(共15张PPT)
学习目标
1.理解邻补角与对顶角的概念；
2.掌握邻补角与对顶角的性质，并能运用它们的性质进行角的计算及解决简单实际问题.（重点、难点）
观察下列图片，说一说直线与直线的位置关系.
你发现了什么？
直线与直线相交于一点，并形成了四个角.
活动：握紧把手时，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小直到剪开布片.如果把剪刀的构造看作两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成的角的问题.
邻补角与对顶角的概念
A
O
C
B
D
思考 剪刀剪东西的过程中,你能说∠AOC∠AOD,∠AOC与∠BOD这两对角的位置保持怎样的关系吗？
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且∠AOC的两边分别是∠BOD两边的反向延长线.
∠AOC和∠AOD有一条公共边AO，且∠AOC的另一边是∠AOD另一边的反向延长线.
邻补角：如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为____________，那么这两个角互为邻补角.图中∠1的邻补角有___________.
反向延长线
∠2, ∠4
邻补角与对顶角的概念
对顶角：如果一个角的两边是另一个角的两边的 ，那么这两个角互为对顶角.图中∠1的对顶角是______.
反向延长线
∠3
猜想：对顶角相等
问题：∠1 与∠3在数量上又有什么关系呢？
在上学期我们已经知道互为补角的两个角和为180°，因而互为邻补角的两个角和为180°.
思考：
你能利用有关知识来验证∠1 与∠3的数量关系吗？
∴∠1=∠3.
同理可得∠2=∠4.
已知：直线AB与CD相交于O点(如图),试说明:∠1=∠3， ∠2=∠4.
解：∵直线AB与CD相交于O点,
∴∠1+∠2=180°
∠2+∠3=180°，
格式：∵直线AB与CD相交于O点
∴∠1=∠3.
1.有公共顶点
归类
∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1
∠1和∠3、
∠2和∠4、
1.有公共顶点
位置关系
邻补角
对顶角
2.有一条公共边
3.另一边互为反向延长线
2.没有公共边
两直线相交
3.两边互为反向延长线
名称
数量关系
对
顶
角
相
等
邻
补
角
互
补
1.下列各图中， ∠1 ，∠2是对顶角吗？
(
)
1
2
(
)
1
2
(
)
2
1
2.下列各图中， ∠1 ，∠2是邻补角吗？
(
1
（
2
(
)
1
2
(
)
1
2
不是
是
不是
不是
是
不是
∴∠2=180°－∠1=140°,
例 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
∵∠3=∠1,
∠1=40°,
∴∠3=40°,
解:
∴∠4=∠2=140°.
变式1：若∠2是∠1的3倍，求∠3的度数.
变式2：若∠2-∠1=40°，求∠4的度数.
掌握邻补角和对顶角的性质是解题的关键!
1.如图,直线AB，CD，EF相交于点O.
(1)写出∠AOC, ∠BOE的邻补角；
(2)写出∠DOA, ∠EOC的对顶角；
(3)如果∠AOC =50°,求∠BOD ，∠COB的度数.
A
E
D
B
F
C
O
解:(1)∠AOC的邻补角是∠AOD和
∠COB;∠BOE的邻补角是
∠EOA和∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB;
∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∠BOD=∠AOC= 50°;
∠COB=180°-∠AOC=130°.
2. （应用题）在下图中，花坛转角按图纸要求这个角（红色标注的角）为135°；施工结束后，要求你检测它是否合格？请你设计检测的方法.
3.如图,直线AB,CD相交于点O， ∠EOC=70°，
OA平分∠EOC，求∠BOD的度数.
A
B
C
D
E
O
4.观察下列各图，寻找对顶角（不含平角)
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角；
⑵ 如图b，图中共有 对对顶角；
⑶ 如图c，图中共有 对对顶角；
⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角；
⑸ 若有10条直线相交于一点，则可形成 对对顶角.
图a
图b
图c
2
6
12
n(n-1)
90
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
对顶
角相
等
邻补
角互
补
②有公共顶点;
③没有公共边
①两条直线相交形成的角；
①两条直线相交而成；
②有公共顶点;
③有一条公共边
①都是两条直线相交而成的角；
③都是成对出现的
②都有一个公共顶点；
②两直线相交
时，对顶角只
有两对，邻补
角有四对
①有无公共边；
角的
名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点
对
顶
角
邻
补
角
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5.1 相交线
第五章 相交线与平行线
5.1.2 垂 线
1.理解垂线的有关概念、性质及画法；（重点）
2.理解垂线段和点到直线的距离的概念，会应用
解决简单实际问题. （难点）
学习目标
日常生活中，如下图中的两条直线的关系很常见，你能再举出其他例子吗？
活动：在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,当b的位
置变化时,a、b所成的角α也会发生变化
）
α
a
b
b
b
b
b
）
α
垂线的概念
问题 如图,当∠AOC＝90°时，∠BOD、∠AOD、∠BOC等于多少度？为什么？
A
B
C
D
O
由对顶角和邻补角的性质，知当∠AOC＝90°，∠BOD=∠AOD=∠BOC=90°.
1.垂线的定义：当两条直线AB和CD所成的四个角中，如果有一个角是直角，其他三个角也都为直角，此时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.垂直用符号 “⊥”来表示，读作“垂直于”.如“直线AB垂直于直线CD”，就记作“AB⊥CD”.交点O叫做垂足.
3.垂直是相交的特殊情况.
垂线的概念
4.符号语言:
①判定：∵∠AOD=90°,（已知）
∴AB⊥CD.（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直,垂足为O，那么∠AOD=90°.
②性质：∵ AB⊥CD ,（已知）
∴ ∠AOD=90° .（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则 ；
(2)若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，那么
∠BOD =______；
(3)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比
为1∶5，那么∠COA＝____,∠BOC的补角为 .
m⊥n
90°
72°
162°
图1
图2
问题:
(1)画已知直线l的垂线能画几条?
(2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
(3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能
画几条?
垂线的画法及基本事实
问题：这样画l的垂线可以画几条？
1.放
2.靠
3.画
l
O
如图，已知直线 l,
作l的垂线.
A
无数条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
问题：这样画l的垂线可以画几条？
一条
l
A
B
1.放
2.靠
3.移
4.画
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操作，你能得出什么结论
总结归纳
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
（1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；
（2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
注意：
l
垂线段及点到直线的距离
如图，从A点向已知直线 l 画一条垂直的线段和几条不垂直的线段.
A
总结归纳
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短.简单说成：垂线段最短
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
特别规定：
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
m
垂线段最短
1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判 定两条直线垂直的是( )
A. 有两个角相等 B.有两对角相等 C. 有三个角相等 D.有四对邻补角
C
2.如图, AB⊥CD, ∠ACB=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是 ( )
A. AC B. BC C. CD D. 不能确定
C
3.过点P 向线段AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
C
A B C D
4.下列说法正确的是（ ）
A.线段AB叫做点B到直线AC的距离 B.线段AB的长度叫做点A到直线AC的距离
C.线段BD的长度叫做点D到直线BC的距离 D.线段BD的长度叫做点B到直线AC的距离
D
6.如图，已知直线AB、CD都经过O
点，OE为射线，若∠1＝35°,∠2＝
55°，则OE与AB的位置关系是 .
垂直
5.已知：如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ）
A.相等 B.互余
C.互补 D.互为对顶角
D
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足.
定义
画法
性质
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
一、放；二、靠；三、移 ；四、画.
点到直线的距离
(2)垂线段最短
垂线
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5.1.3 同位角、内错角、同旁内角
5.1 相交线
1.理解同位角、内错角、同旁内角的概念；
2.结合图形识别同位角、内错角、同旁内角（重点）
3.从复杂图形分解为基本图形的过程中，体会化繁
为简，化难为易的化归思想.（难点）
学习目标
问题1 两条直线CD和EF相交，能形成些具有什
么关系的角？
具
有
邻
补
角
关
系
的
角
问题2 两条直线AB和EF相交，能形成些具有什么关
系的角？
具有对顶角关系的角
简称“三线八角”
若再添加一条直线，即直线EF被第三条直线CD所截，构成了几个角？
B
A
F
E
4
3
1
2
截线
F
活动1 观察∠1与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁
②在直线AB、CD的同一侧
A
C
B
D
E
1
2
3
4
5
6
7
8
同位角
同位角、内错角、同旁内角
一、同位角的概念
图中的同位角还有哪些？
∠2和∠6；∠3和∠7；∠4和∠8
图形特征：在形如字母“F”的图形中有同位角.
变式图形：图中的∠1与∠2都是同位角.
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动2 观察∠3与∠5的位置关系：
①在直线EF的两侧
②在直线AB、CD之间
内错角
二、内错角的概念
图中的内错角还有哪些？
∠4和∠6
变式图形：图中的∠1与∠2都是内错角.
图形特征：在形如“Z”的图形中有内错角.
A
C
B
D
E
F
1
2
3
4
5
6
7
8
活动3 观察∠4与∠5的位置关系：
①在直线EF的同旁
②在直线AB、CD之间
同旁内角
三、同旁内角的概念
图中还有哪些同旁内角？
∠3和∠6
变式图形：图中的∠1与∠2都是同旁内角.
图形特征：在形如“U”的图形中有同旁内角.
之间
之间
同侧
同旁
两旁
同旁
F
Z
U
总结归纳
截线 被截线 结构
特征
同位角
内错角
同旁内角
例1 如图，直线DE截AB ，AC，构成8个角，指出所有的同位角,内错角,同旁内角.
解：两条直线是AB，AC，截线是DE，所以8个角中，同位角：∠2与∠5，∠4与∠7，∠1与∠8, ∠6和∠3；内错角：∠4与∠5，∠1与∠6；同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6.
变式：∠A与∠8是哪两条直线被哪条直线所截的角?它们是什么关系的角?∠A与∠5呢?∠A与∠6呢?
E
D
C
B
A
8
7
6
5
4
3
2
1
例2 如图，直线DE,BC被直线AB所截.
（1）∠1与∠2， ∠1和∠3，∠1和∠4各是什么角？
解：（1）∠1与∠2是内错角，∠1和∠3同旁内角，∠1和∠4是同旁内角.
（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与
∠3互补吗？ 为什么？
解：(2)如果∠1=∠4，由对顶角相等，得∠2=∠4，那么∠1=∠2.因为∠3和∠4互补，即∠4+∠3=180°，又因为∠1=∠4,所以∠4+∠3=180°,即∠1与∠3互补.
1.如图，∠DAB和∠ABC的位置关系是 （ ）
A.同位角 B.同旁内角
C.内错角 D.以上结论都不对
2.如图，∠1和∠2不能构成同位角的图形是（ ）
C
D
A
D
B
C
E
如图,若ED,BF被AB所截,则∠1与____是同位角.
3.看图填空：
∠2
若ED,BC被AF所截,则∠3与___ 是内错角.
∠4
∠1与∠3是AB和AF被_____所截构成的 角；
DE
内错
∠2与∠4是 和 被BC所截构成的____角.
AB
AF
同位
4.如图，找出图中数字标注的角的同位角，内错角，
同旁内角.
5
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗?
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
三线八角
同位角 “F”型
同旁内角 “U”型
判断方法
(描图法)
①把两个角在图中描画出来；
②找到两个角的公共直线；
③观察所描的角，判断所属“字母”类型，
同 位角为“F”型，内错角为“Z”型，同
旁内角为“U”型，注意图形的变式（旋
转、对称）也是符合的.
内错角 “Z”型
