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第4章 图形的初步认识
4.1 生活中的立体图形
1.通过观察认识到我们周围的规则物体能找到与它们相似的立体图形.
2.认识圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球等基本几何体.(重点)
3.掌握柱体、锥体的特征，会用自己的语言描述柱体、锥体的某些特征.(难点)
1.常见几何体的特征
图形 柱体 锥体 球
圆柱 棱柱 圆锥 棱锥
几何体
三
侧面
平
行四边形
两
曲面
三角形
曲面
没有
无
一
图形 柱体 锥体 球
圆柱 棱柱 圆锥 棱锥
特征 圆柱___顶点，由___个面围成，其中上下底面是平面，_____是曲面 棱柱上下底面都是平面，侧面都是___
________ 圆锥有___个顶点，由___个面围成，底面是平面，侧面是_____ 棱锥的底面是平面，侧面由几个平面围成，且每一个侧面都是_______ 球_____
顶点，
由_____
围成
2.多面体的概念
若立体图形中的面都是___的,则称这样的立体图形为多面体.
3.几何体的分类
(1)棱柱和圆柱统称为_____.(2)棱锥和圆锥统称为_____.
(3)_____.
平
柱体
锥体
球体
(打“√”或“×”)
(1)柱体的上、下两个面不一样大. ( )
(2)圆柱有两个底面，形状大小都相同. ( )
(3)棱柱的底面不一定是四边形. ( )
(4)圆柱的侧面是平面. ( )
(5)棱锥的侧面不一定是三角形. ( )
(6)柱体都是多面体. ( )
×
√
√
×
×
×
知识点 常见的几何体
【例】试一试在括号里写出下列几何体的名称.
【思路点拨】根据几何体的形状，通过分析，得出各几何体的名称.
【自主解答】第1个图，只有一个曲面，是球，第2个图，上、下两个底面是大小相同的圆，侧面是曲面，是圆柱，第3个图，只有一个圆形底面和一个曲侧面，是圆锥，第4个图的上、下两个底面是长方形，侧面是四个长方形，是长方体，第5个图，上、下两个底面是三角形，侧面是三个长方形，是三棱柱.
答案：球 圆柱 圆锥 长方体 三棱柱
【总结提升】常见几何体分类的三种方法
分类是数学中一种基本的思想方法，对几何体分类时，首先确定标准，分类的过程中标准要统一，且要不重不漏.
1.从形状方面，按柱、锥、球划分.
2.从面的方面，按组成面是平或曲划分.
3.从顶点方面，按有无顶点划分.
题组：常见的几何体
1.在六角螺母、哈密瓜、易拉罐、足球、字典中,物体的形状类似于棱柱的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选C.六角螺母、字典都有上、下两个底面，并且底面都是多边形，因此它们都类似于棱柱.故选C.
2.下列立体图形中，是多面体的是( )
【解析】选B.多面体是指由平面围成的立体图形.A选项只有一个曲面；B选项有6个面且都是平面，所以是多面体；C选项有3个面，一个曲面两个平面；D选项有2个面，一个曲面，一个平面.
3.下面图形是棱柱的是( )
【解析】选A.A项中的图形符合棱柱的概念，所以是棱柱;
B项中的图形上下两个底面不相等,所以不是棱柱;
C，D项中的图形只有一个底面,所以不是棱柱.
4.生活中有许多立体图形，如一个皮球可以看作_____体，一枝铅笔可以看作_______体，一节火车车厢可以看作_______体.
【解析】解决此类问题，要熟悉生活中的立体图形，清楚立体图形的特征.皮球可以看作球体，铅笔可以看作柱体，一节火车车厢可以看作长方体.
答案：球 柱 长方
5.如图,实物图是一些具体的图形——三棱镜、方砖、帆布帐篷、笔筒、铅锤、粮囤、东方明珠，下图中是一些立体图形，找出与立体图形类似的实物图形.
【解析】要准确判断出实物的几何体的形状，平时要多注意观察，也可用类似的实物作为参照.
答案：(a)3 (b)7 (c)4 (d)5 (e)2 (f)1 (g)6
6.如图所示的几何体中有几条线？其中有几条直线？几条曲线？它由几个面组成？其中有几个平面？几个曲面？
【解析】一共有9条线，其中有7条直线，2条曲线；它是由5个面组成的，其中有4个平面，1个曲面.
7.请你把相应的实物与图形用线连结起来.
答案：
8.用6根火柴棒(同样长的)搭成4个等边三角形，即每条边都等于一根火柴棒的长.动动脑筋怎样搭？你搭出的图形属于我们学习的哪一类几何体？
【解析】如图，搭出的应是一个三棱锥，属于几何体中的锥体.
【想一想错在哪？】填空：判断下列实物类似于哪一种几何体.
(1)数学课本是_________.
(2)粉笔是___________.
提示：长方体与长方形易混淆.主要是概念名称相近，长方体的面都是长方形；圆柱和圆台易混淆，两种形状相近.
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4.2 立体图形的视图
1.了解投影的概念，了解从不同方向看物体的意义.
2.会画并能识别一些基本立体图形及它们的简单组合体的三视图.(重点、难点)
3.会根据一个图形的三视图判断立体图形.(难点)
1.物体的三视图
(1)投影：投影分为_________和_________，光线可看作是从一
点发出的投影是_________；光线可看作是平行的投影是_________.
(2)视图：视图是一种特殊的_________，其投影方向为正面、
上面和侧面(左面或右面)三种.
中心投影
平行投影
中心投影
平行投影
平行投影
(3)物体的三视图：
通常将主视图、俯视图与左(或右)视图称为一个物体的三视
图，主视图是从_____得到的投影；俯视图是从_____得到的投
影；左视图是从_______得到的投影.
正面
上面
左侧面
2. 常见视图与物体之间的关系
(1)视图是正方形的物体可以是_______、圆柱体、长方体等.
(2)视图是三角形的物体可以是_______、圆锥等.
(3)视图是圆的物体可以是___、_____、圆锥等.
正方体
三棱锥
球
圆柱
(打“√”或“×”)
(1)长方体的三视图都是长方形. ( )
(2)一个立体图形的三视图是固定不变的. ( )
(3)不同物体的主视图可能是一样的. ( )
(4)正方体的三视图都是正方形. ( )
(5)圆锥的俯视图是一个圆. ( )
√
×
√
×
×
知识点 1 由立体图形到视图
【例1】画出如图所示的立体图形从正面、左面、上面看到的三视图.
【教你解题】
【总结提升】画三视图的“三点”注意事项
(1)长对正：从正面、上面观察，所得图形的长度相等.
(2)高平齐：从正面、侧面观察，所得图形的高度相等.
(3)宽相等：从侧面、上面观察，所得图形的宽度相等.
知识点 2 从三视图到立体图形
【例2】(2012·宁波中考)如图是某物体的三视图，则这个物体的形状是( )
A.四面体 B.直三棱柱
C.直四棱柱 D.直五棱柱
【思路点拨】根据三视图抽象出实物图，再进行判断.
【自主解答】选B.根据三视图的形状知，此物体的正面为直角三角形，从左面看到的图形为正方形，从上面看到的图形为长方形，故此物体为直三棱柱.
【总结提升】由三视图确定立体图形的方法
从主视图观察,确定物体的前面；
从俯视图观察,确定物体的上面；
从左(右)视图观察,确定物体的左(右)面.
题组一：由立体图形到视图
1.(2012·义乌中考)下列四个立体图形中，主视图为圆的是( )
【解析】选B.A项主视图是正方形；B项主视图是圆；C项主视图是三角形;D项主视图是长方形.
2.(2012·随州中考)下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选D.正方体的主视图、左视图都为一个正方形；球体的主视图、左视图都是一个圆；圆锥的主视图、左视图都是三角形；圆柱的主视图、左视图都是一个矩形.
3.(2012·烟台中考)如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是( )
【解析】选C.这个几何体的俯视图是从左到右3个小正方形组成的图形.
4.如图是六个棱长为1的小正方体组成的一个几何体，其俯视图的面积是________________.
【解析】根据画三视图的要求，俯视图是由
上向下投影所得的视图，容易知道该俯视图
如图所示，由五个小正方形构成，所以面积
为5.
答案：5
5.已知由四个大小相同的小正方体搭成的几何体如图所示，请画出该几何体的三视图.
【解析】从正面看有2列，左列有2个正方形，右列有1 个正方形；从左面看有2列，左列有2个正方形，右列有1 个正方形；从上面看也有2列，左列有1个正方形，右列有2 个正方形.如图所示：
题组二：从三视图到立体图形
1.(2012·广州中考)一个几何体
的三视图如图所示，则这个几何
体是( )
A.四棱锥 B.四棱柱
C.三棱锥 D.三棱柱
【解析】选D.由主视图和左视图可确定此几何体为柱体，由俯视图是三角形可得此几何体为三棱柱.
2.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是( )
A.圆柱 B.正方体
C.球 D.圆锥
【解析】选D.根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形及圆心可判断出这个几何体是圆锥.
【归纳整合】几何体与三视图的联系
已知一个立体图形，可以画出它的三视图，由三视图也可以画出几何体.先根据主视图和左视图可以确定几何体是柱体还是锥体，再依据俯视图确定是棱体还是圆体；两方面结合可以确定这个几何体.
3.(2012·宿迁中考)如图是一个用相同的小正方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.由三视图易得最底层有3个正方体，第二层有1个正方体，那么搭成这个几何体所用的小正方体的个数是4.
4.一个立体图形的三视图是三个圆，则这个图形是________.
【解析】球体的三视图都是圆，这个图形是球体.
答案：球体
5.若干桶方便面摆放在桌子上.如图是这些方便面的三视图，则这一堆方便面共有______桶.
【解析】由三视图可知，在俯视图中标出相应位置的方便面的桶数如图所示，
共有3+2+1=6桶.
答案：6
【想一想错在哪？】画出下列几何体的三视图.
提示:画三视图时，(1)中主视图和俯视图的长不相等，左视图与俯视图的宽不相等；(2)中左视图不能从右边看.
(共28张PPT)
4.3 立体图形的表面展开图
4.4 平 面 图 形
1.了解简单多面体的表面展开图，根据表面展开图判断立体图形.(重点)
2.理解同一立体图形(如正方体)按不同展开方式可得到不同的展开图.(重点、难点)
3.会将一个多边形分割成三角形.
1.圆柱的侧面展开图是_______，圆锥的侧面展开图是_____.
2.沿着多面体的一些棱将它剪开，可以把多面体展开成一个
_________，这个平面图形叫做多面体的表面展开图.
3.圆是由_____围成的封闭图形；由_____围成的_____图形叫多
边形，按组成多边形的边的条数，多边形可分为_______、___
_____、_______等，其中_______是最基本的图形.
长方形
扇形
平面图形
线段
封闭
三角形
四
边形
五边形
三角形
曲线
(打“√”或“×”)
(1)三棱锥的表面展开图只有一种. ( )
(2)由四条线段组成的图形是四边形. ( )
(3)所有的立体图形都能展成平面图形. ( )
(4)六边形最少能分成4个三角形. ( )
×
×
×
√
知识点 1 立体图形与平面图形的转化
【例1】如图是一个正方体的表面展开图，每个面上都标注了数字，请按要求回答问题：
(1)如果面1是几何体的上面，那么哪个面是几何体的下面？
(2)如果面3在前面，面4在左面，那么哪个面会在上面？
【思路点拨】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
【自主解答】把展开图折成正方体后，1与4相对，2与5相对，3与6相对.
因此，(1)如果面1是几何体的上面，那么面4是几何体的下面.
(2)如果面3在前面，面4在左面，那么面2在上面.
【总结提升】用“间隔法”确定正方体展开图中的相对面
1.在同一层中，中间相隔一个面的一定是相对面.
2.在不同层中，中间相隔两个面的一定是相对面.
知识点 2 多边形及其分割
【例2】如图，从一个顶点分割多边形，把下列四边形、五边形、六边形分割成若干个三角形，并且使得每个图形中所分割出的三角形都有一个共同的顶点.
【思路点拨】 以多边形的一个顶点为公共顶点，从该顶点作对角线，可将多边形分割为若干个三角形.
【自主解答】如图所示(答案不唯一)
【总结提升】从一个顶点分割n边形的情况
1.从n边形的一个顶点出发作对角线，可以作(n-3)条.
2.这些对角线将n边形分成(n-2)个三角形.
题组一：立体图形与平面图形的转化
1.(2012·黔南州中考)如图，将正方体的表面展开图重新折成正方体后，“祝”字对面的字是( )
A.中 B.考 C.成 D.功
【解析】选C.正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，原正方体中“你”与“考”、“中”与“功”、“祝”与“成”相对.
2.如图所示的平面图形中，不可能围成圆锥的是( )
【解析】选D.展开想象，把平面图形折叠成体，检查折叠成的立体图形是否为圆锥.
【归纳整合】圆柱、圆锥的表面展开图
圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个矩形组成的，圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的.
3.如图，下列图形中不可以折叠成正方体的是( )
【解析】选C.本题主要考查学生的动手能力和空间想象能力，通过动手操作，很容易发现A,B,D都能围成正方体，而C不可以.
【归纳整合】正方体的平面展开图，具体说有四类11种图形.
1.“一·四·一”型，中间一行4个作侧面，两边各1个分别作上下底面，共有6种.
如下图中的图①～⑥.
2.“二·三·一”(或“一·三·二”)型，中间3个作侧面，上(或下)边2个与中间那行相连的作底面，不相连的作另一侧面，共3种.
如下图中的图⑦～⑨.
3.“二·二·二”型，成阶梯状，如下图中的图⑩.
4.“三·三”型，两行只能有1个正方形相连，如下图中的
图?.
4.如图所示的平面图形折叠后围成的立体图形是_______.
【解析】熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键.三个长方形和两个三角形折叠后能围成直三棱柱.
答案：直三棱柱
5.若要使得图中的表面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为5，求x+y+z的值.
【解析】正方体的表面展开图，共有六个面，其中面“z”与面“3”相对，面“y”与面“-2”相对，“x”与面“10”相对.则z+3=5，y+(-2)=5，x+10=5，解得z=2，y=7，x=-5.故x+y+z=4.
题组二：多边形及其分割
1.从多边形的一个顶点出发，分别连结这个点与其余各个顶点，得到十个三角形，那么这个多边形的边数为( )
A.8 B.10 C.12 D.14
【解析】选C.从一个n边形的某个顶点出发，可以引(n-3)条对角线，把n边形分为(n-2)个三角形.
由题意可知，n-2=10，
解得n=12.所以这个多边形的边数为12.
2.把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )
A.六边形 B.五边形
C.四边形 D.三角形
【解析】选A.当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形.
3.把如图所示的多边形从图形内一点P分割成三角形,至少可以分割成______个.
【解析】如图
从点P出发,与顶点连结，此分割法分成三角形个数最少，为6个.
答案：6
4.如图所示，哪几个是多边形？
【解析】(1)和(4)都是多边形.(2)不是，因为它不是封闭图形.(3)不是，因为它的组成中有曲线.
5.下列图形,至少可以分割成多少个三角形?
【解析】图形(1)至少分割成两个三角形.如图所示.
图形(2)至少分割成三个三角形.如图所示.
图形(3)至少分割成三个三角形，如图，过每个顶点都可以将它分割成三个三角形.
图形(4)至少分割成四个三角形，如图所示.
【想一想错在哪？】画出两种正方体的表面展开图
提示:(1)中下面的两个正方形折叠后重复.
(2)中折叠后也有重复的正方形.
(共25张PPT)
4.5 最基本的图形——点和线
1.点和线
1.理解任何图形都是由点和线组成的.
2.掌握线段、射线、直线的定义及表示方法.(重点)
3.知道线段、射线、直线的区别与联系.(重点、难点)
4.理解和掌握线段的性质、直线的性质的两个基本事实，会应用解决实际问题.(重点、难点)
一、点和线的概念
1.点：点通常表示一个物体的_____，一般用一个_________表
示.
2.线段:一根拉紧的绳子，一根竹竿，人行横道线都给我们以
线段的形象.
3.射线:_____向_____无限延伸.
4.直线：_____向_____无限延伸所形成的图形.
位置
大写字母
线段
一方
线段
两方
二、直线、射线、线段的区别和联系
两个端点
一
AB
BA
a
CD
EF
l
名称 直线 射线 线段
图形及
表示
(1)线段用表示它的_________的字母或___个小写字母表示，记作线段___或线段___，线段__
(2)直线___或直线_
(3)射线___
一
两
反向
向两方
不可以
度量
不可以度量
可以度量
两点确
定一条
直线
两点之间,线段最短
名称 直线 射线 线段
区别与联系 端点 无端点 有___个端点 有___个端点
是否
可以
延伸 不可以
延伸 可以_____延伸 可以_______延伸
是否
可以
度量 _______
_____ ___________ _________
基本
事实 _______
_______
_____ _________________
(打“√”或“×”)
(1)线段有两个端点，射线有一个端点，直线没有端点. ( )
(2)直线AB长100 000米. ( )
(3)射线比直线短一半. ( )
(4)延长直线AB. ( )
(5)经过两个点只能画一条直线. ( )
√
×
×
×
√
知识点 1 直线、射线、线段的表示方法
【例1】如图所示，点A，B，C在直线m上，
(1)请写出图中所有的线段和直线的名称.
(2)请写出能用图中的字母表示的射线.
【思路点拨】先找出图中的线段、射线和直线,再用字母表示出来.
【自主解答】(1)共有三条线段,分别为线段AB，线段AC，线段BC.有一条直线，可表示为直线AB或直线AC或直线BC或直线m.
(2)以A为端点的射线为射线AB或射线AC.
以B为端点的射线为射线BA和射线BC.
以C为端点的射线为射线CB或射线CA.
【互动探究】用两个大写字母表示直线时，字母有没有先后顺序？射线呢?
提示：用两个大写字母表示直线时，字母没有先后顺序；而表示射线时，需将端点字母放在前面.
【总结提升】直线、射线、线段的表示方法
(1)直线的表示方法
①两个大写字母表示：任选直线上两点表示，无顺序要求，切记不可重复；②用一个小写字母表示，如直线m.
(2)射线的表示方法
只能用两个大写字母表示，端点字母在前，方向字母在后.
(3)线段的表示方法
①一个小写字母表示；②线段有两个端点，用两个大写字母表示时，无顺序要求.
知识点 2 线段和直线的性质的应用
【例2】如图，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A，B表示工厂，现要在靠近铁路处建立一个货站C，使C到A，B两厂的距离之和最小，问这个货站C应建立在何处?(请找出C点的位置并说明理由)
【思路点拨】依据“两点之间，线段最短”→连结AB→确定与铁路的交点，即为货站.
【自主解答】要使货站C到A,B两厂的距离之和最小，显然货站C在A,B的连线上，而货站必须在铁路上，因此货站C应是连结A和B两厂的线段与直线MN的交点.连结AB交直线MN于点C，则点C就是货站的位置，如图.
【总结提升】巧记直线的两个性质
(1)直线没有端点，向两方无限延伸，故没有长度.
(2)两点确定一条直线.
题组一：直线、射线、线段的表示方法
1.如图所示的各直线的表示中，正确的是( )
【解析】选B.直线有两种表示方法：①一个小写字母；②两个大写字母.
2.如图所示，能用图中的字母表示出来的线段、射线的条数分别为( )
A.3条，3条 B.6条，3条
C.6条，6条 D.6条，4条
【解析】选B.线段AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条，射线AB，BC，CD共3条.
【归纳整合】在一条直线上取n个点时共可得多少条线段？
每两个点就有一条线段，每取一个点为“线段其中一个端
点”，就有(n-1)个“另一个端点”.所以，就有n(n-1)条线段.
不过这里面，线段两个端点均重复，每条线段等于计算了两
次，需要减半，共有 条线段.
3.下列说法正确的是( )
A.延长射线OA到点B
B.线段AB为直线AB的一部分
C.射线AC在直线AB上
D.一条直线由两条射线组成
【解析】选B.A中射线向一方无限延伸，不能延长射线OA到B；B中直线AB是线段AB所在的直线；C中点C不一定在直线AB上；选项D中射线与其反向延长线才能组成一条直线，故选B.
4.图中的直线是______，射线有______条，线段有______条.
【解析】直线只有一条是直线BC；以B和C为端点的射线分别有两条，故共有4条射线;线段有三条：线段AB，线段BC，线段AC.
答案：直线BC 4 3
5.往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有______种不同的票价(来回票价一样)，需准备______种车票.
【解析】先求出线段条数，一条线段就是一种票价，车票是要考虑顺序的.此题相当于一条线段上还有3个点(不包括端点)，有多少种不同的票价即有多少条线段：4+3+2+1=10；有多少种车票是要考虑顺序的，则有10×2=20.
答案：10 20
题组二：线段和直线的性质的应用
1.下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【解析】选D.①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；③④现象可以用两点之间，线段最短来解释.
2.建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是( )
A.两点之间，线段最短
B.两点之间，直线最短
C.两点确定一条直线
D.三个点不能在同一直线上
【解析】选C.此做法的目的是让墙建得更直，应用的原理为:两点确定一条直线.
3.如图，已知从A地到B地共有五条路，
小红选择第______条路最近,用数学知
识解释是因为_____________.
【解析】从A到B，①②是曲线，④⑤
是折线，③是线段，“两点之间，线段最短”，故③最近.
答案：③ 两点之间,线段最短
4.如图，已知A，B，C，D四点.
(1)经过这四点最多能确定______
条线段.
(2)如果这四点是公园里湖面上桥
的支撑点，图中黑的实线表示桥面，从B地到C地有两座桥如图所示，若想在B,C之间铺设自来水管道，从节省材料的角度考虑，应选择图中①，②两条路中的哪一条，为什么？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪条路线？说说你的理由.
【解析】(1)根据过n个点最多可确定 条直线,
可得当n=4时, (条).
(2)根据两点之间线段最短可知②的长度短,①的长度长.所以从节省材料的角度考虑，应选择②，如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择①.
【想一想错在哪？】一条直线上有四个点，能组成几条线段？把它们都表示出来：
提示:点要用大写字母表示，而线段可以用两个端点的大写字母表示.
(共28张PPT)
2.线段的长短比较
1.掌握比较两条线段长短的方法.(重点)
2.学会使用尺规作图法作一条线段等于已知线段及线段的和、差.(重点)
3.掌握线段中点的概念、画法，并会用线段的中点进行简单的计算和推理.(难点)
1.比较两条线段AB,CD长短的方法
(1)_______：用刻度尺量出它们的长度比较.
(2)叠合法：
①将线段AB放到线段CD上，让点A与点C_____；
②若端点B与端点D重合，则线段AB_____线段CD，可以记作
______；若端点B落在线段CD内，则线段AB比线段CD___，可以
记作_______；若端点B落在线段CD外，则线段AB比线段
CD___，可以记作_______.
度量法
重合
等于
AB=CD
短
AB＜CD
长
AB＞CD
2.线段的中点
把一条线段分成两条_____线段的点，叫做这条线段的中点.
点C为线段AB的中点，表示为：
AC=BC=__AB,AB=__AC=__BC.
相等
2
2
(打“√”或“×”)
(1)比较两条线段a与b的长度可以用叠合法，如果两条线段叠
合在一起，线段a的一个端点落在另一条线段b内，则说明a＜b.
( )
(2)度量法比较两条线段的长度是有误差的. ( )
(3)若AC=BC，则C是AB的中点. ( )
(4)在线段AB上， AC=BC，则C是AB的中点.( )
(5)若C是AB的中点，则 ( )
×
√
×
√
√
知识点 1 比较线段的长短
【例1】如图所示，(1)试用度量法比较图①中线段AB，BC，AC的长短.
(2)用圆规比较图②中线段AE，DE的长短.
【思路点拨】(1)用度量法比较图①中三条线段的长度→用刻度尺测量各线段的长度→比较线段的大小.
(2)用叠合法比较图②中两条线段的长短→用圆规截取AE的长度→与ED重叠→比较线段的大小.
【自主解答】(1)用直尺测量图①中的线段可得AB＜BC＜AC.
(2)以E为圆心，AE的长为半径作弧，与线段DE有交点，故知线段AE的长度小于线段DE的长度，即AE＜DE.
【总结提升】比较线段大小的两点注意
1.线段是一个几何图形，而线段的长度是一个正数，二者是有区别的，不能混淆.
2.线段的大小关系与其长度的大小关系是一致的.
知识点 2 线段的有关计算
【例2】已知，线段AB=8 cm，AB的中点是C,BC的中点是D，AD的中点是E.求AE的长.
【教你解题】
【总结提升】求线段的长
求线段的长度常与线段的中点联系，解决此类题，通常要画出正确的图形，分析题目中所给的已知条件，利用线段之间的关系和线段的中点的概念求出线段的长度.
题组一：比较线段的长短
1.下列说法正确的个数为( )
①线段的长短比较可以由刻度尺测量；②线段的长短比较也可以把两条线段放在同一条直线上，把一端点重合，再比较另一端点的位置；③线段的长实质是两点间的距离；④连结两点的所有线中，线段最短.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选D.线段的长短比较有两种方法：一是度量法，二是叠合法；故①②正确.线段的长实质是连结两点的线段的长度；两点之间，线段最短.①②③④均正确.故选D.
2.下面给出的四条线段中，最长的是( )
A.a B.b C.c D.d
【解析】选D.本题可通过观察、比较图形直接得出结果.通过观察比较：线段d长度最长.
3.根据图形，比较两条线段长度的大小.
(1) 线段OA与OB.
答：_________________________.
(2) 线段AB与AD.
答：_________________________.
【解析】由叠合法得OB>OA；由度量法或圆规截取法得AD>AB.
答案：(1)OB>OA (2)AD>AB
4.如图所示，利用圆规比较图中线段的长短，并用“>”“=”
“<”填空.
(1)AB ______ AC.
(2)AD ______ AC.
(3)AF ______ AC.
(4)AE ______ BC.
(5)BC ______ AB.
【解析】利用圆规比较AB与AC时，圆规的一支点与A重合，另一支点与C重合，则两张角之间的长度就是AC的长度，保持这个张角，把圆规放在线段AB上，使一支点与A重合，另一支点落在线段AB之间，故AB＞AC.用同样的方法可以比较其他几对线段.
答案：(1)＞ (2)= (3)＜ (4)＜ (5)=
5.已知线段a,b，求作线段AB＝3a－b.
【解析】如图：(1)画射线AM.
(2)在射线AM上截取AC，使AC＝3a.
(3)在线段AC上截取BC，使BC＝b；则线段AB即为所求.
题组二：线段的有关计算
1.点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是
( )
A.AC=BC B.AC+BC=AB
C.AB=2AC D.
【解析】选B.根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案. A项、C项、D项都可以确定点C是线段AB的中点.
2.如图所示，点B，C在线段AD上，则
AC=_____+BC=_____-_____,AC+CD-BD=_____.
【解析】AC=AB+BC=AD-CD，
AC+CD-BD=AD-BD=AB.
答案：AB AD CD AB
3.数轴上的点A，B分别表示数-2和1，点C是AB的中点，则点C所表示的数是______.
【解析】根据题意，正确画出图形，
点A，B分别表示数-2和1时，则线段AB的长度是3，又因为C是AB的中点，结合图形，得点C所表示的数是-0.5.
答案：-0.5
4.画图计算：在射线OM上截取OA＝2 cm，AB＝4 cm，画OB的中点D，求BD的长.
【解析】如图所示:
因为OB=OA+AB=2+4=6(cm),
又因为D为OB的中点，所以
5.如图所示，点C,D为线段AB的三等分点(即分成相等的三等份)，点E为线段AC的中点，若ED=9，求线段AB的长度.
【解析】因为C,D为线段AB的三等分点，
所以AC=CD=DB.
又因为点E为AC的中点，则
所以CD+EC=DB+AE.
因为ED=EC+CD=9,
所以DB+AE=EC+CD=ED=9，
则AB=2ED=18.
【变式训练】已知点A,B,C是同一条直线上的三个点，如果AC=7 cm,BC=3 cm,求线段AC和BC的中点间的距离.
【解析】设AC,BC的中点分别为M,N，则根据线段的中点的定义得：
当点B在线段AC上时，如图(1).
因为AC=7 cm,BC=3 cm,
所以
当点B在线段AC的延长线上时，如图(2).
因为AC=7 cm,BC=3 cm,
所以
如图(3)，当点B在线段AC的反向延长线上时
因为AC=7 cm,BC=3 cm,而由上图知AC所以点B不可能在线段AC的反向延长线上.
综上所述,线段AC和BC的中点间距离为2 cm或5 cm.
答：线段AC和BC的中点间距离为2 cm或5 cm.
【想一想错在哪？】已知线段AB=8 cm，在直线AB上有一点C，且BC=4 cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长.
提示：由题目中的条件不能确定是哪一种位置关系，要对所有可能的位置关系进行考虑.本题只求出了一种情况的结论而遗漏了另一种情况.
(共26张PPT)
4.6 角
1.角
1.了解角的相关概念，掌握角的表示方法.(重点)
2.会进行度、分、秒的简单换算和角度的计算.(重点)
3.理解平角、周角、方位角的概念，并掌握方位角的识别和应用.(重点、难点)
一、角的概念及表示方法
1.概念
(1)几何描述：由_____________________组成的图形叫做角.
两条射线的公共端点是这个角的_____.
(2)动态描述：角也可以看成是由_________绕着它的_____旋
转而成的图形.
两条有公共端点的射线
顶点
一条射线
端点
(3)平角：当射线旋转到终边与始边成_________时，所成的角
叫做平角.
(4)周角：当射线旋转到终边与始边_________时，所成的角叫
做周角.
一条直线
再次重合
2.角的表示方法
∠AOB或∠BOA
∠O
∠1
∠α
表示方法 图 例 记 法
用三个大写
字母表示 _____________
用一个大写
字母表示 ____
用数字表示 ____
用希腊字母表示 _____
3.角的大小的描述
角的大小与边的长短没有关系，与两条射线张开的程度有关.
单位与时间的单位类似，为度、分、秒，是_____进制的.
1°=_____，1′=_____.
二、方位角
物体运动的方向与_____方向之间的夹角称为_______，有时以
_____、_____方向为基准，描述物体运动的方向.
六十
60′
60″
正北
方位角
正北
正南
(打“√”或“×”)
(1)角是由一条射线绕其端点旋转而成的.( )
(2)角的度数越大，它的边越长.( )
(3)由两条射线组成的图形叫做角.( )
(4)平角就是一条直线.( )
(5)周角就是一条射线.( )
√
×
×
×
×
知识点 1 角的表示
【例1】写出如图所示的符合下列条件的角(图中所有的角指小于平角的角).
(1)能用一个大写字母表示的角.
(2)以A为顶点的角.
(3)图中所有的角(可用简便方法表示).
【思路点拨】图中有两顶点处只有一个角，它们是顶点B和顶点C；而顶点A处有三个角；图中小于平角的角有7个.
【自主解答】(1)能用一个大写字母表示的角有∠B和∠C.
(2)以A为顶点的角有∠1或∠CAD、∠2或∠BAD、∠CAB.
(3)图中所有的角有∠1，∠2，∠CAB，∠B，∠C，∠3，∠4.
【总结提升】角的表示方法的三点注意
1.用三个字母表示角时，顶点字母必须写在中间.
2.用一个字母表示角时，顶点处必须只有一个角.
3.用数字或希腊字母表示角时，必须在相应角的内部加弧线及数字或希腊字母.
知识点 2 度、分、秒之间的换算
【例2】填空：(1)4.62°=_____°_____′_____″.
(2)45°23′45″=_____°.
【教你解题】
【总结提升】度、分、秒相互换算的法则
1.度、分、秒的换算是六十进制.
2.角的度数的换算有两种情况：
(1)把度化成度、分、秒的形式，即从高单位向低单位转化，相邻两个单位之间应该乘以60.
(2)把度、分、秒化成度的形式，即从低单位向高单位转化，相邻两个单位之间应该除以60.
题组一：角的表示
1.下图中表示∠ABC的是( )
【解析】选C.选项B不是角，用三个大写字母表示角时，中间的字母表示角的顶点.
2.射线OA和射线OB是一个角的两边，这个角可记为( )
A.∠AOB B.∠BAO
C.∠OBA D.∠OAB
【解析】选A.由题意知，这个角的顶点是点O，两边分别是OA，OB，可记为∠AOB.
3.在下列说法中，正确的是( )
①两条射线组成的图形叫做角；②角的大小与边的长短无关；③角的两边可以一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线.
A.①② B.②④ C.②③ D.③④
【解析】选B.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故①错误.角的大小与边的长短无关，故②正确.角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说长或短，故③错误.角的两边是两条射线，故④正确.
4.如图所示，角的顶点是______，边是______，用三种不同的方法表示该角：______，______，______.
【解析】顶点是点C，两边是CA，CB，这个角可以表示为∠ACB或∠C或∠α.
答案：点C CA,CB ∠ACB ∠C ∠α
5.如图，请指出OA是表示什么方向的一条射线？依照这条射线画出表示下列方向的射线：
(1)南偏东20°，(2)北偏西50°，(3)东南方向(即南偏东45°).
【解析】OA 方向可表示为南偏东65°.(1)(2)(3)如图所示，OB表示南偏东20°，OC表示北偏西50°,OD表示东南方向.
题组二：度、分、秒之间的换算
1.把8.32°用度、分、秒表示正确的是( )
A.8°3′2″ B.8°30′2″
C.8°19′20″ D.8°19′12″
【解析】选D.根据角的换算可得8.32°=8°+0.32×60′
=8°+19.2′=8°+19′+0.2×60″=8°19′12″.
2.40°15′的一半是( )
A.20° B.20°7′ C.20°8′ D.20°7′30″
【解析】选D.
0.5′=0.5×60″=30″.
所以40°15′的一半是20°7′30″.
3.在时刻为8：30时，钟表上的时针和分针之间的夹角为______度.
【解析】钟表一周可视为360度，被分成12个大格，每格对应30度.8:30时,时针与分针夹角恰为2.5个格.
故30°×2.5=75°.
答案：75
4.72.3°=______°______′,37°54′=______°.
【解析】因为0.3°=0.3×60′=18′，所以72.3°=72°18′;
又因为 所以37°54′=37.9°.
答案：72 18 37.9
5.计算：180°-(67°31′25″+48°49′50″).
【解析】原式＝180°-115°80′75″
=180°-116°21′15″
=179°59′60″-116°21′15″
=63°38′45″.
【归纳整合】角的单位度、分、秒，它们之间的进率是六十进制的，计算时，各单位分别运算，每超过60秒向上进为1分，每超过60分向上进为1度；反过来借1度当60分，借1分当60秒.
【想一想错在哪？】写出图中所有小于平角的角
提示：以C为顶点的角有两个，它们不能直接用一个顶点字母表示，只能用三个字母表示，顶点字母放在中间.
(共30张PPT)
2.角的比较和运算
1.会比较角的大小，会计算角的和、差.(重点)
2.能用尺规画一个角等于已知角.(重点)
3.掌握角平分线的定义，会应用角平分线进行计算和推理.(重点、难点)
一、比较两个角的大小的方法
1.度量法：用_______分别量出角的度数，然后比较它们的大
小.
2.叠合法：把两个角叠合在一起比较大小.顶点与顶点重合，
其中一边重合，另一边在重合边的___侧.
量角器
同
二、表示角的和、差关系
如图：写出图中所有的角，并且表示出它们的和差关系.
图中共有三个角：∠AOB，∠BOC和
∠AOC.
它们之间的和差关系为：
和∠AOC=____________，
差∠AOB=∠AOC-______，
∠BOC =∠AOC-______.
∠AOB+∠BOC
∠BOC
∠AOB
三、角的平分线
1.定义：从一个角的_____引出的一条射线，把这个角分成两
个_____的角，这条射线叫做这个角的平分线.
2.符号表示
如图，OC是∠AOB的平分线，
则∠AOC=∠COB=__∠AOB，
∠AOB=__∠AOC=__∠COB.
顶点
相等
2
2
四、画一个角等于已知角
已知：如图∠AOB.
求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB.
第一步:画射线O′A′；
第二步:以点__为圆心,以_______为半径画弧,交___于点C,交
OB于点D；
O
适当长
OA
第三步:以点____为圆心,以___长为半径画弧,交_______于点
C′；
第四步:以点____为圆心,以___长为半径画弧，交前一条弧于
点D′；
第五步:经过点D′画射线O′B′,∠A′O′B′就是所要画的角.
O′
OC
O′A′
C′
CD
(打“√”或“×”)
(1)两个锐角的和一定是锐角.( )
(2)如果两个角都是钝角，那么这两个角相等.( )
(3)平分一个角的射线叫做角的平分线.( )
(4)小于直角的角是锐角.( )
(5)大于直角的角是钝角.( )
×
×
×
√
×
知识点 1 角的比较
【例1】如图所示，∠AOF是一个平角，
∠AOM是一个直角.根据图示，比较∠AOB，
∠AOC，∠AOM，∠AOD，∠AOE，∠AOF的
大小，并找出图中的两个锐角、两个钝角.
【解题探究】1.比较两个角的大小，有几种方法？本题中比较角的大小应选择哪一种？
提示：比较两个角的大小，有度量法、叠合法两种方法；本题要比较的角有一个共同的边，可以选择叠合法比较它们的大小.
2.怎样比较本题中角的大小？
提示：由图可知这些角有一个公共的边OA，而OB在∠AOC的内部，OC在∠AOM 的内部，OM在∠AOD的内部，OD在∠AOE 的内部，OE在∠AOF的内部.
所以∠AOB＜∠AOC＜∠AOM＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOF.
3.什么样的角叫锐角？什么样的角叫钝角？本题中有哪些角是锐角，有哪些角是钝角？
提示：小于直角的角叫做锐角，大于直角且小于平角的角叫做钝角.而∠AOM为直角，∠AOF为平角，所以∠AOB，∠AOC是锐角，∠AOD，∠AOE是钝角.
【总结提升】用叠合法比较角的大小的三种情况
(1)如果EF与BC重合，那么两个角相等.
如图1，记作∠DEF=∠ABC.
(2)如果EF落在∠ABC的内部，那么∠DEF小于∠ABC，如图2，记作∠DEF＜∠ABC.
(3)如果EF落在∠ABC的外部，那么∠DEF大于∠ABC.如图3，记作∠DEF＞∠ABC.
知识点 2 角的平分线及相关计算
【例2】如图所示，已知OC是∠AOB的平分线，OE是∠BOD的平分线，如果∠AOB=40°,∠BOD是直角，那么∠COE是多少度？
【教你解题】
【总结提升】角的平分线应用的三种形式
角的平分线的定义在使用中根据解题的需要，(1)可以写作两角相等的形式，(2)可以写作一个角是另一个角的2倍的形式，(3)可以写作一个角是另一个角一半的形式.
题组一：角的比较
1.(2012·滨州中考)借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
【解析】选B.分清一副三角尺各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案. 75°角，用45°和30°的组合即可.
【归纳整合】一副三角尺的角有30°，45°，60°，90°四个角度，用它们的和或差可以画出下列度数的角：15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°，180°.它们都是15°的倍数.
2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，那么有( )
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC>∠BOC
C.∠AOC>∠AOB D.∠AOB>∠AOC
【解析】选D.射线OC在∠AOB的内部，那么∠AOC在∠AOB的内部，且有一公共边OA，所以存在∠AOB＞∠AOC.
3.比较大小：32.5°______ 32°5′(填“＞”“=”或“＜”).
【解析】因为32.5°=32°30′，而32°30′＞32°5′，
所以32.5°＞32°5′.
答案：＞
4.如图,∠ABC是平角,过点B任作一条射线BD,将∠ABC分成∠DBA与∠DBC.
(1)当∠DBA是______角时, ∠DBA<∠DBC;
(2)当∠DBA是______角时,∠DBA>∠DBC;
(3)当∠DBA是______角时, ∠DBA=∠DBC.
【解析】当∠DBA是锐角时，∠DBC是钝角，则∠DBA<∠DBC；当∠DBA是钝角时，∠DBC是锐角，则∠DBA＞∠DBC；当∠DBA是直角时,∠DBC是直角，则∠DBA=∠DBC.
答案：(1)锐 (2)钝 (3)直
5.把一副三角尺如图所示拼在一起.
(1)写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数.
(2)用“＜”将上述各角连结起来.
【解析】(1)∠A=30°，∠B=90°，∠BCD=150°，∠D=45°，∠AED=135°.
(2)∠A＜∠D＜∠B＜∠AED＜∠BCD.
题组二：角的平分线及相关计算
1.如图所示,OC是∠AOB的平分线,则下列结论中正确的个数有
( )
(1)∠AOC=∠BOC;
(2)∠AOB=2∠AOC=2∠BOC;
(3)
(4)∠AOB=∠AOC+∠BOC ；
(5)∠BOC=∠AOB-∠AOC.
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【解析】选A.因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝∠BOC=
∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.当OC在∠AOB内部时，∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠BOC=∠AOB-∠AOC就一定成立.故选A.
2.如图，∠AOB=130°，射线OC是∠AOB内部任意一条射线，
射线OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，下列叙述正确的
是( )
A.∠DOE的度数不能确定
B.∠AOD+∠BOE=∠EOC+∠COD=
∠DOE=65°
C.∠BOE=2∠COD
D.
【解析】选B.因为射线OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，所以∠AOD=∠COD，∠EOC=∠BOE，
又因为∠BOE+∠EOC+∠COD+∠AOD=∠AOB=130°，
所以
3.如图，OC平分∠AOB，若∠AOC=25°，则∠AOB=_____度.
【解析】因为∠AOC=25°，OC平分∠AOB，
所以∠AOB=2∠AOC=50°.
答案：50
4.如图所示，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD=30°，则∠AOC=______度.
【解析】因为∠BOD=30°，
所以∠AOD=180°-∠BOD=180°-30°=150°，
因为OC平分∠AOD，
所以
答案：75
5.如图所示，∠AOB=90°，OE是∠AOB的
平分线，OD是∠BOC的平分线，若
∠EOD＝60°，求∠BOC的度数.
【解析】因为OE平分∠AOB，且
∠AOB=90°，所以 又因为∠BOD＋∠BOE＝∠DOE＝60°，所以∠BOD＝15°.又因为OD平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠BOD＝30°.
【想一想错在哪？】已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，求∠MON的度数.
提示：本题应分两种情况讨论，一是∠BOC在∠AOB的内部，二是∠BOC在∠AOB的外部.
(共22张PPT)
3.余角和补角
1.了解余角和补角的定义和性质.(重点)
2.通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.(难点)
一、互余和互补的概念
1.互余：如果两个角的和等于_____(_____)，就说这两个角互
为余角(简称互余)，即其中一个角是另一个角的余角.
2.互补：如果两个角的和等于______(_____)，就说这两个角
互为补角(简称互补)，即其中一个角是另一个角的补角.
90°
直角
180°
平角
二、余角和补角的性质
如图：已知∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，则∠2与∠4有什么关系？
因为∠1与∠2互补，所以∠2= ______-∠1，
∠3与∠4互补，所以∠4= ______-∠3，
而∠1=∠3，所以∠2__∠4.
同理可得，∠2和∠4的余角也相等.
180°
180°
=
【总结】(1)等角的补角_____.
(2)等角的余角_____.
相等
相等
(打“√”或“×”)
(1)30°，70°与80°的和是一个平角，所以这三个角互补.
( )
(2)一个角的余角必为锐角.( )
(3)一个角的补角必为钝角.( )
(4)90°的角是余角.( )
(5)两角是否互补，既与其大小有关又与其位置有关.( )
×
√
×
×
×
知识点 余角和补角
【例】已知一个角的补角与这个角的余角的和为150°，求这个角的度数.
【思路点拨】设出这个角→表示出它的余角和补角→列出等式→求出这个角的度数.
【自主解答】设这个角为x°，
则它的余角为(90-x)°，它的补角为(180-x)°，
根据题意，得(180-x)+(90-x)=150，
解得x=60，
即这个角的度数为60°.
【总结提升】余角、补角的理解
1.余角、补角是指两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称为余角、补角.
2.互余或互补是特指两个角的数量关系，并且只与它们的和有关，与位置无关.
题组：余角和补角
1.已知∠α=35°，则∠α的余角是( )
A.35° B.55° C.65° D.145°
【解析】选B.由互为余角的两个角的和为90°，可得∠α的余角为90°-35°=55°.
2.下列图形中，∠1和∠2互为余角的是( )
【解析】选D.由题意知，选项A中∠1与∠2既不互补也不互余，选项B中∠1和∠2互补，选项C中∠1和∠2相等，选项D中∠1和∠2互余.
3.(2012·南通中考)已知∠a=32°，则∠a的补角为( )
A.58° B.68° C.148° D.168°
【解析】选C.根据互为补角的两角的和等于180°，
因为∠a=32°，所以∠a的补角为180°-32°=148°.
4.(2012·长沙中考)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )
【解析】选D.70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，
结合各选项，只有D选项是钝角，所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角.
5.如图，∠AOB，∠COD都是直角，那么
∠DOB与∠AOC的大小关系是∠DOB______
∠AOC.
【解析】由题意得∠AOB，∠COD都是直角，
所以∠AOC+∠AOD=∠AOD+∠DOB=90°，
根据同角的余角相等，
所以∠DOB=∠AOC.
答案：=
6.如图,O是直线AB上的点，OC是∠AOB的
平分线，
(1)∠AOD的补角是______，余角是______.
(2)∠DOB的补角是______.
【解析】因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC=∠BOC=90°，所以∠AOD的补角是∠BOD，余角是∠COD，∠DOB的补角是∠AOD.
答案：(1)∠BOD ∠COD (2)∠AOD
7.一个角的余角和它的补角之比是3∶7，求这个角的度数.
【解析】设余角为3x°,补角为7x°,
由题意得7x-3x=90,4x=90,x=22.5.
所以这个角为90°-3x°=90°-67.5°=22.5°.
答：这个角的度数为22.5°.
8.已知一个角的余角比这个角的补角的 小12°，求这个角的
余角和补角的度数.
【解析】设这个角为x°，则它的余角为(90-x)°，补角为
(180-x)°，
根据题意，得
解得x=24.所以90-x=66,180-x=156，
即这个角的余角和补角的度数分别为66°，156°.
9.如图，点O在直线AB上，OC是一条射线，∠AOC=2∠AOF，∠BOC=2∠BOE.
(1)∠1与∠2互余吗？
(2)指出图中所有互余和互补的角.
【解析】(1)互余.因为∠AOC=2∠AOF,∠BOC=2∠BOE,所以
所以
所以∠1与∠2互余.
(2)互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与∠AOF；∠BOE与∠AOF.
互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE；∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
【想一想错在哪？】如图，O是直线AB上一点，OC为任一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.
(1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角.
(2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
提示：(1)本题找补角不全，互补的两个角与位置没有关系，不能只考虑图形中相邻的两个角互补的情况，还应该考虑和是180°的两个不相邻角也互补.(2)补角的性质是等角的补角相等，应用条件时要考虑已知的两个角是不是相等.
(共47张PPT)
阶段专题复习
第4章
请写出框图中数字处的内容：
①___________________；②_________________；
③_______________；④___________；⑤___________；
⑥_______________；⑦_________________________________
_______________________；
⑧_______________________________________________；
⑨_______________________；
⑩________________________________________________；
?_______________________.
两点之间，线段最短
两点确定一条直线
度量法和叠合法
AB=2AC=2BC
度、分、秒
度量法和叠合法
两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角
同角(或等角)的余角相等
两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角
同角(或等角)的补角相等
从一个角的顶点引出的一条射线，把
这个角分成两个相等的角
考点 1 立体图形及其表面展开图
【知识点睛】
立体图形的分类及辨别方法：
1.基本的立体图形有柱体、锥体、球体.
2.根据立体图形表面形状的不同，柱体可分为圆柱、棱柱，锥体可分为圆锥、棱锥.其中棱柱和棱锥各面都是平面，也叫多面体.
3.棱柱和棱锥的命名方法：
(1)可以根据底面的边数，底面是n边形，几何体为n棱柱或n棱锥.
(2)可以根据侧面的棱数，如果有n条，几何体为n棱柱或n棱锥.
(3)可以根据侧面的面数，如果有n个侧面，几何体为n棱柱或n棱锥.
4.这部分内容主要考查学生的空间想象能力，数学概念的形成及立体图形与表面展开图的关系.
【例1】(2012·天门中考)将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是( )
【思路点拨】将正方体展开图的各个面注明数字，再确定每个数字所对应位置图形的形状，选出答案.
【自主解答】选C.
正方体的展开图为
由对应位置知，1为前侧面，2为右侧面，5为左侧面，6为上底面，3为下底面，4为后侧面.
【中考集训】
1.(2012·枣庄中考)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是( )
A.我 B.爱 C.枣 D.庄
【解析】选C.若以“美”所在的正方形作下底面，则“爱”、“我”、“丽”、“枣”、“庄”所在的正方形分别作左侧面、后侧面、右侧面、上底面和前侧面，故与“美”相对是“枣”.
2.(2012·齐齐哈尔中考)小亮为今年参加中考的好友小杰制作
了一个正方体礼品盒(如图)，六个面上各有一个字，连起来就
是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的
对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )
【解析】选C.根据“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，得到“祝”的对面是“考”，再根据位于同一行(或同一列)，中间隔一个面的两个面一定是相对面，验证各选项，只有C项满足.
3.(2011·南京中考)如图是一个三棱柱，下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是( )
【解析】选B.A.折叠后有二个侧面重合，不能得到三棱柱；
B.折叠后可得到三棱柱；
C.折叠后有二个底面重合，不能得到三棱柱；
D.多了一个底面，不能得到三棱柱.
4.(2012·江西中考)一个正方体有________个面.
【解析】正方体有6个面.
答案：6
考点 2 立体图形的视图
【知识点睛】
1.视图就是物体从不同方向的一个正投影，也可以看作从某个方向观察物体得到的平面图形.
2.立体图形的三视图，是从三个不同的方向观察得到的正投影：
(1)从正面观察立体图形，得到的平面图形是主视图.
(2)从左面观察立体图形，得到的平面图形是左视图.
(3)从上面观察立体图形，得到的平面图形是俯视图.
3.每一个立体图形的三视图是唯一的，所以根据立体图形的三视图可以描述出它的立体图形.
【例2】(2012·温州中考)我国古代数学家利用“牟合方盖”
(如图甲)找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是( )
【思路点拨】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形.
【自主解答】选B.圆柱的主视图是长方形，得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个长方形，右边上方一个长方形，右边下方一个正方形.
【中考集训】
1.(2012·聊城中考)用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是( )
【解析】选C.从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线.
2.(2012·威海中考)如图所示的机器零件的左视图是( )
【解析】选D.由图可得零件的左视图是长方形，再由看不见的线用虚线表示，可知选D.
3.(2012·郴州中考)如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )
【解析】选A.从上面看，可看到四个小正方形排成两行，上一行并列三个，下一行位于左侧一个，故选A.
4.(2012·济宁中考)如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A.3个或4个 B.4个或5个
C.5个或6个 D.6个或7个
【解析】选B.本题考查几何体三视图还原实物的能力，比较简单.此题可动手操作，可形象思维.由主视图看底层2个正方体，第2层1个正方体.左视图看底层2个，第2层1个，则小正方体最少为4个，最多为5个.
考点 3 直线、射线、线段
【知识点睛】
1.区别和联系：端点个数不同，直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；延伸方向不同，直线向两方延伸，射线向一个方向延伸，线段无延伸；三者都可以用两个点的大写字母表示，但也有不同，直线是用任意两个字母表示，没有先后顺序，射线是用一个端点字母和任一点字母表示，端点字母在前，线段只能用两端点字母，没有先后顺序；线段可以度量，直线和射线不可度量.
2.两个性质、一个中点
(1)直线的性质：两点确定一条直线.
(2)线段的性质：两点之间，线段最短.
(3)线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点.线段的中点是线段在有关计算题中的重要条件.
【例3】(2012·葫芦岛中考)如图，C是线段AB上的一点，点M
是线段AC的中点，若AB＝8 cm，BC＝2 cm，则MC的长是( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
【思路点拨】结合图形解题直观形象，从图中很容易能看出各
线段之间的关系.利用中点性质转化线段之间的倍数关系是解
题的关键.由已知条件可知，AC=AB-BC,又因为点M是AC的中点,
则MC=AM,故MC= AC.
【自主解答】选B.由图可知AC＝AB-BC＝8-2＝6(cm).
因为点M是AC的中点，
所以MC＝ AC＝3 cm.
【中考集训】
1.(2010·宁洱中考)如图，C，D是线段AB上两点，若CB=4 cm，DB=7 cm，且D是AC的中点，则AC的长等于( )
A.3 cm B.6 cm C.11 cm D.14 cm
【解析】选B.因为D是AC的中点，
所以AC=2DC，
因为CB=4 cm，DB=7 cm，
所以CD=DB-CB=3 cm，
所以AC=6 cm.
2.(2012·永州中考)永州境内的潇水河畔有朝阳岩，柳子庙和
迥龙塔三个名胜古迹(如图所示)，其中柳子庙坐落在潇水之西
的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之
一的柳宗元而筑建.现有三位游客分别参观这三个景点，为了
使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和
最短，那么旅游车等候这三位游客的最佳地点应在( )
A.朝阳岩
B.柳子庙
C.迥龙塔
D.朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置
【解析】选B.用特殊值法.
设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，柳子庙距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离朝阳岩的路程为13.
A.当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18，
B.当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13，
C.当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13+8=21，
D.当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13，所以路程最短的是旅游车停在柳子庙时.
3.(2012·常德中考)若图1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图2，再将图2中的每一段类似变形，得到图3，按上述方法继续下去得到图4，则图4中的折线的总长度为( )
【解析】选D.第一个线段长=1，
观察发现：第二个图形在第一个图形的长的基础上多了它的长
的
同样，第三个图形在第二个图形的基础上，多了其长的 第
四个图形在第三个图形的基础上，多了其长的
所以第二个图形的折线的总长度为 第三个图形的
折线的总长度为 第四个图形的折线的总长度为
4.(2012·随州中考)平面内不同的两点确定一条直线，不同的
三点最多确定三条直线.若平面内不同的n个点最多可确定15条
直线，则n的值为_________.
【解析】因为平面内不同的两点确定1条直线，
即 平面内不同的三点最多确定3条直线，
即 平面内不同的四点最多确定6条直线，
即 ∴平面内不同的n个点最多确定 条直
线.将直线条数15代入式子可求得n=6.
答案：6
【归纳整合】一条直线上n(n＞1)个点得到线段的条数：
当直线上有2个点时，组成1条线段；
当直线上有3个点时，组成3条线段；
当直线上有4个点时，组成6条线段；
当直线上有5个点时，组成10条线段；
所以当直线上有n个点时组成 条线段.
考点 4 角的有关计算
【知识点睛】
解决角的有关计算问题需要注意的两点
1.正确理解余角、补角、角的平分线的概念是解题的关键.
2.注意运用方程思想：在角的计算问题中，用方程来解决可更容易理清角之间的关系.
【例4】 (2012·北京中考)如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于( )
A.38° B.104° C.142° D.144°
【思路点拨】先根据平角的定义求出∠BOC的度数，再由OM平分∠AOC求出∠COM的度数.即可求出∠BOM的度数.
【自主解答】选C.
∠BOC＝180°-∠BOD＝180°-76°＝104°，
又∠COM＝ ∠AOC＝ ∠BOD＝ ×76°＝38°，
所以∠BOM＝∠BOC＋∠COM＝104°＋38°＝142°.
【中考集训】
1.(2012·邵阳中考)如图所示，已知点O是直线AB上一点，∠1=70°，则∠2的度数是( )
A.20° B.70° C.110° D.130°
【解析】选C.因为∠1+∠2=180°，∠1=70°，所以∠2=
180°-∠1=180°-70°=110°.
2.(2012·通辽中考)4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为( )
A.55° B.65°
C.70° D.以上结论都不对
【解析】选B.因为时针和分针每分钟分别旋转0.5°，6°，
所以把零点时的表针所在位置作为起始位置时，则分针与时针的夹角为(30°×4＋0.5°×10)-6°×10＝65°.
【拓展延伸】计算时针分针的夹角
我们可以把钟表的表面看作一个周角，则钟表上的每一大格对应30°，故时针一分钟转30°÷60=0.5°；同理分针每5分钟转一大格，即分针一分钟转30°÷5=6°.所以时针a分钟转a× 0.5°，分针a分钟转a×6°. 我们考虑，若时钟指示为m点n分时，时针与分针的夹角问题.分为两类：
(1)时针在分针前，则夹角=(60m+n)× 0.5°-n×6°；
例：7点20分时，夹角=(60×7+20)× 0.5°-20×6°=100°. (2)分针在时针前，则夹角= n×6°-(60m+n)×0.5°；
例：5点33分时，夹角= 33×6°-(60×5+33)×0.5°=31.5°.
3.(2012·广州中考)已知∠ABC＝30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD＝____________.
【解析】因为BD是∠ABC的平分线，所以∠ABD＝ ∠ABC，而∠ABC＝30°，所以∠ABD＝15°.
答案：15°
4.(2012·厦门中考)已知∠A＝40°，则∠A的余角的度数是_____________.
【解析】因为∠A＝40°，所以∠A的余角的度数是90°-40°＝50°.
答案：50°
5.(2012·徐州中考)∠α＝80°，则∠α的补角为________.
【解析】∠α的补角为180°-∠α＝180°-80°＝100°.
答案：100°
