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第2章 有 理 数
2.1 有 理 数
1.借助生活中的实例，体会引入负数的必要性和合理性.
2.会判断一个数是正数还是负数.
3.初步学会用正、负数表示生活中具有相反意义的量.(重点)
4.理解有理数的意义，了解数集及其相关的概念，并会对有理数进行分类.(重点、难点)
1.用正负数表示具有相反意义的量
(1)如果节约用水30吨记作+30吨，那么浪费20吨记作____吨.
(2)如果向上走3级台阶记作+3级，那么向下走8级台阶记作
___级.
-20
-8
【总结】1.如果一个问题中出现_________的量，可以用
_____和_____分别表示它们.
2.当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用
_____表示，反之亦然.
3.相反意义的量是_____出现的，单独一个量_____(填“能”
或“不能”)称为相反意义的量.
相反意义
正数
负数
负数
成对
不能
2.正数和负数
(1)正数：像30，3，8，0.5，20%这样的数是正数，正数前面有时也可放上一个“+”(读作“正”)号.
(2)负数：像-8,-0.5,-20%, 这样的数是负数.
(3)零：零既不是_____，也不是_____.
正数
负数
3.有理数相关概念及其分类
(1)有理数
①整数：___整数、零和___整数统称整数;
②分数：正分数和___分数统称分数;
③有理数：_____和_____统称有理数.
负
正
负
整数
分数
(2)有理数的分类
①按定义,有理数可分为：
整数
分数
正
负
负
②按正、负，有理数可分为：
负分数
负整数
负有理数
零
正分数
4.数集
(1)有理数集：所有_______组成的数集叫做有理数集.
(2)整数集：所有_____组成的数集叫做整数集.
(3)负数集：所有_____组成的数集叫做负数集.
(4)非负整数集：所有_______与___组成的数集叫做非负整数
集(即_____数集).
有理数
整数
负数
正整数
零
自然
(打“√”或“×”)
(1)零是整数而不是正数.( )
(2)分数可以分为正分数、零和负分数.( )
(3)整数集与分数集组成的数集叫做有理数集.( )
√
×
√
知识点 1 正负数的意义
【例1】某日小明在一条南北方向的公路上跑步，他从A地出发，向北跑了1 008 m，记作-1 008 m,他折回来跑了1 010 m是什么意思？这时停下来休息，此时他在A地的什么方向？距离A地多远？
【解题探究】(1)根据正负数表示相反意义的量，向北跑记作“-”(负数)，那么向南跑用什么数表示？
提示:向北跑记作“-”(负数)，那么向南跑记作“+”(正数).
(2)向北跑1 008 m记作-1 008 m,折回表示的意义是什么？折回跑了1 010 m又表示什么意义？
提示：“折回”在本题中表示向南跑.折回跑了1 010 m表示向南跑了1 010 m，即跑了+1 010 m.
(3)折回跑了1 010 m后，停下来休息，此时他在A地的___边，距A地__ m.
南
2
【互动探究】你还能举几个生活中具有相反意义的量的例子吗？
提示：货物运进与运出，股票涨与跌，商场盈利与亏损等.
【总结提升】用正负数表示具有相反意义的量的“三个性质”
1.任意性：哪种意义的量为正，可任意选择.
2.成对性：具有相反意义的量是成对出现的.
3.不等性：两个量的意义相反时，其数据不同也是具有相反意义的量.
知识点 2 有理数的分类
【例2】把下列属于负数集、分数集的数分别填到相应的圈里，两个集合所共有的数填在重叠区域内：
-3,2 013,0,37, -2 012,3.14,-7%,100.10.
【思路点拨】回顾相关数集的特点→确定所属的数集→把两个数集共有的数填到重叠区域→把其余的数填到各自集合的非重叠区域.
【自主解答】如图所示：
【总结提升】常用的三种数集的含义及有理数分类的注意事项
1.常见的三种数集
(1)非负整数集：包括零和正整数集(即自然数集).
(2)非负数集：零和正数.
(3)非正数集：零和负数.
2.注意事项
(1)分类的结果必须不重复、无遗漏.
(2)掌握有理数的分类标准，整数和分数对应，正数与负数对应.
(3)零既不是正数也不是负数，它是整数也是有理数.
题组一：正负数的意义
1.2012年6月16日18时37分神舟九号飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，如果火箭发射点火前5秒记为-5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为( )
A.-10 秒 B.-5 秒
C.+5 秒 D.+10 秒
【解析】选D.若火箭发射点火前5秒记为-5秒，则点火后为正，那么火箭发射点火后10秒应记为+10秒.
2.(2012·河北中考)下列各数中，为负数的是( )
A.0 B.-2 C.1 D.
【解析】选B.在正数前面加负号“-”的数叫做负数，-2是负数.
3. 若某次数学考试标准成绩定为85分，规定高于标准成绩记为正，低于标准成绩记为负，两名学生的成绩分别记作：+9，-3，则这两名学生的实际成绩分别为_____分，_____分.
【解析】因为两名学生的成绩分别记作：+9，-3，所以这两名学生的实际成绩分别为：85+9=94(分)，85-3=82(分).
答案：94 82
4.(2012·连云港中考)某药品说明书上标明药品保存的温度是(20±2) ℃，该药品在______ ℃范围内保存才合适.
【解析】温度是(20±2) ℃，表示最低温度是20 ℃-2 ℃=
18 ℃，最高温度是20 ℃+2 ℃=22 ℃，即18～22 ℃之间是合适温度.
答案：18～22
【变式训练】某种零件，标明要求是Φ 20±0.02 mm(Φ表示直径，单位：mm)，经检查，一个零件的直径是19.9 mm，该零件 ______(填“合格”或“不合格”).
【解析】由Φ 20±0.02 mm可知零件直径最大是20+0.02=
20.02(mm)，最小是20-0.02=19.98(mm)，合格范围在19.98 mm和20.02 mm之间.因为19.9＜19.98，所以不合格.
答案：不合格
5. 长江上游干流警戒水位为180.5 m，超过警戒水位记为正，低于警戒水位记为负，重庆寸滩水文站2012年7月某时段的水位纪录(单位：m)情况为：-0.01，0，+0.15，+0.52，+0.71，+0.93，+0.81.请求出这7次记录所表示的实际水位.
【解析】这7次记录的实际水位分别是：
180.5-0.01=180.49(m)，180.5+0=180.5(m)，
180.5+0.15=180.65(m)，180.5+0.52=181.02(m)，
180.5+0.71=181.21(m)，180.5+0.93=181.43(m)，
180.5+0.81=181.31(m).
题组二：有理数的分类
1.在-0.1，0， ，1这四个数中，既是整数也是正数的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】选A.在-0.1，0， ，1这四个数中，整数有：0，
1；正数有： ，1，因此既是整数也是正数的只有1.
2.下列说法错误的是( )
A.负整数集和负分数集组成负有理数集
B.正整数、零、负整数统称为整数
C.正有理数集与负有理数集组成有理数集
D.3.14是小数，也是分数
【解析】选C.因为正有理数集、零与负有理数集组成有理数集，所以选项C错误.
【归纳整合】分类的三条原则
对概念进行分类要按照一定的原则.例如，对“人”分类，有多种原则：性别、年龄、籍贯、职业、种族……不同的原则，有不同的分法. 对数学知识的分类，一般应遵守以下三条原则：
(1)所分的各类应当互不包含.比如，有理数分为非负有理数、零和非正有理数，就违反了这一原则.因为零既属于非负有理数，又属于非正有理数.
(2)所分各类之和必须是原来的全部.比如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了“零”.
(3)必须按同一分类标准进行分类.比如，将有理数分成正有理数、零和负分数，就使得各类间的关系含糊不清.
3.写出两个既是负数，又是整数的数______.
【解析】既是负数，又是整数的数就是负整数.
答案：-1,-2(答案不唯一)
4.将下列各数分别填入相应的大括号里：5， ，2 013，
-0.02，0.618，0， ，-13， ，-2.
正数集：{ …}；
整数集：{ …}；
负数集：{ …}；
分数集：{ …}；
自然数集：{ …}；
负整数集：{ …}.
【解析】正数集：{5，2 013，0.618， …}；
整数集：{5，2 013，0，-13，-2…}；
负数集：{ ，-0.02， ，-13，-2…}；
分数集：{ ，-0.02，0.618， ， …}；
自然数集：{5，2 013，0 …}；
负整数集：{-13，-2…}.
【想一想错在哪？】把下列各数填入表示它所在的数集的圈
里： ，2，5.5，-0.04， ，2 013，-13，0， ，-85%.
提示：对零与自然数集、小数(百分数)与分数集的关系理解不清.
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2.2 数 轴
1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.
2.掌握用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小.(重点)
3.通过数轴的学习，体会数形结合的思想方法. (难点)
1.数轴的定义
规定了_____、_______和_________的直线.
2.数轴的画法
(1)画直线、定原点：画一条直线(通常画成水平位置)，在这
条直线上_____一点作为原点，用这点表示数__.
(2)确定正方向：规定直线上从原点向___为正方向，画上箭
头，则相反方向为_______.
原点
正方向
单位长度
任取
0
右
负方向
(3)确定单位长度：选取适当的长度作为_________.从原点向
右，每隔一个单位长度取一点，依次标上__,__,__,…；从原
点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上___, ___,
___，….
单位长度
1
2
3
-1
-2
-3
【思考】1.用数轴上的点表示有理数时，正有理数在原点的哪一侧，负有理数呢？
提示：正有理数在原点的右侧，负有理数在原点的左侧.
2.有理数都能用数轴上的点表示吗？
提示：能.所有的有理数都能用数轴上的点表示.
【总结】1.数轴与有理数的关系
(1)所有的有理数都可以用数轴上的___来表示.
(2)正数可用原点___边的点表示，反过来原点___边的点都表
示正数；负数可用原点___边的点表示，反过来原点___边的点
都表示负数；零用_____表示，反过来，_____表示零.
右
右
左
左
原点
原点
点
2.比较两个有理数大小的方法
(1)用数轴比较：在数轴上表示的两个数，___边的数总比___
边的数大.
(2)用法则比较：___数都大于零,___数都小于零，___数都大
于___数.
右
左
正
负
正
负
(打“√”或“×”)
(1)画数轴时可以选择向右为正方向，也可以选择向左为正方
向，只要把正方向用箭头表示出来即可.( )
(2)所有的小数都可以用数轴上的点来表示.( )
(3)数轴上表示正数的点都在原点的右边.( )
×
√
√
知识点 1 数轴上的点与有理数的关系
【例1】操作与探究：
(1)如图，写出数轴上点A，
B，C，D表示的数.
(2)已知下列各组有理数： ， ；-3，3；-4，4.
①请用数轴上的点表示各组中的有理数；
②观察数轴上表示各组数的点，看看它们有什么共同特点？
【思路点拨】(1)观察数轴上A,B,C,D四点在原点的哪一侧及距原点的距离为多少，写出四点所表示的数字.
(2)观察数字的符号特征及单位长度，并在数轴上表示出来，找出它们的共同特征.
【自主解答】(1)A，B，C，D表示的数分别是-3,-1.5,0,2.
(2)①将各组数分别在数轴上表示出来，如图所示.
②它们的共同特点是数轴上表示的各组数的点到原点的距离都相等.
【总结提升】用数轴上的点表示有理数的三个步骤
1.画：画数轴，注意根据数据特点决定单位长度的大小.
2.看：一看数字的符号，正的在原点右边，负的在原点左边；二看该点离原点几个单位长度.
3.标：在数轴上标记表示该有理数的点.
知识点 2 有理数的大小比较
【例2】比较-3,- ,2,0,- ,3.5的大小.
【教你解题】
【总结提升】利用数轴比较有理数的大小的“三步法”
1.画数轴：画出数轴.
2.表示点：在数轴上描出相应各点，确定各点在数轴上的左右顺序.
3.定大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小关系.
题组一：数轴上的点与有理数的关系
1.如图，在数轴上点A表示( )
A.-2 B.2 C.±2 D.0
【解析】选A. 数轴上的点A在原点左边，符号应为“-”，距离原点2个单位长度，所以点A对应的数是-2.
2.如图，在数轴上表示
到原点的距离为3个单位
长度的点有( )
A.D点 B.A点
C.A点和D点 D.B点和C点
【解析】选C.由数轴与题意可得，在数轴上表示到原点的距离为3个单位长度的点有A点和D点.
【变式训练】数轴上的点A到表示-1的点的距离是6个单位长度，则点A表示的数为( )
A.6或-6 B.-7 C.5 D.5或-7
【解析】选D.与表示-1的点的距离为6个单位长度的点有两个，分别在表示-1的点的左边和右边.
3. 数轴上两点A，B分别表示数-2和3，则A，B两点间的距离是______个单位长度.
【解析】表示数-2的点A在原点的左边，距原点2个单位长度，表示数3的点B在原点的右边，距原点3个单位长度，所以A，B两点间的距离是5个单位长度.
答案：5
4.如图所示，数轴
被墨水污染，其中
被污染的部分内含
有的整数为_______.
【解析】由数轴可知，-3与-1.3之间的整数有：-2，-1.3与2.5之间的整数有：-1，0，1，2.
答案：-2，-1，0，1，2
5.先在数轴上画出表示下列各数的点，然后按照数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排列：
，-1， -2， ，-0.5，0，4.5.
【解析】表示这些数的点在数轴上表示为：
将这些数按照数轴上从左到右的顺序重新排列为：
，-2，-1，-0.5，0， ，4.5.
题组二：有理数的大小比较
1.(2012·长春中考)在2，0，-2，-1这四个数中，最大的数
是( )
A.2 B.0 C.-2 D.-1
【解析】选A.根据比较有理数大小的法则“正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数”，易知2最大.
2.如图，数轴上A,B,C,D四点表示的数分别为a,b,c,d，则它们的大小关系是( )
A.a＞b＞c＞d B.c＞a＞d＞b
C.a＞c＞d＞b D.a＞c＞b＞d
【解析】选C.由于数轴上表示的两个数，右边的数大于左边的数,因此a＞c＞d＞b.
3.写出-1和1之间的任意一个负数(-1除外)：______.
【解析】由题意得，这个数为大于-1的负数，如- ，- 等.
答案：- (答案不唯一)
4.如图，请你把这五个数：+6，
-4.5， ，-5，0，按从大到小，
从左到右串成糖葫芦状，写在○内的数字依次为：__________.
【解析】从左到右的数字依次为+6， ，0，-4.5，-5.
答案：+6， ，0，-4.5，-5
5.如图，已知数轴上点A表示的数为-3，
(1)将点A向右移动2个单位长度，那么终点表示的数为_____，终点表示的数比原来变______(填“大”或“小”).
(2)将点A向左移动2个单位长度，那么终点表示的数为_____，终点表示的数比原来变______(填“大”或“小”).
【解析】(1)观察数轴可知，点A向右移动2个单位长度，那么终点表示的数为-1，因为-1大于-3，所以终点表示的数比原来变大.
(2)将点A向左移动2个单位长度，那么终点表示的数为-5，因为-5小于-3，所以终点表示的数比原来变小.
答案：(1)-1 大 (2)-5 小
6.在数轴上点A，B，C，D，E，F，G分别表示下列各数：
3.5，-3.5，0，2，-2， ，0.5.
(1)按从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来.
(2)A与B，D与E，F与G之间分别有怎样的位置关系？
【解析】(1)各数用数轴上的点表示，如图所示：
根据数轴上右边的数总比左边的数大，各数的大小关系按从小
到大的顺序用“＜”连接为：-3.5＜-2＜- ＜0＜0.5＜2＜
3.5.
(2)观察数轴可知A与B，D与E，F与G到原点的距离都分别相等.
【想一想错在哪？】先在数轴上画出表示下列各数的点，然后
利用数轴比较它们的大小： ，3，2.5，-1.5，-2.5， ，0.
提示：在数轴上表示数时，确定点的位置出错.
(共28张PPT)
2.3 相 反 数
1.掌握相反数的概念，理解它所包含的两种含义.
2.会写出一个数的相反数，会进行多重符号的化简.(重点)
3.明确互为相反数的两个数在数轴上的位置关系，培养学生的归纳能力，体验数形结合的思想.(难点)
一、相反数的概念
(1)在数轴上，与原点的距离是6的点有___个，所表示的数分
别为______.
(2)在数轴上，与原点的距离是10的点有___个，所表示的数分
别为________.
两
6和-6
两
10和-10
【思考】1.上述每组中所表示的数有什么特点？
提示：每组所表示的两个数只有符号不同.
2.上述每组中所表示的数在数轴上表示有什么特点？
提示：(1)分别在数轴上原点的两侧.
(2)到原点的距离相等.
【总结】1.相反数的代数定义：只有_______不同的两个数，
规定：零的相反数是___.
2.相反数的几何定义：在数轴上分别位于原点的_____,且与原
点距离_____的两个点所表示的数.
正负号
零
两旁
相等
二、求一个数的相反数的方法
只要改变它的_____，其他部分都_____.
三、多重符号的化简方法
因为一个数的前面加上“+”号等于它的_____，一个数的前面
加上“-”号等于它的_______，所以把多重符号化为单一的符
号时，如果是正号，可以_________，如果是负号，取其_____
___即可.
符号
不变
本身
相反数
省略不写
相反
数
(打“√”或“×”)
(1)一个正数和一个负数叫做互为相反数.( )
(2)-3.5的相反数是3.5.( )
(3)在数轴上离原点4个单位长度的点表示的数是4.( )
(4)在数轴上只要两个点到某一点的距离相等，那么表示这两
个点的数就是互为相反数.( )
×
√
×
×
知识点 1 相反数
【例1】写出下列各数的相反数：(1)4.(2)-1.6.(3)0.(4)- .
【教你解题】
【总结提升】“+”和“-”的意义与三种情况
(1)“+”和“-”分别表示加法与减法的运算符号.
(2)“+”和“-”分别表示正数与负数的性质符号.
(3)“+”和“-”分别表示原数的本身与原数的相反数的符号.
知识点 2 化简数的符号
【例2】化简下列各数：
(1)-(-6).(2)-(+0.8).(3)-［-(- )］.
【思路点拨】先看数字前的符号，如果是“+”号，结果就是原数，如果是“-”号，结果是其相反数.
【自主解答】(1)-(-6)=6.
(2)-(+0.8)=-0.8.
(3)-［-(- )］=- .
【总结提升】多重符号化简的两个规律
1.把所有的正号去掉.
2.负号的个数是偶数个时结果为正数，负号的个数为奇数个时结果为负数，简称“奇负偶正”.
题组一：相反数
1.(2012·北京中考)-9的相反数是( )
A.- B. C.-9 D.9
【解析】选D.根据相反数的定义可知-9的相反数是9.
2.下列各组数互为相反数的是( )
A.2和-2 B.-2和
C.-2和- D.2和
【解析】选A.2与-2只有正负号不同，所以它们互为相反数.
3.如果a与5互为相反数，那么a=_______.
【解析】如果a与5互为相反数，那么a是5的相反数，所以a=-5.
答案：-5
4.请写出一对互为相反数的数：________与________.
【解析】只有正负号不同的两个数互为相反数.因此只要写出只有符号相反的两个数即可.
答案：1 -1(答案不唯一)
5.数轴上表示一个数的点距离原点2个单位长度，且在原点的左边，则这个数的相反数是__________.
【解析】因为一个数在数轴上表示的点距原点2个单位长度，且在原点的左边，所以这个数是-2，所以它的相反数是2.
答案：2
【归纳整合】“相反数”与“相反意义的量”的区别
认为相反意义的量是带“单位”的相反数是错误的.“相反数”与“相反意义的量”主要区别在于：
(1)相反意义的量包含两层意思：
①两个量意义相反、符号不同；
②它们都表示一定的数量(在数量上它们不一定相同).
(2)相反数：
①两个数正负号不同；
②两个数除正负号不同外，其余完全相同.
题组二：化简数的符号
1.下列化简错误的是( )
A.-(-3)＝3 B.+(-3)＝-3
C.-[-(+3)]=-3 D.+{-[+(-3)]}＝3
【解析】选C.-[-(+3)]＝-(-3)＝3.
2.在+(-2)与-2,-(+1)与+1,-(-4)与+(-4),-(+5)与+(-5),-(-6)与+(+6),+(+7)与+(-7)几对数中，互为相反数的有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
【解析】选A.+(-2)=-2与-2,-(+5)=-5与+(-5)=-5,-(-6)=6与+(+6)=6都分别相等，而-(+1)=-1与+1,-(-4)=4与+(-4)=-4,
+(+7)=7与+(-7)=-7都分别互为相反数.
3.化简：-［-(- )］=________.
【解析】因为负号个数为奇数个，则结果为负数，所以
-［-(- )］=- .
答案：-
4.若a=-4.5,则-(-a)=_________.
【解析】若a=-4.5,则-(-a)=-［-(-4.5)］=-4.5.
答案：-4.5
5.化简：
(1)-(-100). (2)-(- ). (3)+(+ ).
(4)+(-2.8). (5)-(+ ). (6)-(+12).
【解析】(1)-(-100)=100.
(2)-(- )= .
(3)+(+ )= .
(4)+(-2.8)=-2.8.
(5)-(+ )=- .
(6)-(+12)=-12.
6.假期里，小亮做这样一道题：“化简： ”，其中的“＋”或“－”被调皮的小妹用墨水涂上了，他翻开后面的答案得到结果等于-10，聪明的小亮把此题所有可能出现的情况都写了出来.你知道他写了哪些式子吗？
【解析】由式子可以看出，原题应该有三个符号.由结果可知负号的个数应是奇数.所以原式子所有可能出现的情况为：
-［-(-10)］或-［+(+10)］或+［-(+10)］或+［+(-10)］.
【想一想错在哪？】画出数轴，在数轴上表示下列各数的相反数，并把它们的相反数按照数轴上从左到右的顺序排列：1，
-(+2.5)，0，-3.
提示：求相反数时对多重符号的化简出现错误，最后导致比较大小也出现错误.
(共26张PPT)
2.4 绝 对 值
1.借助数轴理解绝对值的意义.(难点)
2.掌握求有理数的绝对值的方法.(重点)
3.知道|a|的含义(a表示有理数).(重点、难点)
一、绝对值的几何定义
把在数轴上表示数a的点与_____的距离叫做数a的绝对值，记
作____.
二、绝对值的代数意义
(1)|+7|=__，|0.5|=____，| |=___，|+7.6|=____.
(2)|0|=__.(3)|-19|=___，|-0.3|=____，| |=____，
|-7.6|=____.
原点
|a|
7
0.5
7.6
19
0.3
0
7.6
【思考】1.观察上面(1)中各式及结果，它们有什么共同特点？
提示：都是求一个正数的绝对值，结果都等于各数本身.
2.观察上面(3)中各式及结果，它们有什么共同特点？
提示：都是求一个负数的绝对值，结果都等于各数的相反数.
【总结】
(1)一个正数的绝对值是_______，即当a＞0时，|a|=__.
(2)零的绝对值是___，即当a=0时，|a|=__.
(3)一个负数的绝对值是___________，即当a＜0,|a|= ___.
它本身
a
0
它的相反数
-a
零
三、绝对值的非负性
(1)对于任何的有理数a,总有|a|___0.
(2)对于任何的有理数a，|a|___a.
(3)a，b，c都是有理数，若|a|+|b|+|c|=0，则a__b__c__0.
≥
≥
=
=
=
(打“√”或“×”)
(1)任意一个有理数的绝对值都是非负数.( )
(2)有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数.( )
(3)0的绝对值是0.( )
(4)绝对值是1的数是1.( )
(5)|-(+ )|=- .( )
√
×
√
×
×
知识点 1 求一个数的绝对值
【例1】求下列各数的绝对值:
-18, ,7.2, .
【思路点拨】确定各数为正数还是负数，再根据绝对值的代数定义确定各数的绝对值.
【自主解答】-18是负数，所以|-18|=18;
是负数，所以| |= ；
7.2是正数，所以|7.2|=7.2;
是负数，所以| |= .
【总结提升】绝对值的三个重要性质
1.唯一性：任何一个有理数均有绝对值，这个绝对值是唯一的，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即|x|≥x.
2.非负性：①任何一个有理数的绝对值总是非负数，即|a|≥0；②非负数的绝对值等于其本身.反过来，绝对值是其本身的数是非负数；③若|a|+|b|=0，则a=0,b=0.
3.互逆性：已知一个数的绝对值，能求出该数；已知一个数能求它的绝对值.
知识点 2 绝对值的应用
【例2】某工厂生产一批零件，根据零件质量要求：零件的长度可以有0.2厘米的误差，现抽查5个零件，检查数据记录如表(超过规定长度的厘米数记为正数，不足规定长度的厘米数记为负数)：
(1)这5个零件中，符合要求的零件是哪几个？
(2)这5个零件中，质量最好的是第几个？请说明理由.
零件号数 1 2 3 4 5
数据 +0.13 -0.25 +0.09 -0.11 +0.23
【思路点拨】计算各数据的绝对值→对比误差标准→得出问题的结论.
【自主解答】(1)因为|+0.13|=0.13，|-0.25|=0.25，|+0.09|
=0.09，|-0.11|=0.11，|+0.23|=0.23，而0.13＜0.2，0.25＞0.2，0.09＜0.2，0.11＜0.2，0.23＞0.2，所以第1个、第3个、第4个零件符合要求.
(2)因为0.09＜0.11＜0.13＜0.23＜0.25，第3个零件的数据的绝对值最小，说明第3个零件的长度最接近规定长度，所以这5个零件中质量最好的是第3个.
【总结提升】利用绝对值解决生活实际问题的三个步骤
1.求绝对值：求出问题中的各个数据的绝对值.
2.比较大小：比较各个数据的绝对值与误差允许范围的大小.
3.写出结论：根据问题要求，写出问题的结论.
题组一：求一个数的绝对值
1. 的绝对值是( )
A. B. C.2 014 D.-2 014
【解析】选A.因为 ＜0,
所以
2.(2012·襄阳中考)一个数的绝对值等于3，这个数是( )
A.3 B.-3 C.±3 D.
【解析】选C.因为|a|=3,所以a=±3.
3.化简：+(-|-5|)=( )
A.-5 B.- C. D.5
【解析】选A.+(-|-5|)=-|-5|=-5.
【归纳整合】化简题中的括号与绝对值的联系
化简或计算时，要按运算顺序进行，如果既有“括号”，又有“绝对值符号”，要注意运算顺序.
(1)如果绝对值号里有括号，应该先化简括号，再求绝对值.
(2)如果括号里有绝对值号，可以先求绝对值，再化简括号，也可以先化简括号，再求绝对值.
4.若a的绝对值与-16的绝对值相等，那么a=_______.
【解析】-16的绝对值为|-16|=16，
又|16|=16和|-16|=16，
故a=16或a=-16.
答案：16或-16
5.求下列各数的绝对值：
(1) .(2)0.27.(3)-7.(4) .
【解析】(1)| |= .(2)|0.27|=0.27.
(3)|-7|=7.(4)| |= .
题组二：绝对值的应用
1.a为有理数，下列判断正确的是( )
A.-a一定是负数 B.|a|一定是正数
C.|a|一定不是负数 D.-|a|一定是负数
【解析】选C.任何一个有理数的绝对值都是一个非负数，即|a|一定不是负数.
2.若|x|=2，|y|=3，且x的符号为“+”，y的符号为“-”，则数轴上表示这两个数的点之间的距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
【解析】选D.由题意可知，x=2，y=-3，则数轴上表示这两个数的点之间的距离为5.
3.绝对值大于2且小于5的所有整数有__________.
【解析】绝对值大于2且小于5的所有整数是：-4,-3,3,4.
答案：-4,-3,3,4
4.某司机在东西路上开车接送乘客，他早晨从A地出发，(向东为正，向西为负)，到晚上送走最后一位客人为止，他一天行驶的里程记录如下(单位：km)+20，－5，－15，+30，－20，－16，+14.若该车每100 km耗油6升，则这车今天共耗油________升.
【解析】(|+20|+|-5|+|-15|+|+30|+|-20|+|-16|+|+14|) ÷100×6=7.2(升).
答案：7.2
【变式训练】有一只小昆虫在数轴上爬行，它从原点开始爬，“+”表示昆虫沿数轴向右，“-”表示此昆虫沿数轴向左，总共爬行了10次，其数据统计如下(单位：厘米)：+3,-2,-3, +1,+2,-2,-1,+1,-3,+2.
如果此昆虫每分钟爬行4厘米，则在此爬行过程中，它用了几分钟？
【解析】因为昆虫爬行的路程为|+3|+|-2|+|-3|+|+1|+|+2|+ |-2|+|-1|+|+1|+|-3|+|+2|=3+2+3+1+2+2+1+1+3+2=20(厘米).
所以爬行所用时间为20÷4＝5(分钟).
答：在此爬行过程中，它用了5分钟.
5.某钢铁厂承担了为高速铁路生产某种钢材零件的任务.其中一个车间生产一批圆形零件，从中抽取6件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数，检查记录如下：
怎样用绝对值的知识说明这6件零件的优劣？
【解析】因为根据绝对值的意义，绝对值越小，说明它与规定零件的直径的偏差越小，所以表中绝对值越小的零件越好.
零件号数 1 2 3 4 5 6
数据 +0.2 -0.3 -0.2 +0.3 +0.4 -0.1
【想一想错在哪？】已知|x|=-(-2)，求x的值.
提示：对绝对值的意义不理解，根据绝对值的意义求未知数的值时，漏了一种情况.
(共27张PPT)
2.5 有理数的大小比较
1.掌握用绝对值比较两个负数大小的方法和步骤，以及有理数大小比较的一般方法.(重点)
2.在进行两个负数的大小比较中，培养学生推理论证能力，并渗透数形结合与转化的思想和方法.(难点)
1.用数轴比较有理数大小的方法
根据“在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数
___”借助数形结合进行比较，这种方法特别适合同时比较多
个有理数的大小.
2.用法则比较有理数大小的方法
依据“正数_____零，负数_____零，正数_____负数”主要比
较异号两数的大小.
大
大于
小于
大于
3.用绝对值比较有理数大小的方法
“两个负数，绝对值大的_______”这是比较有理数大小最常用的基本方法，主要用于比较两个负数的大小.
反而小
(打“√”或“×”)
(1)两个正数，绝对值大的一定大.( )
(2)两个负数，绝对值小的一定大.( )
(3)两个异号有理数，正数的绝对值一定大.( )
(4)若a与b满足|a|＜|b|，则a＜b.( )
(5)比-3大的最小的整数是-2.( )
√
√
×
×
√
知识点 1 有理数的大小的比较
【例1】(2012·重庆中考)在-3，-1，0，2这四个数中，最小的数是( )
A.-3 B.-1 C.0 D.2
【教你解题】
【总结提升】比较两个负数大小的方法
1.求：先分别求出两个负数的绝对值.
2.比：比较两个绝对值的大小.
3.判：根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断.
知识点 2 借助数轴比较有理数的大小
【例2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示,试比较a，b，
-a,-b的大小,并用“>”号把它们连接起来.
【解题探究】1.a与-a,b与-b有什么关系？在数轴上每组的两个数有什么特点？
提示：a与-a,b与-b均互为相反数，在数轴上，它们分别位于原点的两侧且距原点的距离相等.
2.在数轴上将四个数分别表示出来.
提示：
3.数轴上的点所表示的数的大小关系如何？
提示：从左到右依次变大.
通过以上探究可知__＞___＞__＞___.
b
-a
a
-b
【互动探究】如果将题目中数轴删去，改成“已知有理数a，b满足a＜0，b＞0，|a|＜|b|”其他不变，你还能解决这个问题吗？
提示：能.根据已知自己画出数轴草图，进行与上面类似的探究即可.
【总结提升】利用数轴比较有理数大小的三个步骤
1.描点：利用数轴比较有理数的大小首先要把比较的数在数轴上表示出来.
2.排序：根据这些数在数轴上的位置，按从左向右，或从右向左重新排列.
3.连接：按要求用“＜”或“＞”号将它们连接，如果从左向右,用“＜”连接，如果从右向左，用“＞”连接.
题组一：有理数的大小的比较
1.(2012·衢州中考)下列四个数中，最小的数是( )
A.2 B.-2 C.0 D.
【解析】选B.因为2＞0，-2＜0， ＜0，所以可排除A项、C
项，且|-2|＞| |，所以-2＜ .
2.中国气象局2013年3月7日11时发布的天气预报，如表：
在这四个城市中当天最低温度最低的是( )
A.北京 B.上海 C.沈阳 D.长春
城市 天气 温度(℃)
北京 晴转多云 17～4
上海 晴 23～11
沈阳 多云 7～-1
长春 多云 1～-9
【解析】选D.当天北京、上海的最低气温是正数，沈阳、长春的最低气温是负数，因此排除A项，B项，而-1＞-9，所以长春当天的最低气温在这四个城市中最低.
3.比较大小： ________ (填“＜”“=”或“＞”).
【解析】因为
且 所以
答案：＞
4.写出两个大于-2 014又小于-2 011的数__________.
【解析】根据“两个负数，绝对值大的反而小”找到两个绝对值大于2 011小于2 014的负数即可，如-2 012，-2 013等.
答案：-2 012，-2 013(答案不唯一)
5.比较下列各对数的大小：
(1) 与 . (2)-(-3.5)与|-3.5|.
(3)-2与-|-2|. (4) 与-3.4.
【解析】(1)因为
且 所以
(2)因为-(-3.5)=3.5,|-3.5|=3.5,所以-(-3.5)=|-3.5|.
(3)因为-|-2|=-2,所以-2=-|-2|.
(4)因为|- |= ≈0.33，|-3.4|=3.4,且0.33＜3.4,
所以- ＞-3.4.
题组二：借助数轴比较有理数的大小
1.如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c，则它们的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.c＞a＞b D.b＞a＞c
【解析】选D.根据数轴的方向“右边的数＞左边的数”，因此b＞a＞c.
2.有理数a，b在数轴上对应点的位
置如图所示，则下列各式正确的
是( )
A.a＞b B.a＞-b
C.-a＞b D.-a＜-b
【解析】选C.由数轴上a，b两点的位置可知a＜0＜b，|a|＞|b|，又因为|a|=-a，|b|=b，所以-a＞b.
3.有理数a，b的位置如图所示，用“＜”号把-a，-b，-1，2连接起来为__________.
【解析】如图,将-a,-b在数轴上表示出来，因为数轴上右边的数总比左边的数大，故-1＜-a＜-b＜2.
答案：-1＜-a＜-b＜2
4.如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分所有整数用“＜”连接起来为______.
【解析】被墨水污染的整数在数轴上从左到右分别是-3，-2， -1，0，1，用“＜”连接起来为-3＜-2＜-1＜0＜1.
答案：-3＜-2＜-1＜0＜1
5.在数轴上表示数4，-2，1，0，-2.5，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”连接.
【解析】在数轴上表示数4，-2，1，0，-2.5，如图：
按从小到大的顺序用“＜”连接：-2.5＜-2＜0＜1＜4.
【归纳整合】比较有理数大小的方法汇总
(1)法则比较法：有理数大小的比较法则有：①正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.②两个负数，绝对值大的反而小.
(2)数轴比较法：在数轴上表示的几个数，右边的数总比左边的数大，根据这个特点可把需要比较的数表示在数轴上，通过数轴比较数的大小.
(3)特殊值比较法：含有字母的数的比较，通常采用取特殊值法，简单快捷.
(4)分类讨论法：比较含有字母的数的大小，有时按照字母的取值范围大于零、等于零或小于零进行讨论，再进行比较，体现了分类讨论的数学思想.
(5)求差(商)法：随着进一步学习有理数的运算，可以知道比较有理数的方法还有求差法、求商法.
【想一想错在哪？】比较 与 的大小.
提示：运用“两个负数，绝对值大的反而小”比较两个负数的大小时出现错误.
(共30张PPT)
2.6 有理数的加法
1.有理数的加法法则
1.理解有理数加法的意义，熟练掌握有理数的加法法则，会进行有理数的加法运算.(重点)
2.经历探索有理数加法法则的过程，培养利用加法解决实际问题的能力.(难点)
利用数轴求物体两次运动的结果(规定向右为正，向左为负，
如图，每个单位表示1米):
(1)从原点出发，先向右运动2米，再向右运动3米，那么两次
运动的最后结果是从起点向右运动了__米，用算式表示就是
_____________.
5
(+2)+(+3)=+5
(2)从原点出发，先向左运动2米，再向左运动3米，那么两次
运动的最后结果是从起点向左运动了__米，用算式表示就是
______________.
(3)从原点出发，先向左运动2米，再向右运动3米，那么两次
运动的最后结果是从起点向右运动了__米，用算式表示就是
______________.
5
(-2)+(-3)＝-5
1
(-2)+(+3)＝+1
(4)从原点出发，先向右运动2米，再向左运动3米，那么两次
运动的最后结果是从起点向左运动了__米，用算式表示就是
______________.
(5)从原点出发，先向右运动2米，再向左运动2米，那么两次
运动的最后结果是仍在起点处，用算式表示就是_________
____.
1
(+2)+(-3)＝-1
＝0
(+2)+(-2)
【总结】有理数加法法则
(1)同号两数相加，取与加数_____的正负号，并把绝对值
_____.
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值_____的加数的正
负号，并用较大的绝对值_____较小的绝对值.
(3)互为相反数的两个数相加得___.
(4)一个数与零相加，仍得_______.
相同
相加
较大
减去
零
这个数
(打“√”或“×”)
(1)若a＞0，b＜0，则a+b＞0.( )
(2)两个正数的和为正数，两个负数的和为负数.( )
(3)异号两数相加，其和比每一个加数都小.( )
(4)两数相加，等于它们的绝对值相加.( )
(5) ( )
×
√
×
×
×
知识点 1 有理数的加法运算
【例1】计算：
(1)(-7)+(-9). (2)(+6)+(-11).
(3)( )+ . (4)(-4.3)+0.
【思路点拨】观察加数是同号还是异号→确定算式适用的法则→按照所选法则进行计算.
【自主解答】(1)(-7)+(-9)=-(7+9)=-16.
(2)(+6)+(-11)=-(11-6)=-5.
(3)( )+ =0.
(4)(-4.3)+0=-4.3.
【总结提升】有理数加法运算的步骤
1.辨：辨别加数是同号还是异号.
2.定：确定用哪条法则.
3.算：按相应法则进行计算.
知识点 2 有理数加法的实际应用
【例2】2012年10月25日，我国第16颗北斗导航卫星升空后，可向全球用户提供高质量的定位、导航和授时服务.若某渔船上安装了此系统后，中国的渔政管理部门可以实时关注此渔船活动轨迹，若某渔船离开码头向北200海里，又向南215海里，你能确定此时渔船在码头什么位置吗？
【教你解题】
【总结提升】有理数加法实际应用的三点注意
1.必须先规定各个量的正负.
2.计算结果及写答时要写单位名称.
3.实际问题，最后必须写答.
题组一：有理数的加法运算
1.(2012·肇庆中考)计算-3+2的结果是( )
A.1 B.-1 C.5 D.-5
【解析】选B.-3+2=-(3-2)=-1.
2.在1，-1，-2这三个数中，任意两数之和最大的是( )
A.2 B.0 C.-1 D.-3
【解析】选B.因为1+(-1)=0,1+(-2)=-1,(-1)+(-2)=-3,所以任意两数之和最大的是0.
3.计算：10.5+(-5.6)=_______.
【解析】10.5+(-5.6)=+(10.5-5.6)=4.9.
答案：4.9
4.请找出一个满足加上-6仍小于0的正整数是______.
【解析】绝对值不相等的异号两数相加，和若是负号，则正数的绝对值较小，所以满足条件的正整数有5，4，3，2，1.
答案：1(答案不唯一)
5.计算：(1)(-3)+9＝________.
(2)(-8)+(-7)＝________.
(3)(-3.2)+1.3＝________.
(4)19+(-15)＝________.
【解析】(1)(-3)+9＝+(9-3)＝6.
(2)(-8)+(-7)＝-(8+7)＝-15.
(3)(-3.2)+1.3＝-(3.2-1.3)＝-1.9.
(4)19+(-15)＝+(19-15)＝4.
答案：(1)6 (2)-15 (3)-1.9 (4)4
6.计算:
【解析】
【巧记速记】有理数的加法运算口诀：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好.
【注】“大”减“小”是指绝对值的大的减小的.
题组二：有理数加法的实际应用
1.北京与巴黎两地的时差是-7小时(带正号的数表示同一时间比北京早的时间数)，如果现在北京时间是7：00，那么巴黎的时间是( )
A.0：00 B.7：00 C.14：00 D.21：00
【解析】选A.根据题意得：7+(-7)=0，所以巴黎的时间是
0：00.
【变式训练】纽约时间比香港时间迟13小时.你与一位在纽约的朋友约定，纽约时间4月1日晚上8时与他通话，假若在香港的你应_______月_______日_______时给他打电话.
【解析】晚上8时即20时，20+13=33(时)，33-24=9，即4月2日早上9时.
答案：4 2 早上9
2.小明家冰箱冷冻室的温度为-5 ℃，调高4 ℃后的温度为
( )
A.4 ℃ B.9 ℃ C.-1 ℃ D.-9 ℃
【解析】选C.(-5)+4=-1(℃).
3.A地海拔-50米，B地比A地高90米，B地海拔_________.
【解析】因为A地海拔-50米，B地比A地高90米，所以B地海拔(-50)+90=40(米).
答案：40米
4.今年一月小靓的爸爸到建设银行开户，存入了2 000元钱，以后的每月根据家里的收支情况存入一笔钱.下表为小靓的爸爸从二月份到七月份存款情况(比上月存款多的钱数记为“+”，比上月存款少的钱数记为“-”)：
根据记录可知，从二月份到七月份中______月份存入的钱最多；_______月份存入的钱最少；截止到七月份，存折上共有_______元.
月份 二 三 四 五 六 七
与上一月比较/元 -200 -400 +300 +450 0 -600
【解析】由图表可得，二月份存入为：2 000+(-200)=
1 800(元)；三月份存入为：1 800+(-400)=1 400(元)；四月份存入为：1 400+300=1 700(元)；五月份存入为：1 700+450 =2 150(元)；六月份存入为：2 150+0=2 150(元)；七月份存入为：2 150+(-600)=1 550(元)；则存折上2 000+1 800+
1 400+1 700+2 150+2 150+1 550=12 750(元)，五、六月存入最多，三月存入最少.
答案：五、六 三 12 750
5.在一次水下机器人测试中，机器人在海下时而上升，时而下降.机器人的初始位置在海平面下1 500米，下面是机器人在某段时间内的运动情况(把上升记为“+”，下降记为“-”，单位：米):-2 800，1 600.问：现在机器人处在什么位置？
【解析】根据题意可得：上升为“+”，下降为“-”；则现
在机器人的位置距初始位置的距离是(-2 800)+1 600＝
-1 200(米).
故(-1 200)+(-1 500)＝-2 700(米).
答：机器人现在处在海平面下2 700米处.
【想一想错在哪？】计算：(1)(+ )+(- ).
(2)(+0.12)+(-0.21).
提示：(1)确定两个加数的和的符号时出错.(2)异号两数相加，确定两个加数的和的绝对值时出现错误.
(共33张PPT)
2.有理数加法的运算律
1.经历探索有理数加法运算律的过程，理解有理数的加法运算律.(重点)
2.能运用加法运算律简化加法运算.(重点、难点)
3.在教学中，培养学生先审题，看有没有能够运用运算律的简便方法，逐步养成良好的做题习惯.
在小学里我们知道，数的加法运算律：
(1)交换律用字母表示：________.
(2)结合律用字母表示：________________.
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
【思考】1.类比小学加法交换律，比较下列算式及其结果你有什么发现？
(1)(-15)+4，4+(-15).(2)11+(-3)，(-3)+11.
提示：每组两个算式的加数位置不同，但是结果相等.
2.类比小学加法结合律，比较下面的算式及其结果你有什么发现？
［(-6)+2］+(-8)，(-6)+［2+(-8)］
提示：三个有理数相加，先把前两个数相加与先把后两个数相加，其结果相等.
【总结】 1.有理数的加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和_____.
用字母表示为：________.
2.有理数的加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和_____.
用字母表示为：________________.
推广：多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算简化.
不变
a+b=b+a
不变
(a+b)+c=a+(b+c)
(打“√”或“×”)
(1)(+5.65)+(-3.58)=(-3.58)+(+5.65).( )
(2)a+b+c=a+(b+c).( )
(3)( )-3+ =［( )+( )］+3=(-1)+3=2.( )
(4)(-1.5)+6+(-2.5)=6+［(-1.5)+(-2.5)］=6+(-4)=2.( )
(5)a+b+c+d=(a+c)+(b+d).( )
√
√
×
√
√
知识点 1 加法运算律的运用
【例1】计算下列各题：
(1)17+(-25)+15+(-32).
(2)(-2.1)+3.35+4.7+(-3.35)+5+(-4.7).
(3)(-87)+42+37.
(4)0.75+(-2 )+0.125+(-12 )+(-4 ).
【思路点拨】观察算式特点→选择加法运算律→按照运算律进行计算.
【自主解答】(1)原式=(17+15)+［(-25)+(-32)］
=32+(-57)=-25.
(2)原式=［(-2.1)+5］+［3.35+(-3.35)］+［4.7+(-4.7)］=2.9+0+0=2.9.
(3)原式=［(-87)+37］+42=-50+42=-8.
(4)原式= +(-2 )+ +(-12 )+(-4 )
=［ +(-2 )］+［ +(-4 )］+(-12 )
=-2-4-12 =-18 .
【总结提升】有理数加法运算的六种简便方法
1.互为相反数结合法：由于互为相反数的两个数的和为0，因此把互为相反数的加数相结合计算较为简便.
2.同号结合法：把正数与正数、负数与负数分别相加计算较为简便.
3.同形结合法：整数与整数、小数与小数、同分母的分数与同分母的分数分别相加计算较为简便.
4.转化结合法：由于在同一个算式中既有分数又有小数，一般要先统一，具体统一成分数还是小数，这要看哪一种运算更简便，不能一概而论.
5.凑整结合法：把相加得整数的加数先结合.
6.凑零结合法：可先分别把相加得零的部分加数相加，然后再计算.
知识点 2 有理数加法的实际应用
【例2】某市食品药品监督管理局对标准容量为每瓶500 mL(误差允许范围±1.5 mL)的某品牌的冰红茶进行了一次抽检.抽取10瓶样品编1～10号后进行检测，结果如图(单位：mL)：
(1)这10瓶冰红茶的总容量是多少？请尝试用简便方法解决.
(2)单独从容量的角度分析，你对该批产品有何评价？
【解题探究】1.为了减小计算量，怎样计算这10瓶冰红茶的总
容量较简便？
提示：用正、负数表示每瓶偏离标准容量的数值，分别为：
-1.1，-0.5，+0.5，+1.1，+0.2，-0.4，-0.2，+0.8，+1.5，
+0.9.
2.这10瓶冰红茶分别与标准容量的偏差值的总和是多少？
提示：(-1.1)+(-0.5)+0.5+1.1+0.2+(-0.4)+(-0.2)+0.8+
1.5+0.9=［(-1.1)+1.1］+［(-0.5)+0.5］+［0.2+(-0.2)］
+(-0.4)+0.8+1.5+0.9=2.8(mL).
3.这10瓶冰红茶的总容量为：
500×10+____=________(mL).
4.单独从容量的角度分析，对该批产品的评价为：
该品牌的冰红茶_____________________________________
___________________________________________.
2.8
5 002.8
单瓶容量都在国家误差允许范围内，并且
大部分都超过标准容量，质量有保证，值得信赖
【互动探究】如果将(1)的问题改成“这10瓶冰红茶的总容量比标准总容量多还是少？多或少多少？”，该怎样计算？
提示：(1)先计算这10瓶冰红茶与标准容量的偏差的总值.
(2)由于偏差的总值2.8 mL大于零，所以总容量比标准总容量多，多了2.8 mL.
【总结提升】求实际问题中多个数和的三个步骤
1.确定：确定数据的标准值.
2.表示：用正、负数重新表示每个数据偏离标准值的数值.
3.计算：标准总量+偏差总值=原数据总和.
题组一：加法运算律的运用
1.下面计算用的加法运算律是( )
(- )+3.2+(- )+7.8=［(- )+(- )］+(3.2+7.8)
=-1+11=10
A.交换律
B.结合律
C.先用交换律，再用结合律
D.先用结合律，再用交换律
【解析】选C.原式=(- )+ (- )+3.2+7.8(交换律)
=［(- )+(- )］+(3.2+7.8)(结合律)
=-1+11=10.
2.算式(-1)+(-1)+(-1)+(-9)+(-9)+(-9)的结果是( )
A.-10 B.-27 C.-28 D.-30
【解析】选D.利用加法交换律与结合律把-1与-9交换位置后，结合在一起，分别进行运算较简便,即(-1)+(-1)+(-1)+(-9)+
(-9)+(-9)=［(-1)+(-9)］+［(-1)+(-9)］+［(-1)+(-9)］
=(-10)+(-10)+(-10)=-30.
3.三个小球上的有理数之和等于_________.
【解析】(-8)+(+10)+(-2)=［(-8) +(-2)］+(+10)=
(-10)+(+10)=0.
答案：0
4.计算：(-4 )+(-0.14)+4 =_________.
【解析】原式=［(-4 )+4 ］+(-0.14)=0+(-0.14)=-0.14.
答案：-0.14
【变式训练】绝对值小于2 013的所有整数的和为______.
【解析】绝对值小于2 013的所有整数为0，±1，±2，±3，
…，±2 011，±2 012，由于互为相反数的两个数结合相加和
为0，所以这4 025个数的和为0.
答案：0
5.计算：(1)12+(-13)+8+(-6).
(2) +(- )+ +(- ).
【解析】(1)12+(-13)+8+(-6)
＝12+8+[(-13)+(-6)]＝20+(-19)＝1.
(2) +(- )+ +(- )
＝[ +(- )]+[(- )+ ]
＝(- )+ ＝-
题组二：有理数加法的实际应用
1.在CCTV“开心辞典”栏目中，主持人问这样一道题目：
“a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，请问：a，b，c三数之和是”( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【解析】选B.由题意，得：a=1，b=-1，c=0，a+b+c=
1+(-1)+0=0.
2.某商店去年四个季度的盈亏情况如下(盈余为正)：+128.5万元，-140万元，-95.5万元，+280万元，这个商店的总盈利情况是( )
A.盈余644万元 B.亏本173万元
C.盈余173万元 D.亏本64万元
【解析】选C.(+128.5)+(-140)+(-95.5)+(+280)=(128.5+
280)+［(-140)+(-95.5)］=408.5+(-235.5)=408.5-235.5=
173(万元).
3.在伦敦奥运会羽毛球男单一场万众瞩目的天王对决中，我国选手林丹在15∶21先失一局的情况下以21∶10和21∶19连扳两局，击败马来西亚的李宗伟，成为历史上第一个卫冕奥运男单冠军的选手.在这场比赛中林丹的净胜球是______.
【解析】林丹的净胜球是(-6)+11+2=(-6)+(11+2)=(-6)+13=7.
答案：7
4.河里水位第一天上升了7 cm，第二天又下降了6 cm，第三天又下降了8 cm，第四天上升了4 cm，则第四天的水位比开始时的水位______cm.
【解析】设上升的水位记为正数，下降的水位记为负数，根据题意，得7+(-6)+(-8)+4=(7+4)+［(-6)+(-8)］=11+(-14)
=-3(cm).即第四天的水位比开始时的水位下降3 cm.
答案：下降3
5.现有10箱苹果梨，称重记录如下(单位：kg)：31，29，28.5，31.8，29.5，29.5，32，32.5，28.2，32.3，求这10箱苹果梨的总质量.
【解析】若超过30 kg的数记作正数，不足30 kg的数记作负
数，则这10箱苹果梨的质量记作(单位：kg)：+1，-1，-1.5，
+1.8，-0.5，-0.5，+2，+2.5，-1.8，+2.3.
所以(+1)+(-1)+(-1.5)+(+1.8)+(-0.5)+(-0.5)+(+2)+(+2.5)
+(-1.8)+(+2.3)=［1+(-1)］+［ (+1.8)+(-1.8)］+
［(-1.5)+(-0.5)+(-0.5)+2.5］+2+2.3=4.3(kg).
30×10+4.3=304.3(kg).
答：这10箱苹果梨的总质量为304.3 kg.
【知识拓展】今年体育中考前，九(1)班的小李和小黄两位同学进行了8次立定跳远训练测试，她们的成绩分别如下：(单位：m)
求小李和小黄这8次训练的平均成绩分别是多少？
次数
姓名 1 2 3 4 5 6 7 8
小李 1.94 1.86 1.94 1.96 1.94 1.96 1.97 1.95
小黄 1.65 2.08 2.28 1.96 1.69 2.25 1.70 1.91
【解析】(1)小李8次成绩总和=1.9×8+［0.04+(-0.04)+
0.04+0.06+0.04+0.06+0.07+0.05］=15.2+0.32=15.52，
所以小李这8次训练的平均成绩为15.52÷8=1.94.
小黄的8次成绩总和=1.9×8+［(-0.25)+0.18+0.38+0.06+
(-0.21)+0.35+(-0.20)+0.01］=15.2+0.32=15.52，
所以小黄这8次训练的平均成绩为15.52÷8=1.94.
【想一想错在哪？】出租车司机小李某天下午的营运全是在东
西方向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这
天下午行车里程(单位：千米)如下： +15，－2，+5，－1，
+10，－3，－2，+12，+4，－5，+6.
(1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车的出发
点多远？
(2)若汽车耗油量为0.1升/千米，这天下午小李共耗油多少
升？
提示：出租车行驶的总路程计算出错，因此得到的耗油总量也
出现错误.
(共26张PPT)
2.7 有理数的减法
1.理解有理数减法的意义，熟练掌握有理数的减法法则，会进行有理数的减法运算.(重点、难点)
2.经历探索有理数减法法则的过程，再一次认识从特殊到一般的归纳方法，培养抽象概括能力及语言表达能力，初步认识有理数减法转化为有理数加法的“化归”数学思想方法.
(1)-8+(+3)= ___，-8-(-3)= ___.
(2)-8+(-3)= ____，-8-(+3)= ____.
-5
-5
-11
-11
【思考】1.通过上面的计算可以发现，-8+(+3)与-8-(-3)的结果有什么特点？-8+(-3)与-8-(+3)呢？
提示：-8+(+3)=-8-(-3)，-8+(-3)=-8-(+3).
2.观察两式中间的符号，你有什么发现？
提示：前面一个式子中间为“+”，后面式子中间为“-”，且后面式子中减数与前面式子中的第二个数互为相反数.
【总结】有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的_______.
相反数
(打“√”或“×”)
(1)8-7=8+(-7).( )
(2)负数与负数的差仍是负数.( )
(3)若a＞0，b＜0，则a-b＞0.( )
(4)有理数的减法可以转化成加法运算.( )
(5) ( )
√
×
√
√
√
知识点 1 有理数的减法运算
【例1】计算：(1)(-2)-11.(2)
(3)0-(-4.8).
【思路点拨】观察算式是哪种运算→运算法则→准确进行计算.
【自主解答】(1)(-2)-11=-2+(-11)=-13.
(2)
(3)0-(-4.8)=0+4.8=4.8.
【总结提升】有理数减法运算的三个步骤
一变：把减号变为加号.
二变：变减数为减数的相反数.
三算：运用有理数加法的法则进行计算，求出结果.
知识点 2 有理数减法的应用
【例2】2013年元旦期间，多家4A景区门票按照15%～35%的幅度降低门票价格.某景区平均每天入园游客42万人.下表是新年第一周每天的入园人数情况(注：超过平均人数的记为正，少于平均人数的记为负)：
6日比7日入园人数多还是少？多了或少了多少人？
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数(万人) +2.2 -0.8 +1.7 +3.3 +2.7 -2.4 -3.5
【教你解题】
【总结提升】有理数减法在实际应用中的四个步骤
1.审：审清题意.
2.列：列出正确的算式.
3.算：按照减法运算法则，进行正确的计算.
4.答：写出实际问题的答案.
题组一：有理数的减法运算
1.(2012·黔东南中考)计算-1-2等于( )
A.1 B.3 C.+1 D.-3
【解析】选D.-1-2=-1+(-2)=-3.
2.(2012·南充中考)计算：2-(-3)的结果是( )
A.5 B.1 C.-1 D.-5
【解析】选A.2-(-3)=2+(+3)=5.
3.已知有理数a,b，若将a-b与a进行比较，必定是( )
A.a-b＞a B.a-b＜a
C.a-b=a D.大小关系取决于b
【解析】选D.当b＞0时，a-b＜a；当b＜0时，a-b＞a；当b=0时，a-b=a.
4.计算：|-3|-2=______.
【解析】|-3|-2=3-2=1.
答案：1
5.写出两个负数的差是正数的例子：______.
【解析】如：-1-(-2)=-1+2=1；-2-(-3)=-2+3=1等.
答案：-1-(-2)=-1+2=1；-2-(-3)=-2+3=1(答案不唯一)
【知识拓展】应用有理数的减法运算可以比较两个有理数的大小，这种方法叫做“作差法”，即要比较两个有理数a与b的大小，可先求出a与b的差a-b.若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a试用作差法比较大小：
【解析】因为
所以
6.计算：
(1)(+5)-(-3).(2)(-3)-(+2).(3)(-20)-(-12).
(4)(-1.4)-2.6.(5) .(6) .
【解析】(1)(+5)-(-3)=5+3=8.
(2)(-3)-(+2)=(-3)+(-2)=-5.
(3)(-20)-(-12)=(-20)+(+12)=-8.
(4)(-1.4)-2.6=(-1.4)+(-2.6)=-4.
题组二：有理数减法的应用
1.珠穆朗玛峰的海拔高度约为8 844米，马里亚纳海沟的最低点的海拔高度为-11 000米，则珠穆朗玛峰比马里亚纳海沟的最低点高( )
A.2 156米 B.19 844米
C.-2 156米 D.-19 844米
【解析】选B.8 844-(-11 000)=8 844+11 000=19 844(米).
【变式训练】甲、乙、丙三地的海拔高度分别是20 m，
-15 m，-5 m，那么最高的地方比最低的地方高______m.
【解析】最高的地方比最低的地方高20-(-15)=35(m).
答案：35
2.较小的数减去较大的数，所得的差一定是( )
A.零 B.正数
C.负数 D.零或负数
【解析】选C.较小的数减去较大的数，所得的差一定是负数.
3.某粮店出售三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±
0.1)kg,(25±0.2)kg,(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两
袋，它们的质量最多相差( )
A.0.8 kg B.0.6 kg C.0.5 kg D.0.4 kg
【解析】选B.0.3-(-0.3)=0.3+0.3=0.6(kg).
4.(2012·扬州中考)扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是-2℃，那么当天的日温差是______.
【解析】6-(-2)=6+2=8(℃).
答案：8℃
5.某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表：
则温差最大的一天是星期____；温差最小的一天是星期____.
【解析】计算得这七天的温差分别是：8℃，11℃，11℃，10℃，11℃，10℃，12℃.所以温差最大的一天是星期日；温差最小的一天是星期一.
答案：日 一
星期 一 二 三 四 五 六 日
最高气温 10℃ 12℃ 11℃ 9℃ 7℃ 5℃ 7℃
最低气温 2℃ 1℃ 0℃ -1℃ -4℃ -5℃ -5℃
6.现有两个冰箱，第一个冰箱的冷冻层内温度为-15 ℃，第二个冰箱的冷冻层内温度为-6 ℃.问这两个冰箱的冷冻层内的温度哪一个较低？低多少？
【解析】因为-15<-6，所以第一个冰箱的冷冻层内的温度较低.
-6-(-15)＝-6+15＝9，所以低9 ℃.
【想一想错在哪？】计算：
提示：减法没有运算律，必须转化为加法后，才能应用运算
律，简化运算.
