(共27张PPT)
第5章 相交线与平行线
5.1 相 交 线
1.对 顶 角
1.理解对顶角的概念及其性质.(重点)
2.运用对顶角的性质解决相关问题.(难点)
一、对顶角的定义
如图，画直线AB，CD相交于点O，所
成的角有___________________.
(1)∠1与∠2，∠2与∠3，∠3与∠4，∠4与∠1的位置关系是
_____，数量关系是_____.
(2)∠1与∠3，∠2与∠4的位置关系是_____.
相邻
互补
相对
【思考】1.上面图中∠1与∠3,∠2与∠4各组中的两个角的顶点有什么特点？
提示：具有相同的顶点.
2.上面图中∠1与∠3,∠2与∠4各组中的两个角的边有什么关系？
提示：其中一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线.
【总结】若两个角具有相同的_____，且一个角的两边分别与
另一个角的两边_______________,这样的两个角叫做对顶角.
顶点
互为反向延长线
二、对顶角的性质
如图，直线AB，CD相交于点O，因为∠1+∠2=______,∠3+∠2=______，所
以∠1__∠3.
同理：∠2__∠4.
【总结】对顶角_____.
180°
180°
=
=
相等
(打“√”或“×”)
(1)顶点相对的角是对顶角.( )
(2)两条直线相交，能形成两对对顶角.( )
(3)两条直线相交所形成的角中，有公共顶点，没有公共边的两
个角是对顶角.( )
(4)不相等的角一定不是对顶角.( )
×
√
√
√
知识点 1 对顶角的识别
【例1】下列各组角中，∠1与∠2是对顶角的为( )
【思路点拨】根据对顶角满足的两个条件判断，即①具有相同顶点；②一角的两边与另一个角的两边互为反向延长线.
【自主解答】选B.选项D中，∠1与∠2顶点不同；选项A，B，C中，∠1与∠2具有相同顶点，只有选项B中∠1与∠2的两边互为反向延长线，所以B项中∠1与∠2是对顶角.
【总结提升】关于对顶角的三点说明
1.对顶角是两条直线相交形成的角，并且两条直线相交形成两对对顶角.
2.判断对顶角的两个标准：(1)有公共顶点.(2)两个角的两边互为反向延长线.
3.在复杂的图形中找一个角的对顶角时，先确定这个角的两条边，再确定这个角两边的反向延长线，最后确定这两条反向延长线组成的角.
知识点 2 对顶角性质的应用
【例2】直线AB，CD，EF相交于点O，∠AOD=100°∠1=30°，求∠2的度数.
【思路点拨】由对顶角性质求出∠DOF，再由∠AOD+∠DOF+
∠2=180°，求出∠2.
【自主解答】因为直线CD，EF相交于点O，所以∠1与∠DOF是对顶角.根据对顶角相等，得∠DOF=∠1=30°.
又因为∠AOD+∠DOF+∠2=180°，∠AOD=100°，
所以∠2=180°-∠AOD-∠DOF=180°-100°-30°=50°.
【总结提升】求解两条直线相交形成的角的大小时常用的三个关系
1.对顶角相等.
2.平角等于180°.
3.周角等于360°.
题组一：对顶角的识别
1.如图，在所标识的角中，互为对顶角
的两个角是( )
A.∠2和∠3
B.∠1和∠3
C.∠1和∠4
D.∠1和∠2
【解析】选A.∠2和∠3有公共顶点，且∠2的两边与∠3的两边互为反向延长线.
2.下列语句中，正确的是 ( )
A.两条直线相交，任意两个角都是对顶角
B.相等的两个角是对顶角
C.有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D.交于一点的三条直线形成3对对顶角
【解析】选C.“有一个公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角”符合对顶角的定义，因此选项C正确.
3.如图，BE，CF相交于O，OA，OD是射线，其中构成对顶角的角是_________.
【解析】根据对顶角的定义，构成对顶角的角是：∠EOF和∠BOC，∠EOC和∠BOF.
答案：∠EOF和∠BOC，∠EOC和∠BOF
4.如图,直线AB，CD，EF，GH相交于点O，则∠AOD的对顶角为_______,∠COH的对顶角是_______.
【解析】∠AOD的两边为OA，OD，且OA，OD的反向延长线分别为OB，OC，故∠AOD的对顶角为∠BOC，同理∠COH的对顶角为∠GOD.
答案：∠BOC ∠GOD
5.学完对顶角之后，小华同学认为对顶角也可以这样定义：有公共顶点，且相等的两个角叫对顶角，你认为正确吗？如果你认为不正确，请举一个说明他定义方法错误的例子.
【解析】不正确，如图，∠AOB=
∠COD，且这两个角有公共的顶点
O，但∠AOB与∠COD的两边不互为
反向延长线，故不是对顶角.
题组二：对顶角性质的应用
1.下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是( )
【解析】选B.选项B中∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2.
2.如图所示，AB与CD相交于O，∠AOD+∠BOC=280°，则∠AOD
为( )
A.40° B.140° C.120° D.60°
【解析】选B.因为∠AOD与∠BOC是对顶角，所以∠AOD=
∠BOC，又因为∠AOD+∠BOC=280°，所以∠AOD=∠BOC=140°.
3.如图是用对顶角量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于________度.
【解析】根据对顶角相等，得零件的锥角等于30°.
答案：30
4.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOM=90°，若∠COB=
135°，则∠MOD=________度.
【解析】因为直线AB，CD相交于点O，∠COB与∠AOD是对顶角，所以∠AOD=∠COB =135°.又因为∠AOM=90°，所以∠MOD=∠AOD -∠AOM =135°-90°=45°.
答案：45
5.如图，AB，CD相交于点O，OB平分
∠DOE，∠AOC=37°，求∠BOE的度数.
【解析】因为∠AOC和∠BOD是对顶角，
∠AOC=37°，
所以∠BOD=37°.又因为OB平分∠DOE，
所以∠BOE=∠BOD=37°.
【变式训练】如图，直线AB，CD
相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC
=76°，则∠BOD=_______°.
【解析】因为OA平分∠EOC，所以∠AOC= ∠EOC= ×76°=
38°.因为∠BOD与∠AOC是对顶角，所以∠BOD=∠AOC=38°.
答案：38
【想一想错在哪？】如图，直线CD,EF相交于点O，OA平分∠EOC，OB平分∠DOF，∠COF＝150°，试说明∠AOB是平角.
提示：运用对顶角的性质时忽略了两个角是对顶角的前提条件，导致说理过程出现错误.
(共36张PPT)
2.垂 线
1.了解垂线的概念，掌握垂线的性质.(重点)
2.理解点到直线的距离的概念.
3.会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线，会用垂线的性质解决问题. (难点)
一、垂直的概念及符号表示
1.当两条直线相交所构成的四个角中有一个角是_____时，其他
三个角也都成为_____，此时叫做这两条直线互相垂直，其中一
条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做_____.
2.垂直的符号是___，直线AB与直线CD垂直，记作_______，直线
m与直线n垂直，记作_____.
直角
直角
垂足
⊥
AB⊥CD
m⊥n
二、垂线的性质
垂线的性质1
用三角尺或量角器画已知直线l的垂线：
(1)如图1，画已知直线l的垂线，这样的直线能画_____条.
(2)如图2，过点A画直线l的垂线，这样的直线能画___条.
(3)如图3，过点B画直线l的垂线，这样的直线能画___条.
无数
一
一
【思考】(1)通过①的探究，能得到关于垂线的怎样的结论？
提示：直线l的垂线有无数条.
(2)通过②③的探究，能得到关于垂线的怎样的结论？
提示：经过一点只能画一条直线与已知直线垂直.
【总结】 过一点_____________直线与已知直线垂直.
有且只有一条
三、点到直线的距离
如图，点P为直线l外一点，
点A，B，C，D，E为直线l
上的点，且PC⊥l于C,用刻
度尺或圆规比较线段PA，PB，
PC，PD，PE的大小，得到最短的线段为___.PC叫做点P到直线l的垂线段，PC的长度叫做点P到直线l的距离.
【总结】从直线外一点到这条直线的_______的长度,叫做点到直线的距离.
垂线段
PC
(打“√”或“×”)
(1)作已知直线的垂线，有且只有一条.( )
(2)两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另
外三个角也一定都是直角.( )
(3)过直线外一点画已知直线的垂线，只能画一条.( )
(4)直线l外一点与直线上各点的距离长短不一，最短的是垂线
段.( )
(5)从直线外一点引这条直线的垂线段，叫做点到直线的距
离.( )
×
√
√
√
×
知识点 1 垂线
【例1】如图，已知三角形ABC中，
∠BAC是钝角.
(1)画出点C到AB的垂线段.
(2)过点A画BC的垂线.
(3)点B到AC的距离是多少？
【思路点拨】(1)延长BA→画点C到射线BA的垂线段→得到点C到AB的垂线段.
(2)画过点A与BC垂直的直线.
(3)延长CA→画出点B到射线CA的垂线段→测量垂线段的长度→得到点B到AC的距离.
【自主解答】(1)如图，画出射线BA,
过点C作射线BA的垂线，垂足为F,则
线段CF就是点C到AB的垂线段.
(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，则
直线AD就是过A点画的BC的垂线.
(3)如图，先画出点B到射线CA的垂线段BE，再量出线段BE的长度，BE的长度即为点B到AC的距离.点B到AC的距离约为1.3 cm.
【互动探究】垂线段和垂线有什么区别?
提示：垂线段是线段，而垂线是直线.
【总结提升】垂线与其相关概念的关系
1.垂线与垂直：垂线是指互相垂直的两条直线，而垂直则是指两条直线之间的位置关系，垂直强调的是一种位置关系，垂线是一种图形.
2.垂线与垂线段：垂线是两条互相垂直的直线，不可度量；垂线段是线段(垂线上一点与垂足之间的线段)，可以度量.垂线和垂线段都是几何图形，垂线段是垂线的一部分.
3.垂线段与点到直线的距离：垂线段是一种几何图形，属于“形”的概念；点到直线的距离是指垂线段的长度，属于“量”的概念，不能认为点到直线的距离就是垂线段.
知识点 2 垂线的性质及其应用
【例2】如图，点A表示小明家，点B表示小明外婆家，若小明先去外婆家拿渔具，然后再去河边钓鱼，怎样走路线最短，请画出行走路径.
【解题探究】1.怎样确定小明家到外婆家最短路程？为什么？
提示：小明家到外婆家最短路程是线段AB的长度，理由是两点之间线段最短.
2.怎样确定外婆家到小河边的最短路程？为什么？
提示：外婆家到小河边的最短路程是点B到河边直线的垂线段的长度，理由是垂线段最短.
3.画图，连结AB，过点B作BC垂直河边直线于点C.
4.结论：最短行走路径为________.
A→B→C
【总结提升】解决“平面上最短问题”的两把钥匙
1.两点之间，线段最短.
2.垂线段最短.
题组一：垂线
1.数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有
( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.从左向右第一个图形中，BE不是线段；第二个图形中，BE不垂直于AC；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线段； 第四个图形是过点E作的BC的垂线线.综上所述4个都不正确.
2.如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD.若∠COA=36°，则∠DOB的大小为( )
A.36° B.54° C.64° D.72°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以∠COD=90°.又因为∠COA+∠COD+∠DOB=180°，所以∠DOB=180°-36°-90°=54°.
【变式训练】如图所示，A，B，C三
点在同一条直线上，已知∠1=23°，
∠2=67°，则CD与CE的位置关系是
_______.
【解析】因∠ACB=180°，∠1=23°，
∠2=67°，则∠ECD=90°，故CD⊥CE.
答案：垂直
3.如图，AB⊥CD于点B，BE是∠ABD的平分线，则∠CBE的度数为________度.
【解析】因为AB⊥CD，所以∠ABC=∠ABD=90°.因为BE平分∠ABD，所以∠ABE= ∠ABD=45°，所以∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°+45°=135°.
答案：135
4.如图，OA⊥OB，OC⊥OD.若∠AOD=144°，则∠BOC=_____度.
【解析】因为OA⊥OB，OC⊥OD，
所以∠AOB=∠COD=90°.
又因为∠AOD+∠AOB+∠BOC+∠COD=360°，∠AOD=144°，所以∠BOC=360°-∠AOD-∠AOB-∠COD=360°-144°-90°-90°=
36°.
答案：36
5.如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD，OF⊥AB ∠DOF=65°.求∠BOE的度数.
【解析】因为OF⊥AB，所以∠BOF=90°.
因为∠DOF=65°，
所以∠BOD=∠BOF-∠DOF=90°-65°=25°.
因为OE⊥CD，所以∠DOE=90°，
所以∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°-25°=65°.
题组二：垂线的性质及其应用
1.如图，这是一条马路上的人行横道线，
即斑马线的示意图，请你根据图示判断，
在过马路时三条线路AC，AB，AD中最短
的是( )
A.AC B.AB C.AD D.不确定
【解析】选B.由垂线段最短可知，AB最短.
2.如图，有三条公路，其中AC与AB
互相垂直，小华与小强分别从A地，
B地沿AC，BC同时出发，骑车去C城，
若他们同时到达，则下列判断正确的是( )
A.小强骑车的速度快
B.小华骑车的速度快
C.两人一样快
D.因为不知道公路的长度，所以无法判断他们速度的快慢
【解析】选A.因为AC⊥AB，所以BC＞AC，由于他们同时出发，同时到达，所以小强骑车的速度快.
3.如图是小亮同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段_______的长度.
【解析】因为身体在沙坑上所有接触的点中，距离起跳线最近的点到起跳线的距离作为跳远成绩，所以他的跳远成绩是线段BN的长度.
答案：BN
4.如图所示，PO⊥OB，OC⊥PB，OP=3 cm,
OB=2 cm,则点B到OP的距离是_______cm,
点P到OB的距离是_______cm, OB，OC，OP
三条线段中，______最短，理由是______.
【解析】由点到直线的距离以及“垂线段最短”这一性质可得出答案.
答案：2 3 OC 垂线段最短
5.如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案:
方案一：分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；
方案二：连结CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道.
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？
【解析】按方案一铺设管道更节省材料.理由如下：因为CE⊥
AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，所以根据“垂线段最短”，可知CE【想一想错在哪？】若点A到直线l的距离为7 cm，点B到直线l的距离为3 cm，则线段AB的长度为( )
A.10 cm B.4 cm
C.10 cm或4 cm D.至少4 cm
提示：分类讨论不全面，漏掉了AB所在直线不与l垂直的情况.
(共24张PPT)
3.同位角、内错角、同旁内角
1.了解同位角、内错角、同旁内角的概念.(重点)
2.能从图形中识别同位角、内错角与同旁内角.(难点)
一、截线与被截线
如图,截线是直线__,被截线是直线_____,我们说:直线__分别截
直线 _____或直线______被直线__所截.
c
a与b
c
a ,b
a ，b
c
二、同位角、内错角、同旁内角
如图，已知直线AB,CD被直线EF所截.
按照不同位置对图中的八个角进行分类：
同一
侧
两侧
之间
同侧
同一方
之间
角的
名称 角的位置形状 辨认要点 构成形状
同位角 在截线_____
___，被截线_______ 两角构成“F”形
内错角 在截线的____，被截线_____ 两角构成“Z”形
同旁
内角 在截线_____，
被截线_____ 两角构成横写的“U”形
(打“√”或“×”)
(1)∠1与∠4是内错角.( )
(2)∠2与∠4是内错角.( )
(3)∠4与∠5是直线b和c被a所截的同旁内角.( )
(4)∠3与∠4是同位角.( )
(5)∠2与∠5是内错角.( )
×
×
√
√
√
知识点 同位角、内错角和同旁内角的识别
【例】如图,(1)∠B和∠FAC是什么位置
关系的角？是哪两条直线被哪一条直线
所截形成的？
(2)∠C和∠DAC呢？∠C和∠FAC呢？
(3)∠B的同旁内角分别是哪几个角？
【思路点拨】找出每一组角的被截线及截线，并分析两个角的位置关系，确定它们是属于哪一类角.
【自主解答】(1)观察∠B和∠FAC可知，直线FB是截线，直线BC和AC是被截线，此时∠B和∠FAC在截线FB同一侧，被截线的同一方，故∠B和∠FAC是同位角.
(2)∠C和∠DAC是同旁内角，是直线DE和BC被直线AC所截形成的.∠C和∠FAC是内错角，是直线FB和BC被直线AC所截形成的.
(3)若直线BC截直线AB和AC，则∠B的同旁内角是∠C；
若直线AB截直线AC和BC，则∠B的同旁内角是∠BAC；
若直线AB截直线DE和BC，则∠B的同旁内角是∠EAB.
所以∠B的同旁内角有∠C，∠BAC和∠EAB.
【总结提升】识别同位角、内错角和同旁内角的四个步骤
1.分清截线和被截线.
2.看两个角在截线的同侧还是在两侧.
3.看这两个角是在被截线的同方还是在被截线之间.
4.作出判断，若在截线同侧，被截线同方则为同位角；若在截线同侧，夹在被截线之间，则为同旁内角；若在截线两侧且夹在被截线之间，则为内错角.
题组：同位角、内错角和同旁内角的识别
1.下图中，∠1和∠2是同位角的是( )
【解析】选D.选项A，B，C中的∠1，∠2的两边都不在同一条直线上，不是同位角；选项D中的∠1，∠2有一边在同一条直线上，又在被截线的同一方，是同位角.
【变式训练】图中所标出的角中，共有同位角( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
【解析】选D.根据同位角的定义，图中∠3与∠4，∠4与∠5，∠7与∠1，∠5与∠2，∠2与∠3是同位角，共5对.
2.如图，直线AB，CD被直线EF所截，
则∠3的同旁内角是( )
A.∠1 B.∠2
C.∠4 D.∠5
【解析】选B.由图知∠3和∠2在截线EF的同侧，且在被截直线AB，CD之间，所以∠3和∠2是同旁内角.
3.如图，下列说法不正确的是( )
A.∠1与∠2是直线BD，CF被直线
AB所截的同位角
B.∠2与∠3是直线AB，CD被直线
BD所截的同位角
C.∠1与∠3是直线BD，CF被直线CD所截的同位角
D.∠1与∠4是直线AB，CD被直线CF所截的内错角
【解析】选C.因为同位角是在截线同侧，被截线相同的一方的两角，且同位角的边构成“F”字形，则A，B正确，C错误.∠1与∠4是直线AB，CD被直线CF所截的内错角，内错角的边构成“Z”字形.
4.如图，与∠1构成同位角的是_______，与∠2构成内错角的是_______.
【解析】根据同位角、内错角的定义，与∠1构成同位角的是∠B，与∠2构成内错角的是∠BDE.
答案：∠B ∠BDE
5.如图，∠1和∠2是_______和_______被_______所截的_______角.∠3和∠4是_______和_______被_______所截的_______角.
【解析】因为∠1和∠2均有一条边在直线AC上，故AC为截线，∠1和∠2的另一边分别为AB和CD，故为被截线.同理∠3和∠4是直线AD和BC被直线AC所截的内错角.
答案：AB CD AC 内错 AD BC AC 内错
6.(1)如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对什么角？∠2与∠3呢？
(2)如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对什么角？∠5与∠2呢？
【解析】(1)如果把图看成是直线AB，EF被直线CD所截，那么∠1与∠2是一对内错角，∠2与∠3是一对同旁内角.
(2)如果把图看成是直线AB，CD被直线EF所截，那么∠4与∠5是一对同位角，∠5与∠2是一对同旁内角.
7.如图，(1)DE为截线，∠E与哪个角
是同位角？
(2)∠B与∠4是同旁内角，则截
出这两个角的截线与被截线是哪几条直线？
(3)∠B和∠E是同位角吗？为什么？
【解析】(1)∠E与∠3是同位角.
(2)截出这两个角的截线是直线BC，被截线是直线AB，ED.
(3)不是.因为∠B与∠E的边中没有一条落在同一直线上，所以∠B与∠E不是同位角.
【想一想错在哪？】如图，与∠2互为同旁内角的角共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
提示：含有三条直线以上的复杂图形中，确定某一位置关系的角时，出现遗漏.
(共22张PPT)
5.2 平 行 线
1.平 行 线
1.了解平行线的概念,在同一平面内，两条不重合的直线的两种位置关系——相交或平行.
2.掌握有关的符号表示及平行线的性质.(重点、难点)
3.会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
一、平行线的概念及符号表示
1.在同一平面内，_______的两条直线叫做平行线，平行的符
号是“___”,若直线AB与直线CD平行，记作“_______”.
2.同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有：_____和
____两种.
不相交
∥
AB∥CD
相交
平行
二、平行线的性质
如图，经过点C能画出___条直线与直线AB平行.
一
【总结】(1)过直线外一点_________________与这条直线平行.
(2)如果两条直线都和第三条直线_____，那么这两条直线也互
相平行.
如图：
若a∥c,b∥c，那么_____.
有且只有一条直线
平行
a∥b
(打“√”或“×”)
(1)不相交的两条直线叫做平行线.( )
(2)不重合的两条直线，若不相交，则一定平行.( )
(3)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行.( )
(4)若a∥b，b∥c，c∥d，则a∥b∥c∥d.( )
×
×
×
√
知识点 平行线的概念、画法及性质
【例】如图所示，(1)过BC上任意一
点P画AB的平行线，交AC于T.(2)过C
画MN∥AB.(3)直线PT，MN是何种位置
关系？并说明理由.
【思路点拨】(1)将三角尺的一边放在AB上→把直尺靠在三角尺的另一边上→将三角尺沿着直尺移动到经过点P的位置→沿三角尺画出直线→在图中标注字母T.(2)过点C画MN∥AB的方法同(1).(3)PT∥AB，MN∥AB,根据平行线的性质得出PT与MN的位置关系.
【自主解答】(1)画PT∥AB，交AC于点T(如图).
(2)画MN∥AB(如图).
(3)PT∥MN.因为PT∥AB，MN∥AB，根据“如果两条直线都和第
三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，所以PT∥MN.
【互动探究】经过线段AB外一点C是否一定可以作AB的平行线?
提示：不一定，当点C在线段AB的延长线上时，过点C则不能作AB的平行线.
【总结提升】画平行线的四个步骤
1.“落”——把三角尺的一边落在直线上.
2.“靠”——用直尺紧靠三角尺的另一边.
3.“移”——沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点.
4.“画”——沿三角尺过已知点的边画直线.
题组：平行线的概念、画法及性质
1.在同一平面内有三条直线，如果只有两条直线平行，那么这三条直线( )
A.没有交点 B.只有一个交点
C.有两个交点 D.有三个交点
【解析】选C.只有两条直线平行，则第三条直线一定与它们相交，故有两个交点.
2.三条直线a，b，c，若a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是
( )
A.a⊥b B.a∥b
C.a⊥b或a∥b D.无法确定
【解析】选B.根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”进行分析，得出正确答案.
【变式训练】在同一平面内，若直线a1∥a2,a2∥a3,a3∥a4,
…,a2 013∥a2 014，则a1与a2 014的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.平行或垂直 D.无法确定
【解析】选A.由a1∥a2，a2∥a3可得a1∥a3；又因为a3∥a4，所以a1∥a4；同理，可得a1∥a2 014.
3.在同一平面内，与已知直线l平行的直线有_______条，过直线l外一点M与已知直线l平行的直线有_______条.
【解析】在同一平面内，已知直线l，则可以画无数条直线与l平行，位置不定；而若固定了直线外一点，则过此点只能画一条直线与l平行.
答案：无数 一
4.如图,PC∥AB，QC∥AB，则点P,C,Q在一条直线上.理由是：________.
【解析】因为PC∥AB，QC∥AB，PC和CQ都过点C，所以P,C,Q在一条直线上(过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行).
答案：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
5.读下列语句，并画出图形：
如图所示，过点C画CE∥DA，与AB交于点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F.
【解析】如图所示：
6.如图所示，按要求作平行线：
(1)过P点作AB的平行线EF.
(2)过P点作CD的平行线MN.
【解析】如图所示.
(1)直线EF为所求，EF∥AB.
(2)直线MN为所求，MN∥CD.
7.如图所示，在书写艺术字时，常常
运用画“平行线段”这种基本作图方
法，此图是在书写字母“M”：
(1)请从正面，上面，右侧三个不同
方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来.
(2)EF与A′B′有何位置关系，CC′与DH有何位置关系？
【解析】(1)正面：AB∥EF；上面：A′B′∥AB;右侧：DD′∥HR(答案不唯一).
(2)EF∥A′B′,CC′⊥DH.
【想一想错在哪？】平面上不重合的三条直线，可能产生交点的个数有多少？
提示：分类讨论不全面，漏掉了三条直线两两相交，且不交于同一点的情形.
(共37张PPT)
2.平行线的判定
1.经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的判定方法.(重点)
2.能根据两直线平行的判定方法，解决一些简单问题.(重点、难点)
3.初步了解推理论证的方法，会正确书写简单的推理过程.
一、平行线的判定方法
如图所示：
若∠1=∠2，根据平行线的画法可知，a∥b,可以得到平行线
的一个基本事实，即两条直线被第三条直线所截,如果同位角
_____,那么这两条直线_____.
简单说成:同位角_____,两直线_____.
符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b.
相等
平行
相等
平行
【思考】1.上图中，如果∠2=∠3，那么a∥b吗？
提示：∵∠1=∠3，∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴a∥b.
2.上图中，如果∠2+∠4=180°，那么a∥b吗？
提示：∵∠1+∠4=180°，∠2+∠4=180°，
∴∠1=∠2，∴a∥b.
【总结】1.两条直线被第三条直线所截,如果内错角_____,那么这两条直线_____.
简单说成：内错角相等,两直线_____.
符号语言：∵∠2=∠3，∴a∥b.
2.两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角_____,那么这两条直线_____.
简单说成：同旁内角互补,两直线_____.
符号语言:∵∠4+∠2=180°，∴a∥b.
相等
平行
平行
互补
平行
平行
二、平行线的其他判定方法
1.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线_____.
2.平行于同一条直线的两条直线_____.
平行
平行
(打“√”或“×”)
(1)两条直线被第三条直线所截，如果两个角是同位角，那么这
两条直线平行.( )
(2)内错角相等，两直线平行.( )
(3)同旁内角相等，两直线平行.( )
(4)在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c.( )
×
√
×
×
知识点 1 平行线的判定
【例1】如图，已知∠B=∠C，点B，A，E在同一条直线上，∠EAC=∠B+∠C，且AD平分∠EAC，则AD与BC平行吗？为什么？
【解题探究】1.AD与BC被AC所截形成什么位置关系的角？它们满足什么关系时，AD与BC平行？
提示：AD与BC被AC所截形成一对内错角∠1与∠C，当∠1=∠C时，AD与BC平行.
2.AD与BC被AB所截形成什么位置关系的角？它们满足什么关系时，AD与BC平行？
提示：AD与BC被AB所截形成一对同位角∠2与∠B和一对同旁内角∠DAB与∠B，当∠2=∠B时，AD与BC平行；当∠DAB+∠B=
180°时，AD与BC平行.
3.根据已知条件，怎样用问题1的方法说明AD与BC平行？
提示：∵AD平分∠EAC(已知)，
∴∠1= ∠EAC(角平分线的定义)，
∵∠EAC=∠B+∠C，∠B=∠C(已知)，
∴∠C= ∠EAC(等量代换)，
∴∠C=∠1(等量代换)，
∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
【互动探究】例1还有其他解决方法吗？
提示：可以类似上面的方法由已知条件得到∠B=∠2，再根据“同位角相等，两直线平行”得到AD∥BC.
【总结提升】判定两直线平行的三种思路
1.考虑这两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角相等或同旁内角互补.
2.考虑这两条直线是否都垂直于同一条直线.
3.考虑这两条直线是否都平行于同一条直线.
知识点 2 平行线判定的实际应用
【例2】如图，一条公路修到湖边
时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐
角∠A=120°，第二次拐角∠B=150°，
第三次拐的角是∠C，若要使这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为( )
A.120° B.130° C.140° D.150°
【思路点拨】先过点B在∠ABC内部作∠ABF=∠A，通过判定AD∥BF，再求出∠FBC，进而求出∠C.
【自主解答】选D.如图，在∠ABC内部,以点B为顶点，以BA为一边，作∠ABF=∠A=120°，∴AD∥BF.
∵∠ABC=150°，∠ABF=120°，∴∠FBC=30°.
若∠C+∠FBC=180°，即∠C=150°时，BF∥CE，
∴AD∥CE.因此选D.
【总结提升】用平行线的判定解决实际问题的两个步骤
1.将实际问题转化成数学问题.
2.借助于平行线的判定方法加以判定.
题组一：平行线的判定
1.对于图中标记的各角，利用下列条件能够推理得到a∥b的是
( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠4
C.∠3=∠4 D.∠1+∠4=180°
【解析】选D.因为∠1与∠2，∠2与∠4，∠3与∠4，都不是a，b被截得的同位角或内错角，所以选项A，B，C不能判定a∥b；若∠1+∠4=180°，因为∠1与∠5为对顶角，所以∠1=∠5，则∠5+∠4=180°，所以a∥b.所以选项D可以判定a∥b.
【变式训练】如图，∠1=52°，∠2=58°，∠3=70°，下列条件中能得到DE∥BC的是( )
A.∠B=58° B.∠C=52° C.∠B=70° D.∠C=70°
【解析】选D.∵∠3=70°，∠C=70°，∴∠3=∠C，
∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行).
2.(2012·贵阳中考)如图，已知∠1=∠2，则图中互相平行的线段是________.
【解析】∵∠1=∠2，∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
答案：AB∥CD
3.如图所示，用两个相同的三角尺按照如图方式作平行线，理由是_______.
【解析】如图，∵∠PAB=∠ACD，∴CD∥AP(内错角相等，两直线平行).
答案：内错角相等，两直线平行
4.观察图形，回答问题：若使AD∥BC，需添加的条件：_____
______________________________(至少找出4个答案).
【解析】若添加∠DAC=∠ACB或∠ADB=∠DBC，则利用内错角相等判定两直线平行；若添加∠EAD=∠EBC或∠FDA=∠FCB，则利用同位角相等判定两直线平行.若添加∠ABC+∠BAD=180°或∠DCB+∠CDA=180°，则利用同旁内角互补判定两直线平行.
答案：∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC，∠EAD=∠EBC，∠FDA=
∠FCB，∠ABC+∠BAD=180°，∠DCB+∠CDA=180°(答案不唯一)
5.如图，已知CD⊥AD，DA⊥AB，∠1=∠2，则DF与AE平行吗？为什么？
【解析】DF∥AE.理由如下：
∵CD⊥AD，DA⊥AB，
∴∠2+∠FDA=90°，∠1+∠DAE=90°，
又∠1=∠2，∴∠FDA=∠DAE，
∴DF∥AE(内错角相等，两直线平行).
题组二：平行线判定的实际应用
1.一个弯形管道ABCD的弯角∠ABC=130°，∠BCD=50°，则管道AB与CD的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.无法确定
【解析】选A.∵∠ABC+∠BCD=130°+50°=180°，
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
2.(2012·广元中考)一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，那么这两个拐弯的角度可能是( )
A.先向左转130°，再向左转50°
B.先向左转50°，再向右转50°
C.先向左转50°，再向右转40°
D.先向左转50°，再向左转40°
【解析】选B.先向左转a°,再向右转b°形成的两个角是同位角关系，因为两次拐弯后，仍在原来的方向平行行驶，即两直线平行，所以需要a°=b°.
【变式训练】如图是一条管道的示意图，如果要求管道经两次拐弯后的方向保持原来不变，那么管道的两个拐角∠α，∠β之间的关系是( )
A.∠α=∠β B.∠α+∠β=90°
C.∠α+∠β=180° D.∠α+∠β=360°
【解析】选A.如图，∵∠α=∠β，
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
3.如图是一条街道的两个拐角，∠ABC与∠BCD均为140°，则街道AB与CD的关系是_______，这是因为_______.
【解析】AB∥CD.
理由：∵∠ABC=∠BCD=140°,
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
答案：平行 内错角相等，两直线平行
4.如图，某工件要求AB∥ED，质检员小李量
得∠ABC=146°，∠BCD=60°，∠EDC=154°，
则此工件_______(填“合格”或“不合格”).
【解析】如图，在∠BCD内部，以点C为顶点，以CB为一边，作∠BCF=34°，∴∠BCF+∠ABC=34°+146°=180°，∴AB∥CF(同旁内角互补，两直线平行).
∵∠BCD=60°，∠BCF=34°，∴∠DCF=26°，
又∵∠EDC=154°，∴∠EDC+∠DCF=154°+26°=180°，∴DE∥CF(同旁内角互补，两直线平行).
∴AB∥DE(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行).
因此此工件是合格的.
答案：合格
5.如图是一块四边形木板，若手头只有一把直角尺和铅笔，如何检验这块木板的对边MN与PQ是平行的.
(要求：在原图上画出示意图，用文字简要叙述检验过程，并说明理由)
【解析】如图，把直角尺一边紧靠木板边缘PQ，画直线AB，与PQ，MN交于A，B；再把直角尺的一边紧靠木板的边缘MN，移动使直角尺另一边过点B.画直线若所画直线与BA重合，则这块木板的对边MN与PQ是平行的，∵AB⊥PQ，AB⊥MN，∴PQ∥MN(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行).
【想一想错在哪？】如图，能判断AD∥BC的条件有_______(填序号).
①∠1=∠2；②∠ADC+∠C=180°；
③∠EAD=∠ABC；④∠3=∠4.
提示：两条直线被第三条直线所截的关系角确定不准确，导致平行线的判定出错.
(共31张PPT)
3.平行线的性质
1.经历探索平行直线的性质的过程,掌握平行线的性质.
2.能用平行线的性质进行简单的推理和计算.(重点、难点)
3.培养学生言之有理，言之有据的良好品质，培养学生探索数学问题的兴趣.
平行线的性质
如图：直线a,b被直线c所截，且a∥b.
【思考】1.∠1和∠2相等吗？
提示：相等.因为若∠1≠∠2，则a和b不平行.
【总结】两条平行线被第三条直线所截，同位角_____.
简记：两直线平行，同位角_____.
符号表示：∵a∥b,∴ ____=____.
相等
相等
∠1
∠2
2.∠2和∠3有什么关系，为什么？
提示：∠2=∠3，∵a∥b,∴∠1=∠2,
又∵∠1=∠3,∴∠2=∠3.
【总结】两直线平行，内错角_____.
符号表示：∵a∥b,∴ ____=____.
相等
∠2
∠3
3.∠2和∠4有什么关系，为什么？
提示：∠2+∠4=180°.∵a∥b,∴∠2=∠3,
又∠3+∠4=180°,∴∠2+∠4=180°.
【总结】两直线平行，同旁内角_____.
符号表示：∵a∥b,∴∠2+∠4= ______.
互补
180°
(打“√”或“×”)
(1)同位角相等，两直线平行，但两直线平行，同位角不一定相
等.( )
(2)内错角相等.( )
(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等.( )
(4)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.( )
(5)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则同旁内角互
补.( )
×
×
×
√
√
知识点 1 平行线的性质
【例1】(2012·毕节中考)如图，三角形
ABC的三个顶点分别在直线a,b上，且a∥b,
若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是
( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
【思路点拨】根据平行的性质求出∠1的同旁内角的度数，再根据平角的定义求出∠3.
【自主解答】选A.如图所示：
∵a∥b,∴∠1+∠4=180°,∴∠4=180°-120°=60°.
又∵∠2+∠3+∠4=180°,
∴∠3=180°-80°-60°=40°.
【总结提升】应用平行线性质的三点注意
1.数形结合：平行线的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系，应用时注意正确识别图形特征及角的关系.
2新旧结合：平行线的性质往往与以前学习的对顶角、补角等知识相结合，计算一些角的度数.
3.搭桥过河：两条直线没有被同一条直线所截，不能利用平行线的性质时，往往要添加辅助线，构造第三条直线作为连结已知直线的桥梁.
知识点 2 平行线的性质和判定的综合应用
【例2】(2012·宜宾中考)如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4=______.
【思路点拨】∠1=∠3→两直线平行→求出∠4的同位角或内错角或同旁内角→求出∠4的度数.
【自主解答】如图，∵∠1=∠3，∴AB∥CD，
∴∠5+∠4=180°.
又∠5=∠2=59°，∴∠4=180°-59°=121°.
答案：121°
【总结提升】平行线的性质与判定的应用方法
1.判定平行：利用角的数量关系判定两直线平行.
2.性质应用：利用平行线的性质得出其他角的数量关系.
3.综合应用：在应用平行线的性质和判定时，往往综合运用对顶角和补角的性质，进行角的迁移和转化.
题组一：平行线的性质
1.(2012·盐城中考)一把因损坏而倾斜的
椅子，从背后看到的形状如图，其中两组
对边的平行关系没有发生变化，若
∠1=75°，则∠2的大小是( )
A.75° B.115° C.65° D.105°
【解析】选D.如图，∵AD∥BC，
∠1=75°，∴∠3=∠1=75°.
∵AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°-∠3=180°-75°=105°.
2.(2012·襄阳中考)如图，直线l∥m，将含有45°角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为
( )
A.20° B.25° C.30° D.35°
【解析】选A.过点B作BD∥l，
∵直线l∥m，∴BD∥l∥m，
∴∠4=∠1=25°，∠2=∠3.
∵∠ABC=45°，
∴∠3=∠ABC-∠4=45°-25°=20°，
∴∠2=∠3=20°.
【变式训练】(2012·河池中考)如图，把一块含有45°角的直角三角尺的两个顶点分别放在直尺的一组对边上.如果∠1=25°，那么∠2的度数是( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
【解析】选C.如图，∵三角形GEF是含45°角的直角三角尺，
∴∠GFE=45°.∵∠1=25°，
∴∠AFE=∠GFE-∠1
=45°-25°=20°.
∵AB∥CD，∴∠2=∠AFE=20°.
3.(2012·永州中考)如图，已知a∥b，∠1=45°，则∠2=
_____度.
【解析】如图，∵a∥b，∠1=45°，∴∠1=∠3=45°，
∴∠2=180°-∠3=180°-45°=135°.
答案：135
4.如图，点B，C，D在同一条直线上，
CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=
36°，那么∠A=______.
【解析】∵∠ECD=36°，∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°.
∵CE∥AB，∴∠A=∠ACE=54°.
答案：54°
5.如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD
于点E，F，EG平分∠AEF，∠1=40°，
求∠2的度数.
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1=∠AEG.
∵EG平分∠AEF，
∴∠1=∠GEF，∠AEF=2∠1.
又∵∠AEF+∠2=180°，
∴∠2=180°-2∠1=180°-80°=100°.
题组二：平行线的性质和判定的综合应用
1.如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是( )
A.45° B.55°
C.65° D.75°
【解析】选A.∵∠1与∠2互补，
∴a∥b.∵∠3=∠5，
∴∠5=135°.∵a∥b，∴∠4与∠5互补，
∴∠4=180°-135°=45°.
【变式训练】如图，∠1=82°，∠2=98°，∠3=80°，则∠4的度数为_____度.
【解析】∵∠5=∠2=98°，∠1=82°，∴∠1+∠5=180°，
∴a∥b，∴∠4=∠3=80°.
答案：80
2.(2012·衡阳中考)如图，直线a⊥直
线c,直线b⊥直线c,若∠1=70°,则
∠2=( )
A.70° B.90°
C.110° D.80°
【解析】选A.∵a⊥c，b⊥c,
∴a∥b，∴∠3=∠1=70°.
又∠2=∠3,∴∠2=70°.
3.如图，已知直线DE经过点A且∠1=∠B，∠2=50°，则∠3=______度.
【解析】∵∠1=∠B，∴DE∥BC(内错角相等，两直线平行)，∴∠3=∠2(两直线平行，同位角相等).
又∵∠2=50°，∴∠3=50°.
答案：50
4.如图所示，∠1=∠2，CF⊥AB，DE⊥AB，垂足分别为点F，点E，试判断FG与BC是否平行.
解：∵CF⊥AB，DE⊥AB(_______),
∴∠BED=90°，∠BFC=90°(_______),
∴∠BED=∠BFC，∴ED∥FC(_______),
∴∠1=∠BCF(_______).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠2=∠BCF(_______),
∴FG∥BC(_______).
【解析】∵CF⊥AB，DE⊥AB(已知)，
∴∠BED=90°，∠BFC=90°(垂线的定义)，
∴∠BED=∠BFC，
∴ED∥FC(同位角相等，两直线平行)，
∴∠1=∠BCF(两直线平行，同位角相等).
∵∠1=∠2(已知)，∴∠2=∠BCF(等量代换)，
∴FG∥BC(内错角相等，两直线平行).
答案：已知 垂线的定义 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行
5.已知：如图，AD∥BE，∠1=∠2，试说明∠A=∠E.
【解析】∵AD∥BE，∴∠A=∠EBC.
∵∠1=∠2，∴DE∥AC，
∴∠E=∠EBC，∴∠A=∠E.
【想一想错在哪？】如图，已知：∠1=∠2，∠D=50°，求∠B的度数.
提示：没有证明AB∥CD就应用平行线的性质而出现错误.
(共29张PPT)
阶段专题复习
第5章
考点 1 相交线构成的角
【知识点睛】
1.理解对顶角的三点注意
(1)判定两个角是不是对顶角，要看这两个角是不是有公共的顶点，两个角的两边是否互为反向延长线，符合这两个条件时，才能判定这两个角是对顶角.
(2)对顶角是成对出现的，是具有特殊位置关系的两个角.
(3)两条直线相交所成的四个角中共有两对对顶角.
2.两条直线被第三条直线所截而成的角——“三线八角”
(1)同位角、内错角、同旁内角的识别，首先要记住它们所在的基本图形，当已知图形不是基本图形时，要补全它，这样可以帮助认识.
(2)当图中含有基本图形，但错综复杂，此时需要找出基本图形，并且把它从复杂图形中分离出来，以便识别这三类角.
【例1】(2012·梧州中考)如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC=125°，则∠AOD=( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
【思路点拨】因为∠AOD与∠AOC是邻补角，所以∠AOD+
∠AOC=180°，可求∠AOD.
【自主解答】选B.因为∠AOD与∠AOC是邻补角，所以∠AOD+
∠AOC=180°，所以∠AOD=55°.
【例2】(2012·桂林中考)如图，与∠1是内错角的是( )
A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5
【思路点拨】内错角指的是两条直线被第三条直线所截时，如果两个角均在两条被截线之间，且在截线的两侧，那么这两个角就是一对内错角，根据定义即可找到答案.
【自主解答】选B.∠1与∠3是直线a,b被c所截形成的一对内错角，它们均在被截线a,b之间，且∠1在截线的左边，∠3在截线的右边，故正确答案为B.此图中，∠1与∠2是一对同旁内角，∠1与∠5是一对同位角.
【中考集训】
1.(2012·柳州中考)如图，直线a与直线c相交于点O，∠1的度数是( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
【解析】选D.∠1=180°-150°=30°.
2.(2011·梧州中考)如图，直线EO⊥CD，
垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度
数为( )
A.120° B.130°
C.135° D.140°
【解析】选C.∵EO⊥CD，∴∠EOD=90°.
∵AB平分∠EOD，∴∠AOD=45°，
∴∠BOD=180°-45°=135°.
3.(2011·江西中考)一块直角三角板放在两平行直线上，如图所示，∠1+∠2=______度.
【解析】如图，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
而∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°.
答案：90
4.(2013·黄冈模拟)如图，直线AB，CD
相交于点O，OE⊥CD于O，OD平分∠BOF，
∠BOE=50°，求∠AOC，∠EOF和∠AOF
的度数.
【解析】∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°，又∠BOE=50°,
∴∠BOD=40°,又OD平分∠BOF，∴∠DOF=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°，∠EOF=∠EOD+∠DOF=90°+40°=130°，
∠AOF=180°-∠FOB=180°-2∠DOF=180°-80°=100°.
考点 2 平行线的判定与性质
【知识点睛】
1.判定直线平行的五个途径
(1)同位角相等，两条直线平行.
(2)内错角相等，两条直线平行.
(3)同旁内角互补，两条直线平行.
(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
(5)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.
2.平行线的三条性质
(1)两条直线平行，同位角相等.
(2)两条直线平行，内错角相等.
(3)两条直线平行，同旁内角互补.
3.平行线的判定与性质的区别与联系
平行线的判定与性质之间正好是互为“因果”关系，即：平行线的判定是由角的相等或互补推出两直线平行，平行线的性质是由两直线平行推出角相等或互补，因此“欲证平行用判定，已知平行用性质”.
【例3】(2012·铁岭中考)如图，已知∠1=∠2，∠B=40°，则
∠3=______.
【思路点拨】由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”
得AB∥CE，再根据两直线平行，同位角相等即可得到∠3=
∠B=40°.
【自主解答】∵∠1=∠2，∴AB∥CE，∴∠3=∠B，
而∠B=40°，∴∠3=40°.
答案：40°
【中考集训】
1.(2012·张家界中考)如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是( )
A.当∠1=∠2时，一定有a∥b
B.当a∥b时，一定有∠1=∠2
C.当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°
D.当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b
【解析】选D.∠1和∠2，既不是同位角，又不是内错角，也不
能转化成同位角或内错角，尽管∠1=∠2，也不一定得到a∥b；
反之，当a∥b时，不一定得到∠1=∠2；当a∥b时，只能得到
∠1+∠2=180°；而∠1和∠2能转换成同旁内角的关系，当
∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，所以选项D正确.
2.(2012·凉山州中考)如图，已知AB∥CD，∠DFE=135°，则∠ABE的度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选B.∵∠DFE=135°，
∴∠CFE=180°-135°=45°.
∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CFE=45°.
3.(2012·内江中考)如图，a∥b，
∠1=65°，∠2=140°，则∠3=( )
A.100° B.105° C.110° D.115°
【解析】选B.过点A作AB∥a，
∵a∥b，∴AB∥a∥b，
∴∠2+∠4=180°，
∵∠2=140°，∴∠4=40°.
∵∠1=65°，∴∠3=∠1+∠4=65°+40°=105°.
4.(2012·义乌中考)如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上.若∠1=40°，则∠2的度数为______.
【解析】如图，
∵a∥b，∴∠1+∠4+∠3=180°.
∵∠1=40°，∠4=90°，
∴∠3=50°，∴∠2=∠3=50°.
答案：50°
5.(2012·绵阳中考)如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF=______度.
【解析】过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD.
∵∠1=30°，∠2=40°，
∴∠3=∠1=30°，∠4=∠2=40°，
∴∠BED=∠AEC=∠3+∠4=70°.
∵EF是∠BED的平分线，
∴∠BEF= ∠BED= ×70°=35°.
答案：35
【知识拓展】相交线与平行线中的数学思想
1.转化思想：在几何推理中，已知条件和要求的结论之间常常需要转化.转化条件、转化问题是常用的推理形式，必要时还要添加辅助线进行转化.
2.分类讨论思想：在几何题中，有些题目未给出图形，这时我们就要结合题意画出图形，再解决问题.这一过程常具有多样性，我们需要分类讨论.
3.方程思想:今后，几何中常有一些求线段的长度或求角的大小的问题，对于这一类问题，我们可以借助题中的已知量与未知量之间的关系，想办法建立方程进行求解.
6.(2013·南京模拟)如图，
AB∥DC∥EF，BC∥DE，试说明
∠B=∠E的原因.
【解析】∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
又∵BC∥DE,∴∠C=∠D,
∴∠B+∠D=180°,
又∵CD∥EF,∴∠D+∠E=180°,
∴∠B=∠E.
7.(2013·上海模拟)如图，AM与CN平行.
(1)求∠MAB+∠ABC+∠BCN的度数.
(2)求∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN的度数.
(3)根据(1)(2)，你能得出一个结论吗？试写出来.
【解析】(1)过点B作BG∥AM，那么∠MAB+∠1=180°.∵AM∥CN，∴BG∥CN，∴∠2+∠BCN=180°.∴∠MAB+∠1+∠2+∠BCN=∠MAB+∠ABC+
∠BCN=180°+180°=360°，∴∠MAB+∠ABC+∠BCN=360°.
(2)仿照(1)过E点作EP∥AM，过F点作FQ∥AM，可得∠MAE+
∠AEF+∠EFC+∠FCN=540°.
(3)两条平行线AM与CN内有n个点A1,A2,…,An，且以A，A1,
A2,…,An,C为顶点的角都是钝角，则∠MAA1+∠AA1A2+…+
∠An-1AnC+∠AnCN=(n+1)·180°.只要过点A1,A2,…,An分别作已知直线的平行线即可得证.
