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第1章 走进数学世界
1.1 数学伴我们成长
1.2 人类离不开数学
1.通过具体实例体会数学的存在及数学的美，发展应用意识. (难点)
2.初步尝试从不同角度，运用多种方式(观察、思考、演算、自主探索、合作交流等)有效解决一些简单数学问题.(重点、难点)
一、数学伴我们成长
1.我们的健康指标如心率、身高、体重、视力等都与数学有关.
2.我们在小学学习了整数和_____(小数)，学会了它们之间的
___法、___法、___法、___法等运算.
3.小学认识了三角形、_____形、_____形、圆、长方体、_____
体、_____和球等图形.
分数
加
减
乘
除
长方
正方
正方
圆柱
二、人类离不开数学
1. 自然界中的数学：神奇的_______形的蜂房，结成110度的
“人”字形迁飞的丹顶鹤群，螺旋形生长的贝壳和松果等.
2.人们身边的数学：人类从蛮荒时代的_____计数，到今天用
___________指挥“神九”飞天，从高耸入云的广州塔，到最
大钻井深度10 000米的深水钻井平台“海洋石油981”都是人
类智慧的结晶.
3.数学的重要性：人类的各种活动都离不开数学，如买卖与批
发、_____与保险、_____与债券等.
正六边
结绳
电子计算机
股票
存款
(打“√”或“×”)
(1)数学主要研究数、数的运算与数的比较. ( )
(2)图形的大小、形状和位置也是数学研究的内容. ( )
(3)日常生活离不开数学，科学技术、国民经济的发展也离不
开数学. ( )
(4)商品销售打九折优惠就是商品按原价90%出售. ( )
(5)正方形的地砖能铺满地面,正六边形的地砖不能铺满地
面. ( )
×
√
√
√
×
知识点 1 用数学解决实际问题
【例1】社会的信息化程度越来越高，无线互联网已进入普通百姓家，中国联通公司为手机上网用户提供80～300元套餐新业务，如下表：
温馨提示：1 GB=1 024 MB.
套餐月费 包含国内流量 超出后资费
80元/月 1 GB 0.10元/MB
150元/月 3 GB
200元/月 5 GB
300元/月 10 GB
某手机用户为了选择更合适的上网业务，抽取了一周的国内上网流量(单位：MB)如下表：
根据上述情况，该用户选择哪种套餐更合适，请你帮他选择，并说明理由(每月以30天计算).
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
流量 20 30 38 59 70 87 102
【思路点拨】计算一周的每天平均流量→推断一个月的上网流量→对照上网资费表分别计算费用→比较得出最佳选择.
【自主解答】该用户平均每天上网流量为
(20+30+38+59+70+87+102)÷7=58(MB)，
所以该用户一个月的上网流量约为58×30=1 740(MB).
若选“80元/月”套餐，费用为80+(1 740-1×1 024)×0.1=
80+716×0.1=151.6(元)；
若选“150元/月”套餐：150元可获得国内流量为3×1 024=
3 072(MB)＞1 740(MB)，还有很多剩余流量，费用却只花
150元.
因此该用户选择“150元/月”套餐更合适.
【总结提升】数学知识在实际生活中的应用
1.我们生活中处处有数学，数学来源于生活，反过来又服务于生活，学以致用是学习数学的目的.
2.在解决实际问题时，应自觉地应用数学知识去观察、分析、抽象、概括，将其转化为我们熟悉的数学模型.
知识点 2 用数学解决图形问题
【例2】如图，从A地到E地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个相同的小半圆(中途经过B，C和D地).哪条路比较近？
【思路点拨】利用圆的周长公式，即可求得两个路径的长，然后进行比较即可.
【自主解答】设大半圆的半径为R，小半圆的半径为r，则r+r+r+r=R.
因为l大半圆=πR=π(r+r+r+r)=πr+πr+πr+πr=l4个小半圆，
所以两条路长度相等.
【总结提升】解决图形问题的四个步骤
1.审：仔细审题和观察图形，初步确定了解已知条件与所求结论.
2.定：通过分析，确定用什么数学知识解决.
3.算：利用所学的数学公式或法则进行必要的简单计算.
4.答：由数学计算结果，得到所求答案.
题组一：用数学解决实际问题
1.小亮和妈妈一起逛商场，正逢商场促
销，全场八折出售，妈妈看到如图所示
的上衣标价，小亮很快就算出了它的售
价是( )
A.33.8元 B.135.2元
C.108.16元 D.以上都不对
【解析】选B.169×80%=135.2(元).
【变式训练】小亮妈妈在商场买了一件衣服，返还了30元的代金券，于是打算再添些钱买一件如上图所示标价的上衣，商场规定用代金券(没有时间限制)或打八折只能选择一种，若只从省钱方面考虑应选择______.
【解析】选择代金券需要再交钱数为169-30=139(元)；选择打八折需要交的钱数为169×80%=135.2(元).
因为139＞135.2，所以选择打八折.
答案：打八折
2.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，2016年的
奥运会将在巴西里约热内卢举行，奥运会的年份与届数如表
所示：
表中n的值等于________.
年份 1896 1900 1904 … 2016
届数 1 2 3 … n
【解析】从表格可以看出奥运会每4年举办一届，所以2016年里约热内卢奥运会的届数为(2016-1892)÷4=31.
答案：31
3.中央电视台《开心辞典》节目经常考观众这样的游戏题，规则是：在1至13的自然数之间任取4个，将这四个数(每个数只用一次)进行加减乘除四则运算，使结果等于24.现有3，4，6，10四个数，运用上述规则写出两种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：_________________________.
【解析】本题是一道开放性试题，考查的是四则运算能力.方法一：3×(4+10-6)；方法二：6÷3×10+4等.
答案：3×(4+10-6)，6÷3×10+4(答案不唯一)
4.在一次跳水比赛中，8位评委给某选手所评分数如表，计分方法是：去掉一个最高分，去掉一个最低分，其余分数的平均分作为该选手的最后得分,请你算一算该选手的最后得分.
【解析】把8个得分中最高分9.9和最低分9.4去掉后，该选手的最后得分为(9.8×3+9.7×2+9.5)÷6≈9.72(分).
答：该选手的最后得分为9.72分.
评委 1 2 3 4 5 6 7 8
评分 9.8 9.5 9.7 9.9 9.8 9.7 9.4 9.8
题组二：用数学解决图形问题
1.如图将四个形状、大小一样的长方形分别等分成四个形状、大小一样的小长方形，其中阴影部分面积相等的是( )
A.只有①和②相等
B.只有③和④相等
C.只有①和④相等
D.①和②，③和④分别相等
【解析】选D.四个阴影图形落在大长方形边上的边都相等，利用面积公式计算可知①和②，③和④分别相等，故选D.
2.(2012·江西中考)如图，有a，b，c
三户家用电路接入电表，相邻电路的电
线等距排列，则三户所用电线( )
A.a户最长 B.b户最长
C.c户最长 D.三户一样长
【解析】选D.如图，由于a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，所以将a与b相同序号部分放在一起能够完全重合，所以a与b一样长，同理a与c也一样长，所以三户一样长.
【知识拓展】如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，道路的宽为2 m，则绿化的面积为_________m2.
【解析】如图，把两条“之”字路平行移动到长方形地块ABCD
的最上边和最左边，则余下部分EFCG是长方形.因为CF=32-2=
30(m)，CG=20-2=18(m)，所以长方形EFCG的面积=30×18=
540(m2).
答案：540
3.(2012·漳州中考)如图，一枚直径为4 cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )
A.2π cm B.4π cm
C.8π cm D.16π cm
【解析】选B.由题意知圆心移动的距离等于圆的周长，即
2π× =4π(cm).
4.由棱长为1的小正方体组成新的大正方体，如果不允许切割，至少需要几个小正方体( )
A.4个 B.8个 C.16个 D.27个
【解析】选B.棱长为1的小正方体的体积为1，因为不允许切割，所以新的大正方体的棱长最少为2，此时大正方体的体积为2×2×2=8，所以至少需要8÷1=8个小正方体.
【想一想错在哪？】小明以每小时4 km的速度上山、下山按原路返回，其速度为6 km/h，求小明的来回平均速度.
提示：平均速度等于总路程除以总时间.
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1.3 人人都能学会数学
1.了解学好数学必须对数学产生一定的兴趣，要有一定的自信.
2.初步体验学习数学是一个观察、实验、归纳、类比和猜测的探索过程.(重点)
3.在数学活动中获得对数学的感性认识，逐步体验数学思想方法.(重点、难点)
1.人人都能学会数学
(1)学好数学要对数学有_____，要有_________的精神，要善
于_____和_____问题，要善于独立思考.
(2)学好数学要善于把数学应用于_____问题.
2.学好数学的关键
学好数学的关键是掌握_______________.
兴趣
刻苦钻研
发现
提出
实际
解数学题的方法
(打“√”或“×”)
(1)学好数学最重要的是要对数学产生兴趣.( )
(2)转化是数学中重要的思想方法之一.( )
(3)各类大赛中评委亮分后，去掉一个最高分和一个最低分是
为了简化计算.( )
√
√
×
知识点 1 求图形的周长(面积)
【例1】如图是公园中一条拐角都是直
角的小桥，设计师要沿着桥的各边装饰
彩灯，每间隔10 cm一盏，你知道共需
要彩灯多少盏吗？
【思路点拨】计算横线总长和竖线总长→求出图形的周长→计算彩灯盏数
【自主解答】如图，所有横线总长为：(a+b+c+d)+(e+f+g+h)=90+90=180(m);
所有竖线总长为：(①+②+③+④)+(⑤+
⑥+⑦+⑧)=60+60=120(m).
所以图形的周长为：180+120=300(m).
所以彩灯的盏数为：300×100÷10=3 000(盏).
【总结提升】转化思想在解题中的应用
1.数学解题的过程实际上就是转化过程.
2.把所要解决的问题转化为熟悉的问题，使问题化难为易，化繁为简，化未知为已知，最终解决问题.
知识点 2 平均数的意义
【例2】某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
(1)该公司“高级技工”有______名.
(2)所有员工月工资的平均数为2 500元，小张到这家公司应聘普通工作人员，请你回答图中小张的问题.
(3)去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资，并判断这一数据能否反映该公司的月工资实际水平.
【解题探究】
(1)怎样确定“高级技工”的人数？人数为多少名？
提示：总人数减去表格中已知的人数就是高级技工的人数，
有50-1-3-2-3-24-1=16(名).
(2)由于这组数据中出现极端值，因此这种说法_____(填“能”或“不能”)反映该公司的月工资实际水平.
不能
(3)去掉四个管理人员的工资后的平均工资为：
(______×2+ ______×3+1 800×___+ ______×24+ ____×1)
÷___
≈______(元).
综上可知：这一数据___(填“能”或“不能”)反映该公司的
月工资实际水平.
2 020
2 200
16
1 600
960
46
1 713
能
【总结提升】平均数的三个特点
1.反映对象：平均数反映一组数据的“平均水平”.
2.易受影响：平均数的大小与一组数据里每个数据都有关系，极端值对平均数的影响最大.
3.应用广泛：平均数是通过计算获得的，利用了全部数据信息，具有优良的数学性质，是实际应用最广泛的描述数据的度量值.
题组一：求图形的周长(面积)
1.图中的长方形被分成甲和乙两部分，则
甲和乙的周长相比，结果是( )
A.甲比乙长
B.甲比乙短
C.甲和乙一样长
D.无法比较
【解析】选C.由题意知，两对边平行且相等，甲周长为两邻边加中间一条折线，乙周长为相邻两边加中间一条折线，故甲、乙周长相等.
2.如图，两个阴影三角形的面积之和占
四个正方形组成的长方形面积的( )
A. B. C. D.
【解析】选C.假设每个小正方形的面积是1，则两个阴影三角
形的面积都是 ,所以两个阴影三角形的面积之和为1，而四
个正方形组成的长方形的面积为4，所以两个阴影三角形的面
积之和占四个正方形组成的长方形面积的 .
3.一个长方体从上面看为 ，从左面看为 ,
则它的底面积是______,表面积是______.
【解析】长方体的底面积为：8×3=24(cm2)；表面积为：
(8×3+8×2+3×2)×2=(24+16+6)×2=46×2 =92(cm2).
答案：24 cm2 92 cm2
4.如图1，9个边长为1 cm的小正
方形拼成一个大正方形，如果拿
去了一个(如图2)，它的周长与没
有拿走以前相比______(填“变大”
“变小”或“不变”).
【解析】从大正方形顶点处拿掉一个小正方形，减少两条边的同时又增加两条边，所以它的周长与没有拿走以前相比不变.
答案：不变
【变式训练】用8个1立方厘米的小正方
体拼成一个大正方体，如果拿去了一个
小正方体(如图)，它的表面积与没有拿
走以前相比______(填“变大”“变小”
或“不变”).
【解析】从大正方体顶点处拿掉一个小正方体，减少三个面的同时又增加三个面，所以它的表面积与没有拿走以前相比不变.
答案：不变
5.图中共有多少个三角形？
【解析】设各个小三角形的面积为1，则图中包含面积分别为1，4，9的三类三角形：面积为1的三角形有24个；面积为4的三角形有12个；面积为9的三角形有2个，共有24+12+2=38(个).
题组二：平均数的意义
1.数据1，2，3，4，5的平均数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.(1+2+3+4+5)÷5=3.
2.(2012·黄石中考)2012年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示:
请问这组数据的平均数是( )
A.24 B.25 C.26 D.27
【解析】选C. ×(27+27+24+25+28+28+23+26)=26.
城市 武汉 成都 北京 上海 海南 南京 拉萨 深圳
气温(℃) 27 27 24 25 28 28 23 26
3.某住宅小区六月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示.那么这5天平均每天的用水量是( )
A.30 吨 B.31 吨 C.32 吨 D.33 吨
【解析】选C.由折线统计图知，这5天的平均用水量为：
=32(吨).
4.(2012·义乌中考)近年来，义乌市民用汽车拥有量持续增
长，2007年至2011年我市民用汽车拥有量依次约为11，13，
15，19，x(单位：万辆)，这五个数的平均数为16，则x的值为
___________.
【解析】根据平均数的求法：共5个数，这些数之和为11+13+
15+19+x=16×5,解得x=22.
答案：22
5.为全面了解学生，加强家庭与学校联系，某中学组织教师开展“课外访万家”活动，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，先从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如表：
这15名学生家庭平均年收入是多少？
【解析】这15名学生家庭平均年收入是：(2+2.5×3+3×5+
4×2+5×2+9+13)÷15=4.3 (万元).
年收入(单位：万元) 2 2.5 3 4 5 9 13
家庭个数 1 3 5 2 2 1 1
【变式训练】李老师对所在班级的全体学生进行实地家访后，
从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况并求出了这些学生家
庭年收入的平均数为5.1万，但部分数据被墨水污染，如下
表：
请求出被污染的数据.
【解析】这15名学生家庭的总年收入为：5.1×15=76.5(万元).被污染的数据为：［76.5-(2+2.5×3+5×2+6+9×3+12)］
÷4=3(万元).
【想一想错在哪？】为庆祝中国共产党第十八次全国代表大会胜利闭幕，某校举行了歌唱祖国的活动，评委为某班的合唱打分如下表(评分方法：去掉一个最高分和一个最低分，余下数据的平均分就是该班的最后得分)：
该班合唱最后得分是多少？
成绩(分) 9.2 9.3 9.6 9.7 9.9
人数(人) 2 2 3 2 1
提示：计算余下数据的总和，确定余下数据的个数时出现错误.
