＝2a，在线段AD上的E点能否使EF与平面BB1C1C成60°角，为什么？证明你的结论。
【难度】★★★
【答案】（1）连结DF，DC 　∵三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，
　　∴CC1⊥平面ABC，∴平面BB1C1C⊥平面ABC
　　∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB1C1C
　　∴DF为EF在平面BB1C1C上的射影，
　　在△DFC1中，∵DF2＝BF2＋BD2＝5a2，＝＋DC2＝10a2，
　　＝B1F2＋＝5a2，　∴＝DF2＋，∴DF⊥FC1 FC1⊥EF
　　（2）∵AD⊥平面BB1C1C，∴∠DFE是EF与平面BB1C1C所成的角
　　在△EDF中，若∠EFD＝60°，则ED＝DFtg60°＝·＝，
　　∴＞，∴E在DA的延长线上，而不在线段AD上
　　故线段AD上的E点不能使EF与平面BB1C1C成60°角

10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a.

(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.
【难度】★★★
【答案】(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE为所求.
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.












空间中的直线与平面2

知识梳理

【规定】
（1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角；
（2）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是的角．

【注意】
（1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关；
（2）直线和平面所成角的范围是；
（3）斜线和平面所成角的范围是．

例题解析

D1

C1

B

C

A1

B1



D

E

A

D

C

B

A



F

C

P

G

E

A

B

图5

D

O

D

C

B

A

反思总结

课后练习

C

D

A

B1

B

D1

A1

C1

E

F

















B

D

F

A

C

E

A1

B1

C1






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