(共33张PPT)
§17.1 分式及其基本性质
1.分式的概念
形如 (A，B是_____，且B中含有_____，且_____)的式子，叫
做分式，其中A叫做分式的_____，B叫做分式的_____.
2.有理式
_____和_____统称有理式.
整式
字母
B≠0
分子
分母
整式
分式
3.分式的基本性质的构建
探究：问题1：下列分数是否相等？进行变形的依据是什么？
依据是_______________.
问题2：分数的基本性质是什么？怎样用式子表示？
分数的基本性质：_____________________________________
_____________________________.一般地，对于任意一个分数
有：
分数的基本性质
一个分数的分子、分母都乘以(或除以)同
一个不为零的数，分数的值不变
【归纳】分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)
同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为：
其中A，B，C是整式(C≠0).
【点拨】可类比分数的基本性质得到分式的基本性质.类比的数
学思想是在学分式过程中经常用到的一种思想方法.
4.分式的约分
即把分子与分母中的_______约去.
约分的关键是确定_______，当分子或分母是多项式时，能分解
因式的,要先_________，再约分.
5.最简分式
分子与分母没有_______的分式.
公因式
公因式
分解因式
公因式
6.通分
即把几个异分母的分式化为与原来的分式相等的_______分式.
通分的关键是确定几个分式的___________，通常取各分母所有
因式的_____________作为最简公分母.
【归纳】约分和通分的依据都是_______________.
同分母
最简公分母
最高次幂的积
分式的基本性质
【预习思考】
1.分式与分数有什么区别和联系?
提示：分式中的分母含有字母,由于字母所表示的数不同,所以
分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取定值的特殊情
况.
2.分式与分数的基本性质有什么不同?
提示：分数的基本性质中分子分母同乘以(或同除以)的是一个
不为0的数；分式的基本性质中分子分母同乘以(或同除以)的
是一个不为0的整式.
分式的有关概念
【例1】(1)下列式子是分式的是( )
(2)(2012·温州中考)若代数式 的值为零，则x=______.
【解题探究】
(1)①判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母
则是分式,如果不含有字母则不是分式.
②根据①的探究, 的分母中均不含有字母,因此它们是
整式,而不是分式； 分母中含有字母,是分式.故选B.
(2)①分式的值为0的条件是：分子为0,分母不为0.
②根据题意所列关系式为 化简得 由①的探
究可得 解得x=3.
【规律总结】
理解分式概念的三个角度
(1)分式无意义?分母为零；
(2)分式有意义?分母不为零；
(3)分式值为零?分子为零且分母不为零.
【跟踪训练】
1.(2012·嘉兴中考)若分式 的值为0,则( )
(A)x=-2 (B)x=0
(C)x=1或2 (D)x=1
【解析】选D.由题意得 ∴x=1.
2.下列式子-3x,
中,其中分式有_____________；整式有_____________.
【解析】∵代数式 的分母中都含有字母,
是分式；
又∵-3x, -5的分母中不含有字母,
∴-3x, -5是整式.
答案：
3.当x=_______时,分式 无意义.
【解析】因为分式 无意义,所以x-1=0,解得x=1.
答案：1
分式的基本性质应用——约分
【例2】下列分式是最简分式的是 ( )
【解题探究】
(1)①判断一个分式是不是最简分式的标准是：分式的分子与分
母中没有公因式的就是最简分式.
② 有公因式,公因式是a,化简结果
(2)①选项B，C，D的分子、分母中含有多项式，能够进行因式
分解的是B，D,化简时应先对它们进行因式分解；②选项B,
选项C，分子、分母没有公因式,它是最
简分式；选项D, 故选C.
【规律总结】
分式约分的两思路
(1)分子分母都是单项式? 先确定分子、分母的公因式,
再约分即可；
(2)分子或分母中有多项式? 先因式分解,再确定公因式,
然后约分.
【跟踪训练】
4.下列约分正确的是( )
【解析】选C. 中无公因式,不能约分；
∴选项C正确.
5.化简:(1)
(2)
(3)
【解析】
答案：(1) (2)x+3 (3)
【变式备选】
若 则a，b满足的条件是_________.
【解析】∵ ∴a-b≠0,即a≠b.
答案：a≠b
6.将下列分式化为最简分式：
【解析】
分式的基本性质应用——通分
【例3】(6分)将下列各式通分：
【规范解答】
(1)∵最简公分母是2ab, …………1分
………………………………………………3分
特别提醒:最简公分母由系数、字母、字母的指数构成,三部分都不可漏掉.
(2)∵最简公分母是2(x-y)2, ………………………………1分
………………3分
【互动探究】
1.分母是多项式，如何通分？
提示：对分母进行因式分解，并注意统一字母排列顺序(一般按
某一字母的降幂排列).
2.分母的系数是负数的，如何变形？
提示：一般把负号提到分式本身前面去.
3.分式的系数不是整数，如何通分？
提示：首先根据分式的基本性质，把它们化成整数系数后，再
求各系数的最小公倍数进行通分.
【规律总结】
找最简公分母的三个步骤
(1)找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公
倍数.
(2)找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都
要选取.
(3)找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指
数最大的.
【跟踪训练】
7.分式 的最简公分母是_________.
【解析】各分母的因式是(a+b)，(a-b)，(a+b)(a-b),所以最
简公分母是(a+b)(a-b).
答案：(a+b)(a-b)
8.通分：(1)
(2)
(3)
【解析】(1)∵最简公分母是6ab2d,
(2)∵最简公分母是(x+1)(x-1),
(3)∵最简公分母是2(x-2)(x+2),
1.计算 的结果为( )
(A)b (B)a (C)1 (D)
【解析】选B.
2.(2012·湖州中考)要使分式 有意义,x的取值满足( )
(A)x=0 (B)x≠0
(C)x>0 (D)x<0
【解析】选B.分式有意义的条件是分母不为0,即x≠0.
3.若 的值为零,则x的值是_________.
【解析】由分子|x|-3＝0,得x=±3,而当x＝3时,分母x2-2x-3＝
0,此时该分式无意义,所以x＝-3,故若 的值为零,则x
的值是-3.
答案：-3
4.(1)将分式 的分子、分母的各项系数化为整数的结
果是__________；
(2)将分式 的分子、分母的各项系数化为整数的结果
是__________.
【解析】
答案：
5.请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式,并化简该分式：
①x2-4xy+4y2,②x2-4y2,③x-2y.
【解析】(答案不唯一)(1)①与②结合,
(2)①与③结合,
(3)②与③结合,
(共33张PPT)
1.分式的乘除法
1.分式乘法
(1)分式乘分式，用分子的积作为_________，分母的积作为
_________.
(2)用式子表示为
2.分式除法
(1)分式除以分式，把除式的_____、_____颠倒位置后，与被除
式相乘.
(2)用式子表示为
积的分子
积的分母
分子
分母
3.分式乘方的法则
分式乘方要把_____、_____分别_____.
【点拨】分式乘方时，一定要加上括号，分式本身的符号也要
乘方.
分子
分母
乘方
4.分式乘除、乘方运算的顺序
分式的乘除运算，要从___到___依次运算，分式的乘方、乘除
混合运算，应按先_____，再_____的顺序进行.
左
右
乘方
乘除
【预习思考】
1.分式的乘除法运算与分数的乘除法运算有什么联系?
提示：运算的方法和运算的顺序相同.
2. 相等吗? 相等吗?
提示：
理由是 的指数是偶次幂, 的指数是奇次
幂.
分式的乘除
【例1】计算：
【解题探究】i ①分式乘法的方法是：分子与分子相乘,分母
与分母相乘,分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.
②根据①的探究完成(1)(3):
ii ①分式除法的方法是：先将除法转化为乘法,再应用分式的
乘法法则运算.
②根据①的探究完成(2)(4):
【互动探究】在进行分式的乘除运算时可以先对各分式约分吗?
并以例题中的题目举例说明.
提示：可以,如(1)
【规律总结】
分式乘除的三种思路
(1)分式与分式相乘,若分子、分母是单项式,可直接将分子、分
母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式；
(2)分式与分式相乘,若分子、分母是多项式,先把分子、分母分
解因式,看能否约分,然后再相乘；
(3)分式的乘除法运算结果,要通过约分化为最简分式或整式的
形式.
【跟踪训练】
1.下列各式计算不正确的是( )
【解析】选A.
∴选项A错误.
2.计算：(1)
(2)
【解析】(1)
(2)
=-a2b.
答案：(1) (2)-a2b
3.先化简再求值.
已知a=1,b=2,求 的值.
【解析】
∴当a=1,b=2时,原式
【变式备选】
(2011·大庆中考)已知x，y满足方程组
先将 化简,再求值.
【解析】由方程组
则
把 代入上式得：
分式的乘方
【例2】(6分)计算:
【规范解答】
(1) ………………1分
………………………2分
………………………3分
(2) ……………………2分
………………………3分
【互动探究】
分式的乘方与分数的乘方有哪些不同点?
提示：当分式的分子、分母是多项式时,乘方是要加括号,把分
子、分母分别看做一个整体.
【规律总结】
分式乘方运算的三个规律
1.分式的乘方，等于把分子分母分别乘方.
2.分式乘方时要先确定乘方结果的符号，负数的偶次幂为正
数，负数的奇次幂为负数.
3.含有乘方、乘除的混合运算，先算乘方后乘除，结果要化简.
【跟踪训练】
4.下列等式成立的是( )
【解析】选C.
∴选项C正确.
5.计算：(1)
(2)如果 且x≠0,那么a=____________.
【解析】(1)
(2) 且x≠0,
∴a2=(y-1)2,即a=y-1或a=1-y.
答案：(1) (2)y-1或1-y
【变式备选】
已知 则
【解析】
答案：
分式的混合运算
【例3】(8分)计算：(1)(2012·淮安中考)
(2)
【规范解答】
(1)
…………………………………1分
=2(x-1)+3x+1 ………………………………………………2分
=2x-2+3x+1 …………………………………………………3分
=5x-1. ………………………………………………………4分
(2)
……………2分
………………3分
……………………4分
特别提醒:运算顺序为先乘方，再乘除！
【互动探究】没有括号的乘除运算，应注意什么问题？
提示：按照从左到右的顺序，先把除转化为乘，再进行约分计
算.
【规律总结】
分式乘方、乘除混合运算的“口诀”
分式乘除共运算,法则顺序要牢记,
括号为先乘方继,乘除运算要依次,
恰当使用运算律,简化去处思路新.
【跟踪训练】
6.下列计算正确的是( )
(A) (B)m·n÷m·n=1
(C) (D)
【解析】选C.
∴选项C正确.
7.化简:(1)
(2)
【解析】(1)
答案：(1) (2)
8.化简:(1)
(2)
【解析】(1)
1.下面各分式: 其中最简分式有
( )
(A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个
【解析】选D.
分子、分母没有公因式；
∴最简分式只有一个.
2.若把分式 的x，y同时缩小12倍,则分式的值( )
(A)扩大12倍 (B)缩小12倍
(C)不变 (D)缩小6倍
【解析】选C.∵把分式 的x,y同时缩小12倍,
3.代数式a与 的最简公分母为_______.
【解析】代数式a与 的分母分别是1和b,所以a与 的最简公
分母为b.
答案：b
4.对于分式 当x_______时,分式无意义；当x_______时,
分式的值为0.
【解析】分式 无意义的条件是分母为0,即x+3=0,解得
x=-3；分式 的值为0的条件是:分子为0,分母不为0,即
x2-9=0且x+3≠0,解得x=3.
答案：=-3 =3
5.先化简,再求值：
(1)(2011·达州中考) 其中a=-5；
(2)(2011·泉州中考)已知 其中x=2.
【解析】(1)
当a=-5时,原式
(2)
当x=2时, 原式
(共24张PPT)
2.分式的加减法
1.同分母分式加减法法则的构建
探究：做一做
(1)
(2)
(3)
【归纳】同分母分式的加减法法则: 同分母的分式相加减，分
母_____，把_____相加减.
不变
分子
2.异分母分式加减法法则
探究：做一做
【归纳】异分母的分式相加减，先_____，变为_________
_____，然后再加减.
用式子表示是:
通分
同分母的
分式
3.分式的加减、乘除、乘方混合运算的顺序
先算_____，再算_____，最后算_____，有括号应先算_______
_____.
分式运算的结果是_____或_________.
乘方
乘除
加减
括号里
面的
整式
最简分式
【预习思考】
计算: 成立吗?为什么?
提示：不成立.
理由是当分式的分子是多项式时,进行减法运算时要加括号.即
分式的加减运算
【例1】计算:(1)(2012·泉州中考)
【解题探究】
(1)①分式加减的两种运算是:同分母的分式加减和异分母的分
式加减.
②同分母的分式加减方法是:分母不变,分子相加减；异分母的
分式加减方法是:先通分,转化为同分母的分式运算,再按同分母
的分式加减方法运算.
(2)按照(1)的探究计算:
(3)原式
【规律总结】
分式加减运算的四事项
(1)“分子相加减”是指把各个分子的整体相加减,即各个分子
应先加上括号再加减,分子是单项式时括号可以省略；
(2)异分母的分式相加减,“先通分”是关键,通分正确,计算才
有保障；
(3)分式加减混合运算的顺序是从左到右,合理地应用运算律可
以简化运算过程；
(4)运算的结果必须化成最简分式或整式.
【跟踪训练】
1.(2012·安徽中考)化简 的结果是( )
(A)x+1 (B)x-1
(C)-x (D)x
【解析】选D.
2.计算:(1)
(2)
【解析】
答案：1 -1
3.(1)计算:
(2)计算：
(3)已知x=-1,求 的值.
【解析】(1)
(3)
∴当x=-1时,原式
分式的混合运算
【例2】(8分)(1)计算:
(2)(2012·成都中考)化简:
【规范解答】
(1)
………………1分
……………………3分
…………………………………………………………4分
易错提醒:除法没有转化乘法，就约分或应用运算律！
(2)
………………………………………2分
…………………………………………3分
=a-b. …………………………………………………………4分
【互动探究】计算 还有其他方法吗?
提示：可以先将除法转化为乘法,再应用分配律.
【规律总结】
分式混合运算六言诗
分式四则运算,顺序乘除加减,
乘除同级运算,除法符号须变(乘)；
乘法进行化简,因式分解在先,
分子分母相约,然后再行运算；
加减分母需同,分母化积关键；
找最简公分母,通分不是很难；
变号必须两处,结果要求最简.
【跟踪训练】
4.(2012·临沂中考)化简 的结果是( )
【解析】选A.
5.化简：(1)(2012·青岛中考)
(2)(2012·泰州中考)
【解析】(1)原式
6.(1)(2012·益阳中考)计算代数式 的值，其中
a=1,b=2,c=3.
(2)(2012·娄底中考)先化简： 再请你选择一
个合适的数作为x的值代入求值.
【解析】
当a=1,b=2,c=3时，原式=3.
(2)原式
根据分式的意义可知，x≠0，且x≠±1,
当x=2时,原式=2-1=1.
1.化简 可得( )
【解析】选B.原式
2.一水池有两个进水管,若单独开甲、乙管各需要a小时,b小时
可注满空池,现两管同时打开,那么注满空池的时间是( )
【解析】选D.根据题意可得, 化简
3.(2012·德阳中考)计算:
【解析】
答案：x+5
4.化简 的结果是________.
【解析】
答案：1
5.先化简，再求值：(1)(2012·珠海中考)
其中
(2) 其中
【解析】(1)原式
当 时，原式
(2)原式
∴当m= 时,原式
(共38张PPT)
§17.3 可化为一元一次
方程的分式方程
1.分式方程的概念
分母中含有_______的方程叫分式方程.
2.分式方程的解法
探究：解分式方程
类比一元一次方程的解法尝试解答:
(1)去分母，方程两边同乘以_______得6x=4(x-1)；(2)去括
号，得6x=_____；(3)移项，得6x____=-4；
未知数
x(x-1)
4x-4
-4x
(4)合并同类项，得___=-4；(5)系数化为1，得x=___；(6)检验：
把x=-2代入原方程的左右两边，左边＝_____，故x=___是原分式
方程的解.
2x
-2
右边
-2
【归纳】解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一
个_____，约去_____，把分式方程转化为_________来解.所乘
的_____通常取方程中出现的各分式的___________.
【点拨】类比含分母的整式方程的解法，方程两边同乘以最简
公分母化为整式方程来解.
整式
分母
整式方程
整式
最简公分母
3.增根的产生及验根的方法
探究：解分式方程
(1)去分母，方程两边同乘以(x-1)(x+1) 得x+1=2,
(2)移项，合并同类项，得x=1，
(3)检验：把x=1代入原方程的左右两边，原分式方程分母为0.
分式无意义，故x=1不是原分式方程的解.
增根：在将分式方程化为整式方程时，可能会产生不适合_____
___方程的解(或根)，这种根通常称为增根，因此，解分式方程
必须_____.
分式方程验根方法：将所求得的整式方程的根代入_________
___，看它的值是否为__，如果为__，即为增根；若_______，
则是原分式方程的根.
原分
式
验根
最简公分
母
0
0
不为 0
【归纳】增根是原分式方程去分母后得到的整式方程的根，但
不是分式方程的根.
【点拨】增根产生的原因是在去分母时，方程两边同乘以一个
含未知数的整式时，不能保证这个整式不等于0.
【预习思考】
1.增根是原分式方程的根吗？
提示：不是.
理由是增根可使原分式方程的某些分母为0.
2.列整式方程与列分式方程解应用题有什么不同?
提示：检验方法不同,整式方程是单检；分式方程是双检.
分式方程的意义
【例1】下列关于x的方程:① ②x-2=0,
③ ④ ⑤
⑥x+x2=1,⑦ ⑧ 中,哪些是整式方程？哪
些是分式方程?
【解题探究】
(1)分式方程与整式方程的区别是:方程的分母中是否含有未知
数；
(2)关于x的方程中,分母中不含未知数的是:②③⑥⑦；分母中
含有未知数的是:①④⑤⑧；
(3)结论:整式方程有:②③⑥⑦；
分式方程有:①④⑤⑧.
【规律总结】
分式方程的两个特征
(1)首先是方程；
(2)其次是分母中含有未知数.
【跟踪训练】
1.下列关于x的方程是分式方程的是( )
【解析】选D.根据分式方程的概念,A，B，C三选项分母中不含
有未知数x,是整式方程,选项D中含有未知数x,是分式方程,故选
D.
2.下列方程 中是分
式方程的是__________.
【解析】方程 的分母中不含未知数,是整式方程；方程
的分母中都含有未知数,是分式方程.
答案：②③④
分式方程的解法
【例2】(10分)解分式方程:
(1)(2012·重庆中考)
(2)(2012·宿迁中考)
【规范解答】
(1)方程两边都乘以(x-1)(x-2)得，
2(x-2)=x-1, ………………………1分
2x-4=x-1, …………………………2分
x=3, ………………………………3分
易错提醒:常数项不可漏乘.
检验：当x=3时，
(x-1)(x-2)=2≠0, ……………………………………………4分
所以，原分式方程的解是x=3. ………………………………5分
(2)方程两边都乘以(x+1)(x-1), ……………………………1分
得(x-1)+(x+1)=0, ……………………………………………2分
解得x=0, ………………………………………………………3分
检验：当x=0时，(x+1)(x-1)=-1≠0, ………4分
故x=0是原方程的解. …………………………5分
【互动探究】
1.通分与去分母的区别是什么？
提示：(1)通分是把原来的分式变成以最简公分母为分母的分
式，通分后还带有分母；
(2)去分母是在分式方程两边都乘以最简公分母，约去分母，故
去分母后不再含有分母.
2.解分式方程为什么必须验根?
提示：解分式方程可能会产生增根，增根不是原方程的根，必
须通过验根舍去.
【规律总结】
解分式方程的三事项
(1)思想方法:分式方程 整式方程.
(2)解法步骤:①去分母；②解整式方程；③验根.
(3)增根意义:增根是使最简公分母的值为零的整式方程的解.
【跟踪训练】
3.(2012·丽水中考)把分式方程 转化为一元一次方程
时，方程两边需同乘以( )
(A)x (B)2x
(C)x+4 (D)x(x+4)
【解析】选D.去分母时应该乘以分母的最简公分母即x(x+4).
4.(1)当x=_______时,
(2)当a=_______时,关于x的方程 的解是0.
【解析】(1)解分式方程 去分母得x-2=1,解得x=3,检验:
当x=3时,x-2≠0,∴原方程的根为x=3；
(2)∵方程 的解是0,把x=0,代入方程
得 解这个分式方程得,
经检验 是分式方程 的解.
答案：(1)3 (2)
5.解方程:(1)(2012·盐城中考)
(2)(2012·梅州中考)
【解析】(1)方程两边同乘以x(x+1),
3(x+1)=2x,解之得：x=-3,
检验：当x=-3时，x(x+1)≠0,∴x=-3是原方程的解.
(2)方程两边都乘以(x2-1)，
4-(x+1)(x+2)=-(x2-1)，
解得:
经检验 是原方程的解,
分式方程的应用
【例3】大众服装店今年4月用4 000元购进了一款衬衣若干件,
上市后很快售完,服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣,由
于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元,
结果第二批衬衣进货用了5 000元.
(1)第一批衬衣进货时的价格是多少？
(2)第一批衬衣售价为120元/件,为保证第二批衬衣的利润率不
低于第一批衬衣的利润率,那么第二批衬衣每件售价至少是多少
元?(提示：利润=售价-成本,利润率= ×100%)
【解题探究】(1)①列分式方程解决实际问题的关键步骤是:找
出概括题意的相等关系,并列出分式方程；
②设第一批上衣的进货价格是x元,则5月初购进衬衣的价格是
(x+20)元,今年4月购进衬衣 件,5月购进衬衣 件,
根据题意列分式方程得:
③解分式方程得:x=80,
经检验x=80是分式方程的解.
即:第一批衬衣进货的价格是80元.
(2)①设第二批衬衣每件售价至少是y元,
即两次进衬衣均为50件,则第一批衬衣的利润率为:
第二批衬衣的利润率为:
②根据题意列关系式:
③解不等式得,y≥150,
即第二批衬衣每件售价至少是150元.
【规律总结】
列分式方程解应用题的七步骤
(1)审:审清题意；
(2)找:找相等关系；
(3)设:根据相等关系设出未知数；
(4)列:根据相等关系式列出分式方程；
(5)解:解这个分式方程；
(6)验:一是验根,二是检验方程的根是否有实际意义；
(7)答：写出答案.
【跟踪训练】
6.(2012·万宁中考)去年年初，我国南方地区出现了特大雪
灾，我市某汽车运输公司立即承担了运送16万吨煤炭到包头火
车站的救灾任务.为了加快运输进度，实际每天的运煤量比原计
划每天的运煤量多0.4万吨，结果提前2天完成了任务，问实际
每天运煤多少万吨？若设实际每天运煤x万吨，则依据题意列出
的方程为( )
【解析】选B.∵实际每天的运煤量比原计划每天的运煤量多
0.4万吨，∴原计划每天的运煤量为(x-0.4)万吨.原计划运煤的
天数是 天，实际运煤的天数是 天，∵提前2天完成了
任务，∴列出的方程为
7.某车间加工120个零件后,采用了新工艺,工效是原来的1.5倍,
这样加工同样多的零件就少用1小时,采用新工艺前每小时加工
多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x个零件,则根据题
意可列方程为__________.
【解析】根据题意:新工艺每小时加工1.5x个零件,加工120个零
件采用新工艺前需要 小时,采用新工艺后需要 小时,得:
答案：
8.(2012·黄冈中考)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制
作8 800件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天
加工的数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同完成一半后，A车
间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用
20天完成，求A，B两车间每天分别能加工多少件.
【解析】设B车间每天加工x件，则A车间每天加工1.2x件
依题意得： 解之得：x=320.
经检验，x=320是原方程的解.
当x=320时，1.2x=384件，
答：A车间每天加工384件，B车间每天加工320件.
1.关于分式方程 有以下说法:①最简公分母为
(x-3)2；②转化为整式方程为x=2+3；③解得分式方程的解为
x=3；④经检验原方程无解.其中说法正确的个数为( )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
【解析】选D.∵分式方程 的最简公分母为
(x-3)；去分母得,x=2(x-3)+3,解得x=3；经检验x=3不是原方程
的根，∴原方程无解.故只有④正确.
2.解分式方程 下列四步解题中,错误的是
( )
(A)方程的最简公分母是x2-1
(B)方程两边乘以(x2-1)得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6
(C)解这个整式方程得x=1
(D)原方程的解为x=1
【解析】选D.经检验x=1时,x2-1=0,所以x=1是原方程的增根,即
原分式方程无解.
3.已知 的和等于 则a=______,b=______.
【解析】根据题意可得, 整理得,
所以 即
a(x-2)+b(x+2)=4x,整理这个方程得,
(a+b)x+2(b-a)=4x,即
答案：2 2
4.(1)如图,点A，B在数轴上,它们所对应的数分别是-4与
且点A，B到原点的距离相等.则x=________；
(2)在数轴上,点A，B对应的数分别为 且A，B两点关于
原点对称,则x的值为________.
【解析】(1)∵点A，B在数轴上,它们所对应的数分别是-4与
点A，B到原点的距离相等,
∴x=2.2.检验:把x=2.2代入3x-5≠0,
∴分式方程的解为:x=2.2.
(2)根据题意得:
去分母得:x-5=-2(x+1),
化简得:3x=3,
解得:x=1.
经检验:x=1是原方程的解,
所以x=1.
答案：(1)2.2 (2)1
5.(2012·珠海中考)某商店一次用600元购进2B铅笔若干支，
第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进
价的 倍，购进数量比第一次少了30支.
(1)求第一次每支铅笔的进价是多少元？
(2)若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不
低于420元，问每支售价至少是多少元？
【解析】设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得， 解得，x=4,
检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解.
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
(2)设售价为y元，根据题意列不等式为：
解得,y≥6.
答：每支售价至少是6元.
(共26张PPT)
§17.4 零指数幂与负整指数幂
1.零指数幂
任何不等于___的数的零次幂都等于__.即a0=__(a___0).
2.负整指数幂
任何不等于___的数的-n(n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂
的_____，即a-n=____(a___0，n是正整数).
【点拨】(1)零指数幂和负整指数幂的适用范围都是底数不等于
0.(2)负整指数幂可以转化为正整指数幂运算.
零
1
1
≠
零
倒数
≠
3.科学记数法
(1)对于一些绝对值较小的数，用10的___________来表示，即
将原数写成_______的形式，其中n为正整数，__≤|a|<___，这
也称为科学记数法.
(2)探究：用科学记数法表示小于1的正的小数时，连续0的个数
(包括小数点前的0)与10的指数的关系：
0.1=10-1,0.01=____,
0.001=____,0.000 1=____,
0.000...01=____.
负整指数幂
a×10-n
1
10
10-2
10-3
10-4
n个
10-n
【归纳】小于1的正的小数，连续零的个数(包括小数点前的零)
等于10的幂的指数的_______.
【点拨】用科学记数法表示绝对值大于1的整数时，整数的位数
减1等于10的幂的指数，这与用科学记数法表示绝对值小于1的
小数时不同，两者勿混淆.
绝对值
(3)用科学记数法可以把任意一个有理数表示为a×10n的形式，
其中__≤|a|＜___，n为整数.
1
10
【预习思考】
1.负数的负整数幂一定是负数吗?举例说明.
提示：不一定.如:
2.-0.000 580 8是否也可以用科学记数法表示呢?如果可以,应
如何表示?
提示：能.-0.000 580 8=-5.808×10-4.
负整数指数幂的运算
【例1】(8分)计算:(1)(2012·珠海中考)
(2)(-3a-2b)2÷a-3b-2.
【规范解答】(1)
=2-1+1-2 ……………………3分
=0. …………………………4分
特别提醒:1.当幂的指数为负整数时,最后的结果要把幂的指数化为正整数；
2.注意:(a-1)2≠-a2.
(2)(-3a-2b)2÷a-3b-2
=9a-4b2÷a-3b-2…………………………………………………1分
…………………………………………………2分
……………………………………………………3分
………………………………………………………4分
【互动探究】
对于(-3a-2b)2÷a-3b-2还有其他解法吗?
提示：有,利用同底数幂的除法法则运算.
(-3a-2b)2÷a-3b-2
=9a-4b2÷a-3b-2
=9a-4-(-3)b2-(-2)
=9a-1b4
【规律总结】
整数指数幂运算的三个原则
1.所有正整数指数幂的运算性质同样适合负整数指数幂的运
算；
2.进行负整数指数幂的运算时,应先将负整数指数幂变为正整数
指数幂,然后再运算；
3.运算的结果有负整数指数幂时,要写成分式形式.
【跟踪训练】
1.下列各式:①(-1)0=1；②(-1)-1=1；③a-3+a-3=a-6；
⑤(-m3)÷(-m)=-m2；
其中正确的个数是( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】选A.∵①(-1)0=1；②(-1)-1=-1；
③a-3+a-3=2a-3；
⑤(-m3)÷(-m)=m2；
∴正确的有①⑥，故选A.
2.计算:(1)(2012·河南中考)
(2)(2012·荆州中考)
(3)
【解析】(1)
答案：(1)10 (2)-1 (3)3
3.计算:(1)x2y-2·(x-2y2)2；
【解析】(1)x2y-2·(x-2y2)2
=3+2+3-1=7.
【变式备选】
(1)已知代数式 有意义,求x的取值范围；
(2)已知a2+a-2=5,求a4+a-4的值.
【解析】(1) 有意义,
∴x-1≠0,2x-3≠0,x-2≠0,
解得,x≠1且 且x≠2；
(2)∵a2+a-2=5,即
∴a4+a-4 =52-2=23.
科学记数法
【例2】(1)①(2012·呼和浩特中考)太阳的半径约为696 000千
米，用科学记数法表示为________千米.
②用科学记数法表示0.000 002 3＝ ________.
(2)用科学记数法表示的数5.8×10-5,它的原数是________.
【解题探究】(1)①科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其
中1≤|a|＜10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数
点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝
对值大于等于10时,n是正数；当原数的绝对值小于1时,n是负数.
②∵696 000＞10,∴a=6.96,
n=5,∴696 000=6.96×105.
0.000 002 3中a为2.3,小数点移动了6位,
又0.000 002 3＜1,即n=-6,
所以0.000 002 3=2.3×10-6；
(2)在5.8×10-5中,a为5.8,n=-5,即小数点向右移动了5位,所以
原数为0.000 058.
【互动探究】
绝对值大于1的数与绝对值小于1的数用科学记数法表示有什么
异同?
提示：两者表示形式相同；不同的是绝对值小于1的数所使用的
是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的
个数所决定.
【规律总结】
用科学记数法表示数的两个步骤
【跟踪训练】
4.(2012·河南中考)一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.000 006 5
米，0.000 006 5用科学记数法表示为( )
(A)6.5×10-5 (B)6.5×10-6
(C)6.5×10-7 (D)65×10-6
【解析】选B.由于0.000 006 5有7位小数，所以可以确定
n=1-7=-6,a=6.5，所以0.000 006 5=6.5×10-6.
5.(2012·贺州中考)微电子技术的不断进步，使半导体材料的
精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为
0.000 000 53平方毫米，用科学记数法表示为_______平方毫米.
【解析】0.000 000 53=5.3×10-7.
答案：5.3×10-7
6.(1)用科学记数法表示下列各数:
①-0.001 5；②-600 807 000 000.
(2)用小数表示下列各数:
①3.204×10-5；②-6.03×10-3.
【解析】(1)①-0.001 5=-1.5×10-3；
②-600 807 000 000=-6.00807×1011.
(2)①3.204×10-5 =0.000 032 04；
②-6.03×10-3 =-0.006 03.
1.(2012·南宁中考)芝麻作为食品和药物，均被广泛使用，经
测算，一粒芝麻约有0.000 002 01千克，用科学记数法表示为
( )
(A)2.01×10-6千克 (B)0.201×10-5千克
(C)20.1×10-7千克 (D)2.01×10-7千克
【解析】选A.0.000 002 01=2.01×0.000 001=2.01×10-6.
2.下列式子对于任何x都成立的是( )
(A)x0=1 (B)
(C)(x+1)0=1 (D)
【解析】选D.∵x0=1时，x≠0；(x-1)-2 时，x≠1；
(x+1)0=1时，x≠-1； 时，x可取任意数.∴D选
项正确.
3.计算:(1)
(2)(2-2x3y-1)-2(x-5y2)2=_________.
【解析】(1)
=1-(-2 011)=1+2 011=2 012；
(2)(2-2x3y-1)-2(x-5y2)2
=2-2×(-2)x3×(-2)y-1×(-2)·x-5×2y2×2
=24x-6y2·x-10y4=24x-6-10y2+4
=24x-16y6
答案：(1)2 012
4.(1)已知(m-4)0无意义,则
(2)已知空气的密度1.24×10-3g/cm3,那么1.24×10-3用小数表
示为____________.
【解析】(1)∵(m-4)0无意义,∴m-4=0,即m=4,
(2)
答案：(1)254 (2)0.001 24
5.计算:(1)6x2yz·(-3x-2y-3z-4)；
(2)(2012·衡阳中考)
【解析】(1)6x2yz·(-3x-2y-3z-4)
=1+3-2+3
=5.
(共58张PPT)
第17章 单元复习课
一、分式(方程)的相关概念
1.分式的有关概念
如果A与B都是整式,可以把A÷B表示成 的形式，当B中含
有字母时，把 叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分
式的分母.
注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义.
理解分式的概念应注意的问题:
(1)具有 的形式；
(2)B中含有字母；
(3)分式与整式区别在于分母中是否含有字母.
2.分式的基本性质
(M为不等于零的整式)
3.公因式
一个分式的分子与分母都含有的因式，叫这个分式的公因式.
4.最简分式
一个分式的分子与分母除去1以外都没有其他的公因式时，叫做
最简分式.
5.最简公分母
几个分式，取各分母的系数的最小公倍数与各分母所有因式的
最高次幂的积作分母，这样的公分母叫做最简公分母.
6.约分和通分
7.零指数幂与负整数指数幂
(1)负整数指数幂： (其中a≠0，p是自然数).
(2)引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围扩大到了全体
整数，已学的幂的运算法则和运算律，对负整数指数幂同样适
用.
(3)绝对值较小的数的科学记数法表示：用科学记数法表示一些
绝对值较小的数，即把它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整
数，1≤|a|＜10.
8.分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
分式方程与整式方程的区别是分母中是否含有未知数.
二、分式(方程)的运算及解法
1.分式的运算法则
(1)分式的乘除
注意分式的乘除法应用关键是理解其法则.
①先把除法变为乘法；
②接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，若有乘
方运算的要先算乘方，然后同其他分式进行约分；
③再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；
④最后还应检查相乘后的分式是否化为最简分式.
(2)分式的加减
①同分母分式相加减：
②异分母分式相加减： (先通分，变成同分母的
分式，然后再加减).
运算步骤：①先确定最简公分母；
②对每项通分,化为同分母分式；
③按同分母分式运算法则进行运算；
④注意结果化为最简分式.
2.解分式方程的基本思想
去分母,将分式方程转化成已学过的整式方程,进而求解.
即:分式方程 整式方程.
3.解分式方程的一般步骤
(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
(2)解这个整式方程.
(3)把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最
简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
(4)写出原方程的根.
解分式方程的一般步骤比解整式方程的一般步骤多两步：一是
在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
二是把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，即
验根.
三、分式方程的应用
列分式方程解应用题的方法与步骤
(1)审——审清题意；
(2)设——直接设未知数，或间接设未知数；
(3)列——根据等量关系列出分式方程；
(4)解——解这个分式方程；
(5)验——既要验是否为所列分式方程的根，又要验是否符合实
际情况；
(6)答——完整地写出答案，注意单位.
列分式方程解应用题的步骤与列整式方程解应用题的步骤相
似，不同的是第五步验根，列分式方程验根时，在保证正确求
解的情况下，既要验是否为原分式方程的增根，又要验根是否
符合实际情况，而列整式方程验根时，在保证正确求解的情况
下，只需验根是否符合实际情况即可.
丰富的问题情景
科学记数法
分式的基本性质
约分
通分
分式方程的解法
分式方程的应用
分式运算
分式的乘除法
分式的加减法
分式的混合运算
分式的化简求值
分式的概念
分式方程的概念
零指数幂
负整指数幂
观察归纳
分式有无意义及值为0的条件
【相关链接】
1.分式有意义、无意义的条件:因为零不能做除数,因此分式的
分母不能等于零.当分母等于零时,分式无意义；当分母不等于
零时,分式有意义.
2.分式的值为零的条件是:分子等于零且分母不等于零,两者缺
一不可.
【例1】(2012·宜昌中考)若分式 有意义，则a的取值范
围是( )
(A)a=0 (B)a=1
(C)a≠-1 (D)a≠0
【思路点拨】
【自主解答】选C.根据分式有意义的条件得，a+1≠0，
解得a≠-1，故选C.
分式的基本性质
【相关链接】
分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个
不等于0的整式,分式的值不变.用式子表示为
理解此式注意以下三点:
(1)M是不等于0的整式,是分式基本性质的一个制约条件；
(2)应用分式基本性质,要理解“都”、“同一个”两个关键的
含义,避免出现只乘分子(或分母)的错误；
(3)当分式的分子或分母是多项式,应用分式基本性质时,要加括
号.
【例2】(2011·贵阳中考)在三个整式x2-1,x2+2x+1,x2+x中,请
你从中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组
成一个分式,并将这个分式进行化简,再求当x=2时分式的值.
【思路点拨】
【自主解答】(答案不唯一)(1)选择x2-1为分子,x2+2x+1为分母,
组合分式 化简
将
(2)选择x2+x为分子,x2+2x+1为分母,组合分式
化简 将x=2代入
(3)选择x2-1为分子,x2+x为分母,组合分式
化简 将x=2代入
分式的化简与求值
【相关链接】
1.分式的化简与求值一般是先将分式化简，然后再代入求值，
其依据就是分式的基本性质，在对分式化简时，一般要应用约
分和通分，约分的关键是确定分子与分母的公因式；通分的关
键是确定各分母的最简公分母.
2.分式运算过程中三点要求:①正确运用运算法则；②合理选用
运算律；③运算结果一定为最简分式(即分子分母中不含有公因
式)或整式.
【例3】(2012·达州中考)先化简，再求值：
其中a=-1.
【思路点拨】
【自主解答】原式=
=2(a+4)=2a+8.
当a=-1时，原式=2×(-1)+8=6
解分式方程
【相关链接】
1.解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程；
2.解分式方程的基本步骤:
(1)去分母,化为整式方程；(2)解整式方程；(3)检验.
3.分式方程验根的两方法:
(1)将所求得的根代入原方程进行检验；
(2)将所求得的根代入最简公分母进行检验,看最简公分母是否
为0，从而确定整式方程的解是分式方程的根还是增根.
【例4】(2012·广安中考)解方程：
【思路点拨】
【自主解答】原方程可化为
2(3x-1)+3x=1，
检验：当 时，3(3x-1)=0, 不是原方程的解.因此原
分式方程无解.
分式方程的应用
【相关链接】
列分式方程与列整式方程一样,先分析题意,准确找出实际问题
中的相等关系,恰当的设出未知数,列出方程；不同之处是所列
方程是分式方程时,最后进行检验:既要检验是否是所列分式方
程的解,又要检验所解结果是否符合实际意义.
【例5】(2011·玉林中考)上个月某超市购进了两批相同品种的水果,第一批用了2 000元,第二批用了5 500元,第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍,且进价比第一批每千克多1元.
(1)求两批水果共购进了多少千克?
(2)在这两批水果总重量正常损耗10%,其余全部售完的情况下,如果这两批水果的售价相同,且总利润率不低于26%,那么售价至少定为每千克多少元?
(利润率=利润/成本×100％)
【思路点拨】(1)
【自主解答】(1)设第一批购进水果x千克,则第二批购进水
果2.5x千克,依据题意得:
解得x=200,经检验x=200是原方程的解,
∴x+2.5x=700,
答:这两批水果共购进700千克；
(2)设售价为每千克a元,则:
630a≥7 500×1.26,
∴a≥
∴a≥15,
答:售价至少为每千克15元.
整数指数幂、科学记数法的应用
【相关链接】
1.灵活运用零指数幂、负整指数幂公式,即“a0=1(a≠0),
”,切记a-2≠-a2.
2.科学记数法应用的三事项:
(1)科学记数法的关键是确定n值,用科学记数法表示较小的数时,n就等于从左边第一个0起到第一个不为0的数止的0的个数的相反数.
(2)用科学记数法表示一个负数时,不要漏掉负号.
(3)写出科学记数法N=a×10n(1≤|a|＜10,n为整数)的原数:
①当n为正数时,原数N等于把a的小数点向右移动n位后得到的数；②当n为负数时,原数N等于把a的小数点向左移动|n|位后得到的数.
【例6】(1)(2012·绥化中考)已知1纳米=0.000 000 001米，
则2 012纳米用科学记数法表示为______米.
(2)(2012·滨州中考)计算：|-2|+(-1)2 012×(π-3)0-
+(-2)-2.
【思路点拨】(1)
【自主解答】(1)∵1纳米=0.000 000 001米=10-9米，
2 012=2.012×103,
∴2 012纳米=2.012×103×10-9米=2.012×10-6米.
答案：2.012×10-6
(2)原式=
【命题揭秘】
近几年来,分式的概念,分式的基本性质,分式的化简、运算以及分式方程的解法和应用是中考考查内容的热点,重点考查:
①分式有无意义及分式值为0的条件；②利用分式的基本性质进行分式的变形及运算；③分式方程的解法及实际应用.命题有时单独命题,有时与函数、不等式(组)及其他知识综合命题考查.命题以选择、填空、解答的形式出现.
1.(2012·南京中考)PM2.5是指大气中直径小于或等于
0.000 002 5 m 的颗粒物，将 0.000 002 5 m 用科学记数
法表示为( )
(A)0.25×10-3 (B)0.25×10-4
(C)2.5×10-5 (D)2.5×10-6
【解析】选D.0.000 002 5=a×10n,因为1≤|a|＜10,所以
a=2.5,因为0.000 002 5＜1,所以小数点右移6位，故n=-6,
所以0.000 002 5=2.5×10-6.
2.若分式: 的值为0,则( )
(A)x=1 (B)x=-1 (C)x=±1 (D)x≠1
【解析】选A.由x2-1=0解得:x=±1,
又∵x+1≠0即x≠-1,
∴x=1.
3.(2012·威海中考)化简 的结果是( )
【解析】选B.原式=
4.(2012·苏州中考)计算：
【解析】原式=1+2-2=1.
答案：1
5.(2011·安顺中考)某市今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨20%,小方家去年12月份的水费是26元,而今年5月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年12月份多8立方米,设去年居民用水价格为x元/立方米,则所列方程为_______.
【解析】根据题意得，今年居民用水价格为(1+20%)x元/立方米,根据题意得:
答案：
6.(2011·贵港中考)若记 其中f(1)表示当
x=1时y的值,即 f( )表示当 时y的值,
即
……
则
【解析】
∴f(1)+f(2)+f( )+f(3)+f( )+…+f(2 011)+f( )
答案：
7.(1)(2012·绵阳中考)化简：
(2)(2012·恩施中考)先化简，再求值：
其中
【解析】(1)原式
(2)原式
将 代入上式，原式
8.(1)(2011·綦江中考)计算:
(2)(2012·天门中考)解方程：
【解析】(1)
＝3－1+4－1
＝5；
(2)原方程可变形为2x(2x+5)-2(2x-5)
=(2x-5)(2x+5).
展开，得4x2+10x-4x+10=4x2-25,
整理得6x=-35.
解得
检验： 时，2x+5≠0且2x-5≠0,
∴ 是原分式方程的解.
9.某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天,需付甲工程队工程款1.2万元,乙工程队工程款0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案:
(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；
(3)若甲、乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
试问:在不耽误工期的前提下,你觉得哪一种施工方案最节省工程款?请说明理由.
【解析】设规定日期为x天,则甲队单独完成这项工程需x天，
乙队单独完成这项工程需(x+6)天,由题意得,
3(x+6)+x2=x(x+6)
解得:x=6.
经检验:x=6是原方程的根.
显然,方案(2)不符合要求；
方案(1)工程款:1.2×6=7.2(万元)；
方案(3)工程款:1.2×3+0.5×6=6.6(万元).
因为7.2＞6.6,所以在不耽误工期的前提下,选第三种施工方
案最节省工程款.
