沪教版数学高二下春季班：第六讲空间中的平面与平面 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第六讲
课题 空间中的平面与平面 单元 第十四章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．掌握平面与平面平行的定义、判定定理和性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题； 2．掌握求二面角平面角的方法：定义法，三垂线定理法和垂面法．
重点 1．理解线线平行、面面平行之间的转化以及平行与垂直之间的转化的辩证关系； 2．体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想．
难点 体会求二面角的过程就是将空间的角转化为平面上的角的“化归”思想．

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30










1、平面与平面位置关系
位置关系 定义 符号表示
平行 平面与平面没有公共点 ∥
相交 平面与平面有且仅有一条公共直线

2、平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
图形语言：

符号语言：且，那么
3、两个平面平行的性质定理
如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
图形语言：

符号语言：若，，则
4、几个重要结论
（1）垂直于同一条直线的两个平面平行
（2）如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也垂直于另外一个
（4）夹在两个平行平面中的平行线段相等
（5）经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
注：①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行，把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立
②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面，但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行
5、半平面的定义
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面
6、二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面
7、画法
第一种是卧式法，也称为平卧式：

第二种是立式法，也称为直立式：

8、二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则叫做
二面角的平面角
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，
则也是的平面角







9、平面与平面垂直定义
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
（2）推理模式：
三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直
推理模式： ．
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线。其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。⑵要考虑的位置，并注意两定理交替使用。

　　两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法：平面与垂直，记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.
如图：
　　　　　　　　　　
10、平面与平面垂直的判定定理
　　判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
　　符号语言：
　　图形语言：
　　　　　　
　　特征：线面垂直面面垂直
　　注：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.
11、平面与平面垂直的性质
　　性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
　　符号语言：
　　图形语言：
　　　　　　　　





1、线面平行到面面平行
【例1】下列命题正确的是 （ ）
一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
直线l与平面内无数条直线都垂直则直线l与平面垂直
一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行
【难度】★★
【答案】D


【例2】P是△ABC所在平面外一点，,,分别是△PBC，△PCA，△PAB的重心，
求证：平面∥平面ABC；
求
【难度】★★
【答案】连PC’，PA’，PB’分别交AB，BC，CA于D，E，F则D，E，F分别为AB，BC，CA中点，且A’，B’，C’分别为PE，PF，PD的三等分点。
∵
∴ A’C’∥DE
∵
∴ A’B’∥EF
∴ 平面A’B’C’D’∥平面ABC
（2）∵
∴ A’C’=DE
又DE=AC
∴ A’C’=AC，即
同理：，
∴ △A’B’C’∽△ABC
∴
【解析】根据判定定理，欲证面面平行，应先证线面平行，而线线平行又是线面平行的基础，
就本题而言，应从容易把握的线线平行着手。





【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，
求证：（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A1BD.
【难度】★★
【答案】（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.
又B1C∥MN，∴AP⊥MN.
（2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，
∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，
∴PN∥平面A1BD.
同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A1BD.
【例4】如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，且，平面，求线段的长.
【难度】★★
【答案】作交于，连，∵平面，平面.
∴平面平面，
而平面分别与此两平行平面相交于，.
∴.
∵,∴＝.∴＝＝,＝＝＝.
∴,又.∴
在Δ中由余弦定理得

【巩固训练】
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A 平行于同一条直线的两个平面平行
B 垂直于同一条直线的两个平面平行
C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．
D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．
【难度】★★
【答案】B

2．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=_____________.
【难度】★★
【答案】68或
【解析】如图（2），由α∥β知AC∥BD，∴==，即=.∴SC=.图（1）中显然CS=68。



2．如图已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H．

(2)判断四边形EFGH是哪一类四边形；
(3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长．


【难度】★★
【答案】(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为
(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形．





3．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.

（1）求证：平面AMN∥平面EFDB；
（2）求异面直线BE与MN之间的距离.
【难度】★★
【答案】（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB.
又AM∥DF，
∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，
∴平面AMN∥平面EFDB.
（2）解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，
∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.
作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H.
∵DB⊥平面A1ACC1，
∴DB⊥OH.而MN∥DB，∴OH⊥MN.
则OH⊥平面AMN.
∵A1P=a，AP= a，
设∠A1AP=θ，则cosθ==，
∴OH=AO·sinθ=a· a=a.
∴异面直线BE与MN的距离是a.

4．如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β=B，DF∩β=E.

（1）求证：=；
（2）设AF交β于M，ACDF，α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当的值是多少时，△BEM的面积最大?
【难度】★★★
【答案】（1）证明：连结BM、EM、BE.
∵β∥γ，平面ACF分别交β、γ于BM、CF，
∴BM∥CF.∴=.
同理，=.∴=.
（2）解：由（1）知BM∥CF，
∴==.同理，=.
∴S=CF·AD（1－）sin∠BME.
据题意知，AD与CF是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF、AD是常量，
sin∠BME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令h′∶h=x.只要考查函数y=x（1－x）的最值即可，显然当x=，即= 时，y=－x2+x有最大值.
∴当= ，即β在α、γ两平面的中间时，S最大.

2、线面垂直到面面垂直
【例5】设是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则或；④若则。其中正确的命题是_ __；
【难度】★★
【答案】①③④
【解析】②中a可以平行于β，也可以和β斜交

【例6】如图，已知空间四边形中，，是的中点。
求证：（1）平面CDE;
（2）平面平面。
【难度】★★
【答案】
证明：（1），同理，
又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面


【例7】已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥
平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动
点，且
（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？
【难度】★★★
【答案】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC. 又
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,
∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴
由AB2=AE·AC 得
故当时，平面BEF⊥平面ACD.

【巩固训练】
1．如图所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是 （ ）
A、平面ABD⊥平面ABC
B、平面ADC⊥平面BDC
C、平面ABC⊥平面BDC
D、平面ADC⊥平面ABC
【难度】★★
【答案】D
【解析】由题中知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，所以，AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC。


2．已知三个平面两两互相垂直并且交于一点,点到这三个平面的距离分别为、、,则点与点之间的距离是( )
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A
【解析】以距离、、为三边构成长方体,


3． 如下图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，又二面角P—CD—B为45°.
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求证：平面PEC⊥平面PCD；
（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离.
【难度】★★
【答案】
（1）证明：取PC的中点G，连结EG、FG .
∵F是PD的中点，∴FG∥CD且FG=CD.而AE∥CD且AE=CD，∴EA∥GF且EA=GF，故四边形EGFA是平行四边形，从而EG∥AF.又AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC.
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥PD，∠PDA就是二面角P—CD—B的平面角.∴∠ADP=45°，则AF⊥PD.
又AF⊥CD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.
由（1），EG∥AF，∴EG⊥平面PCD，
而EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD.
（3）解：过F作FH⊥PC交PC于点H，又平面PEC⊥平面PCD，则FH⊥平面PEC，∴FH为点F到平面PEC的距离，而AF∥平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离.
在△PFH与△PCD中，
∵∠FHP=∠CDP=90°，∠FPC为公共角，
∴△PFH∽△PCD，=.
∵AD=2，CD=2，PF=，PC==4，∴FH=·2=1.
∴点A到平面PEC的距离为1


3、二面角及其求法
（一）定义法
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。






【例8】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，
，点M在侧棱上，=60°
（I）证明：M在侧棱的中点 （II）求二面角的大小。
【难度】★★
【答案】（I）略；（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，∴AM⊥SC， GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵为AM的中点，∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角.. ∵，则，又∵，∴,
∵，∴△是等边三角形，∴,
在△中，，，，∴
,∴二面角的大小为

（二）三垂线法
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
【例9】如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
(1)证明：直线EE//平面FCC； (2)求二面角B-FC-C的余弦值。

【难度】★★
【答案】（1）略（2）因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴, 在Rt△OPF

中,,,
所以二面角B-FC-C的余弦值为.

（三）垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
【例10】在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
【难度】★★
【答案】如图　PA⊥平面BD　BD⊥AC BD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a,　PB·BC=S△PBC=PC·BH, 则BH==DH，　又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝　又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=　，二面角B-PC-D的大小是。

（四）补棱法
本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决。
【例11】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
【难度】★★
【答案】（Ⅰ）证略解: （Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知,平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中， 在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
【解析】本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。

（五）射影面积法（）
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。
【例12】如图，在三棱锥中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
【难度】★★
【答案】解：（Ⅰ）证略（Ⅱ），，．
又，．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．
∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，于是可求得：，，则，
,
设二面角的大小为，则
∴二面角的大小为
【解析】本题要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面积法解题，不难想到在平面ABP与平面ACP中建立一对原图形与射影图形并分别求出S原与S射，于是得到解法。


（六）向量法（补充）
向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
【例13】如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II) 证明平面AMD平面CDE；
求二面角A-CD-E的余弦值。
【难度】★★
【答案】现在我们用向量法解答：如图所示，建立空间直角坐标系，以点为坐标原点。设依题意得
（I） 所以异面直线与所成的角的大小为.
（II）证明： ，



【巩固训练】
1．二面角指 （ ）
A．两平面组成的角；
B．经过同一直线的两个平面组成的图形；
C．从1条直线出发的两个半平面组成的图形；
D．两个平面所夹的不大于的角．
【难度】★
【答案】C

2．已知是正方形所在平面外一点，，，．
（1）求二面角的大小；
（2）求与平面所成的角．
【难度】★★
【答案】，
【解析】（1）由已知，，过作于，连结，，
∴，为二面角的平面角，．
（2） 连结交于，则，，
∴在平面上的射影是，就是与平面所成的角，．

3．如图，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，将△ADE沿AE翻折到D1点，点D1在平面ABC上的射影落在AC上时，二面角D1?—AE—B的平面角的余弦值是________.
【难度】★★
【答案】2-
【解析】过D1作D1O⊥AE于O，D1H⊥面ABC于H，在△D1AE中，D1O=，AO=，在Rt△AOH中，∠OAH=15°，∴OH=，∴在Rt△D1OH中，。

4．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法（1）单向倾斜（2）双向倾斜（3）四面倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1，P2，P3,，若屋顶斜面与水平面所成的角都是，则 （ ）
A．P3＞P2＞P1 B．P3＞P2=P1 C．P3=P2＞P1 D．P3=P2=P1




（1） （2） （3）
【难度】★★
【答案】D

5．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90?，
AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，
⑴PA与BD是否互相垂直，请证明你的结论；
⑵求二面角P－BD－C的正切值；
⑶求证：平面PAD⊥平面PAB。
【难度】★★
【答案】⑴PA与BD互相垂直，证明如下：
取BC的中点O，连AO，交BD于点E，连PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC
又∵面PBC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，由于Rt△ABORt△BCD
∴∠BEO=∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90?，
∴BD⊥AO，∴PA⊥BD
⑵由⑴，易知∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，
设AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2a，则，
，∴二面角P－BD－C的正切值。
⑶取PB的中点N，连CN，∵PC＝BC，∴CN⊥PB
又∵面PBC⊥面PAB，∴CN⊥面PAB，取PA中点M，连DM、MN，
则由MN∥AB∥DC，，得MNCD为平行四边形
∴CD∥DM，∴DM⊥平面PAB，又∵DM面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB

6．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
















【难度】★★
【答案】解法一：
不妨设正三角形ABC的边长为3。
（Ⅰ）在图1中，取BE的中点D，连结DF。
∵AE : EB=CF : FA=1:2，∵AF=AD=2，而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形。 又AE=DE=1， ∴EF⊥AD[来源:学§科§网]
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角， ∴A1E⊥BE。
又BE∩EF=E， ∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。
（Ⅱ）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线。
又A1E⊥平面BEP， ∴A1E⊥BP，
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则
∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，
且BP⊥A1Q。
在△EBP中， ∵BE=BP=2，∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形， ∴BE=EP
又A1E⊥平面BEP， ∴A1B=A1?P， ∴Q为BP的中点，且。
又A1E=1，在Rt△A1EQ中， ∴∠EA1Q=60°
所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°。
（Ⅲ）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF。
∵CF=CP=1， ∠C=60°，
∴△FCP是正三角形， ∴PF=1。
又， ∴PF=PQ。 ①
∵A1E⊥平面BEP，
∴A1F=A1Q； ∴△A1FP≌△A1QP
从而∠A1PF=∠A1PQ ②
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1， ∴。
∵MQ⊥A1P， ∴
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=。
在△FMQ中，
解法二：
不妨设正三角形ABC的边长为3。
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）如图1，由解法一知A1E⊥平面BEF，
BE⊥EF。建立如图4所示的空间直角坐标系
，则E（0，0，0）、A1（0，0，1）
B（2，0，0）、F（0，，0）。
在图1中，连结DP，∵AF=BP=2，
AE=BD=1，∠A=∠B，
∴△FEA≌△PDB，PD=EF=。
由图1知PF//DE且PF=DE=1， ∴P（1，，0）
∴
∴对于平面A1BP内任一非零向量a，存在不全为零的实数、，
使得
∴
∵直线A1E与平面A1BP所成的角是A1E与平面A1BP内非零向量夹角中最小者，
∴可设，
又的最小值为4，
∴的最大值为，即与a夹角中最小的角为60°
所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°
（Ⅲ）如图4，过F作FM⊥A1P于M，过M作MN⊥A1P交BP于N，则∠FMN为二面角B—A1P—F的平面角。
设。
∵
又
∵A1、M、P三点共线， ∴存在，使得
∵ ∴，
从而 代入①得
同理可得，从而。
∴
所以二面角B—A1P—F的大小为





空间中的平面与平面的位置关系重点为二面角的计算．
在计算二面角的时候，根据定义，需要将二面角转化为平面角．而根据定义来转化的方法使用与基本题目，除此之外还应该掌握通过三垂线定理来转化以及通过垂面法来转化的方法．同过这样的题型，感受高中数学四种重要数学思想之一的转化思想的一个集中应用．





1． 设直线，平面，下列条件能得出∥的有（ ）
①，，且∥，∥；
②，，且∥；
③∥，∥，且∥；
A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
【难度】★
【答案】D

2．异面直线所成的角的取值范围是________________；直线与平面所成的角的取值范围是________________；二面角的平面角的取值范围是________________．
【难度】★
【答案】；；．

3．设所在平面外一点，若与底面所成的二面角相等，则点在底面三角形内的射影是的__________ 心．
【难度】★★
【答案】内


4．已知二面角为，二面角内一点的距离分别为42和21，则到平面的距离为________________．
【难度】★★
【答案】

5．是正方形的边中点，将△与△沿、向上折起，使得、重合为点，那么二面角的大小为
【难度】★★
【答案】

6．如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（ ）
A．75° 　B．60° 　 　C．50° 　D．45°
【难度】★★
【答案】C
【解析】过C作CH⊥AB于H，显然CD⊥CH时DH有最大值，∴面ABC与地面所成角为50°。

7．设二面角的大小为 ，若平面 内一点到平面的距离为8 ，则点在平面内的射影到平面的距离为 （ ）
A． B． C． D．
【难度】★★
【答案】A

8．二面角 的平面角是锐角， 内的一点（不在棱上），在平面内的射影，点棱上满足为锐角的一点，那么 （ ）
A． B．
C． D．不能确定
【难度】★★
【答案】A

9．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90?，
AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，
⑴PA与BD是否互相垂直，请证明你的结论；
⑵求二面角P－BD－C的正切值；
⑶求证：平面PAD⊥平面PAB。
【难度】★★
【答案】⑴PA与BD互相垂直，证明如下：
取BC的中点O，连AO，交BD于点E，连PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC
又∵面PBC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，由于Rt△ABORt△BCD
∴∠BEO=∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90?，
∴BD⊥AO，∴PA⊥BD
⑵由⑴，易知∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，
设AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2a，则，
，∴二面角P－BD－C的正切值。
⑶取PB的中点N，连CN，∵PC＝BC，∴CN⊥PB
又∵面PBC⊥面PAB，∴CN⊥面PAB，取PA中点M，连DM、MN，
则由MN∥AB∥DC，，得MNCD为平行四边形
∴CD∥DM，∴DM⊥平面PAB，又∵DM面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB

10．在菱形中，，，
求：（1）点到的距离；
（2）所成角的大小；
（3）二面角的大小．
【难度】★★
【答案】（1）（2）（3）







空间中的平面与平面

知识梳理

【说明】
（1）二面角的平面角范围是；
（2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直；
（3）二面角的求法：① 几何定义法；② 空间向量法；③射影面积法.

例题解析









A

E

D

B

C









F

G

E

A

B

C

F

E1

A1

B1

C1

D1

D

E

A

B

C

F

E1

A1

B1

C1

D1

D

F1

O

P

A

B

C

E

D

P

A

C

B

B1

C1

A1

L

A

C

B

E

P

A

B

C

D

S



















图1

图2





图3



反思总结

课后练习








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